Proposizione 2.4. Se L/K `e un’estensione non ramificata allora valgono le
seguenti propriet`a: 1. N(Un L) = U n K ∀n ≥ 1; 2. UK/NUL `e isomorfo a K ∗ /NL ∗; 3. K∗/NL∗ `e isomorfo a Z/fZ × K ∗/NL ∗.
Da tale proposizione discende banalmente il seguente corollario:
Corollario 2.5. Le tre condizioni seguenti sono equivalenti:
1. (K∗∶ NL∗) = f; 2. UK= NUL;
3. K ∗= NL ∗.
Osservazione 2.6. Si pu`o dimostrare che la condizione (3) del corollario `e soddisfatta quando K `e un campo finito (che `e il caso a cui ci restringeremo in seguito), dunque valgono automaticamente anche le altre due.
Infatti ,se K `e finito, K = Fq con q = ph per qualche h ≥ 1 e L = Fqf. Ricor-
diamo che il gruppo moltiplicativo di un campo finito `e ciclico, di conseguenza esiste α tale che < α >= F∗qf. Ma
NF
qf/Fq(α) = α
(qf−1)/(q−1)
e< α(qf−1)/(q−1)>= F∗q, quindi la norma in questo caso `e surgettiva.
Analizziamo ora il caso delle estensioni totalmente ramificate; per fare ci`o iniziamo con il considerare il caso particolare di estensioni cicliche e totalmente ramificate di grado primo.
2.3
Estensioni cicliche totalmente ramificate
di grado primo
Sia L/K un’estensione ciclica e totalmente ramificata di grado [L ∶ K] = l; indichiamo con p = charK. Sappiamo che G = Gal(L/K) ≅ Z/lZ e che in questo caso c’`e un unico salto della ramificazione; denotiamo tale salto con
Vale allora che:
{ G= G0 = . . . = Gt
Gt+1= . . . = {e}
Vogliamo caratterizzare tale t. Sia s un generatore del gruppo di Galois G; dalle propriet`a della funzione iG sappiamo che
s∈ Gu ⇐⇒ iG(s) ≥ u + 1.
In particolare, se t `e un salto, G= Gt≠ Gt+1= {e}, quindi ∀s ≠ e si ha
iG(s) ≥ t + 1 e iG(s) < t + 2.
Di conseguenza, se s `e un generatore del gruppo di Galois G, iG(s) = t + 1 e
quindi si ha t= iG(s) − 1.
Osserviamo che, per il corollario 1.35, Gi/Gi+1`e un p-gruppo abeliano ele-
mentare∀i ≥ 1 , dove p `e la caratteristica del campo residuo; di conseguenza, se l≠ p, il salto `e necessariamente t = 0.
D’altra parte, se l= p, dal corollario 1.33 si ha che G0/G1`e un gruppo ciclico
e il suo ordine `e primo con charL, dunque in questo caso necessariamente
G0= G1 e quindi t≠ 0.
Abbiamo quindi il seguente corollario:
Corollario 2.7. Se L/K `e un’estensione ciclica di grado l, con l primo e
charK = p, allora il salto della ramificazione t = 0 ⇐⇒ l ≠ p.
Vogliamo ora vedere qual `e il salto della ramificazione in alto (a partire da quello in basso); per fare ci`o calcoliamo ψ(x). Dalla definizione sappiamo che, se m≤ u ≤ m + 1 con m intero positivo, allora:
ψ(x) = ∫ x 0 [G 0 ∶ Gw] dw = g 0( 1 g1 + . . . + 1 gm + (u − m) 1 gm+1 ) . Di conseguenza si ha: Se x ≤ t e m ≤ x ≤ m + 1: ψ(x) = l (1 l m+ 1 l (x − m)) = x; se x > t: ψ(x) = l (1 l t+ (x − t)) = t + l(x − t).
2.3 Estensioni cicliche totalmente ramificate di grado primo 29
Si vede allora che in questo caso anche il salto della ramificazione in alto `e uguale a t.
Vogliamo ora studiare come agisce la norma sugli Ui
L. Dimostriamo prima
i seguenti lemmi:
Lemma 2.8.
∀n ≥ 0 T r(Mn
L) = MrK, con r= [(m + n)/l] e m = (t + 1)(l − 1).
(con [.] indichiamo la parte intera inferiore).
Dimostrazione. Poich´e la traccia `e OK-lineare, T r(MnL) `e un ideale di OK.
Ricordiamo il seguente risultato generale sul differente (di cui si pu`o trovare una dimostrazione su [Ser] o su [La1]):
Proposizione 2.9. Siano I e J due ideali frazionari di K e di L. Allora le
due propriet`a seguenti sono equivalenti:
T r(J) ⊂ I; J ⊂ I D−1
L/K.
Di conseguenza, se r `e un intero, dalla proposizione precedente si ha che
T r(MnL) ⊂ MrK ⇐⇒ MnL⊂ MrK D−1L/K = MlrL−m
cio`e se e solo se r≤ (m + n)/l, da cui la tesi.
Lemma 2.10. Se x∈ Mn
L allora:
N(1 + x) ≡ 1 + T r(x) + N(x) mod (M2n
L ).
Dimostrazione.
Chiamiamo σ1, . . . σl gli elementi di Gal(L/K); allora dalla definizione di
norma e traccia si ha:
N(x) = NL/K(x) = l ∏ i=1 σi(x) e T r(x) = T rL/K(x) = l ∑ i=1 σi(x)
Di conseguenza possiamo scrivere:
N(1 + x) = l ∏ i=1 (1 + σi(x)) = 1 +∑l i=1 σi(x) + ( l ∑ i=1 σi) ( l ∑ j=1 xσj(x) + . . .) + l ∏ i=1 σi(x) = 1 + T r(x) + (∑l i=1 σi) ( l ∑ j=1 xσj(x) + . . .) + N(x).
Tuttavia, se chiamiamo α= l ∑ j=1 (xσj(x) + . . .) allora vL(α) ≥ 2vK(x); di conseguenza otteniamo N(1 + x) ≡ 1 + T r(x) + N(x) mod (M2nL ) da cui la tesi. ◻
A partire da questi due lemmi possiamo dimostrare l’importante propo- sizione seguente:
Proposizione 2.11. Se L/K `e un’estensione ciclica di grado p, allora ∀n ≥ 0
con n intero si ha N(ULψ(n)) ⊂ Un K e N(U ψ(n)+1 L ) ⊂ U n+1 K .
Dimostrazione. Per dimostrare tale proposizione distinguiamo quattro casi:
Caso n = 0.
In questo caso `e ovvio che N(UL) ⊂ UK e N(UL1) ⊂ UK1;
Caso 1 ≤ n < t.
Poich´e per ipotesi t≥ 1 per le osservazioni fatte precedentemente si ha che l’estensione `e totalmente ramificata e quindi l = p. Inoltre, per il calcolo della ψ si ha ψ(n) = n.
Sia x ∈ Mn
L; allora nel caso di estensioni totalmente ramificate si ha
N(x) ∈ Mn
K in quanto vL = vK○ N. Per il lemma 2.8, T r(x) ∈ MrK,
dove
r= [(t + 1)(l − 1) + n l ] .
Per ipotesi t> n, dunque t = n + h con h ≥ 1. Sostituendo allora si ha:
r= [n + h + 1 −h+ 1
l ] = [n + (h + 1) l− 1
2.3 Estensioni cicliche totalmente ramificate di grado primo 31 in quanto h+ 1 ≥ 2 e (l − 1) l ≥ 1 2. Di conseguenza T r(x) ∈ M n+1 K .
Con lo stesso conto si ha che, se x∈ M2n
L , allora T r(x) ∈ M r K con r= [(t + 1)(l − 1) + 2n l ] ≥ [ (t + 1)(l − 1) + n l ] ≥ n + 1. Di conseguenza T r(M2n L ) ⊂ M n+1 K .
Ora, dal lemma 2.10 si ha che, se x∈ Mn L
N(1 + x) ≡ 1 + N(x) mod Mn+1
K ;
allora, poich´e N(x) ∈ Mn
K si ha che N mappa ULn in UKn e ULn+1 in UKn+1;
in questo caso quindi si ha la tesi. Caso n = t ≥ 1.
Come nel caso precedente si ha che l = p e ψ(t) = t. Anche in questo caso, se x∈ M2n L allora T r(x) ∈ MrK con r= [(t + 1)(l − 1) + 2n l ] = [n + 1 + n− 1 l ] ≥ n + 1, da cui N(1 + x) ≡ 1 + T r(x) + N(x) mod MnK+1. D’altra parte, se x∈ Mn
L, sempre per il lemma 2.8, T r(x) ∈ MrK con
r= [(t + 1)(l − 1) + n l ] = r = [n + 1 − 1 l] = n. Di conseguenza N mappa Un L in UKn e ULn+1 in UKn+1. Caso n > t.
Dai calcoli fatti precedentemente vale ψ(n) = t + l(n − t). Allora, se
x∈ MψL(n), T r(x) ∈ Mr K con r= [(t + 1)(l − 1) + ψ(n) l ] = [ (t + 1)(l − 1) + t + l(n − t) l ] da cui r= [n +l− 1 l ] = n.
Inoltre, N(x) ∈ MψK(n)⊆ Mn+1
K e, con gli stessi conti precedenti, anche
T r(M2ψL (n)) ⊂ Mn+1
K . Allora utilizzando il lemma 2.10 si ha che, se
x∈ MψL(n),
N(1 + x) ≡ 1 + T r(x) + N(x) mod M2ψK(n).
Mettendo insieme tutte queste osservazioni e utilizzando la formula precedente si ha che N mappa ULψ(n)in Un
K e U
ψ(n)+1
L in UKn+1, e dunque
la tesi.
Utilizzando la proposizione precedente si vede che la norma definisce, per passaggio al quoziente, un omomorfismo
Nn∶ ULψ(n)/ULψ(n)+1Ð→ UKn/UKn+1.
Con ragionamenti analoghi a quelli usati nella dimostrazione precedente, si pu`o dimostrare anche la seguente proposizione che sar`a utile in seguito:
Proposizione 2.12.
Per n = 0 la mappa N0∶ K ∗
Ð→ K ∗ `e data da N0(ξ) = ξl; inoltre:
– se t≠ 0 (dove t `e il salto della ramificazione) tale mappa `e iniettiva; – se t = 0 il ker della mappa `e ciclico di ordine l ed `e uguale al-
l’immagine di G tramite la mappa ϑ0 ∶ G Ð→ UL/UL1 definita
precedentemente;
Per 1 ≤ n < t la mappa Nn ∶ ULn/ULn+1 Ð→ UKn/UKn+1 `e descritta da
Nn(ξ) = αnξp per qualche αn∈ K
∗
ed `e iniettiva;
Per n = t ≥ 1 la mappa Nt ∶ ULt/ULt+1 Ð→ UKt/UKt+1 `e descritta da
Nt(ξ) = αξp+ βξ per qualche α, β ∈ K
∗
. Il suo Ker `e ciclico di ordine p= l ed `e uguale a ϑt(G); Per n > t la mappa Nn ∶ U ψ(n) L /U ψ(n)+1 L Ð→ UKn/UKn+1 `e descritta da Nn(ξ) = βnξ per qualche βn∈ K ∗ ed `e bigettiva.
(per una dimostrazione completa di tali propriet`a si pu`o consultare [Ser] ). Dalla proposizione precedente discende banalmente il seguente corollario:
2.3 Estensioni cicliche totalmente ramificate di grado primo 33
Corollario 2.13. L’omomorfismo Nn `e iniettivo per ogni n eccetto che per
n= t per cui vale la seguente successione esatta:
0 //G ϑt //Ut L/ULt+1
Nt //
Ut K/UKt+1
Se il campo dei residui `e perfetto, vale la proposizione (che ci sar`a utile in seguito):
Proposizione 2.14. L’omomorfismo Nn `e surgettivo per n> t e, se il campo
residuo K `e perfetto, anche per n< t. Inoltre, se K `e algebricamente chiuso, Nn `e surgettivo per ogni n.
Dimostrazione. Osserviamo che dalla proposizione 2.12 sappiamo che se n> t
la mappa Nn `e bigettiva, quindi in particolare `e surgettiva.
Supponiamo ora che il campo dei residui K sia perfetto; dalla proposizione 2.12 sappiamo che:
per 1 ≤ n < t la mappa Nn ∶ ULn/ULn+1 Ð→ UKn/UKn+1 `e descritta da
Nn(ξ) = αnξp per qualche αn∈ K
∗
. Mostriamo che tale mappa `e anche sergettiva. Sappiamo che Un K/UKn+1 ≅ K e che K = K p ; allora se β ∈ Un K/UKn+1 esiste γ∈ Un K/U n+1
K tale che γp= β, ed esiste δ ∈ K tale che δp = αn. Si ha quindi:
Nn(δ−1γ) = αn(δ−1γ)p= γp = β,
da cui, se n< t, la mappa Nn `e surgettiva.
Supponiamo ora che il campo dei residui K sia algebricamente chiuso; lo stesso ragionamento precedente mostra che anche in questo caso, se n < t, l’omomorfismo Nn `e surgettivo.
Consideriamo ora il caso n= t; sempre dalla proposizione 2.12 sappiamo che: per n = t ≥ 1 la mappa Nt ∶ ULt/ULt+1 Ð→ UKt/UKt+1 `e descritta da
Nt(ξ) = αξp+ βξ per qualche α, β ∈ K
∗
. Sia γ ∈ Ut
K/UKt+1 ≅ K; allora esiste ξ ∈ UKt /UKt+1 tale che γ = αξp + βξ.
Dall’affermazione precedente abbiamo quindi che:
Nt(ξ) = αξp+ βξ = γ,
Corollario 2.15. Se K `e un campo perfetto e L/K `e un’estensione to- talmente ramificata di grado l = p e il campo dei residui `e perfetto allora
∀1 ≤ i < t si ha che Ui
K= UKi+1NL/K(ULi) e UKt/NL/K(ULt) ≅ Z/pZ.
Dimostrazione. Abbiamo dimostrato che nel caso in cui K `e perfetto allora se 1≤ n < t si ha che Ni ∶ ULi/ULi+1 → UKi /UKi+1 `e un isomorfismo; ci`o mostra
banalmente che Ui L= ULi+1NL/K(ULi). Corollario 2.16. N(ULψ(n)) = Un K per n> t e N(U ψ(n)+1 L ) = UKn+1 per n≥ t e
n intero. Inoltre, se K `e algebricamente chiuso tali uguaglianze valgono per ogni n.
Dimostrazione. Fissiamo n≥ 0; filtriamo ULψ(n)tramite gli ULψ(m)e Un
Ktramite
gli Um
K. Poich´e ∀m si ha che ψ(m + 1) ≥ ψ(m) + 1, vale U
ψ(m+1)
L ⊂ U
ψ(m)+1
L .
Di conseguenza, componendo la proiezione canonica e l’omomorfismo Nm
definito in precedenza otteniamo l’omomorfismo ϕ:
ϕ∶ ULψ(m)/ULψ(m+1) //ULψ(m)/ULψ(m)+1 Nm //Um
K/U m+1
K .
Se m> t, la proposizione 2.14 mostra che ϕ `e surgettivo (perch´e composizione di omomorfismi surgettivi), e applicando il lemma 2.2 si ha quindi che anche l’omomorfismo N ∶ ULψ(n)Ð→ Un
K `e surgettivo.
Lo stesso ragionamento precedente si applica nel caso in cui K `e algebri- camente chiuso e n `e arbitrario (in quanto la proposizione 2.14 afferma che ∀n ≥ 0 l’omomorfismo Nn `e surgettivo).
Per dimostrare la formula N(ULψ(n)+1) = Un+1
K notiamo che, da quanto visto
al punto precedente, N(ULψ(n+1)) = Un+1
K . Inoltre dalla proposizione 2.11 si ha
che N(ULψ(n)+1) ⊂ Un+1
K , quindi:
UKn+1= N(ULψ(n+1)) ⊂ N(ULψ(n)+1) ⊂ UKn+1
da cui l’uguaglianza.
Corollario 2.17. Se t = 0 vale che coker(Nt) = K
∗
/K ∗l. Se t ≠ 0, allo- ra coker(Nt) ≅ K/P(K), dove P(ξ) = ξp − ξ `e l’omomorfismo definito nel
capitolo 1.
Dimostrazione. Osserviamo che, se t = 0 abbiamo visto nella proposizione
2.12 che Nt(ξ) = ξl, da cui banalmente segue che coker(Nt) = K
∗
/K ∗l. Se
t≠ 0, mostriamo che coker(Nt) ≅ K/P(K). Dalla proposizione 2.12 si ha che
2.3 Estensioni cicliche totalmente ramificate di grado primo 35
ed esiste un elemento η∈ kerNt. Possiamo allora scrivere
Nt(ξ) = αηp((ξ/η)p− ξ/η) = γP(ξ/η) (γ ≠ 0),
da cui Im(Nt) = γIm(P).
Corollario 2.18. Se K `e perfetto allora coker(Nt) ≅ UKt /N(ULt).
Dimostrazione. Utilizziamo il seguente diagramma commutativo:
0 //Ut+1 L // N Ut L vL// N Ut L/ULt+1 // Nt 0 0 //Ut+1 K //U t K vK// Ut K/UKt+1 //0
e applichiamo il lemma 2.1; poich´e N(Ut+1
L ) = UKt+1 si ha la seguente successione esatta: 0Ð→ CokerN Ð→ CokerNtÐ→ 0, da cui Ut K/N(U t L) ≅ cokerNt.
Corollario 2.19. Se K `e perfetto si ha che UK/N(UL) ≅ K∗/NL∗.
Dimostrazione. Utilizziamo il seguente diagramma commutativo:
0 //UL // N L∗ vL // N Z // .f 0 0 //UK //K∗ vK // Z //0
e applichiamo il lemma 2.1; osserviamo che nel nostro caso, essendo l’esten- sione totalmente ramificata, f = 1, da cui f′′= id e Kerf′′= Cokerf′′= 0. Di conseguenza dal lemma si ha:
0Ð→ Cokerf′Ð→ Cokerf Ð→ 0,
e quindi, poich´e Cokerf′= UK/NUL e Cokerf = K∗/NL∗ vale
UK/NUL≅ K∗/NL∗.
Per dimostrare risultati analoghi nel caso generale di estensioni total- mente ramificate di grado qualsiasi abbiamo bisogno di un altro strumen- to; nel prossimo paragrafo definiamo i polinomi additivi e moltiplicativi enunciandone alcune propriet`a.