T ARATURA DELLE TERMORESISTENZE

Le termoresistenze (RTD) sono state utilizzate durante le prove sperimentali come sensori per la misura della temperatura media del fluido all’interno della vasca di contenimento. La resistenza elettrica di questi sensori varia al variare della temperatura, quindi la taratura consiste proprio nell’associare i valori di resistenza a quelli di temperatura quando quest’ultima è nota. In questo modo è possibile in seguito calcolare una temperatura qualsiasi dell’ambiente semplicemente misurando il valore di resistenza del sensore.

79 Per svolgere questa operazione è stato fatto uso di un forno a temperatura controllata e di una termoresistenza campione al platino per valutare con precisione la temperatura dell’ambiente.

Fig. 5.2

I valori di resistenza dei due sensori da tarare sono stati associati a quelli di temperatura nell’intervallo 20-110°C con passo di 5°C. La resistenza della termoresistenza campione e di quelle da tarare è stata misurata a quattro fili con un calibratore MicroCal 200+ prodotto dalla EUTRON. I dati misurati in taratura sono stati approssimati con una funzione continua che lega la temperatura alla resistenza dei sensori. La curva di taratura dei sensori consiste appunto nella funzione che esprime questo legame.

In questo caso si è optato per un andamento parabolico:

I coefficienti di questa curva sono stati ricavati con un fitting ai minimi quadrati fatto sui valori di temperatura e resistenza misurati in taratura.

80 Il problema può essere scritto indicando i dati misurati con:

Dove le sono calcolate con la curva di taratura della termoresistenza campione. La somma degli scarti quadratici fra queste temperature e quelle restituite dalla curva di taratura da trovare per le termoresistenze è:

Essa andrà minimizzata in funzione dei coefficienti della curva di fitting:

Ottenendo il seguente sistema lineare nelle incognite .

Il problema è stato implementato in MATLAB in forma matriciale e risolto tramite calcolatore.

81 La matrice dei coefficienti ed il vettore dei termini noti sono stati costruiti come segue:

Il vettore dei coefficienti incogniti della curva di taratura è:

Il sistema lineare da risolvere sarà:

Si può verificare facilmente che corrisponde a quello mostrato in precedenza. Nella figura seguente sono riportate le curve di taratura delle termoresistenze.

82 Si riportano anche i coefficienti delle curve di taratura.

a [°C/Ω2] b [°C/Ω] c [°C] RTD1 -5,2070∙10–4 2,8088 -276,9193

RTD2 -1,6120∙10–3 3,1620 -302,5715 Tab. 5.2 Coefficienti delle curve di taratura delle termoresistenze

Una volta trovata la curva di taratura è possibile calcolare una stima di quanto fedelmente approssimi i dati realmente misurati in taratura. In altre parole se è un valore di resistenza misurato alla temperatura durante la taratura, la temperatura data dalla curva di fitting è invece:

Lo scarto tra il valore di temperatura trovato utilizzando la curva di taratura piuttosto che i dati realmente misurati è dunque:

Al variare del grado del polinomio utilizzato come curva di taratura la somma dei quadrati degli scarti cambia a sua volta.

Nel nostro caso il numero di coppie di dati raccolte in taratura è: .

Si riporta nella tabella seguente il valore di ottenuto utilizzando tre polinomi di fitting di grado diverso.

Grado del polinomio 1° 2° 3°

5,9900∙10

–2 _3,5623∙10–2 _3,5581∙10–2

1,7736∙10 –1

1,0946∙10–1 8,7639∙10–1 Tab. 5.3 Scarto medio con curve di fitting di grado crescente

83 Come si può notare, passando da un polinomio di primo grado, una retta, ad uno di secondo grado c’è una riduzione del valore di , ma aumentando ulteriormente il grado della curva il miglioramento è lieve, per questo motivo è stato adottato un polinomio di secondo grado. Lo stesso vale per gli scarti assoluti riportati nel seguente grafico relativo alla termoresistenza n°1.

Fig. 5.4 Scarti assoluti al variare del grado del polinomio di fitting

L’andamento della resistenza dei sensori è piuttosto lineare al variare della temperatura, come si può vedere in fig. 5.2 e in tab. 5.1 osservando il basso valore del coefficiente che moltiplica il termine di secondo grado. Ciò induce a non utilizzare un polinomio di fitting di grado elevato che imporrebbe un andamento arbitrario della resistenza non collegato alla fisica del fenomeno.

Tuttavia anche le coppie di valori sono affette da errori legati all’accuratezza dello strumento utilizzato. Le grandezze realmente misurate in taratura sono sempre resistenze elettriche. Per ogni livello di temperatura è stata in primo luogo misurata la resistenza del termometro campione al platino, in seguito è stata misurata la resistenza delle due termoresistenze da tarare. Ognuna di queste tre misure restituisce un valore di resistenza noto con una determinata incertezza. Lo strumento utilizzato per la taratura è il calibratore MicroCal 200+ visibile in fig. 3.1.

84 Gli errori percentuali sulla lettura e sul range ed sono riportati in appendice B. Il

range delle misure è 500Ω, i valori tipicamente registrati sono dell’ordine di 120Ω.

Questo errore sulla misura della resistenza ha due effetti. In primo luogo influisce sul valore di resistenza misurato per il termometro campione, introducendo un’incertezza sul valore delle temperature attribuite al forno durante la taratura. In secondo luogo esso va a modificare direttamente il valore delle dei sensori da tarare e quindi il valore di che si ottiene dalla loro curva di taratura.

Nota la curva di taratura della termoresistenza campione si può valutare come l’errore di misura sulla sua resistenza elettrica si rifletta sui valori di . La temperatura risultante ad un certo valore di resistenza misurato per il termometro campione è, nel range :

Dove i sono coefficienti della curva di taratura riportati in appendice B, mentre è:

Con valore della resistenza a 0°C.

Se il valore è affetto da un errore di misura la temperatura risulta essere:

Con: Si può valutare l’errore assoluto sulla temperatura dovuto ad

considerato che questa

grandezza è espressa da una funzione nota di .

85 Dove è la curva di taratura della termoresistenza campione. L’incertezza sulla temperatura misurata tramite la termoresistenza campione sarà dunque:

Con:

Allo stesso modo può essere valutato l’errore su dovuto all’incertezza di misura sulla delle termoresistenze da tarare. In questo caso il legame tra temperatura e resistenza è espresso da:

Quindi il valore assoluto dell’errore su diventa:

Dove, analogamente al caso della termoresistenza campione:

L’errore assoluto, sia sulla termoresistenza campione sia su quelle da tarare, varia molto poco in tutto il campo di misura. Per la termoresistenza campione la situazione è analoga e l’errore assoluto medio sulla temperatura è:

86 L’errore relativo totale sulla misura di temperatura con le termoresistenze sarà dovuto ai due contributi visti. Per ogni temperatura questo errore si può calcolare come:

Dove:

L’errore assoluto totale sulla misura di temperatura tramite le termoresistenze è dunque, per ogni punto di misura:

L’errore assoluto rimane pressoché costante (variazione di 0,02 °C su tutto il campo di taratura) ed il suo valore medio è:

Questo errore è stato confrontato con lo scarto medio tra i dati misurati ed i valori di temperatura restituiti dalla correlazione di taratura delle termoresistenze:

RTD1 9,0722∙10–2 3,5623∙10–2 RTD2 9,9390∙10–2 1,0946∙10–1 Tab. 5.4 Errori assoluti commessi sulla misura di temperatura tramite le termoresistenze

Si può notare che lo scarto dovuto alla correlazione per la termoresistenza n°1 è nettamente inferiore di quello dovuto all’incertezza di misura. Nel caso della termoresistenza n°2 la curva di taratura approssima in maniera peggiore i dati, ma i due scarti sono comunque confrontabili.

87 Dal momento che le correlazioni di taratura introducono scarti compatibili con quello dell’errore di misura, si è deciso di utilizzare come valore dell’errore solo quest’ultimo, ovvero .