u(x, 0) Burgers−→ u(x, t)
Cole-Hopf ↓ ↑ Cole-Hopf−1
ψ(x, 0) Eq.Calore−→ ψ(x, t)
Riassumiamo di seguito le formule di trasformazione: u(x, t) = −2ν a ψx ψ ψ(x, t) = Γ(t) e−2νa Rx x0u(x0,t)dx0 (2.18) dove Γ(t) `e una funzione arbitraria.
Il problema di Cauchy associato all’equazione di Burgers si risolve quindi nel modo seguente:
1. Dal dato iniziale u(x, 0) = ˜u(x), si ricava il corrispondente dato iniziale
della ψ, cio`e ψ(x, 0) = ˜ψ(x) = Γ(0) e−2νa
Rx
x0u(x˜ 0)dx0
, dove x0 e Γ(0) sono costanti arbitrarie; ad esempio, si potrebbe scegliere un profilo in cui
x0 = −∞ e si potrebbe porre Γ = 1 dato che tale funzione non entra nella definizione di u;
2. Si calcola l’evoluzione temporale della ψ: ˜
ψ(x) −→ ψ(x, t) ;
attraverso l’equazione del calore;
3. Si ritorna alla u(x, t), nota ψ(x, t), usando la trasformazione di Cole-Hopf inversa: u(x, t) = −2ν a ψx(x, t) ψ(x, t) .
2.3 Gerarchia di Burgers
Le propriet`a di linearizzabilit`a non appartengono solo all’equazione di Bur-gers, ma `e possibile individuare una classe di equazioni, o meglio, una
30 L’equazione di Burgers
scopo ora `e individuare tale gerarchia. Consideriamo nuovamente la forma dell’equazione di Burgers (2.9) “pulita”dalle costanti1:
ut+ uux = uxx,
che possiamo anche riscrivere come equazione di continuit`a:
ut= (ux+ u2)x.
Come visto, la trasformazione che linearizza la Burgers `e la trasformazione di Cole-Hopf:
u = ψx
ψ (2.19)
che porta all’equazione del calore
ψt= ψxx.
Poich`e dalla (2.19) si ricava immediatamente
u = ψx
ψ −→ ψx = uψ ,
possiamo riscrivere l’equazione del calore come un sistema di due equazioni differenziali nella sola variabile ψ:
ψx = u ψ ψt = (ux+ u2) ψ (2.20) Notiamo per`o che tale sistema `e sovradeterminato essendo il numero delle equazioni maggiore di quello delle incognite, ed ammette perci`o come soluzione unica la banale, data da ψ = 0.
Per ricercare delle soluzioni non banali, dobbiamo imporre delle condizioni particolari sulla u affinch´e il sistema risulti compatibile.
La condizione di compatibilit`a `e data dal teorema di Schwartz sulle derivate parziali miste 1,
ψxt= ψtx.
1La pulizia, cio`e l’opportuna ridefinizione delle costanti del problema, la si pu`o effet-tuare attraverso dei cambiamenti di sistemi di riferimento ed attraverso adeguati riscala-menti delle variabili. Nel caso specifico della (2.9) abbiamo posto: c = 0 con una trasformazione di Galileo, e a = −2 e ν = 1.
2.3 Gerarchia di Burgers 31 Dalla (2.20): ψxt = utψ + uψt = [ut+ u(ux+ u2)]ψ ψtx = [(ux+ u2)x+ (ux+ u2)u]ψ e dal Lemma di Schwartz:
ut= (ux+ u2)x che `e proprio la Burgers.
L’equazione di Burgers pu`o essere quindi interpretata come condizione
di compatibilit`a del sistema sovradeterminato e quindi come condizione di integrabilit`a della (2.20).
Estendiamo tale ragionamento ad altre equazioni modificando l’equazione del calore in
ψt= ψxxx, (2.21) sempre con la condizione ψx= uψ.
Calcoliamo l’espressione del termine dispersivo sfruttando la trasformazione di Cole-Hopf:
ψxxx = [(ux+ u2)x+ (ux+ u2)u]ψ = (uxx+ 3u ux+ u3)ψ In questo caso 1, la condizione di compatibilit`a `e
ut = uxxx+ 3u2
x+ 3u uxx+ 3u2ux.
Si pu`o generalizzare in ψt = ∂∂xnψn, trovando per ogni ordine n una nuova equazione di compatibilit`a del tipo
ut= Fn µ u, ux, . . . ,∂ nu ∂xn ¶ .
Cerchiamo ora di determinare una formulazione pi`u compatta della ger-archia di Burgers.
Esplicitiamo la trasformazione di Cole-Hopf attraverso una trasformazione di gauge sull’operatore differenziale. Partendo da
u = ψx
ψ = (log(ψ))x= φx.
1Quest’equazione non ha evidenti applicazioni in Fisica, ma `e speciale perch`e linea-rizzabile con la trasformazione di Cole-Hopf. Contrariamente, la (2.9) pu`o essere un buon modello per studiare il flusso di acqua in un canale sotto opportuni regimi (ad esem-pio, di grandi lunghezze d’onda, come gi`a anticipato per la KdV, nel caso di assenza di dispersione.)
32 L’equazione di Burgers Definiamo l’operatore D = e−φ∂xeφ, tale che D1 = φx = u D21 = Du = ux+ u2 D31 = uxx+ 3uxu + u3 ... Dn = ¡e−φ∂xeφ¢n= e−φ∂xneφ
L’ equazione che si ottiene all’ n-esimo ordine possiamo riscriverla di con-seguenza come:
ut= (Dn1)x.
L’equazione di Burgers appare pertanto come secondo membro di una ge-rarchia di equazioni di evoluzione, tutte linearizzabili ed integrabili, tramite una trasformazione di Cole-Hopf, e tutte caratterizzabili come condizioni di compatibilit`a di sistemi sovradeterminati quale il (2.20).
Capitolo 3
Propagazione ondosa in fluidi e
solidi
3.1 Meccanica dei Fluidi e Curve
Caratteris-tiche
Abbiamo visto come la diversa scelta della corrente j nell’equazione di
con-tinuit`a ci abbia portato ad equazioni ogni volta sempre differenti. A partire
da ρt + jx = 0 (3.1) e scegliendo: j(x) =
c ρ , equazione di propagazione lineare
c ρ + a
2ρ2 , equazione dell’ onda di shock
c ρ + a
2ρ2 + νρx , equazione di Burgers
siamo giunti a tre equazioni differenti, ognuna in grado di modellizzare sistemi fisici diversi.
Nell’ambito della Fluidodinamica, `e naturale interpretare la densit`a ρ come la densit`a di massa del fluido , e la corrente j come il flusso :
j = ρ v
con v velocit`a delle particelle costituenti il sistema.
La relazione di continuit`a ci permette cos`ı di legare i due campi di densit`a e di velocit`a del fluido:
34 Propagazione ondosa in fluidi e solidi
Tuttavia perch`e i due campi possano essere determinati univocamente occorre introdurre un’altra relazione.
Se il fluido non `e soggetto a forze esterne, possiamo pensare che un’altra grandezza conservata sia la densit`a di quantit`a di moto q:
q = ρ v
soddisfacente anch’essa ad un’equazione di continuit`a del tipo:
(ρ v )t + (ρ v2)x = 0 (3.3) Abbiamo cos`ı un sistema di due equazioni che possiamo sperare di risol-vere nei due campi incogniti di densit`a di massa e di velocit`a.
Sfruttando le due equazioni a disposizione riscriviamo il sistema nella forma: ρt + (ρ v )x = 0 , ρ(x, 0) = ρ0(x) vt + v vx = 0 , v(x, 0) = v0(x) (3.4) di due equazioni accoppiate.
La seconda equazione `e proprio l’equazione dell’onda di shock di cui conosciamo la soluzione implicita:
v(x, t) = v0(x − v(x, t) t) (3.5)
con v0 profilo iniziale dell’onda. Nota la v(x, t) possiamo procedere con l’integrare la prima delle (3.4):
ρt + ρ vx + v ρx = 0 (3.6) Cerchiamone una del tipo:
ρ = ρ(x(s), t(s))
tale che la derivata totale della ρ rispetto al parametro caratteristico s sia data da dρ ds = dρ dx dx ds + dρ dt dt ds (3.7)
Notiamo che la variazione totale di ρ rispetto ad s `e uguale a − vxρ solo
se valgono le:
dx
ds = v(x(s), t(s)) ,
dt
ds = 1 (3.8)
Le curve x = x(t) e t = t prendono il nome di curve caratteristiche del sistema e rappresentano le traiettorie seguite dalle particelle del fluido nel piano (x, t).