2 ∗ 10
−3𝑇 perpendicolarmente alle linee di forza.
La regione in cui agisce il campo si estende per una
lunghezza 𝑙 = 20 𝑐𝑚. All’uscita del dispositivo il fascetto
risulta deviato di un angolo 𝛼 = 60° rispetto alla
direzione iniziale. Si calcoli la velocità degli elettroni
(carica dell’elettrone 𝑒 = 1,6 ∗ 10
−19𝐶; massa
dell’elettrone 𝑚 = 9,1 ∗ 10
−31𝐾𝑔)
• CONSIDERAZIONI TEORICHE- ANALISI DELLA TRACCIA- INDICAZIONI PER LA SOLUZIONE
• Moto di una carica elettrica in un campo magnetico
• Su una carica 𝑞 in moto con velocità 𝑣 rispetto a un campo magnetico agisce la forza 𝑓 :
𝑓 = 𝑞 𝑣 𝛻 𝐵
• Nota come forza di Lorentz, in onore del fisico olandese Hendrick Antoon Lorentz (1953-1928) che, con le sue ricerche sull’elettromagnetismo,
• Tale forza è ortogonale alla velocità alla velocità della particella 𝑣 e al campo 𝐵 e il suo modulo è dato da:
𝑓 = 𝑞𝑣𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼
ove 𝛼 è l’angolo formato dal vettore velocità 𝑣 con il campo di induzione
magnetica 𝐵 . Inoltre, essendo perpendicolare alla velocità, la forza di Lorentz non compie lavoro; di conseguenza l’energia cinetica non varia durante il moto, cioè la velocità si mantiene costante in modulo.
• Il campo magnetico ha come effetto solo quello di incurvare la traiettoria delle particelle cariche ma non di comunicare loro energia. Per questo motivo la
forza magnetica si chiama anche forza deflettente.Tale forza è nulla non solo se la velocità è nulla, cioè se la carica è ferma, ma più in generale se la velocità della particella è parallela al campo magnetico 𝐵 , essendo in tal caso
• Si ha così che un campo magnetico non esercita alcuna forza né su una carica elettrica in quiete, né su una carica elettrica che si muove parallelamente al campo magnetico. Se invece la velocità della carica è perpendicolare al campo magnetico è 𝛼 = 90°, quindi 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1, per cui la forza assume il valore
massimo:
Una carica elettrica che viene immessa in un campo magnetico uniforme 𝐵 perpendicolarmente alla direzione del campo , si muove di moto circolare uniforme nel piano perpendicolare alla direzione del campo magnetico nel punto in cui la carica penetra nel campo d’induzione. Se la velocità con cui si muove la carica viene immessa nel campo magnetico con una componente 𝑣2 nella direzione del vettore 𝐵 , si ottiene un moto elicoidale.
• La particella, infatti, mentre ruota in un piano perpendicolare a 𝐵 per effetto della componente della velocità 𝑣 secondo la normale a 𝐵 , trasla nella direzione del campo magnetico per effetto della componente 𝑣2. Il moto di traslazione è rettilineo uniforme in quanto 𝐵 non modifica la componente 𝑣2.
• Il moto della particella è, perciò, la composizione di un moto circolare uniforme in un piano perpendicolare al campo magnetico con un moto rettilineo uniforme nella direzione di 𝐵 , cioè un moto elicoidale, la cui traiettoria è un’elica cilindrica. Il passo dell’elica, costante, è pari allo spostamento subito dalla particella nella direzione del campo in un periodo di rotazione
La forza di Lorentz è all’origine di uno dei più belli e spettacolari fenomeni naturali: l’aurora boreale. Tale fenomeno si osserva alle elevate latitudini, durante le lunghe notti polari e consiste nell’improvvisa apparizione in cielo di ampie figure luminose di varie forme e colori.
• LEGGI UTILIZZATE 𝑓 = 𝑞 𝑣 𝛻 𝐵 𝑓𝑜𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑖 𝐿𝑜𝑟𝑒𝑛𝑡𝑧 𝑟 = 𝑚𝑣 𝑒𝐵 𝑟𝑎𝑔𝑔𝑖𝑜 𝑑𝑖 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑖𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖 Ԧ 𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣 𝑣𝑒𝑡𝑡𝑜𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑣 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3 𝑚 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑒𝑙𝑒𝑡𝑡𝑟𝑜𝑛𝑖 𝑖𝑛 𝑚𝑜𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑖 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑚𝑎𝑔𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 𝐵 𝑚 𝑣 = 𝑚0𝑣 1 − 𝑣2 𝑐2 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
• SOLUZIONE
Il fascio collimato di elettroni monoenergetici penetra nel vuoto in un campo magnetico uniforme 𝐵 perpendicolarmente alle linee di forza del campo. Sugli elettroni in moto con velocità Ԧ𝑣 agisce, pertanto la forza di Lorentz:
𝑓 = 𝑒 𝑣 𝛻 𝐵 il cui modulo è dato da:
𝑓 = 𝑒𝑣𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼
con 𝛼= angolo formato dal vettore velocità 𝑣 con il vettore “ induzione magnetica” 𝐵 .
Poiché 𝑣 e 𝐵 sono perpendicolari, 𝛼 = 90° e, quindi, 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1. Pertanto la forza agente sugli elettroni, in questo caso, è:
𝑓 = 𝑒𝑣𝐵
La carica elettrica acquista quindi un’ accelerazione normale alla velocità, cioè centripeta, legata alla forza dal secondo principio della dinamica. Indicando con 𝑚 la massa degli
elettroni e con 𝑣 la loro velocità,possiamo scrivere: 𝑓 = 𝑒𝑣𝐵 = 𝑚𝑣
2
𝑟
• Da c ui: 𝑒𝑣𝐵 = 𝑚𝑣 2 𝑟 Dividendo per 𝑣: 𝑒𝐵 = 𝑚𝑣 𝑟 𝑒𝐵𝑟 = 𝑚𝑣 e, quindi: 𝑟 = 𝑚𝑣 𝑒𝐵 = 𝑐𝑜𝑠𝑡
Il raggio di curvatura 𝑟 della traiettoria è costante in quanto le grandezze a secondo membro dell’ultima relazione non variano (nell’ipotesi non relativistica cioè supponendo 𝑚 = 𝑚 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑡ante). Non variando il raggio della traiettoria, gli elettroni si muoveranno di moto circolare uniforme nel piano perpendicolare alla direzione del campo magnetico nel punto in cui la carica penetra nel campo.
N.B. Nell’ipotesi in cui le particelle si muovono con velocità confrontabili con la velocità della luce nel vuoto, come avviene nelle macchine acceleratrici,bisogna tener conto che la massa non è più costante ma varia con la velocità secondo la relazione:
𝑚 𝑣 = 𝑚0
1 − 𝑣2 𝑐2
Poiché all’uscita dal dispositivo il fascetto di elettroni monoenergetici risulta deviato di un angolo 𝛼 = 60° rispetto alla direzione iniziale, si ha:
𝑙 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝑎 = 𝑟 𝑠𝑒𝑛 60° = 3 2 𝑟 da cui: 2𝑙 = 3 𝑟 e, quindi: 𝑟 = 2𝑙 3
Per determinare la velocità degli elettroni,consideriamo la quantità di moto Ԧ𝑝 definita come il prodotto della massa per la velocità Ԧ𝑣:
Ԧ
𝑝 = 𝑚 Ԧ𝑣
Considerando i moduli delle grandezze fisiche in esame, si ottiene: 𝑑𝑝
𝑑𝑡 : 𝑝 = 𝑑𝑣
Da cui: 𝑝 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑣 ∗ 𝑑𝑝 𝑑𝑡 Pertanto : 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑣 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡
Poiché :
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑎𝑐 = 𝑣2
𝑟 sostituendo la precedente relazione in:
𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑣 ∗ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 si ha: 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑣 ∗ 𝑣2 𝑟 = 𝑝 𝑣 𝑟
Ovvero :
𝑑𝑝 𝑑𝑡 =
𝑝 𝑣 𝑟
Ma il raggio di curvatura della traiettoria è dato da 𝑟 = 2𝑙
3 Per cui, sostituendo, si ottiene:
𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 𝑝 𝑣 𝑟 = 𝑃 𝑣 2𝑙 3 = 3 𝑝 𝑣 2 𝑙
Inoltre: 𝑓 = 𝑒𝑣𝐵 = 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = 3 𝑝 𝑣 2 𝑙 Quindi: 𝑒𝑣𝐵 = 3 𝑝 𝑣 2 𝑙
Dividendo primo e secondo membro per 𝑣:
𝑒𝐵 = 3 𝑝 2 𝑙 Da cui segue:
2 𝑙 𝑒 𝐵 = 3 𝑝 Quindi la quantità di moto è data da :
𝑝 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3
Poiché il modulo della quantità di moto è dato da: 𝑝 = 𝑚𝑣, si ottiene: 𝑚𝑣 = 2 𝑙 𝑒 𝐵
3 In definitiva, la velocità degli elettroni è:
𝑣 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3 𝑚
Sostituendo i valori numerici suggeriti dal testo: 𝑣 = 2 ∗ 20 ∗ 10 −2𝑚 ∗ 1,6 ∗ 10−19 𝐶 ∗ 2 ∗ 10−3𝑇 3 ∗ 9,1 ∗ 10−31 𝐾𝑔 = 2 ∗ 20 ∗ 1,6 ∗ 2 3 ∗ 9,1 ∗ 10−2 ∗ 10−19 10−3 ∗ 10−31 𝑚 𝑠 𝑣 = 128 15,76 10−24 10−31 𝑚 𝑠 = 8,12 ∗ 10 −24 ∗ 1031 𝑚 𝑠 = 8,12 ∗ 10 7 𝑚 𝑠 = 0,81 ∗ 10 8 𝑚 𝑠
Il valore numerico ottenuto per la velocità degli elettroni 𝑣 = 0,81 ∗ 108 𝑚
𝑠 ,
approssima il valore della velocità della luce 𝑐 = 3 ∗ 108 𝑚
𝑠 nel vuoto. Per confrontare i due valori , calcoliamo il loro rapporto:
𝛾 = 𝑣 𝑐 = 0,81 ∗ 108 𝑚𝑠 3 ∗ 108 𝑚 𝑠 = 0,81 3 = 0,27
Questa osservazione può suggerire che l’approccio classico non sia del tutto corretto. Affrontiamo , quindi, il problema dal punto di vista relativistico. Nell’approccio relativistico la correzione interviene nella relazione che fornisce la quantità di moto 𝑝 degli elettroni :
𝑝 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3
• Poiché la quantità di moto relativistica è data da : 𝑝 = 𝑚 𝑣 ∗ 𝑣 si ottiene: 𝑚 𝑣 ∗ 𝑣 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3 Da cui: 𝑚0𝑣 1 − 𝑣2 𝑐2 = 2 𝑙 𝑒 𝐵 3
Ricavando la velocità 𝑣, si ottiene:
𝑣 ≅ 0,78 ∗ 108 𝑚 𝑠
L’errore percentuale che si commette se si adotta l’approccio classico per la
determinazione della velocità degli elettroni si può determinare dalla relazione: ∆ 𝑣 𝑣 % = 𝑣𝑐𝑙 − 𝑣𝑟𝑒𝑙 𝑣𝑐𝑙 ∗ 100 = 0,81 ∗ 108 𝑚𝑠 − 0,78 ∗ 108 𝑚𝑠 0,81 ∗ 108 𝑚𝑠 ∗ 100 = 0,03 0,81 ∗ 100 = 3,7
• TEMA DI FISICA – ANNO 1982-TEMA N° 3
• Un condensatore piano ha le armature orizzontali alla distanza 𝑑 e la differenza di potenziale fra le armature è 𝑉.
• Si descriva il moto di una particella carica posta fra le armature, con velocità iniziale nulla o perpendicolare al piano delle armature, e quindi verticale. Si consideri il caso in cui fra le armature si è fatto il vuoto.
• Successivamente si consideri il caso in cui il moto avviene nell’aria e la particella sia una gocciolina d’olio, carica positivamente con 𝑄 cariche elementari posta nel punto a distanza uguale dalle armature e con velocità iniziale 𝑣0 verso l’alto.
• Siano:
1. viscosità dell’aria: 𝜂 = 1,8 ∗ 10−5 𝐾𝑔 ∗ 𝑚−1 ∗ 2. densità dell’aria: 𝜌 = 1,3 𝐾𝑔 ∗ 𝑚−3
3. raggio R della gocciolina d’olio: 10−4 𝑐𝑚 4. densità dell’ olio: 𝛿 = 8 ∗ 102 𝐾𝑔 ∗ 𝑚−3 5. carica elementare: 𝑞 = 1,6 ∗ 10−19𝐶 6. accelerazione di gravità: 9,8 𝑚 ∗ 𝑠−2
7. Si ricorda che la formula di Stokes dà per attrito una forza che ha modulo uguale a 6 𝜋 𝜂 𝑅 𝑣
3) Si esamini in particolare il caso : 𝑄 = 10; 𝑣0 = 4 𝑐𝑚 ∗ 𝑠−1; 𝐸 = 5 ∗ 104 𝑉
𝑐𝑚, essendo 𝐸 il campo esistente fra le armature.
4) Si illustri la portata dell’esperimento di Millikan per la determinazione della carica dell’elettrone.
ANALISI DELLA TRACCIA,INDICAZIONI TEORICHE, CONSIDERAZIONI SUL PROCEDIMENT0 RISOLUTIVO
Il testo propone l’analisi del moto di una particella carica iniettata nel campo elettrico creato fra le armature di un condensatore piano. Rispetto ai problemi proposti negli anni precedenti questa proposta appare piuttosto complessa, non solo per il fatto che la soluzione richiede l’integrazione di una equazione differenziale del primo ordine, ma anche perché il testo invita a descrivere le caratteristiche dinamiche del moto della particella carica fra le armature del condensatore sia nel vuoto sia quando tale moto avviene in ambiente viscoso ( vedi formula di Stokes).
Sulla particella carica agiscono nel vuoto due forze: la forza peso e la forza dovuta al campo elettrico ( costante) stabilito fra le armature del condensatore . La particella si muoverà, quindi, con accelerazione costante, cioè il moto della particella sarà uniformemente accelerato. Inoltre essa è soggetta all’azione di una forza verticale e, non essendo presenti all’inizio componenti orizzontali della velocità, il suo moto ha luogo lungo l’asse verticale.
Trattandosi di un moto uniformemente accelerato, la legge oraria del moto è: 𝑦 𝑡 = 1
2 𝑎𝑡
2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑦0
Poiché nel caso in esame, si ha :
𝑎 = 𝑔 + 𝑎𝑒𝑙 = 𝑔 + 𝑞 𝑉 𝑚 𝑑 la legge oraria del moto risulta,nel caso generale:
𝑦 𝑡 = 1 2 𝑎𝑡 2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑦0 = 1 2 𝑔 + 𝑞 𝑉 𝑚 𝑑 𝑡 2 + 𝑣𝑜𝑡 + 𝑦0
Nel caso in cui, invece, il moto avviene nell’aria e la particella sia una gocciolina d’olio, carica positivamente con 𝑄 cariche elementari, posta a distanza uguale dalle armature e con velocità iniziale 𝑣0 diretta verso l’alto