Fenomenologia SIT

12.2 Fenomenologia SIT

Vogliamo qui dare una descrizione fenomenologica del SIT per chiarire fisi-camente quali sono le fasi di cui si compone il processo durante il quale l’impulso ultra-corto coerente interagisce col dielettrico assorbente risonante - [37].

Innanzitutto `e bene notare che gli effetti derivanti dall’assorbimento di radiazione coerente - od incoerente - debole sono sostanzialmente differenti da quelli che possono essere osservati nell’assorbimento di radiazione molto intensa.

Nel primo caso, il processo di assorbimento trova una corretta interpre-tazione utilizzando un approccio dispersivo lineare, in particolar modo se il livello energetico dello stato fondamentale del mezzo assorbente subisce una diminuzione minima della popolazione a causa della radiazione incidente. A poco a poco che l’intensit`a della radiazione risonante aumenta, il problema lineare pu`o essere perturbato per tener conto di una debole nonlinearit`a.

D’altra parte, considerando radiazioni impulsive coerenti di grande in-tensit`a, l’ampiezza temporale dell’impulso ha un effetto critico se risulta es-sere comparabile - o eventualmente pi`u piccola - del tempo di smorzamen-to del mezzo risonante: la variazione della popolazione degli stati diviene marcatamente nonlineare e dipendente dal tempo.

Consideriamo per semplicit`a un sistema a due soli livelli energetici, non degenere, come modello del mezzo assorbente risonante (per approfondimen-ti si veda [40]). Poniamo che il mezzo abbia dimensioni molto pi`u grandi dell’impulso luce, ovvero che la lunghezza d’onda della radiazione sia molto pi`u piccola delle dimensioni del mezzo e che quest’ultimo non sia contenuto in alcuna cavit`a.

Quando un impulso entra ed attraversa il mezzo nella parte iniziale, una frazione di energia dell’impulso viene assorbita e trattenuta come energia di eccitazione del sistema a due livelli; dopo poche lunghezze di assorbimento, l’intensit`a dell’impulso decresce seguendo la legge di assorbimento di Beer 1. Sebbene i dipoli risultino eccitati dopo che l’impulso `e passato, essi non sono in grado di irradiare l’energia di eccitazione acquisita poich`e velocemente si sfasano a causa dello spettro di frequenze verso il quale sono stati eccitati. Fino al momento in cui `e presente un dato gruppo di dipoli eccitati coe-rentemente dall’impulso, l’assorbimento viene indotto dalla risonanza grazie

1La legge empirica di (Lambert-)Beer afferma che T = ^Iout

Iin = e−kλl, dove T `e la trasmittivit`a, Iin `e l’intensit`a della radiazione incidente, Iout di quella uscente, kλ `e il coefficiente di estinzione ed l `e la lunghezza del mezzo attraversato.

142 Propagazione di impulsi ultracorti in mezzi risonanti

Assorbimento Emissione

Eccitato

Fondamentale

Figura 12.1: Schema del processo di assorbimento indotto ed emissione stimolata.

alla quale un contributo del campo elettrico irradiato dai dipoli contrasta il campo elettrico dominante.

Comunque, se l’intensit`a dell’impulso iniziale `e sufficiente per eccitare i dipoli risonanti verso uno stato saturo energeticamente prima che l’impul-so stesl’impul-so svanisca, una certa quantit`a di energia della radiazione dell’emis-sione indotta `e riacquisita coerentemente dalla parte rimanente dell’impulso. Ne segue che il campo elettrico generato dalla polarizzazione indotta va a sommarsi a quello dominante.

Una volta che il processo di emissione si instaura all’ordine pi`u basso, esso diventa sempre pi`u favorito a mano a mano che l’impulso si propaga nel mezzo, sino a che non viene raggiunta la condizione di equilibrio: l’energia

dell’emissione indotta, trasferita al fascio di luce durante l’ultima met`a del-l’impulso, diventa uguale all’energia dell’assorbimento indotto, trasportata dal fascio di luce durante la prima met`a.

Questa `e la dinamica della trasparenza auto-indotta. La condizione per-ch`e questa si mantenga si riassume nella propriet`a del sistema di far seguire

all’assorbimento coerente indotto dell’energia dell’impulso durante la prima met`a di questo, un’emissione coerente stimolata della stessa quantit`a di ener-gia lungo la direzione del fascio di luce nella seconda met`a dell’impulso. In

figura 12.1, riportiamo lo schema del processo appena descritto.

In questa descrizione, abbiamo assunto molto piccole le attenuazioni cau-sate dagli smorzamenti o dalle perdite per diffusione, ma sostanzialmente gli effetti di trasparenza risultano pressoch`e inalterati se l’ampiezza temporale dell’impulso `e piccola rispetto al tempo di smorzamento.

Nel caso di un’onda piana, la stabilit`a `e raggiunta se l’impulso entrante si evolve secondo una funzione secante iperbolica (come avremo modo di mostrare analiticamente) nelle variabili temporale e spaziale, e soddisfa ad una seconda propriet`a - da cui deriva il nome, spesso usato in letteratura,

12.2 Fenomenologia SIT 143

Figura 12.2: Evoluzione di impulsi-2π per diverse intensit`a.

di impulso-2π: se andiamo, infatti, a calcolare l’integrale temporale di tale impulso, in opportune unit`a di misura, il risultato `e 2π: 2P

}

R_∞

−∞E(t) dt = 2π,

dove P `e l’elemento della matrice di dipolo ed } `e la costante di Planck divisa per 2π (vedi§ 13.1). La velocit`a dell’impulso nel mezzo attenuatore `e minore rispetto a quella della luce non risonante a causa del continuo assorbimento di energia dal picco iniziale dell’impulso e dell’emissione dell’energia verso la restante parte.

Facciamo notare infine che il fenomeno della trasparenza non si verifica solamente nel caso speciale della trasmissione di un singolo impulso: in ge-nerale, quando lo smorzamento `e piccolo, un singolo impulso di sufficiente intensit`a (ovvero, con un’area estesa, corrispondente all’integrale temporale del campo elettrico associato) pu`o suddividersi in due o pi`u impulsi-2π auto-propagantisi, accompagnati eventualmente da radiazione che decade in modo esponenziale. All’uscita dal mezzo, l’impulso finale pu`o essere caratterizza-to da una sovrapposizione di impulsi-2π con varie ampiezze, fasi, tempi di ritardo e frequenze centrali. Tali comportamenti sono stati osservati negli esperimenti di Slusher e Gibbs - [39]. In figura 12.2, sono mostrati i risultati di una serie di osservazioni (grafico a sinistra) e simulazioni (grafico a destra) in cui l’intensit`a iniziale dell’impulso (linea tratteggiata) assume diversi val-ori (la linea continua corrisponde all’impulso finale): per il pi`u basso (a), si ha il semplice assorbimento dell’impulso; nei casi (b) e (c), si osserva il formarsi dell’impulso-2π, mentre per intensit`a ancora pi`u elevate, casi (d) ed (e), l’impulso iniziale si suddivide in due e tre impulsi-2π, rispettivamente.

Capitolo 13

Derivazione delle equazioni SIT

In questo capitolo, deriviamo le equazioni SIT: partendo dalle equazioni di Maxwell-Bloch (MB) che esprimono l’interazione tra il campo elettrico in-cidente ed il dielettrico, sviluppiamo il metodo perturbativo multiscala dal quale ricaviamo le equazioni SIT - [42]. Successivamente, mostriamo come l’equazione di sine-Gordon (SG) emerga dalle SIT in assenza di distribuzione disomogenea delle risonanze.

13.1 Equazioni di Maxwell-Bloch

Come discusso in § 12.2, il SIT `e un fenomeno che si verifica quando un ma-teriale dielettrico assorbente `e irradiato da un campo elettrico (ad esempio, un fascio laser) ad una frequenza vicina a quella di risonanza del mezzo.

Al fine di ricavare le equazioni del modello, consideriamo la versione pi`u semplice di materiale dielettrico che consiste in un sistema quantistico a due

livelli - [40], nel quale si riconoscono, quindi, uno stato fondamentale ed uno

eccitato. Supponiamo che non ci sia alcuna degenerazione dei livelli e che gli atomi si trovino inizialmente nel loro stato fondamentale, cio`e che il mezzo si comporti da attenuatore 1.

Il campo elettrico incidente ha una frequenza prossima a quella di riso-nanza degli atomi ed in tali condizioni riesce ad eccitarli. Il trasferimento di energia dal campo elettrico al mezzo `e di solito irreversibile ed `e in grado di privare l’impulso di tutta la sua energia. Il tasso di energia assorbita da parte del mezzo `e dato dalla legge di Beer (§ 12.2).

Per far s`ı che il fenomeno si verifichi `e necessario che un impulso ultra-corto e sufficientemente intenso assuma un particolare profilo temporale in

1Nel caso opposto, in cui gli atomi si trovano nello stato eccitato, si parla di mezzo amplificatore. Per il caso degenere, si faccia riferimento a [42].

13.1 Equazioni di Maxwell-Bloch 145

modo tale che il fronte dell’onda possa cedere energia (in modo coerente) al mezzo, il quale a sua volta la mantiene per un certo intervallo di tempo per poi restituirla (sempre coerentemente) alla seconda parte dell’impulso.

Per una particolare scelta dell’impulso, accade che il sistema di atomi

si mantiene nel suo stato fondamentale, non si riscontra alcuna perdita di energia e l’impulso si propaga con una velocit`a ridotta attraverso il mezzo, il quale pu`o dirsi a tutti gli effetti trasparente.

Consideriamo, allora, le equazioni di Maxwell. Per un materiale dielet-trico ideale queste si riducono a

1

c2 E_tt+ µ₀P_tt+ ∇ × ∇ × E = 0 . (13.1) Qui, E `e il campo elettrico incidente, P `e la polarizzazione totale del mate-riale, dovuta sia ai dipoli risonanti che a quelli non risonanti; c `e la velocit`a della luce nel mezzo e µ0 `e la permeabilit`a magnetica del vuoto.

Nella nostra descrizione assumiamo per convenienza che P rappresenti solo la polarizzazione legata ai dipoli risonanti e a quelli vicini alla risonanza. Tale interpretazione `e valida se poniamo che c coincida con la velocit`a di fase della luce nel mezzo quando i dipoli risonanti (o vicini alla risonanza) sono assenti. Ponendoci, ad esempio, nelle condizioni dell’esperimento di McCall ed Hahn - [37] e [38], condotto su un campione di rubidio (Rb), la frazione di ioni risonanti di Cr3+, presenti nell’Al₂O₃, `e molto piccola: in questa situazione, c `e la velocit`a di fase della luce nell’Al2O3 e P `e la polarizzazione dovuta ai soli ioni di Cr3+.

Assumiamo che i dipoli risonanti siano ditribuiti in modo tale da interagire col campo elettrico incidente, ma senza alcuna interazione mutua dipolo-dipolo. Sotto queste condizioni, sia p(x, t; ω) la polarizzazione di un singolo dipolo (di modulo p) nello schema a due livelli con frequenza di transizione

ω e sia eη(x, t; ω) la differenza tra le densit`a normalizzate di popolazioni dello

stato eccitato e di quello fondamentale. Vale, dunque, che |eη| ≤ 1 e che

e

η = −1 se tutti i dipoli con frequenza ω si trovano nello stato fondamentale

(assumiamo inoltre che tale situazione sussista anche per t → −∞).

Da considerazioni legate alla natura quantistica del processo - [41] (in par-ticolare l’appendice A), si pu`o mostrare che p, eη ed E sono legati attraverso

le seguenti relazioni: p_tt+ ω2p = −¹ 3 µ 2ωP h ¶ E eη , (13.2) e η_t = µ 2 hω ¶ E · p_t, (13.3)

146 Derivazione delle equazioni SIT

dove h `e la costante di Planck e P `e l’elemento della matrice di dipolo per una data transizione ed `e dell’ordine P = O(q¯r) in cui q `e la carica

dell’elettrone ed ¯r `e il raggio medio dei dipoli. Notiamo che per il nostro

problema (1+1)-dimensionale, il fattore 1

3 nella (13.2) viene omesso poich`e tiene conto di tutte le possibili orientazioni spaziali permesse per il sistema a due livelli.

Come gi`a anticipato in§ 12.2, i termini di smorzamento e di rilassamento lento possono essere inclusi nelle (13.2), (13.3) (come mostrano le simulazioni e le osservazioni effettuate da Slusher e Gibbs - [39]). Pur omettendo tali effetti nella descrizione del fenomeno, dobbiamo ricordarci per`o del fatto che il nostro modello non sarebbe pi`u valido se ciascun dipolo rimanesse eccitato per un tempo comparabile a quello di rilassamento del sistema molecolare (ad esempio, nel caso dei vapori di Rb usati nell’esperimento di Slusher e Gibbs, il tempo pi`u breve `e circa 3 × 10−8 sec - [39]).

Abbiamo assunto che vi fossero dipoli esattamente risonanti ed altri vicini

alla risonanza. Per descrivere questa situazione in cui alcuni dipoli non

cadono precisamente sulla frequenza del campo incidente, introduciamo il modello della distribuzione disomogenea in cui le frequenze di transizione dei dipoli risonanti non sono identiche, ma distribuite (secondo una funzione di distribuzione normalizzata, ad esempio una gaussiana od una lorentziana) attorno alla frequenza centrale di risonanza ω₀. Tale situazione, che viene a crearsi negli esperimenti, `e dovuta allo spostamento delle frequenze per effetto Doppler (Doppler frequency shift) nel caso dei gas, ed ai campi elettrostatico all’interno del cristallino e magnetico nel caso dei solidi. Richiediamo dunque che

|ω − ω₀| ¿ ω₀,

come condizione di quasi-risonanza. Se vi sono N₀ dipoli risonanti (costanti) per unit`a di volume, la polarizzazione totale P si pu`o scrivere cos`ı:

P = N₀ Z _+∞

−∞

p(x, t; ω) g(ω) dω = N₀hpi , (13.4) dove g(ω) `e la densit`a di probabilit`a (il termine che rappresenta la distri-buzione disomogenea) normalizzata all’unit`a: ^R_−∞^∞ g dω = 1. Le parentesi

acute h. . .i rappresentano l’operazione di integrazione ^R_−∞^∞ (. . .) g(ω) dω sullo spettro disomogeneo di frequenze .

Riassumendo, le (13.1)→(13.4) sono le equazioni di Maxwell-Bloch. Osserviamo che tali equazioni sono integrabili e dunque godono di propriet`a speciali (§§ 14.1, 14.6).