Figure sulla soglia e Linguaggi di Programmazione

Tamil Nadu è uno stato federato dell’India meridionale, in cui ogni giorno le donne disegnano sulla soglia di casa delle immagini: i kolam, di cui alcuni esempi sono presenti in Figura 1.5. Possono essere formati da una linea unica o da più linee e sono costituiti da sottounità fondamentali che si ripetono.

Figura 1.5: Esempi di kolam.

Kolam significa bellezza, grazia, forma, si tratta di un concetto collegato al- l’ordine come elemento fondamentale della bellezza. Ogni ragazza apprende a realizzare queste immagini dalla madre, per eseguire correttamente i ko- lam sono necessarie abilità, disciplina mentale e capacità di concentrazione. Servono a dare il benvenuto agli ospiti o a tenere lontane le disgrazie. Rap- presentano oggetti, animali o piante.

Ci sono diverse tipologie di kolam. Per realizzare una di queste si dispone in principio una griglia di punti, chiamati pulli. Alcuni kolam sono costruiti tracciando le linee che collegano i pulli, altri invece linee che vi girano intor- no. Presentano delle simmetrie, possono essere riflessioni rispetto all’ asse verticale, all’asse orizzontale, o centri di rotazioni di 45◦, 60◦, 90◦ o 180◦. Nella stessa immagine possono presentarsi una o più simmetrie.

Tra le sfide degli informatici c’è stata quella di riprodurre i kolam attraverso linguaggi di immagini, cioè linguaggi informatici specifici per la riproduzione di immagini: da una stringa di simboli si realizza un’immagine.

Il primo che stabilì un collegamento tra kolam e informatica fu Gift Siro- money, studioso di matematica e statistica del Madras Christian Collage in Tamil Nadu, come si può leggere in [23]. Dopo aver seguito un corso di in- formatica si dedicò alle interazioni tra questa disciplina e la cultura. Con la moglie si occupò dello studio di linguaggi di immagini. Questi linguaggi sono formati da insiemi di immagini elementari e da regole specifiche per combi- nare le varie unità, attravarso la costruzione di algoritmi. L’uso di questi linguaggi evidenziò la struttura interna dei kolam.

Un contributo importante in questo campo fu dato dal biologo ungherese Aristid Lindenmayer, che sviluppò un particolare linguaggio di immagini chiamato L-system.

In generale per ogni linguaggio di immagini esistono: • un alfabeto:= un insieme di simboli;

• un assioma:= una stringa iniziale;

• delle regole di produzione:= un insieme di regole per creare nuove stringhe di simboli a partire dai precedenti;

• gli esiti := le stringhe che derivano dall’applicazione delle regole di produzione.

Se ogni simbolo viene trattato separatamente e indipendentemente dai sim- boli presenti nella stessa stringa il linguaggio è del tipo context-free. Se ogni simbolo ha un’unica regola di produzione il linguaggio si dice deterministico. Un esempio di linguaggio di immagini è quello che permette di far muovere una tartaruga sullo schermo, associando ad ogni lettera dell’alfabeto un co- mando. Stabilita una direzione iniziale, una lunghezza ` e un angolo α, si hanno i comandi:

• F: avanzare di un passo di lunghezza ` tracciando una linea; • f: avanzare di un passo di lunghezza ` senza tracciare una linea; • +: girare in senso antiorario di un angolo α;

• −: girare in senso orario di un angolo α.

Per esempio se `= 1 cm e α= 90◦ la stringa F+F+F+F rappresenterà un quadrato di lato 1cm. In generale, quindi, ad ogni stringa viene associata

un’immagine.

Chiaramente questo linguaggio di immagini produce solo immagini angolate, cioè poligoni. Al contrario, i kolam presentano tratti arrotondati, si possono quindi definire dei linguaggi in cui ci sono lettere che corrispondono a tratti curvilinei, come rappresentato in Figura 1.6. Questo è stato fatto dal gruppo di ricercatori del Madras Christian College, i quali hanno utilizzato il ser- pente, animale importante per la mitologia tamil, al posto della tartaruga.

Figura 1.6: Movimenti per creare i kolam.

Questi linguaggi mettono in evidenza il procedimento di realizzazione di certi kolam. Per esempio l’immagine in Figura 1.7 può essere realizzata con un’u- nica linea, ma nel procedimento per costruirla con il linguaggio di immagini se ne utilizzano quattro identiche ognuna ruotata di 90◦ in senso orario ri- spetto alla precedente, come mostrato.

Figura 1.7: Esempio di costruzione di kolam attraverso un linguaggio di immagini.

La simmetria di rotazione è una caratteristica fondamentale del procedimento di costruzione. I linguaggi sviluppati non ripetono necessariamente le proce- dure delle donne di Tamil Nadu, però sfruttano ed evidenziano le simmetrie presenti nei kolam.

Per le cavigliere di Krishna, il kolam rappresentato in Figura 1.8, si utiliz- zano: • l’alfabeto: F, R1, R3; • l’assioma: R1F R3F R3F R3F R1; • le regole di produzione: 1. F → F ; 2. R1 → R1F R3F R1; 3. R3 → R1F R3F R3F R3F R1;

Figura 1.8: Cavigliere di Krishna.

Un altro esempio interessante di kolam è il serpente, rappresentato in Figura 1.9. Si può costruire scegliendo un angolo α =45◦ e utilizzando:

• l’alfabeto: F, +,−, A, dove A è la sequenza F+F+F–F–F+F+F+F; • l’assioma: A–F–A–F;

Figura 1.9: Il serpente.

Questo studio fornisce un esempio di come l’osservazione della cultura possa fornire occasioni di sviluppo informatico.

L’Alhambra e i Gruppi

Cristallografici Piani

L’arte araba ha sviluppato mosaici e decorazioni di una bellezza straor- dinaria. Un esempio significativo è rappresentato dalla fortezza dell’Alham- bra, a Granada (Spagna), monumento dichiarato Patrimonio dell’umanità nel 1984: “Il bene incorpora apici artisitici unici: è una testimonianza ecce- zionale della Spagna mussulmana del secolo XIV”.

Il tipo di decorazioni utilizzate all’interno dell’Alhambra, e più in generale nell’arte araba, e la loro ricchezza di strutture geometriche, è frutto del valore attribuito dagli arabi alla ricerca matematica e artistica, come sottolineato in [10]. La matematica infatti era vista come un fatto culturale: era concepi- ta come strumento per l’astronomia, l’astrologia, l’ottica, la medicina e per attività quotidiane come pregare, navigare, dividere un’eredità...

La geometria delle decorazioni dell’architettura islamica è espressione delle credenze religiose: dato il divieto di raffigurare Allah e la natura si ricorre all’arte astratta, che fino ai giorni nostri affascina pittori, scrittori e mate- matici. Si indagano quindi le diverse rappresentazioni ottenibili combinando figure geometriche.

Nella cultura araba l’organizazzione socio-politica e religiosa condizionano molto la ricerca artistica e matematica. Perciò, lo studio della geometria utilizzata nelle decorazioni dell’Alhambra ben si presta ad essere affrontato in un’ottica etnomatematica.

In questo capitolo, dopo aver brevemente descritto l’evoluzione storica del- l’Alhambra e della matematica araba, forniremo le nozioni di geometria eu- clidea necessarie per enunciare la classificazione dei gruppi dei fregi e dei gruppi cristallografici (tutti presenti nelle decorazioni dell’Alhambra). Per approfondimenti si veda [1], [2], [11], [15], [17], [24].

2.1

L’Alhambra e la matematica araba

Nel VI secolo l’egemonia culturale passò al mondo arabo. Nel 622 Mao- metto, nato nel 570, si recò da La Mecca a Medina, nel viaggio conosciuto come Egira, che segnò l’inizio dell’Islam. Maometto, già capo religioso, di- venne anche capo militare e inizio l’espansione dello stato islamico, che si estese rapidamente in territori abitati sia da ebrei che da cristiani, ai quali fu offerta protezione e libertà di culto.

Attorno al 750 l’espansione si arrestò e gli arabi iniziarono ad assorbire i saperi delle culture dominate, siriani, greci, egizi, persiani, turchi... Molti testi di matematica e astronomia vennero tradotti dall’India e dalla Grecia, tra cui l’Almagesto di Tolomeo e gli Elementi di Euclide.

Attorno all’800 venne fondata a Bagdad la Casa del sapere, centro intellettua- le cosmopolita, tra i membri c’era il matematico e astronomo al-Khuwarizmi, che scrisse diverse opere, portò in occidente il sistema numerico indiano e dal nome di una sua opera di aritmetica fu coniato il termine algebra, come si legge in [7]. In un testo sviluppa i metodi risolutivi di equazioni di secondo grado, a coefficienti interi positivi. Probabilmente al-Khuwarizmi trae ispira- zione dall’antica matematica babilonese e dalla matematica indiana medie- vale. Si nota l’influenza ellenica nell’esigenza di fornire una rappresentazione geometrica delle procedure di risoluzione delle equazioni.

Gli indiani ragionavano per analogia, erano molto intuitivi, gli arabi affron- tavano la matematica in maniera più strutturata. Sembra inoltre che la complessità delle leggi arabe sull’eredità stimolò lo studio dell’algebra. Gli arabi assimilarono la trigonometria indiana, basata sul calcolo del seno e in seguito sulla tangente, e sull’utilizzo di formule di duplicazione e bise- zione. Inoltre dettero contributi importanti alla fisica e all’astronomia, basti guardare gli studi sul peso specifico e sull’ottica, dove trattarono riflessione e rifrazione.

Arrivarono alla risoluzione di tutte equazioni di terzo grado attraverso l’in- tersezione di coniche. Si può presumere che attraverso la via della seta che collegava Cina e Persia, si sia trasmesso uno schema tipo il triangolo di Pa- scal, utilizzato in Cina.

Erano inoltre affascinati dal quinto postulato di Euclide, che volevano dimo- strare.

Schematizzando la matematica araba si può dividere in:

1. aritmetica, di origine indiana, basata sul principio posizionale;

2. algebra, derivata da fonti greche, indiane e babilonesi, che però assume una forma nuova e sistematica;

3. trigonometria, con origine da principi greci ma con un’impostazione e un utilizzo di funzioni di provenienza indiana;

4. geometria, di origine greca, ma con un apporto di generalizzazioni.

Attorno al 1100 iniziò il declino della scienza araba, ci furono alcune perso- nalità che continuarono gli studi sull’astronomia e sulla trigonometria, dando diversi contributi e introducendo le frazioni decimali (fino a quel momento si faceva uso delle frazioni sessagesimali), ma gli influssi che ebbero in Europa furono limitati.

Nel 1436 l’impero mussulmano collassò e i poli culturali si spostarono in Europa, che contemporaneamente attraversava un periodo di rinascita e svi- luppo culturale.

L’Alhambra nasce nel periodo di massimo splendore dell’impero arabo come fortezza militare sulla collina Sabika, uno dei punti più elevati di Granada, città del sud della Spagna. Le prime fonti che parlano di basi miliatari nella zona risalgono al 899 d.C. In quel periodo quasi tutta la penisola iberica faceva parte del Califfato di Cordoba governato dai mori, che entrarono nel- la penisola nel 711 instaurando prima il regno al-Andalus e poi il Califfato. Divenne residenza reale dal 1238 con Muhammad ibn Nasr, primo sovrano del regno Nazarì di Granada. I mori governano fino alla conquista dei re cattolici Fernando II di Aragona e Isabella I di Castilla. Il 2 gennaio del 1492 il re Boabdil fu costretto a lasciare la città attraversando il sentiero che oggi prende il nome di sospiro del moro.

Dopo la conquista cattolica della penisola iberica e l’espulsione di mori ed ebrei, purtroppo molto della cultura araba andò perso anche a causa della distruzione di migliaia di volumi, come i 400000 testi presenti nella biblio- teca al-Hakam a Cordoba o i libri bruciati nel rogo nella piazza Bibrabla di Granada ordinata dal cardinale Cisneros. Infine con l’espulsione dei mori e degli ebrei la cultura araba scomparve dalla penisola iberica.

Nelle decorazioni dell’Alhambra, frutto della cultura Nazarì, la geometria è utilizzata per suscitare armonia. La sua stessa struttura è basata sulle pro- porzioni pitagoriche e auree, ad esempio per disegnare la facciata del palazzo dei Comares si fa uso dei rettangoli aurei e dei reciproci interni. Per realiza- re i mosaici e i fregi dell’Alhambra si utilizza il metodo di lavoro indiano e arabo: ricerca di nuove idee e pratiche attraverso l’esercizio libero. In questo modo, come vedremo, sono stati rappresentati tutti e diciassette i gruppi cristallografici piani.