Esempio su Modello a Singolo Compartimento

Descrizione

Il primo modello biologico testato con il Psimulator rappresenta un sistema semplice, creato ad arte e dunque privo di validit`a biologica.

Il sistema `e costituito da cinque composti che, a loro volta, sono coinvolti in tre reazioni chimiche, delle quali una `e di secondo ordine (la reazione Reaction1 che coinvolge i due reagenti a e b) e due sono di primo ordine. Il sistema `e interamente compreso all’interno di un unico compartimento.

Su tale modello sono state eseguite due simulazioni, differenti tra loro per le condizioni iniziali della costante di rate k1 che regola l’andamento dell’unica reazione di secondo ordine.

Figura 7.1: Sistema biologico fittizio con costante k1= 0.3.[4]

Nella Figura7.1 ed nella Figura 7.2 sono mostrati gli schemi dei due sistemi alle due diverse condizioni iniziali2. Come `e possibile verificare dai dati riportati nelle due figure, delle sei specie coinvolte solo quattro – A, B, C e D – sono presenti fin dall’inizio della simulazione, come indica il fatto che la loro quantit`a iniziale

1_{La cinetica di Michaelis-Menten descrive l’andamento della velocit`a di una reazione cataliz-}

zata da enzimi, al variare della concentrazione di substrato. Questo modello, valido per enzimi non allosterici, fu proposto da Leonor Michaelis e Maud Menten nel 1913. Inibitori ed induttori enzimatici sono sostanze in grado di alterare la cinetica enzimatica.[1]

Figura 7.2: Sistema biologico fittizio con costante k1= 30.[4]

`e diversa da zero; cos`ı non `e per le altre due specie, E ed F, che invece vengono create durante l’evoluzione del sistema.

Dato che il modello non ha un riscontro biologico reale faremo a meno di indi- care le unit`a delle quantit`a iniziali, riferendoci ad una generica “unit`a di sostanza” che, se per ilPsimulator pu`o essere identificata come la singola molecola, per il CellDesigner`e invece una mole3o una sua sottounit`a.

Come si `e pi`u volte detto in precedenza, l’algoritmo DWT analizza il sistema di reazioni attraverso un approccio “mesoscopico” ed `e per questo inadatto alle simulazioni di sistemi contenenti un numero molto basso di molecole. Per questo motivo, prima di lanciare una simulazione in sistemi come quello in indagine, `e doveroso effettuare un opportuna “scalatura” delle quantit`a troppo basse, moltipli- cando le concentrazioni iniziali dei reagenti per un fattore di scala predeterminato. Le simulazioni su questo primo sistema fittizio sono state effettuate utilizzando un fattore di scala dell’ordine di 107 e sono state impostate ad una durata di 100 secondi di tempo simulato.

La seguente specifica di P System descrive il primo sistema: Π = (O, L, µ, M1, Rcell)

dove:

• L’alfabeto O rappresenta le entit`a molecolari presenti nel sistema: O= {A, B,C, D, E, F}

• L’insieme di etichette (in questo caso `e mono-elemento) L = {cell} specifica l’unica regione del sistema.

• La struttura a membrane µ consiste in un unica membrana associata alla re- gione di cui sopra, la cellula appunto, identificata dal numero 1 ed etichettata con cell.

• Il multiset iniziale M1= {A0.5+ B0.2+ C0.01+ D0.02} rappresenta le con- dizioni iniziali del compartimento del sistema.

• L’insieme di regole di riscrittura R_celldescrive le interazioni molecolari coin- volte nel nostro modello e associate al compartimento etichettato con cell:

– Rcell = r₁cell, r₂cell, r₃cell, dove:

rcell₁ : [A + B]_cell k cell 1 −→ [C]_cell kcell₁ = 0.3 rcell₂ : [C]cell kcell₂ −→ [D]_cell kcell₂ = 0.01 rcell₃ : [D]cell kcell₃ −→ [E + F]cell kcell₃ = 0.6

La specifica di P System per il secondo sistema `e uguale a quella appena de- scritta fatta eccezione per la costante di rate della regola r<sub>1</sub>cellche, come detto, varr`a 30.

Risultati

L’andamento delle curve riportate nelle Figure7.3e7.4 `e perfettamente coer- ente con i dati associati alle reazioni. In particolare, se si osserva il grafico nella Figura7.3, che mostra l’andamento del sistema nel caso in cui la costante k1abbia valore pari a 0.3, si pu`o notare come i composti A e B si degradino pi`u lentamente rispetto al caso di Figura7.4in cui la costante k1vale 30.

Questo comportamento `e dovuto al fatto che la costante k1rappresenta la ve- locit`a della reazione React1, che `e quella che regola la produzione del composto Ca fronte del consumo dei reagenti A e B. Come `e logico dedurre, ad una velocit`a minore corrisponde anche una minore attivit`a della reazione e dunque un degrado pi`u moderato dei reagenti.

Come si pu`o notare dai grafici, inoltre, ilPsimulatorha lo stesso comportamen- to del CellDesigner e questo sottolinea il fatto che il sistema biologico modellato pu`o essere descritto e simulato efficientemente sia mediante l’algoritmo DWT che con il sistema di equazioni differenziali generato dall’ODE-Solver4del

CellDesigner.

4_{SOSLib (SBML ODE Solver Library). E’ sia una la libreria C che un’applicazione a linea}

di comando per l’analisi simbolica e numerica di un sistema di equazioni differenziali ordinarie derivato da una rete di reazioni chimiche codificate in SBML. Il CellDesigner `e uno dei tanti softwareche utilizzano questa libreria come proprio motore interno di simulazione.

Figura 7.3: Confronto tra i risultati delle simulazioni eseguite col Psimulator

Figura 7.4: Confronto tra i risultati delle simulazioni eseguite col Psimulator

Per capire in che modo i due approcci di analisi si differenziano tra loro `e doveroso ricordare che ilPsimulator, una volta analizzato il modello dal file SBML, genera il P System associato ad esso ed effettua una simulazione mediante l’al- goritmo DWT, descritto nella sezione4.1. Il CellDesigner invece affida all’ODE- Solver l’evoluzione delle simulazioni: dopo aver analizzato il sistema biologico modellato in un file SBML, l’ODE-Solver genera il sistema di equazioni differen- ziali associato e lo risolve qualitativamente mediante il metodo di Runge-Kutta5. Vediamo brevemente come si ottiene tale sistema di ODE:

le tre reazioni, Reaction1: A + B→ C;k1 Reaction2: C→ Dk2 Reaction3: D→ E + Fk3

vengono descritte dal seguente sistema di equazioni differenziali ordinarie:                dA dt = k1· A · B dC dt = k2·C dD dt = k3· D