Si assume, ora, che le serie temporali registrino eventi a tempi t1< t2 < . . . < ti < . . .
e questi eventi generano una serie {τi}, con
τi = ti+1− ti (4.18)
20nel caso dell' EEG si considera che il sistema cervello sia stato preparato ad un
Questi tempi τi misurano la distanza tra due eventi consecutivi, e sono, appunto, i tempi di attesa.
Si supponga, inoltre, che questi tempi seguano la distribuzione dei tempi di rinnovo (di Nutting):
ψ(τ ) = (µ − 1) T µ−1
(T + τ )µ ≡ ψ(t, 0)
dove l' ultima uguaglianza tiene conto del fenomeno di invecchiamento nel caso di processi non-Poissoniani dove l'inizio dell'osservazione è al tempo ta= 0.
In de nitiva, essa rappresenta la probabilità condizionale che un evento avvenga ad una distanza τ dall' evento immediatamente precedente.
Ho che il primo evento è avvenuto al tempo t = 0 e l' osservazione è iniziata al tempo t0 > 0, allora la probabilità che il primo evento avvenga ad un tempo t > t0 è[19]: ψ(t, t0) = ∞ X n=1 Z t0 0 ψn(t00) ψ(t − t00)dt00 (4.19) nel caso speci co, la probabilità di sopravvivenza (cioé che non avvengano eventi durante un tempo t) che nel nostro caso è:
Ψ(t) = Z ∞ t ψ(t0)dt0 = T T + t µ−1 (4.20) Nel caso che µ > 2 sussiste la condizione stazionaria, ed esiste il tempo medio hτi = T
µ−2. In questo caso è possibile realizzare uno stato sico dell'e- quilibrio statistico, dove il sistema è in nitamente invecchiato, e non esiste ulteriore invecchiamento.
Nel caso, invece, che 1 < µ < 2 la condizione di equilibrio non è possi- bile, per cui il sistema invecchia sempre (perennial-aging).
Importante è ricordare che l' osservazione di serie temporali stocastiche ho sempre un osservazione a tempi molto più grandi a quello in cui il sistema è stato preparato. In più, quando l' osservazione parte quello che trovo dall' istogramma è l'espressione della distribuzione nella condizione ta= 0 quindi misuro la ψ e la Ψ nell' equazione (4.20).
I brevi ed intensi burst introdotti dal modello di processo di rinnovo tramite mappa di Manneville hanno l' eetto di cancella- zione della memoria e perciò vengono indicati come eventi critici casuali.
Dopo ogni evento il sistema riparte da una nuova condizione iniziale (di distribuzione uniforme) da cui viene costruita la densità di probabilità dei tempi d' attesa ψ(τ) di Nutting.
Se la distribuzione è esponenziale non c'è aging. Se ho una legge a potenza inversa, invece, posso trovare o meno invecchiamento. Se lo trovo vuol dire che il processo è di rinnovo.
Esperimento di Aging
È perciò importante accennare all'esperimento dell' invecchiamento per ca- pire sperimentalmente se un processo stocastico realizzato da una singola realizzazione temporale è un processo di rinnovo o meno.
Vi sono diversi modi:
• il primo consiste nel prendere una versione sempli cata della distribu- zione dei tempi di rinnovo che rispetto alla equazione (4.15) è
ψtrena (τ ) = 1 K
Z
ψ(τ + y)dy
si prende poi una distribuzione sperimentale invecchiata ψesp
ta di cui si
prende la survival probability. Si prende poi la funzione
Ia(τ ) = Ψespta (τ ) − Ψ(τ ) Ψrenta (τ ) − Ψ(τ ) se Ψesp ta (τ ) = Ψ ren
ta (τ ) → Ia = 1 allora si ha l' invecchiamento del
rinnovo.
• Il secondo procedimento, più realizzabile sperimentalmente, è quella in cui si opera come descritto e schematizzato in gura (4.6)
(a) si prendono serie invecchiate di un seg- mento temporale tae si calcola la sua distan-
za dall' evento successivo.Si calcolano le, poi, la distribuzione
(b) si rimescolano i tempi iniziali (rompendo così le correlazioni tra gli eventi)
g. 4.6: di fatti se non vi sono correlazioni (gli eventi non dipendono dai precedenti) le due Ψsono uguali, cioè Ψesp(t, ta) ≈ Ψren(t, ta): questa condizione indica che la transizione
Capitolo 5
Modello per le uttuazioni
EEG
Un modo molto popolare per analizzare le serie temporali è basato sul mo- dello del moto browniano. Una serie temporale può essere pensata come un processo diusivo mono-dimensionale che genera uttuazione. Quando si applicano le condizioni di moto browniano la uttuazione è casuale e ha va- rianza nita. In questo modo, l'ampiezza della corrispondente distribuzione di probabilità (pdf ) p(x, t) aumenta con la radice quadrata del tempo.
Una congettura plausibile per le serie temporali generate da un sistema complesso (di varia natura: biologica, geologica, etc.) è quella in cui le serie temporali si discostano signi cativamente da questa condizione, a tal punto che essi ri ettono la cooperazione long-range tra i costituenti del sistema sotto studio. Di conseguenza, se queste serie sono scelte per generare la diusione, bisogna scegliere un allontanamento rilevante dal moto diusivo del moto browniano.
Un' attenzione particolare è dedicata nel determinare lo scaling asintotico di questi processi diusivi, i quali sono de niti dalla, già vista, relazione:
p(x, t) = 1 tδF (
x tδ)
dove δ è il coe ciente di scaling. La condizione di moto browniano è rap- presentata per δ = 1/2. Si è già visto la Detrended Fluctuation Analysis è il metodo per derivare questo indice di scaling.
g. 5.1: Traiettoria di una particella con caratteristiche rispondenti alla tipica fenomeno- logia del moto browniano: Il moto è molto irregolare, e la traiettoria sembra non avere tangente in alcun punto. Due particelle appaiono muoversi indipendentemente. La com- posizione e la densità delle particelle non ha alcun eetto. Più piccole le particelle, più attivo il moto. Meno viscoso il uido, più attivo il moto. Più elevata la temperatura, più attivo il moto. Il moto non cessa mai. Aumentando la risoluzione del microscopio e variando la scala di osservazione, si osserva un moto simile (auto-similarità o invarianza di scala)
5.1 Equazione di Langevin
Una particella che si trova in un uido viscoso (in assenza di forze esterne) presenta una dinamica di un moto uttuante. Il moto si può studiare facendo l'approssimazione che le collisioni tra la particella (mesoscopica) e le parti- celle del uido avvengano istantaneamente e che trasmettano all particella mesoscopica cambiamenti di velocità casuali.
Questo moto stocastico è una conseguenza delle uttuazioni termiche ed è chiamato moto Browniano.
Una particella molto più grande di una molecola, di massa m, è im- mersa in un uido all' equilibrio termico, ad una temperatura T. Se essa si muove con una velocità v, a causa della resistenza del uido subisce una forza Fr = −γvdove γ è un coe ciente che dipende dalla geometria della
particella e dalla viscosità del uido1. D'altra parte, a causa dell'agitazione
termica incessante di cui sono animate le molecole del liquido, la particella è sottoposta ad una forza aleatoria f(t). Si suppone che le proprietà di questa forza aleatoria siano:
isotropia la forza non ha direzioni privilegiate. (Supponiamo momenta-
1espressa dalla legge di Stokes, che per una particella sferica di raggio r, immersa in
neamente per semplicità di trascurare gli eetti di forze esterne, come la forza-peso). ⇒ hf(t)i = 0
scorrelazione la forza uttua ad ogni istante, ed il suo valore ad un instante t è indipendente2 da quello ad un istante t + τ. ⇒ hf(t)f(t + τ)i =
Λδ(τ )
gaussianità la forza f(t) è la risultante delle azioni indipendenti compiute da un gran numero di molecole ad ogni istante: per il teorema del limite centrale ci si può dunque aspettare che la sua distribuzione sia gaussiana.
Il modello per il moto della particella browniana è rappresentato dall' equazione di Langevin:
m ˙v = −γv + f (t) (5.1)
La forza f(t) è una variabile stocastica per cui può essere de nita attra- verso le sue proprietà statistiche (i momenti della distribuzione di probabi- lità). Questo rende anche la velocità v una variabile stocastica, si studiano ,quindi, la media e la varianza.
Si trova che: hv(t)i = v(0)e−mγt hv2(t)i = hv2 0ie− 2γ mt+ Λ 2mγ(1 − e −2γmt)
Dopo un tempo breve (dell' ordine di m/2γ) si ha la condizione di equilibrio: hv2i eq= lim t→∞hv 2(t)i = mΛ 2γ
Si può dunque applicare alla particella il teorema di equipartizione, per cui: 1
2mhv 2i = 1
2kBT da queste equazioni si ricava:
Λ
γ = 2kBT (5.2)
2in altri termini la memoria degli impatti tra le particelle avvenuti durante un dato
intervallo di tempo, viene completamente persa, dopo un lasso di tempo grande rispetto al tempo caratteristico τc.
tale relazione riassume il teorema di uttuazione-dissipazione3. L' espressione nale per l'equilibrio diventa:
hv2i
eq= ΛΓ con Γ = 2γ
m (5.3)
Per diusione, tuttavia, di solito si intende la diusione spaziale piuttosto che la diusione della velocità. Tale diusione è collegata all'ampiezza delle escursioni (ove ˙x(t) = v) della particella browniana. Seguendo Langevin, con la particella all'equilibrio termico con il uido, usando il teorema di equipartizione, si arriva all'espressione:
hx(t)2i = 2kBT (mΓ)2 h Γt − (1 − e−Γt) i (5.4) t Γ1 hx2i ' kBT
m t2= hv2it2 equazione del moto t Γ1 hx2i ' 2kBT
Γm t
2 = 2D
x· t equazione della diusione dove
D ≡ Dx= kBT
γ che è il coe ciente di diusione.
Questa relazione lega il coe ciente di diusione al coe ciente di attrito ed è nota come relazione di Einstein.
Approccio statistico
Dato che il processo è un processo stocastico, si studia la funzione di densità di probabilità p(v, t) delle velocità della particella browniana (in pratica la pdf viene vista come l' istogramma).
3il motivo per cui Λ è il coe ciente di diusione della velocità, è che nel limite di attrito
trascurabile (γ → 0), sviluppando in serie di Taylor, si ha hv2
(t)i = 2Λt + hv2(0)i, cioè un' equazione per la diusione della velocità. Si noti che tale situazione farebbe crescere inde nitivamente l'energia del sistema, contraddicendo così il secondo principio della ter- modinamica. Questo dimostra quindi l'importanza dell' attrito (cioé della dissipazione) nel processo.
Usando l'equazione di Fokker-Planck si descrive l'evoluzione temporale della funzione di densità di probabilità della velocità della particella. Essa ha la forma: ∂ ∂tp(v, t) = ( Γ ∂ ∂vv + Λ ∂2 ∂v2 ) p(v, t) (5.5)
Nella condizione stazionaria (raggiunto l'equilibrio termico) si ha ∂p/∂t = 0, per cui per t → ∞ la pdf p(v, t) acquisisce la forma canonica:
peq(v, t) = p0e−
Γv2 Λ = p0e
− v2 2hv2ieq
dove si è utilizzata l'eq.(5.3), inoltre è p0 = √ 1 2πhv2i
eq e hv
2i
eq = kBT /m. È evidente che tale distribuzione ha la forma tipica di una gaussiana.
D'altro canto, seguendo l' approccio di random walk al moto browniano, si trova che la funzione di densità di probabilità degli spostamenti p(x, t) segue l'equazione di diusione4:
∂
∂tp(x, t) = D ∂2
∂x2p(x, t) (5.6)
la cui soluzione (nella condizione iniziale che tutte le particelle sono in x = 0) è:
p(x, t) = √ 1 4πDte
−x2
4Dt (5.7)
La distribuzione degli spostamenti è quindi gaussiana, come era da aspettarsi sulla base del teorema del limite centrale, dato che lo spostamento risulta dalla somma di un gran numero di spostamenti indipendenti.
Nelle gure (5.2) sono rappresentate le pdf degli spostamenti e delle velocità in un moto browniano.
4 In una sospensione in cui vi sono immerse un numero molto grande di particelle
browniane identiche, si indica con ρ(x, t) la densità locale di particelle browniane. Se la sospensione è abbastanza diluita, così che le particelle browniane possano essere consi- derate indipendenti, la ρ(x, t) obbedirà alla stessa equazione di diusione in (5.6). Se a un certo istante la densità ρ(x, t) non è uniforme, si produrrà un usso di particelle proporzionale alla derivata di ρ. Questo usso è chiamato corrente di diusione, e ha per espressione j = −D∂
(a) pdf(x), con phx2i ≡ σ ∝√t
(b) pdf(v)
g. 5.2: funzione di densità di probabilità degli spostamenti (a) e delle velocità (b) in un moto browniano.
g. 5.3: recrossing: i tempi di attesa sono i le distanze temporali di ritorno della serie temporale nell' ri-attraversamento dello zero.