Il metodo della Detrended Fluctuations Analysis (dfa)

Come in molti altri contesti biologici, i segnali EEG mostrano caratteristi- che altamente non-stazionarie e non-lineari. Il metodo sico-statistico della detrended uctuations analysis è stato introdotto per analizzare questo tipo di parametri siologici. La dfa si adatta bene allo studio delle correlazioni long-range con legge a potenza che si trovano in molte serie temporali non stazionarie.

Il vantaggio di tale metodo è che esso può sistematicamente eliminare i trends di varie specie causati da vari eetti esterni e può ridurre il rumo- re causato da misure imperfette; esso consiste principalmente nello studio dell'evoluzione nel tempo della varianza della serie temporale integrata.

Si espone, di seguito, il metodo nei suoi passi essenziali:

step 1 La serie viene resa a media nulla, e poi trasformata con una somma cumulativa in un processo a banda di frequenze innita, determinando così il prolo: y(i) = i X k=1 (x(k) − hxi) , con i = 1, . . . , N

con N è la lunghezza della serie. Si studia, così, il processo diusivo associato al segnale originario.

step 2 Il Prolo y(i) viene diviso in M = int(N/n) segmenti non-sovrapposti di uguale lunghezza n. Successivamente si calcolano il trend locale per ognuno dei segmenti attraverso un t ai minimi-quadrati dei dati. E inne si determina la varianza tramite la formula che racchiude tutte queste operazioni: F_n2(ν) ≡ 1 n n X i=1  y  (ν−1)n+i  − p_ν(i) 2

, per ogni segmento ν = 1, ..., M

dove pν(i) è il t polinomiale15 nel segmento ν, e Fn2(ν) è il residuo, nel singolo segmento, ottenuto dalla sottrazione del trend (il t) e la serie integrata.

15_{il metodo nella sua implementazione standard usa il t lineare, ma ci sono versioni}

step 3 Si fa, poi, la media su tutti i segmenti e integrando si ottiene la funzione di uttuazione: F (n) = 1 M n X i=1 F_n2(ν) 1/2

step 4 Al ne di determinare come F (n) dipenda dalla scala temporale n, la larghezza dei segmenti viene incrementata e la procedura viene ripetuta varie scale temporali n.

La larghezza dei segmenti di divisioni (block-size) minima e massima vine di scelta a seconda del tipo di segnale e di come è stato acquisito16 e per serie di simulazione si scelgono nmin= 4 e nmax= N/4.

Tipicamente la F (n) cresce al crescere di n, in quanto le deviazioni dai t crescono per segmenti più ampi.

Se i dati presentano correlazioni long-range con legge a potenza si ha il comportamento asintotico:

F (n) ∝ nδα (2.17)

La relazione lineare in un graco log − log indica, quindi, la presenza di scaling (auto-similarità); le uttuazioni in segmenti piccoli sono legate alle uttuazioni in segmenti più grandi tramite una legge a potenza. La pendenza della linea che lega log(F (n)) a log(n) determina l'esponente si scaling (il parametro di auto-similarità), δα, discusso in precedenza.

Comportamenti della DFA e legami con la PSA

Il valore del parametro di scaling inquadra un comportamento specico del processo sotto esame, vale per cui la pena mettere in relazione questa meto- dologia con quelle più note e quindi più intuitive della funzione di autocor- relazione e dello spettro di potenza. Vale però ricordare che queste tecniche sono esatte per serie temporali stazionarie. Sommariamente, in base al valore di δα si possono distinguere diversi andamenti:

Scorrelati. δα = 0.5

Il processo che guida la serie temporale è un rumore bianco, dove il valo- re ad un istante è completamenti scorrelato a valori a tempi successivi; l'autocorrelazione è nulla ed il power spectrum costante.

16_{per esempio nei dati EEG fornitoci dall'istituto di siologia umana dell'università di}

(a) box-size

(b) local detrending

g. 2.3: Illustrazione della procedura di detrending e tting. (a) Si determinano i segmenti equi-spaziati non sovrapposti in cui fare poi la stima ai minimi quadrati. (b) Per segmenti larghi 100 campioni, operazioni di t lineare ai minimi quadrati del prolo y(i) in ciascun segmento. Successivamente si calcolano i quadrati delle dierenze tra il prolo ed i t, per calcolare la uttuazione F (n) come nella procedura della DFA.

Correlati. 0.5 < δα< 1

[Short Range Correlations] δα→ 0.5+

Sono processi caratterizzati da correlazioni con un time-scale carat- teristico, per cui l' auto-correlazione è descritta da una funzione di tipo esponenziale (C(t) ∼ exp(−t/τ)); la pendenza iniziale di log n − log F (n)è diversa da 0.5 ma si avvicina a questo valore per nestre di larghezza maggiore, ed il tempo di memoria del processo diviene piccolo con appunto un andamento dell'autocorrelazione esponenziale. [Long Range Correlations] δα→ 1−

Questi valori indicano la presenza di processi con legge a potenza, per cui la funzione di auto-correlazione diviene C(t) ∼ t−β _{con 0 < β < 1.}

Il legame con lo spettro di potenza è molto interessante in quanto è la relazione può essere racchiusa da un'unica legge che riassume l'andamento del power spectrum per questo intervallo di valori di δα:

S(f ) ∼ 1

fγ con 1 > γ > 0

dove se γ = 2 abbiamo forte correlazione, S(f) ∼ 1/f2_{, e dal lato} opposto se γ = 1, si hanno correlazioni a lungo raggio, S(f) ∼ 1/f, di cui fanno parte quei processi che vengono detti 1/f-noise.

In generale sussiste, in questo intervallo di valori, la relazione δα =

1 + γ

2 se γ ∈ [0, 1] Long-range → Scale-Free. 1 < δα< 1.5

È la regione in cui cessa la trattazione esatta della funzione di autocor- relazione, ed entrano in gioco processi in cui la dinamica del sistema è free-scale. Tuttavia sia i residui della dfa sia il power spectrum mostra- no un comportamento con legge a potenza nel regime non-ergodico17_, che corrisponde ad un valore dell'esponente γ maggiore di 1.

Il limite di δα= 1.5 è raggiunto per un processo Browniano (brown- noise).

Dato che le serie EEG esibiscono uno scaling temporale con legge a potenza con δα > 1, questa proprietà è cruciale per il nostro studio; in

17_{a questo proposito bisogna osservare che seppur la dfa mantenga lo scaling per δ} α> 1,

la transizione dal regime ergodico a quello non ergodico non è ancora supportata da una robusta teoria.

quanto questi segnali sono sistemi, in cui entrano in campo processi in domini non-ergodici18_.

g. 2.4: esempio di graco log − log della relazione F (n) = nδα, dove con α ≡ δ

α per due

diversi tipi di processi (gura da [3]).

Questo mostra come il metodo della detrended uctuations analysis rap- presenta un buon metodo per stimare lo scaling temporale delle serie con dinamiche frattali anche in regime non-stazionario come i segnali elettroen- cefalograci.

Accorgimenti tecnici riguardanti la DFA

La detrended uctuations analysis è essenzialmente una rappresentazione nel dominio del periodo del processo (diversamente dalle più familiari rappresen- tazioni nel tempo e nella frequenza).

La larghezza del segmento (block-size) n denisce un periodo T che dipende dalla frequenza di campionamento (Fs):

T = n

Fs con T ≡ 1/f (2.18)

f = Fs

n (2.19)

18_{in questo dominio, tuttavia, sia la PSA sia la DFA sono misure in teoria equivalenti}

descrivendo così una scala di frequenze. Se per esempio si ha un rate di ac- quisizione di r = 250points/sec e ci interessa la scala con ln n = 3.45, stiamo osservando, grosso modo, la frequenza f = r/n = 7.94Hz. Questa osserva- zione servirà quando nell'osservazione dei graci reali della DFA, avremo dei ginocchi che dovremo individuare per capire a cosa siano dovute su queste va- riazioni di pendenza, se a comportamenti intrinseci del processo, ad artefatti (o comunque non di interesse per l'indagine) o semplicemente alle modalità di acquisizione del segnale (come eventuali ltraggi dell' apparecchiatura in uso).

Importante è, pure, la lunghezza della serie temporale (N); difatti au- mentando la lunghezza della serie (cioé campionando per un periodo di tem- po più lungo), si posizionano più punti nella parte nale del graco DFA, orendo così dei dati a frequenze più basse.

Capitolo 3

Risultati sulla DFA

3.1 Simulazioni

Al ne di comprendere quali informazioni porta l'analisi della DFA, per la quale manca ancora un quadro teorico che descriva il suo comportamento per un processo generico, si riportano di seguito le applicazioni a processi prima derivanti da simulazioni computazionali, e successivamente da serie stocastiche direttamente ottenute tramite acquisizione elettroencefalograca.