Esercizio 5
Dalla popolazione X ∼ N(µ, σ2) `e estratto un campione casuale di 15 unit`a che assumono i seguenti
valori:
{6.33; 0.39; 2.09; 5.81; 5.86; 4.87; 4.00; 8.18; 5.72; 8.05; 1.77; 6.27; 9.71; 0.95; 4.56}
Sottoporre a test, con livello di significativit`a pari a 0.05, che la media di X sia pari a 3.
2
Soluzione
Il test in oggetto `e relativo ad una media con varianza incognita avente sistema di ipotesi:
H0: µ = 3
H1: µ 6= 3
mentre la statistica test `e:
tc= √ n·(¯x − µ0) s H0 ∼ t(n−1)
con regione critica |tc| > t(n−1;1−α/2).
Dai dati campionari emerge che: tc=
√
15 · (4.97 − 3) √
7.48 = 2.79
mentre i valori tabulati sono t(14;1−0.025) = 2.145 e t(14;0.025) = −2.145. Quindi ad un livello di
significativit`a del 5% rifiuto H0 .
Esercizio 6
Il partito politico Alfa decide di proporre la candidatura del Sig. Bianchi. `E noto che per essere eletti bisogna avere almeno il 25% dei voti del distretto elettorale.
individui di cui 37 risultano favorevoli al potenziale candidato. Sottoporre a test, con α = 0.05, che il signor Bianchi riceva una percentuale di voti pari al 25% o superiore al 25%, ovvero:
(
H0: p = 0.25
H1: p > 0.25
2
Soluzione
Il test in esame `e quello su una proporzione la cui statistica test `e: Zc= ˆ p − p0 q p0(1−p0) n H0 ∼ N(0, 1)
Dalle informazioni campionarie ˆp = 3780 = 0.4625. Quindi la statistica calcolata diventa: zc= 0.4625 − 0.25q
0.25(1−0.25) 80
= 4.389
Poich`e il test `e unidirezionale ed il valore critico z(1−α)= 1.64, rifiuto H0 ad un livello di significa-
tivit`a α = 0.05.
Esercizio 7
Utilizzando i valori del campione estratto nell’esercizio 5, sottoporre a test (con α = 0.05) il seguente sistema di ipotesi:
H0: σ2= 8
H1: σ26= 8
2
Soluzione
Avvalendosi dei risultati delle stime dell’Esercizio 5 e ricordando che la statistica del test in esame `e: χ2c =(n − 1) · s 2 σ2 0 H0 ∼ χ2 (n−1) segue che: χ2c =(15 − 1) · 7.488 = 13.09
mentre i valori che delimitano la regione di accettazione sono χ2
(14;1−0.025)= 26.119 e χ2(14;0.025)=
5.629, quindi ad un livello di significativit`a del 5% accetto H0.
Esercizio 8
La societ`a Alpha desidera monitorare il fatturato settimanale delle sue aziende situate in Lombardia ed in Sicilia. A tale scopo estrae un campione di 6 aziende lombarde e 4 siciliane che hanno i seguenti fatturati settimanali (espressi in migliaia di Euro):
Lombardia {20.4; 24.8; 30.2; 16.8; 15.3; 13.8}
Sicilia {19.5; 33.6; 21.9; 25.7}
Sottoporre a test (con α = 0.05) che il fatturato medio delle aziende in Lombardia `e uguale a quello delle aziende in Sicilia.
2
Soluzione
Il test in oggetto `e relativo al confronto tra medie sotto l’ipotesi che le popolazioni di riferimento siano indipendenti (non emerge dalla traccia alcuna indicazione che lasci pensare ad un legame di dipendenza tra le popolazioni da cui sono estratti i campioni). Quindi il sistema di ipotesi `e il seguente:
H0: µ1= µ2
H1: µ16= µ2
mentre la statistica test di riferimento `e: tc = ¯ X1− ¯X2 p(m − 1) · s2 1+ (n − 1) · s22 ·r m · n(m + n − 2)m + n H0 ∼ t(m+n−2)
con regione critica |tc| > t(n+m−2;1−α/2).
Dai dati campionari segue che:
tc=√20.22 − 25.17
197.75 + 114.18·
r 6 · 4(6 + 4 − 2)
6 + 4 = −1.231
Osservando che t(8;1−0.025) = 2.306 e t(8;0.025) = −2.306 segue che ad un livello di significativit`a
del 5% accetto H0.
Esercizio 9
`E stata effettuata un’indagine statistica presso un punto vendita volta a valutare la disponibilit`a dei consumatori ad acquistare prodotti a marchio commerciale. A tale scopo `e stato intervistato un campione di n = 40 unit`a e 18 persone si sono mostrate disponibili all’acquisto di tali prodotti. Si sottoponga a test, con α = 0.05, che il 60% della popolazione sia disponibile all’acquisto dei prodotti a marchio commerciale contro l’alternativa che tale percentuale sia inferiore.
2
Soluzione
Il test in esame `e quello su una proporzione avente sistema di ipotesi:
H0: p = p0
con statistica test: Zc= √ n · (ˆp − p0) pp0· (1 − p0) H0 ∼ N(0; 1) e regione critica Zc < z(α).
Dai dati rilevati sul campione intervistato ˆp = 18
40 = 0.45 e quindi: Zc= √ 40(0.45 − 0.60) √ 0.60 · 0.40 = −1.936
Osservando dalle tavole che z(0.05)= −1.64, rifiuto H0 ad un livello di significativit`a del 5%.
Esercizio 10
L’indagine precedente `e stata ripetuta presso un altro punto vendita e su 56 intervistati, 21 erano disponibili ad acquistare prodotti a marchio commerciale. Si sottoponga a test che la proporzione di clienti disponibili all’acquisto di prodotti a marchio commerciale `e uguale nei due punti vendita.
2
Soluzione
Il test richiesto `e di confronto tra proporzioni con sistema di ipotesi:
H0: p1= p2
H1: p16= p2
e con statistica test: Zc= ˆ p1− ˆp2 p ˆp(1 − ˆp)[1/n + 1/m] H0 ∼ N(0; 1) dove p =ˆ n · ˆp1+ m · ˆp2 n + m Dai dati campionari emerge che ˆp = 0.406 e:
Zc= 0.45 − 0.375
p0.406(1 − 0.406)[1/40 + 1/56] = 0.738
Ricordando che la regione critica del test `e |Zc| > z(1−α/2), i valori che la delimitano sono z(0.025)=
−1.96 e z(1−0.025)= 1.96 . Quindi H0 `e accettata ad un livello di significativit`a del 5%.
Esercizio 11
Un’azienda commerciale ha effettuato un’indagine campionaria mediante la quale ha chiesto a 18 clienti l’ammontare di spesa settimanale effettuata presso il proprio punto vendita, rilevando i seguenti dati:
{2.91; 6.54; 19.74; 16.05; 2.55; 17.24; 6.99; 2.55; 18.26; 6.59; 17.52; 17.11; 4.39; 1.24; 1.33; 13.17; 10.12; 4.06}
A seguito della ristrutturazione dei locali l’azienda commerciale ha nuovamente intervistato il cam- pione dei 18 clienti chiedendo loro l’ammontare della spesa settimanale sostenuta presso l’esercizio commerciale, ottenendo le seguenti risposte:
{1.46; 12.02; 7.2; 17.24; 10.84; 0.1; 5.23; 15.91; 9.67; 12.11; 3.06; 3.96; 9.09; 16.81; 10.5; 17.57; 10.57; 16.43}
Sottoporre a test, con α = 0.05, che la media della spesa dei clienti dell’azienda commerciale prima e dopo la ristrutturazione sia rimasta invariata.
2
Soluzione
Il test proposto `e di confronto tra medie con dati appaiati avente il seguente sistema di ipotesi:
H0: µ1= µ2
H1: µ16= µ2
e con statistica test:
tc= √n( ¯X 2− ¯X1) ps2 1+ s22− 2s12 H0 ∼ t(n−1)
Dai dati campionari risulta che la statistica calcolata `e: tc=
√
18(9.99 − 9.35)
p45.55 + 31.14 − 2 · (−12.69)= 0.269
mentre i valori che delimitano la regione di accettazione sono t(17;1−0.025) = 2.11 e t(17;0.025) =
−2.11. Quindi ad un livello di significativit`a del 5% accetto H0.
Esercizio 12
Le taglie degli abiti realizzati da un atelier hanno distribuzione N (µ, σ2). L’azienda ritiene che,
affinch`e non vi sia merce invenduta, `e necessario che la variabilit`a delle taglie realizzate sia σ2> 30.
Per valutare se tale condizione `e verificata tra i capi disponibili, si estrae un campione casuale di 15 capi le cui taglie sono:
{55, 49, 55, 38, 41, 53, 43, 38, 47, 38, 47, 39, 52, 42, 56}
Sottoporre a test, con α = 0.05, che:
(
H0: σ2= 30
H1: σ2> 30
2
Soluzione
Il test da utilizzare in questo caso `e quello su una varianza (con media incognita) la cui statistica test `e: χ2c = (n − 1)s2 σ2 0 H0 ∼ χ2 (n−1)
χ2c = 14 · 46.31430 = 21, 613
Il test `e unidirezionale e dalle tavole della variabile casuale χ2si osserva che χ2
(n−1,1−α)= χ2(14,1−0.05)=
23.685 e quindi accetto H0 ad un livello di significativit`a α = 0.05.
Esercizio 13
La distribuzione dei numeri di visite domiciliari per influenze stagionali effettuate presso gli assistiti di 2 medici di famiglia nell’anno 2002 ha rispettivamente le seguenti distribuzioni X1∼ N(µ1, σ2)
e X2∼ N(µ2, σ2).
I due medici vogliono valutare, sulla base di un campione di 15 assistiti, se il numero medio di visite domiciliari da loro effettuate sono uguali.
A tale scopo sono estratti i seguenti campioni:
numero visite domiciliari presso 15 assistiti
medico 1 4 4 5 2 9 5 10 1 8 6 1 5 3 3 6
medico 2 9 8 0 0 2 4 7 4 2 7 2 10 5 1 7
1. Fissato un livello di significativit`a α = 0.05, verificare il seguente sistema di ipotesi:
(
H0: µ1= µ2
H1: µ16= µ2
2. Il medico 2 nell’anno 2003 ha somministrato il vaccino antinfluenzale ai 15 assistiti del campione 2002 ed il numero di visite che ha effettuato presso di loro `e il seguente:
{8, 1, 8, 8, 3, 5, 6, 4, 1, 8, 3, 3, 6, 2, 4}
Verificare, con un opportuno test, se il numero medio di visite del medico 2 nel 2003 `e rimasto invariato o si `e ridotto rispetto al 2002. Ovvero fissato α = 0.05, verificare il seguente sistema di ipotesi:
(
H0: µ2,2002= µ2,2003
H1: µ2,2002> µ2,2003
3. Il medico 2 desidera inoltre valutare, sulla base dei dati campionari osservati negli anni 2002 e 2003, l’eventuale presenza di correlazione tra le visite domiciliari per influenze stagionali effettuate nei due anni di riferimento (con α = 0.05), sottoponendo a test il seguente sistema di ipotesi:
(
H0: ρ = 0
H1: ρ 6= 0
Soluzione
1. Il primo test in esame ha ad oggetto il confronto tra medie di due popolazioni indipendenti. A tale scopo la statistica test `e:
tc= ¯ X1− ¯X2 ˆ sqm1 +n1 H0 ∼ t(m+n−2) dove ˆs2 = (m−1)s2 1+(n−1)s 2 2
m+n−2 e la cui regione critica, nel caso bidirezionale in esame `e |tc| >
t(n+m−2;1−α/2). Dai dati campionari emerge che m = 15, n = 15, ¯x1 = 4.8, ¯x2 = 4.533,
s2 1= 7.314, s22= 10.981, pertanto: tc = 4.8 − 4.533 3.025 ·q1 15+ 1 15 = 0.242
e quindi poich`e t(28,1−0.025) = 2.048 e t(28,0.025)= −2.048, accetto H0.
2. La seconda parte del caso esaminato richiede il confronto di due medie in presenza di dati dipendenti. In particolare si sono osservate le unit`a campionarie prima e dopo la sommini- strazione del vaccino ai clienti del medico 2. Quindi il test da utilizzare `e quello di confronto tra medie con dati appaiati:
tc= √n( ¯ X − ¯Y ) q s2 x+ s2y− 2sxy H0 ∼ t(n−1) dove sxy= n−11 n P i=1 (xi− ¯x)(yi− ¯y) Segue che n = 15, ¯X = 4.533, ¯Y = 4.667, s2 x = 10.981, s2y = 6.524 mentre sxy = 0.047, quindi: tc= √ 15(4.533 − 4.667) √ 10.981 + 6.524 − 2 · 0.047= −0.124
Ricordando che il test `e unidirezionale, la regione critica `e data da: tc > t(n−1,1−α). Poich`e
t(14,1−0.05)= 1.761, accetto H0.
3. Il test sul coefficiente di correlazione si avvale della seguente statistica:
tc= r · √ n − 2 √ 1 − r2 H0 ∼ t(n−2)
dove r `e la stima del coefficiente di correlazione e la regione critica `e |tc| > t(n−2;1−α/2).
Utilizzando i dati campionari emerge che:
tc= 0.006 ·
√ 15 − 2 √
mentre i valori tabulati sono t(13;1−0.025)= 2.16 e t(13;0.025)= −2.16.
Quindi dato α = 0.05, accetto l’ipotesi nulla del test.
Esercizio 14
L’ufficio statistico dell’universit`a Beta ha estratto un campione casuale di 500 laureati dell’anno solare 2004. Avvalendosi dei loro dati disponibili presso la segreteria studenti vuole valutare l’eventuale presenza di legame associativo tra il voto di laurea ed il tempo impiegato (espresso in anni) per il conseguimento del titolo.
A tale scopo si avvale dei dati in tabella:
VL \Anni 3 4| − |5 6| − |7 oltre 7 60| − |80 15 46 19 45 125 80 − |100 13 32 40 34 119 100 − |105 37 58 18 19 132 105 − |110 19 27 34 44 124 84 163 111 142 500
Sottoporre a test, con α = 0.05, l’indipendenza tra le variabili V L ed Anni
2
Soluzione
La verifica dell’indipendenza tra le variabili V L ed Anni `e effettuata utilizzando un test non parametrico avente sistema di ipotesi:
(
H0: X ed Y sono indipendenti
H1: X ed Y non sono indipendenti
la cui statistica `e:
χ2c = k X i=1 h X j=1 (nij− n∗ij)2 n∗ ij H0 ∼ χ2 (k−1)(h−1) con n∗ij ≥ 5
e con regione critica χ2
c > χ2[(k−1)(h−1);1−α]
La statistica test evidenzia la necessit`a di costruire la tabella delle frequenze teoriche n∗ ij: VL \Anni 3 4| − |5 6| − |7 oltre 7 60| − |80 21 40.75 27.75 35.5 125 80 − |100 19.992 38.794 26.418 33.796 119 100 − |105 22.176 43.032 29.304 37.488 132 105 − |110 20.832 40.424 27.528 35.216 124 84 163 111 142 500
in cui si osserva che ciascuna frequenza n∗
ijsoddisfa la condizione teorica richiesta dal test n∗ij ≥ 5.
Si pu`o pertanto passare a determinare la statistica calcolata:
χ2c = 1.714 + 0.676 + 2.759 + 2.542 + 2.445 + 1.19 + 6.983 + 0.001 + 9.909 + 5.206 +
+4.361 + 9.118 + 0.161 + 4.458 + 1.522 + 2.191 = 55.236 Il valore teorico χ2
[(4−1)(4−1);1−0.05]= 16.919 e quindi si conclude che ad un livello di significativit`a
del 5% rifiuto H0.