Esercizio 1
La societ`a AMCO s.p.a. ha rilevato nel mese di maggio 2005 il numero di pezzi difettosi (PD) prodotti da 15 macchine ed i costi di manutenzione (CM)(×1000Euro) per ciascuna di esse (i dati sono presentati nella Tabella 1.4).
1. Costruire le distribuzioni di frequenza delle due variabili (per la variabile CM usare 4 classi di modalit`a di uguale ampiezza).
2. `E vero che il 10% delle macchine ha prodotto non pi`u di 3 pezzi difettosi nel mese di riferi- mento? (utilizzare le frequenze relative cumulate per rispondere al quesito)
3. `E possibile affermare che i costi di manutenzione delle macchine sono stati inferiori a 5000Euro per il 20% dei macchinari in esame? (utilizzare le frequenze relative cumulate per rispondere al quesito)
macchina n. Pezzi Difettosi (P D) Costi di Manutenzione (CM ) 1 12 13,03 2 13 5,07 3 4 7,57 4 3 32,24 5 2 20,38 6 14 16,69 7 1 33 8 7 22,18 9 2 13,2 10 7 5,13 11 2 5,76 12 13 14,4 13 9 1,87 14 9 1 15 10 3,72
Tabella 1.4: Numero di pezzi difettosi (PD) e costi di manutenzione (CM) delle 15 macchine della AMCO s.p.a.
4. Rappresentare graficamente la variabile PD. 5. Rappresentare graficamente la variabile CM. 6. Calcolare la media della serie di dati PD.
7. Calcolare la media della variabile CM utilizzando i dati della corrispondente distribuzione di frequenze.
8. Calcolare la mediana ed i quartili di PD. 9. Rappresentare il box-plot della variabile CM.
10. Calcolare la varianza ed il coefficiente di variazione di CM.
11. Se i costi di manutenzione diminuiscono del 5%, calcolare le media e la varianza della nuova variabile:
CM′= 0.95CM
12. Misurare l’asimmetria di CM avvalendosi di un indice robusto. 13. Misurare la curtosi di CM.
2
Esercizio 2
1. Se i pezzi in uscita dalla filiera sono contrassegnati con D=”difettoso”, PD=”parzialmente difettoso” e ND=”non difettoso” ed i contrassegni sui 20 pezzi sono i seguenti:
D, N D, P D, D, N D, N D, P D, D, P D, N D, N D, N D, P D, N D, P D, N D, N D, D, P D, N D
misurare l’etergeneit`a della mutabile in oggetto dopo aver costruito l’opportuna distribuzione di frequenza.
2. misurare la concentrazione di P D avvalendosi della corrispondente distribuzione di frequenza 3. misurare la concentrazione di CM avvalendosi della corrispondente distribuzione di fre-
quenza.
4. se i costi di manutenzione crescono del 5%, la concentrazione della variabile CM rimane immutata?
5. un blocco delle macchine, dovuto all’interruzione dell’erogazione di energia elettrica, comporta un incremento di 5 unit`a di pezzi difettosi per ciascuna delle 15 macchine. Verificare che la concentrazione del fenomeno in esame resta immutata.
2
Esercizio 3
La societ`a A.M.C.O. s.p.a. rileva per le 15 macchine in esame, il numero di operai (N O) impegnati su ciascuna di esse e desidera confrontare quest’informazione con i costi di manutenzione sostenuti mediante la seguente distribuzione doppia:
CM\NO 1 2 3 1| − |9 1 3 0 9 − |17 1 2 2 17 − |25 0 1 0 25 − |33 0 2 3
1. Calcolare la media delle due variabili marginali.
2. Calcolare la varianza della variabile condizionata CM |NO = 2. 3. Le due variabili sono tra loro indipendenti?
4. Misurare la forza del legame associativo tra CM ed NO. 5. Calcolare la covarianza tra CM ed NO.
6. Se CM decresce del 5% la covarianza calcolata al precedente quesito rimane inalterata? 7. Misurare la forza del legame lineare tra le due variabili CM ed NO e commentare il risultato.
Esercizio 4
La societ`a A.M.C.O. s.p.a. dal 1998 al 2003 ha acquistato, per lo svolgimento delle proprie attivit`a produttive, quattro beni (Alfa, Beta, Gamma e Delta) dei quali ha registrato ogni anno le quantit`a ed il prezzo unitario (in Euro).
Bene Alfa Bene Beta Bene Gamma Bene Delta
prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a
1998 11.4 3 7 6 12.03 1 11.99 1 1999 10.5 14 9.5 11 12.18 2 13.65 1 2000 12.96 5 14.47 9 14.6 5 15.42 4 2001 11.5 3 14.09 4 11.31 6 16.73 3 2002 14.71 11 14.53 14 12.58 9 15.08 3 2003 13.6 1 13.8 11 10.24 9 16.03 9
1. Costruire per i prezzi del Bene Alfa la serie dei numeri indici a base fissa 1999. 2. Utilizzando la serie del quesito precedente, cambiare la base fissa da 1999 a 2002. 3. Costruire la serie dei numeri indici a base mobile dei prezzi del Bene Beta.
4. Utilizzando quest’ultima costruire la corrispondente serie dei numeri indici a base fissa 1998. 5. Costruire la serie dei numeri indici di Paasches per i 4 beni in esame con base 2000. 6. Costruire la serie dei numeri indici di Laspeyres per i 4 beni in esame con base 2000.
Calcolo delle Probabilit`a
2.1
Calcolo delle probabilit`a
Esercizio 1
Dati gli eventi A, B ⊂ Ω `e noto che: che P (A) = 1
4, P (B) = 1
3 e P (A ∩ B) = 1 6.
1. Calcolare le seguenti probabilit`a: (a) P ( ¯A)
(b) P (A ∪ B) (c) P (A∩ B)
(d) P ( ¯A ∩ ¯B)
2. Se si considera un altro evento C, facente parte dello stesso spazio campione di A e B ed incompatibile con A, calcolare P (A ∩ C)
3. Sapendo che P (C) = 1
8, calcolare P (A ∪ C).
2
Soluzione
Le probabilit`a richieste sono le seguenti:
1. Il calcolo delle probabilit`a proposte richiede l’impiego di alcuni teoremi che sono di volta in volta richiamati.
(a) P ( ¯A) = 1 − P (A) = 1 − 1 4 =
3 4 = 0.75
(b) Per il calcolo di P (A∪B) si utilizza uno dei teoremi del calcolo delle probabilit`a, secondo il quale:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) da cui segue che:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) = 1 4 + 1 3− 1 6 = 5 12 = 0.417
(c) Impiegando nuovamente il teorema utilizzato nel quesito (a): P (A∩ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 −1
6 = 5
6 = 0.833 (d) Dall’uso delle regole del de Morgan:
P ( ¯A ∩ ¯B) = P (A ∪ B) = 1 − P (A ∪ B) = 1 − 0.417 = 0.583 2. L’incompatibilit`a tra gli eventi A e C implica che:
P (A ∩ C) = P (φ) = 0
3. Ricordando che A ∩ C = φ, `e possibile quindi impiegare il quarto postulato del calcolo delle probabilit`a: P (A ∪ C) = P (A) + P (C) = 1 4 + 1 8 = 3 8 = 0.375
Esercizio 2
Dati due eventi A, B ⊂ Ω, `e noto che: P (A) = 0.12, P (B) = 0.89 e P (A ∩ B) = 0.07. Calcolare le seguenti probabilit`a: 1. P (A ∪ B) 2. P (A ∪ ¯B) 3. P ( ¯A ∪ B) 4. P ( ¯A ∪ ¯B) 2
Soluzione
Le probabilit`a proposte sono cos`ı calcolate:
1. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) = 0.12 + 0.89 − 0.07 = 0.94
2. P (A ∪ ¯B) = P (A) + P ( ¯B) − P (A ∩ ¯B) (da uno dei teoremi del calcolo delle probabilit`a) Inoltre, eventualmente aiutandosi con i diagrammi di Venn, `e agevole osservare che:
P (A ∩ ¯B) = P (A) − P (A ∩ B) e quindi:
P (A ∪ ¯B) = P (A) + P ( ¯B) − P (A) + P (A ∩ B) = 1 − P (B) + P (A ∩ B) = 1 − 0.89 + 0.07 = 0.18 3. La soluzione del presente quesito segue gli stessi passi logici del precedente.
P ( ¯A ∪ B) = P ( ¯A) + P (B) − P ( ¯A ∩ B)
dove anche in questo caso `e facile dimostrare che P ( ¯A ∩ B) = P (B) − P (A ∩ B) e quindi: P ( ¯A ∪ B) = P ( ¯A) + P (B) − P (B) + P (A ∩ B) = 1 − P (A) + P (A ∩ B) = 1 − 0.12 + 0.07 = 0.95
4. Il calcolo di questa probabilit`a richiede l’uso delle regole del de Morgan, infatti: P ( ¯A ∪ ¯B) = P (A ∩ B) = 1 − P (A ∩ B) = 1 − 0.07 = 0.93
Esercizio 3
Dati due eventi A e B, con A, B ⊂ Ω, `e noto che P (A) = 0.5 e P (A ∪ B) = 0.6. Calcolare P (B) sotto le seguenti ipotesi:
1. A e B sono indipendenti. 2. A e B sono incompatibili. 3. P (A|B) = 0.4.
2
Soluzione
1. L’indipendenza tra i due eventi A e B implica che: P (A ∩ B) = P (A)P (B) Ricordando uno dei teoremi del calcolo delle probabilit`a:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) quindi:
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) Sostituendo quest’ultima relazione nella condizione di indipendenza:
P (A)P (B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) ovvero 0.5P (B) = 0.5 + P (B) − 0.6 e quindi P (B) = 0.1
0.5 = 0.2
2. L’incompatibilit`a tra A e B consente di utilizzare il quarto postulato del calcolo delle proba- bilit`a:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) e quindi P (B) = 0.6 − 0.5 = 0.1
3. Dal quinto postulato del calcolo delle probabilit`a: P (A|B) = P (A ∩ B)
P (B)
ed utilizzando alcune considerazioni fatte nel quesito 1., il numeratore pu`o essere riscritto con:
Dai risultati forniti segue che: 0.4P (B) = 0.5 + P (B) − 0.6 e quindi 0.1 = 0.6P (B) ovvero P (B) = 0.1 0.6 = 0.17
Esercizio 4
Un’urna contiene 15 palline, di cui 5 bianche (B), 7 rosse (R) e 3 nere (N). Calcolare: 1. la probabilit`a di estrarre una pallina bianca
2. la probabilit`a di estrarre una pallina bianca o rossa 3. la probabilit`a di non estrarre una pallina bianca
4. la probabilit`a che estraendo con reimmissione due palline, una sia bianca ed una sia nera 5. la probabilit`a che estraendo con reimmissione due palline siano entrambe nere
6. la probabilit`a che estraendo in blocco (senza reimmissione) due palline, siano entrambe bianche 7. la probabilit`a che estraendo in blocco (senza reimmissione) due palline almeno una sia bianca.
2
Soluzione
Le probabilit`a richieste sono: 1. P (B) = 5
15 = 0.333
2. La prova consiste nell’estrazione di una sola pallina, quindi gli eventi ”estrazione pallina B” e ”estrazione pallina R” sono incompatibili, pertanto P (B ∪ R) = P (R) + P (B) = 5
15+ 7 15 = 12 15= 0.8 3. P ( ¯B) = 1 − P (B) = 1 − 0.333 = 0.777
4. I possibili esiti dell’estrazione sono (B ∩ N) ∪ (N ∩ B) che a loro volta sono due eventi incompatibili in quanto o si verifica (B ∩ N) o si verifica (N ∩ B) dall’estrazione.
Passando quindi alle probabilit`a:
P [(B ∩ N) ∪ (N ∩ B)] = P (B ∩ N) + P (N ∩ B)
L’estrazione con reimmissione assicura inoltre l’indipendenza tra i due eventi elementari ”e- strazione B” ed ”estrazione N”, quindi:
P (B ∩ N) + P (N ∩ B) = P (B) · P (N) + P (N) · P (B) = 155 ·153 + 3 15· 5 15 = 2 · 15 225= 0.133 5. P (N ∩ N) = P (N) · P (N) = 3 · 3 = 9 = 0.04
6. Per il calcolo di questa probabilit`a il mancato reimbussolamento della pallina estratta con- diziona la probabilit`a associata alla successiva estrazione, quindi:
P (B ∩ B) = P (B) · P (B|B) =155 144 = 0.095
7. la parola almeno nel quesito implica che nell’estrazione fatta ci sia una o pi`u di una pallina bianca, quindi pu`o accadere (B ∩ ¯B) ∪ ( ¯B ∩ B) ∪ (B ∩ B).
Passando alle probabilit`a queste risulteranno condizionate in quanto anche in questo caso la pallina estratta non `e pi`u immessa nell’urna, quindi:
P [(B ∩ ¯B) ∪ ( ¯B ∩ B) ∪ (B ∩ B)] = P (B) · P ( ¯B|B) + P ( ¯B) · P (B| ¯B) + +P (B) · P (B|B) = 155 ·1014+10 15· 5 14+ 5 15· 4 14 = 4 7 = 0.571
Esercizio 5
Si lanciano due dadi regolari. Calcolare le seguenti probabilit`a: 1. P(somma dei puntini `e 4)
2. P(somma dei puntini `e ≤ 2) 3. P(somma dei puntini `e < 0)
4. P(che solo uno dei due dadi presenta sei puntini) 5. P(che entrambi i dadi presentano sei puntini)
6. `E pi`u probabile ottenere un sei dal lancio di un dado regolare o dal lancio di due dadi regolari?
2
Soluzione
Per la soluzione di questo esercizio si indicher`a con Di, con i = 1, 2, . . . , 6, l’esito del lancio del
dado, ovvero, ad esempio D1=”lancio il dado ed esce uno”, D4=”lancio il dado ed esce quattro”
ecc.
Le probabilit`a richieste sono le seguenti:
1. La somma quattro si ottiene con {1, 3}, {2, 2} e {3, 1}, quindi:
P (somma 4) = P [(D1∩D3)∪(D2∩D2)∪(D3∩D1)] = P (D1∩D3)+P (D2∩D2)+P (D3∩D1)
le prove associate al lancio del primo e del secondo dado sono inoltre indipendenti quindi: P (D1∩ D3) + P (D2∩ D2) + P (D3∩ D1) = P (D1) · P (D3) + P (D2) · P (D2) + +P (D3) · P (D1) = 1 6 2 + 1 6 2 + 1 6 2 = 1 12 = 0.083
2. `E evidente che in questo caso che la somma non pu`o essere minore di 2, quindi si terr`a conto solo del simbolo di uguaglianza per il calcolo della probabilit`a:
P (somma ≤ 2) = P (D1∩ D1) = P (D1) · P (D1) = 1 6 2 = 1 36 = 0.028 3. P (somma < 0) = P (φ) = 0 4. la probabilit`a `e: P [(D6∩ ¯D6) ∪ ( ¯D6∩ D6)] = P (D6∩ ¯D6) + P ( ¯D6∩ D6) = P (D6) · P ( ¯D6) + P ( ¯D6) · P (D6) = =1 6 · 5 6 + 5 6 · 1 6 = 2 · 5 36 = 5 18 = 0.278 5. P (D6∩ D6) = P (D6) · P (D6) = 16 2 = 361 = 0.0278
6. `E noto che la probabilit`a di avere un sei dal lancio di un dado regolare `e 1
6 = 0.167. La
probabilit`a di avere un sei dal lancio di due dadi regolari, tenuto conto dei risultati precedenti, risulta invece 0.278.
Quindi si pu`o concludere che `e pi`u probabile avere un sei dal lancio di due dadi regolari che dal lancio di un solo dado (come era lecito attendersi).
Esercizio 6
Si considerino 2 urne contenenti palline bianche (B) e rosse (R): URNA 1: 10 B 8 R (totale 18)
URNA 2: 7 B 13 R (totale 20) Calcolare:
1. la probabilit`a che estraendo a caso una pallina da una delle urne sia bianca. 2. la probabilit`a che estraendo a caso una pallina da una delle urne sia rossa.
3. la probabilit`a che estraendo a caso una pallina da una delle urne non sia n´e rossa n´e bianca.
2
Soluzione
In questo caso il calcolo delle probabilit`a `e condizionata dall’urna dalla quale l’estrazione `e ef- fettuata. Se si indicano con U1 ed U2 rispettivamente l’Urna 1 e l’Urna 2 dalle quali `e fatta
l’estrazione, le probabilit`a richieste sono:
1. P (B) = P [(U1∩B)∪(U2∩B)] = P (U1∩B)+P (U2∩B) = P (U1)·P (B|U1)+ P (U2)·P (B|U2)
Trovandoci in presenza di due sole urne P (U1) = P (U2) = 12 e quindi le probabilit`a richieste
sono: P (U1) · P (B|U1) + P (U2) · P (B|U2) = 1 2· 10 18+ 1 2 · 7 20 = 163 360= 0.453
2. P (R) = P [(U1∩R)∪(U2∩R)] = P (U1∩R)+P (U2∩R) = P (U1) ·P (R|U1) + P (U2) ·P (R|U2)
Seguendo gli stessi passi precedenti:
P (U1) · P (R|U1) + P (U2) · P (R|U2) =1 2 · 8 18+ 1 2· 13 20 = 197 360= 0.547
3. P ( ¯R ∩ ¯B) = P {[U1∩ ( ¯R ∩ ¯B)] ∪ [U2∩ ( ¯R ∩ ¯B)]} = P (U1)P ( ¯R ∩ ¯B|U1) + P (U2)P ( ¯R ∩ ¯B|U2)
`
E immediato osservare che P ( ¯R∩ ¯B|Ui) = 0 (per i = 1, 2) in quanto gli eventi sono impossibili
disponendo nelle urne solo di palline rosse e bianche. Quindi P ( ¯R ∩ ¯B) = 0
Esercizio 7
Un punto di ristoro sta facendo un’indagine sulle abitudini al fumo dei suoi clienti al fine di valutare la necessit`a di creare una sala fumatori. A tale scopo intervista 200 clienti e rileva per ciascun intervistato il genere e l’abitudine al fumo:
• genere: M, F
• abitudine al fumo: fumatore (FUM), non fumatore (NFUM)
Rileva che dei 200 intervistati, 50 sono uomini fumatori, 30 sono donne non fumatrici ed in totale ha intervistato 80 individui di genere maschile. Calcolare la probabilit`a che estraendo a caso un individuo intervistato:
1. sia fumatore: P (F U M ) 2. sia una donna: P (F )
3. sia un uomo fumatore: P (M ∩ F UM) 4. sia un uomo o un fumatore: P (M ∪ F UM)
2
Soluzione
Per una pi`u agevole soluzione dell’esercizio `e utile costruire una tabella a doppia entrata che contenga le informazioni fornite dalla traccia e che sia opportunamente completata (numeri in rosso):
FUM NFUM M 50 30 80
F 90 30 120
140 60 200
Utilizzando i dati in tabella le probabilit`a richieste sono: 1. P (F U M ) =140200 = 0.7
2. P (F ) =120 200 = 0.6
3. P (M ∩ F UM) =20050 = 0.25
4. P (M ∪ F UM) = P (M) + P (F UM) − P (M ∩ F UM) = 20080 + 140 200− 50 200 = 17 20 = 0.85
Esercizio 8
Il Signor Bianchi partecipa ad una trasmissione televisiva durante la quale il conduttore gli mette a disposizione 7 pacchi (numerati da 1 a 7) ciascuno dei quali presenta i seguenti contenuti:
n. pacco 1 2 3 4 5 6 7
premio giocattolo 1000 4000 volatile 6000 500 10000
dove il contenuto in denaro dei pacchi 2, 3, 5, 6 e 7 `e espresso in Euro.
Il Sig. Bianchi, che `e a conoscenza dei premi in palio ma non della loro collocazione nei pacchi, deve scegliere in blocco 2 pacchi il cui contenuto rappresenta la sua vincita.
Calcolare le seguenti probabilit`a:
1. la probabilit`a che il Sig. Bianchi vinca il volatile 2. la probabilit`a che il Sig. Bianchi non vinca del denaro 3. la probabilit`a che il Sig. Bianchi vinca almeno 11 mila Euro 4. la probabilit`a che il Sig. Bianchi vinca meno di 11 mila Euro.
2
Soluzione
Le probabilit`a richieste sono le seguenti:
1. Indicato con ”V” l’evento ”il Sig. Bianchi sceglie il pacco con il volatile”, la probabilit`a `e cos`ı calcolata: P [(V ∩ ¯V ) ∪ ( ¯V ∩ V )] =P (V ∩ ¯V ) + P ( ¯V ∩ V ) = =P (V )P ( ¯V |V ) + P ( ¯V )P (V | ¯V ) = 1 7· 6 6 + 6 7· 1 6 = 2 7 = 0.286 2. Il quesito richiede il calcolo della probabilit`a che il Sig. Bianchi vinca il volatile ed il giocat-
tolo. Indicati con ”V” e ”G” rispettivamente gli eventi ”il Sig. Bianchi sceglie il pacco con il volatile”, ”il Sig. Bianchi sceglie il pacco con il giocattolo”, la probabilit`a `e:
P [(V ∩ G) ∪ (G ∩ V )] =P (V ∩ G) + P (G ∩ V ) = =P (V )P (G|V ) + P (G)P (V |G) =17 ·16 +1 7 · 1 6 = 1 21 = 0.048
3. Le combinazioni di pacchi che permettono al Sig. Bianchi di vincere almeno 11000 Euro sono fornite dalle seguenti coppie:
{P2, P7}; {P3, P7}; {P5, P7}; {P7, P2}; {P7, P3}; {P7, P5}
Quindi la probabilit`a richiesta `e:
P (vincita ≥ 11000) = P [(P2∩ P7) ∪ (P3∩ P7) ∪ (P5∩ P7) ∪ (P7∩ P2) ∪ (P7∩ P3) ∪ ∪(P7∩ P5)] = P (P2∩ P7) + P (P3∩ P7) + P (P5∩ P7) + +P (P7∩ P2) + P (P7∩ P3) + P (P7∩ P5) = = P (P2) · P (P7|P2) + P (P3) · P (P7|P3) + . . . + P (P7) · P (P5|P7) = = 6 · 17 ·16 = 0.143
4. Questa probabilit`a `e calcolata ricordando che:
P (vincita < 11000) = 1 − P (vincita ≥ 11000) quindi
P (vincita < 11000) = 1 − 0.143 = 0.857