Estensioni del modello: metodo di Cox

Avendo verificato in modo non parametrico i meccanismi che regolano la so- pravvivenza all’infarto, potremmo a questo punto essere interessati a dare un’in- terpretazione numerica del fenomeno del preconditioning: in altre parole, si desi- dera stabilire quanto differisce il tasso di rischio a seconda del tipo di paziente. A questo fine, è sufficiente utilizzare un modello di Cox e introdurre come covaria- ta la variabile che nella stima di Kaplan-Meier era stata utilizzata come stratifica- zione. Si ricorda, a questo fine, che il coefficiente di proporzionalità fra due cur- ve è dato dall’effetto moltiplicativo exp(βj), essendo βj il coefficiente associato

alla covariata zj.

L’assunzione di proporzionalità dei rischi ha chiaramente l’effetto di “co- stringere” il modello all’interno di uno schema non aderente alla realtà. Tuttavia, l’esito del Log Rank test garantisce l’esistenza di un rapporto non unitario fra i tassi di rischio: l’utilizzo della regressione di Cox non è quindi soggetto a distor- sioni di portata eccessiva e permette al tempo stesso di stimare in modo quantita- tivo gli effetti della variabile di classificazione precedentemente adottata.

Usando SPSS, la nostra covariata (che presenta 3 modalità) viene automati- camente splittata in 2 variabili dicotomiche. L’ultima modalità (tempo fra angina e infarto superiore ai 3 mesi) viene utilizzata come base-line del modello.

Il risultato è di grande interesse: tutti i coefficienti sono ampiamente signifi- cativi, in linea col confronto effettuato in precedenza col metodo di Kaplan-Meier.

Da quest’analisi, possiamo desumere che:

• i pazienti più a rischio sono quelli con angina oltre 3 mesi prima dell’infarto; • per i soggetti senza angina o con sintomi a 10 giorni, il tasso istantaneo di rischio deve essere ridotto a 1/3, ovvero moltiplicato per 0.344;

• i pazienti con angina nel periodo 10 giorni-3 mesi sono sottoposti al rischio minore (meno di 1/6 rispetto alla base-line, che deve essere moltiplicata per 0.156); Variabili nell’equazione 15,332 2 ,000 -1,068 ,343 9,686 1 ,002 ,344 ,176 ,674 -1,857 ,719 6,666 1 ,010 ,156 ,038 ,639 SIN_INF3 NomevarSIN_INF3(1) NomevarSIN_INF3(2)

B SE Wald df Sig. Exp(B)

IC 95,0% per exp(B) Inferiore Superiore

Funzione di sopravvivenza per pattern 1 - 3

sopravvivenza a 5 anni 2000 1000 0 -1000 Sopravvivenza cumulata 1,1 1,0 ,9 ,8 ,7 ,6 1° sintomo-infarto oltre 3 mesi da 10 gg a 3 mesi 0-10 giorni Funzioni di sopravvivenza

Va comunque osservato che l’intervallo di confidenza al 95% per il rapporto fra i rischi è piuttosto ampio: questo è dovuto al fatto che il numero di osserva- zioni in ogni strato è relativamente basso e la maggior parte delle carriere è tron- cata a destra.

Introducendo la covariata in modo quantitativo, si ottiene una conferma del- l’aumento del tasso di rischio in funzione del tempo intercorso fra l’angina e l’in- farto (p = 0.000) e del suo quadrato (p = 0.012): si delinea dunque un effetto di tipo parabolico, che però non coglie le differenze rilevate per i tempi brevi; il modello restituisce infatti un rischio sempre crescente, mentre dovrebbe mostrare un punto di minimo nell’intervallo compreso fra 10 e 90 giorni circa.

Un ulteriore passo avanti nell’analisi può essere compiuto decidendo di porre una soluzione meno drastica al problema delle rivascolarizzazioni: come precisa- to all’inizio, un intervento di bypass o angioplastica modifica in modo radicale le condizioni e la sopravvivenza del paziente; per questo motivo, si è scelto di tron- care la carriera al momento dell’eventuale intervento, non trasferendo al paziente rivascolarizzato le caratteristiche che gli erano state attribuite fino ad allora.

Tale approccio, peraltro coerente con la prassi seguita in questo tipo di anali- si, presenta in realtà due difetti:

• la perdita di una grande quantità di informazione, legata all’introduzione di un gran numero di troncature: si rischia fra l’altro di accorciare in prevalenza le carriere di alcune specifiche tipologie di paziente, ovvero di quei soggetti che ri- chiedono un intervento di angioplastica o di bypass;

• l’assenza di un’esatta valutazione del reale impatto di una rivascolarizza- zione sulle prospettive di vita dei pazienti.

Per ovviare a queste lacune, è necessario introdurre una covariata dipendente dal tempo, che rimane nulla fino al momento dell’intervento e assume valore 1 a seguito dello stesso.

Sapendo che tutte le variabili del database (coronarografia, frazione di eie- zione, circolo collaterale, ecc.) sono state rilevate dopo il ricovero, si è scelto di ignorare le rivascolarizzazioni precedenti all’inizio del periodo di osservazione: il

cambiamento di stato della covariata time-dependent avviene dunque nell’istante in cui viene effettuato un intervento di angioplastica o di bypass durante il fol- low-up.

La covariata, che in SPSS assume automaticamente il nome T_COV e viene affiancata alla variabile già precedentemente introdotta, è dichiarata in questo modo:

T_COV = 0 t < t_riv T_COV = 1 t≥ t_riv

essendo t_riv la data della rivascolarizzazione.

Il risultato è significativo sia per la covariata time-dependent (p = 0.000) che per la variabile SIN_INF3 (tempo fra primo sintomo e infarto), già messa alla prova in precedenza. La base-line del modello è costituita dai pazienti con angina oltre 3 mesi prima dell’infarto e rivascolarizzati almeno una volta nel follow-up.

Il coefficiente di rischio per i pazienti non rivascolarizzati è 2.232 volte quel- lo calcolato per i soggetti con almeno un intervento: in altri termini, l’esecuzione dell’angioplastica o del bypass riduce il tasso istantaneo di rischio al 45% (1/2.232 = 0.448) del tasso di partenza.

L’effetto della covariata dipendente dal tempo è da interpretarsi in senso dina- mico: non è lo stato in sé a incidere sulla sopravvivenza; è piuttosto la transizione da uno stato all’altro a migliorare le prospettive di sopravvivenza del paziente.

Si noti come i coefficienti dell’altra covariata siano leggermente diversi ri- spetto a quelli del modello di Cox semplice: questo è dovuto alle pur lievi intera- zioni fra questa variabile e il processo indipendente usato per modellare le riva- scolarizzazioni. Variabili nell’equazione 12,386 2 ,002 -,643 ,269 5,715 1 ,017 ,526 ,310 ,891 -1,630 ,589 7,664 1 ,006 ,196 ,062 ,621 ,803 ,218 13,504 1 ,000 2,232 1,455 3,425 SIN_INF3 NomevarSIN_INF3(1) NomevarSIN_INF3(2) T_COV_ IC 95,0% per exp(B)

4.3 INTRODUZIONE DI UN MODELLO PARAMETRICO