Esercizio 18
Il proprietario di un hotel chiede al suo consulente contabile alcune informazioni sulle spese sostenute per l’acquisto di quattro beni negli ultimi 5 anni. A tale scopo gli fornisce alcuni dati relativi al costo medio unitario (in Euro) ed al numero di unit`a di beni acquistati nei 5 anni di riferimento:
Televisori Condizionatori Frigo Bar Impianti Stereo
Anni prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a ( ×100) ( ×100) ( ×100) ( ×100) 1999 2.5 2 4 3 2.8 10 2.6 11 2000 2.7 7 4.8 6 3.1 2 2.9 5 2001 2.8 6 5.2 1 3.3 4 3.6 4 2002 3.1 15 4.9 4 3.5 1 2.8 3 2003 2.9 9 4.2 7 3.4 3 2.5 6
Il proprietario dell’hotel, allo scopo di avere dati di sintesi, chiede: 1. La serie dei numeri indici a base fissa 2001 dei prezzi dei Televisori 2. La serie dei numeri indici a base mobile dei prezzi dei Televisori
3. Le serie dei numeri indici di Laspeyres e di Paasches con anno base 2000.
2
Soluzione
1. La costruzione della serie dei numeri indici a base fissa 2001 dei prezzi dei Televisori `e effettuata utilizzando i seguenti rapporti:
01It=
pt
p01 t = 1999, . . . , 2003
Anno 1999 2000 2001 2002 2003
01It 0.893 0.964 1.00 1.107 1.036
2. La serie dei numeri indici a base mobile `e invece costruita con:
t−1It= pt
pt−1 t = 1999, . . . , 2003
e quindi:
Anno 1999 2000 2001 2002 2003
t−1It - 1.080 1.037 1.107 0.935
3. I numeri indici di Laspeyres e Paasches con anno base 2000 sono calcolati utlizzando le seguenti formule: 00ItL= k P i=1 pt,iq00,i k P i=1 p00,iq00,i 00ItP = k P i=1 pt,iqt,i k P i=1 p00,iqt,i t = 1999, . . . , 2003
pertanto le corrispondenti serie sono calcolate utilizzando i dati nella seguente tabella dove sono prima calcolati i singoli termini della sommatoria e successivamente `e calcolato l’indice.
Numeri indici di Laspeyres
Televisori Condizionatori Frigo Bar Impianti Stereo Indice di Laspeyres
Anni pt× q0 pt× q0 pt× q0 pt× q0 k P i=1 ptiq00,i 00ItL 1999 17.5 24 5.6 13 60.1 0.879 2000 18.9 28.8 6.2 14.5 68.4 1.000 2001 19.6 31.2 6.6 18 75.4 1.102 2002 21.7 29.4 7 14 72.1 1.054 2003 20.3 25.2 6.8 12.5 64.8 0.947
In maniera simile `e costruita la serie dei numeri indici di Paasches che, a differenza del’indice di Laspeyres, richiede maggiori calcoli come evidenziato dalle seguenti tabelle.
Numeratori dei numeri indici di Paasches
Televisori Condizionatori Frigo Bar Impianti Stereo
Anni pt× qt pt× qt pt× qt pt× qt k P i=1 ptiqt,i 1999 5 12 28 28.6 73.6 2000 18.9 28.8 6.2 14.5 68.4 2001 16.8 5.2 13.2 14.4 49.6 2002 46.5 19.6 3.5 8.4 78 2003 26.1 29.4 10.2 15 80.7
Denominatori dei numeri indici di Paasches
Televisori Condizionatori Frigo Bar Impianti Stereo
Anni p0× qt p0× qt p0× qt p0× qt k P i=1 p0iqt,i 1999 5.4 14.4 31 31.9 82.7 2000 18.9 8.8 6.2 14.5 68.4 2001 16.2 4.8 12.4 11.6 45 2002 40.5 19.2 3.1 8.7 71.5 2003 24.3 33.6 9.3 17.4 84.6
e quindi la serie dei numeri indici di Paasches `e:
Anno 1999 2000 2001 2002 2003
00ItP 0.890 1.000 1.102 1.091 0.954
Esercizio 19
Un gruppo di consumatori ha rilevato mensilmente i prezzi (in Euro) e le quantit`a di 4 beni di prima necessit`a da loro acquistati in un semestre:
Bene A Bene B Bene C Bene D
Mesi prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a prezzo quantit`a Gennaio 1.6 10 3.7 15 0.7 21 7.8 12 Febbraio 1.9 14 3.9 12 1.1 26 8.2 15 Marzo 2.3 11 4.5 18 1.3 23 8.4 9 Aprile 2.1 16 4.2 11 1.6 28 8.5 13 Maggio 2.2 9 4.4 16 1.9 24 8.1 12 Giugno 2.4 8 4.8 10 2.1 31 8.8 9
1. Calcolare la serie dei numeri indici, a base fissa Marzo, dei prezzi del bene B.
2. Utilizzando quest’ultima serie, effettuare uno slittamento di base riportando i numeri indici alla base Gennaio
3. Dai risultati del precedente quesito, `e vero che il prezzo del Bene B ha subito un decremento nel mese di Giugno rispetto a Gennaio? Commentare la risposta.
4. Calcolare la serie dei numeri indici a base mobile dei prezzi del bene C.
5. Osservando quest’ultima serie di numeri indici, i prezzi del bene C hanno subito decrementi nel breve periodo?
6. Utilizzando la serie dei numeri indici a base mobile, costruire la serie dei numeri indici a base fissa Febbraio.
2
Soluzione
1. La serie dei numeri indici a base fissa Marzo dei prezzi del bene A `e generata come segue:
MarzoIt=
pt
pMarzo
t = Gennaio, . . . , Giugno quindi la serie completa `e pari a:
Mese Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno
MarzoIt 0.822 0.867 1.000 0.933 0.978 1.067
2. Per effettuare lo slittamento di base richiesto per la serie MarzoIt, si utilizza la seguente
formula:
GennaioIt= Marzo
It MarzoIGennaio
t = Gennaio, . . . , Giugno
dove il denominatore rimane costante ed `e pari a MarzoIGennaio = 0.822 mentre la serie
completa dei numeri indici generata da tale cambiamento di base `e:
Mese Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno
MarzoIt 1.000 1.054 1.216 1.135 1.189 1.297
3. L’affermazione `e falsa in quantoGennaioIGiugno = 1.297, ovvero il bene in esame presenta
un numero indice maggiore di uno e quindi nel mese di giugno il prezzo del bene B risulta maggiore del prezzo osservato nel mese di Gennaio. In particolare tale incremento `e stato del 29.7%.
4. La serie dei numeri indici a base mobile per il bene C `e generata, come visto in precedenza, con: t−1It= pt pt−1 t = Gennaio, . . . , Giugno da cui si ottiene:
Mese Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno
t−1It - 1.571 1.182 1.231 1.188 1.105
5. Dalla serie dei numeri indici a base mobile si osserva che in tutti i mesi oggetto di rilevazione vi `e stato un incremento dei prezzi rispetto al mese immediatamente precedente. Tale incre- mento `e piuttosto marcato tra i mesi di Gennaio e Febbraio (in cui i prezzi si sono accresciuti del 57, 1%) e meno elevato tra il mese di Maggio e Giugno in cui l’incremento `e del 10, 5%. 6. Per generare la serie dei numeri indici a base fissa del bene C partendo da quelli a base
mobile, si utilizza la seguente relazione:
1It=1I2·2I3· ... ·t−2It−1·t−1It
Nel caso in esame `e richiesto di costruire una serie dei numeri indici la cui base fissa non coincide con il primo mese di rilevazione, come prevede invece la formula presentata, quindi si rende necessario prima costruire la serie dei numeri indici a base fissa Gennaio e successiva- mente, mediante un cambio di base, generare la serie dei numeri indici a base fissa Febbraio. Quindi si ottiene che le due serie da generare sono le seguenti:
Mese Gennaio Febbraio Marzo Aprile Maggio Giugno
GennaioIt 1.000 1.571 1.857 2.286 2.714 3.000 F ebbraioIt 0.636 1.000 1.182 1.455 1.727 1.909
dove i numeri indici a base fissa Gennaio sono calcolati con:
GennaioIF ebbraio=GennaioIF ebbraio= 1.571
GennaioIMarzo=GennaioIF ebbraio·F ebbraioIMarzo= 1.571 · 1.182 = 1.857
GennaioIAprile=GennaioIF ebbraio·F ebbraioIMarzo·MarzoIAprile= 1.571 · 1.182 · 1.231 = 2.286
e cos `ı via.
mentre il successivo slittamento di base necessario per generare la serie dei numeri indici con base Febbraio `e ottenuto dividendo GennaioIt con il valore di GennaioIF ebbraio = 1.571 (per
t= Gennaio,...,Giugno).
Esercizio 20
Utilizzando i dati dell’esercizio precedente:
1. Costruire la serie dei numeri indici composti di Laspeyres con base Aprile per i 4 beni in esame.
2. Osservando i risultati del precedente quesito, il paniere dei quattro beni esaminati dai con- sumatori ha subito incrementi nei prezzi tra il mese di Aprile ed il mese di Maggio? 3. Costruire la serie dei numeri indici composti di Paasches con base Aprile per i 4 beni in
esame.
Soluzione
1. Come nell’esercizio 18, la costruzione della serie dei numeri indice di Laspeyres pu`o essere semplificata utilizzando la seguente tabella:
Numeri indici di Laspeyres
Bene A Bene B Bene C Bene D Indice di Laspeyres
Mesi pt× qAprile pt× qAprile pt× qAprile pt× qAprile k
P
i=1
pt,iqAprile,i AprileItL
Gennaio 25.6 40.7 19.6 101.4 187.3 0.797 Febbraio 30.4 42.9 30.8 106.6 210.7 0.896 Marzo 36.8 49.5 36.4 109.2 231.9 0.986 Aprile 33.6 46.2 44.8 110.5 235.1 1.000 Maggio 35.2 48.4 53.2 105.3 242.1 1.030 Giugno 38.4 52.8 58.8 114.4 264.4 1.125
in cui nell’ultima colonna `e presente la serie richiesta.
2. La serie dei numeri indici di Laspeyres evidenzia che il paniere dei beni esaminati ha subito un incremento del 3% tra il mese di Aprile ed il mese di Maggio e quindi l’effermazione `e vera.
3. Anche la soluzione del presente quesito segue gli stessi passi dell’esercizio 18. In particolare `e calcolato il numeratore ed il denominatore dell’indice di Laspeyres e quindi si passa alla costruzione degli opportuni rapporti.
Nella seguente tabella sono riportati in maniera pi`u sintetica rispetto all’esercizio precedente i risultati:
Numeri indici di Paasches
Mesi Pk i=1 pt,iqt,i k P i=1
p0,iqt,i Indice di Paasches
Gennaio 179.8 219.6 0.819 Febbraio 225 248.9 0.904 Marzo 211.8 212 0.999 Aprile 235.1 235.1 1.000 Maggio 233 226.5 1.029 Giugno 211.5 184.9 1.144