L E EQUAZIONI DELL ’ ELETTROIDRODINAMICA PER UN FLUIDO MONOFASE

cariche elettriche in un fluido dielettrico. Adesso è possibile studiare gli effetti fluidodinamici dell’applicazione di un campo elettrico in un fluido isolante che abbia una distribuzione di carica di volume. Da notare che questo tipo di approccio sottintende l’ipotesi del continuo, ovvero lo studio è di tipo macroscopico. Non si restringe mai l’attenzione al comportamento di cariche isolate, la dimensione più piccola a cui è lecito applicare la seguente trattazione deve essere molto più grande della distanza tra singole cariche adiacenti tra loro. Il volume elementare della particella fluida in questa analisi deve essere tale che il numero di cariche in esso contenuto abbia una media statisticamente stazionaria.

SI richiama il sistema di equazioni di Navier-Stokes:

Il campo elettrico si inserisce nell’equazione della quantità di moto, inducendo una forza di volume aggiuntiva a quella di gravità:

Dove fu ricavata da Melcher come [37]:

43 O equivalentemente [34]:

Con campo elettrico, densità volumetrica di carica ed permittività del mezzo considerato.

Il primo termine è la forza di Coulomb applicata dal campo elettrico sulla densità di carica libera nel volume, è detto anche elettroforesi. Il secondo termine ed il terzo termine sono forze legate alla polarizzazione del fluido. Il secondo termine, detto dielettroforesi, è legato alle variazioni spaziali del campo elettrico e può essere spiegato pensando che ogni volumetto di fluido viene polarizzato in modo da formare un dipolo che si allinea con il campo. La presenza di gradiente del campo risulta in una forza traslazionale sul dipolo così generato [34]. L’ultimo termine è detto elettrostrizione e induce polarizzazioni locali dovute a disomogeneità spaziali della permittività del mezzo che può variare sia con la temperatura che con la densità del fluido. L’elettrostrizione è una forza che per la sua formulazione matematica può essere inglobata nel gradiente di pressione.

La forza elettrica di volume può essere convenientemente espressa tramite il tensore degli sforzi di Maxwell [38], formulazione utile soprattutto in presenza di interfacce.

Oltre ad inserire questa forza di volume nell’equazione della quantità di moto, il sistema di equazioni di Navier-Stokes va accoppiato alle equazioni di Maxwell che descrivono i campi elettromagnetici.

44 Dove:

Con vettore d’induzione magnetica e permeabilità magnetica del mezzo.

Si aggiunge un’ulteriore equazione che esprime la conservazione della carica elettrica:

Dove la densità di corrente è data da [34]:

Dove è la mobilità ionica, rapporto tra velocità di deriva dello ione e campo elettrico. è il coefficiente di diffusione dei portatori di carica.

Il primo termine rappresenta dunque la deriva dei portatori di carica, il secondo la loro convezione, il terzo la loro diffusione ed il quarto la corrente di spostamento.

Il primo termine dell’espressione per la densità di corrente è riconducibile alla legge di Ohm che da sola non prende in considerazione tutti i fenomeni di trasporto della carica in un fluido. Questo termine della corrente è il responsabile della dissipazione di energia per effetto Joule nel fluido.

Avendo inglobato la corrente di spostamento nella densità di corrente, richiamando la prima delle equazioni di Maxwell, si ha che la conservazione della carica è espressa semplicemente da:

Nel problema dell’elettroidrodinamica il campo di velocità del fluido gioca un ruolo importante nella conservazione della carica, come si può vedere dall’equazione costitutiva della densità di corrente.

45 La distribuzione che assume la densità di carica influenza il campo elettrico che a sua volta influenza il moto del fluido tramite la forza di volume . Inoltre è necessario aggiungere un termine di dissipazione nell’equazione dell’energia dovuto all’effetto Joule.

È possibile osservare che nelle applicazioni EHD pratiche ci si trova in condizioni elettro- quasi-statiche, ovvero il rapporto tra la densità di energia elettrica e magnetica è grande [34,39]:

Nelle applicazioni EHD con liquidi dielettrici il campo magnetico generato dalla corrente rispetta sempre questa condizione poiché mentre [34]. La semplificazione più grande introducibile in queste condizioni è l’irrotazionalità del campo elettrico [34,39].

Accoppiando le equazioni di Maxwell per il caso elettro-quasi-statico e quelle di Navier- Stokes si ottengono le equazioni dell’elettroidrodinamica [34].

46 Il problema può essere affrontato con alcune ipotesi semplificative [34]:

 Fluido incomprimibile

 È trascurata la corrente di spostamento se si lavora in corrente continua

 Viene trascurata la corrente dovuta alla diffusione dei portatori di carica

 Viene adottata l’approssimazione di Boussinesq. Tutte le proprietà del fluido, anche quelle elettriche, vengono immaginate dipendenti solo dalla temperatura

 I coefficienti di temperatura della viscosità, della permittività e della conducibilità termica del fluido sono molto inferiori all’inverso del salto termico caratteristico del processo

 É utilizzato il postulato di Fourier

 La dissipazione termica per attriti viscosi ( ) è trascurata

 Si può definire la conducibilità elettrica del fluido come:

Da questa espressione appare chiaro che, rigorosamente parlando, la conducibilità dipende da tutto il campo di moto essendo direttamente legata alla densità di carica. Tuttavia è stata esclusa ogni variazione spaziale delle proprietà del fluido, che dipendono solo dalla temperatura.

Con queste ipotesi le equazioni diventano [34]:

Dove nella pressione sono stati inglobati il termine gravitazionale e quello di elettrostrizione.

47 Solitamente per i dielettrici non polari il termine di dissipazione per effetto Joule è trascurabile dato il valore molto basso della loro conducibilità elettrica.

3.2.1 Il bilancio di vorticità

Applicando il rotore ad ambo i membri dell’ultima equazione scritta per la quantità di moto si ottiene direttamente il bilancio di vorticità, dove è stata esplicitata anche la dipendenza di dalla temperatura.

Si nota che la componente di elettrostrizione, come quella di pressione, non dà alcun termine nel bilancio di vorticità. Di fatto l’elettrostrizione non ha grande influenza su un flusso monofase, salvo in presenza di un campo elettrico fortemente disomogeneo [34]. La forza di Coulomb (elettroforesi) è in grado di generare vorticità solo se c’è un gradiente di densità di carica non parallelo al campo elettrico. Il bilancio di vorticità mostra che i gradienti termici generano vorticità tramite la dielettroforesi, dipendente anch’essa dalla temperatura tramite la permittività elettrica del mezzo.

La dielettroforesi diventa influente nei punti dove il gradiente termico è perpendicolare al campo elettrico. Quando questa condizione non si verifica essa è trascurabile rispetto all’elettroforesi poiché è tipicamente due o tre ordini di grandezza più grande di [34]. Tuttavia la predominanza dell’elettroforesi sulla dielettroforesi è legata anche al tempo di rilassamento delle cariche:

Ad esempio se la frequenza con cui varia il campo elettrico è molto maggiore dell’inverso del tempo di rilassamento la carica volumica non può formarsi in seno al fluido e la dielettroforesi diventa il termine principale della forza elettroidrodinamica [40].

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