Filtraggio dei segnali

Il filtraggio dei segnali è un elemento molto importante per tutte le operazioni e per questo è trattato in un paragrafo separato. Le considerazioni qui riportate sono generali.

Alcuni dei segnali importati nel software sono sottoposti a filtraggio perché durante lo sviluppo sono emersi due problemi:

• il forte rumore presente condizionava la possibilità di individuare con precisione i transitori (ad esempio il momento in cui viene premuto il pedale acceleratore) e quindi disturbava gli algoritmi di selezione;

• nel caso dei canali di cui viene calcolata la derivata, e cioè velocità e giri motore, questi sono campionati con la tecnica del “sample and hold” e quindi i segnali risultanti presentano un tipico andamento a gradini. Al momento del calcolo della derivata approssimata, i gradini causano errore.

Già in precedenza veniva applicato nel foglio di calcolo un filtro a media mobile semplice, correggendo poi il ritardo introdotto manualmente. Il risultato però non era pienamente soddisfacente, principalmente per lo scadente compromesso tra l’effetto filtrante e la conservazione della dinamica del segnale. Per questo motivo si è indagato sul funzionamento di

Analisi concettuale

La media mobile semplice può essere definita dalla funzione (in tempo discreto):

dove con n si è indicata l’ampiezza della finestra considerata. Dalla definizione emerge che il segnale risultante al passo k-esimo è generato dalla combinazione dei valori del segnale originario al passo k, k-1, fino a k-n-1. È chiaro che questo crea qualche problema per i campioni iniziali del segnale, per i quali dovrà essere fornita una definizione alternativa. Caratteristica peculiare di questo tipo di funzione è che il segnale prodotto risulta ritardato di una quantità pari a (n-1)/2 campioni; se il valore di n scelto è dispari, il ritardo è un numero intero di campioni e può essere compensato.

Da un punto di vista di Analisi di Segnali, si può vedere la media mobile come un filtro applicato a segnali discretizzati, in particolare come un filtro a Risposta all’Impulso Finita (FIR), cioè caratterizzato da una risposta al segnale impulso avente durata limitata nel tempo. In particolare presenta una risposta impulsiva costituita da un onda rettangolare, quindi ideale, e una risposta al segnale gradino molto rapida e priva di oscillazioni. Per queste sue caratteristiche, questo tipo di filtro è ottimo per trattare dati di cui si è interessati solo all’andamento nel tempo eliminando rumore generico (non introduce alcun disturbo e sopprime allo stesso modo tutte le frequenze), mentre è pessimo se si desidera uno specifico

𝑦𝑦𝑛𝑛(𝑘𝑘) =1_{𝑛𝑛 � 𝑥𝑥}(𝑘𝑘 + 𝑖𝑖) 0

𝑖𝑖=−𝑛𝑛+1

(9)

Figura 4-1Risposta impulsiva, al gradino e frequenziale della media mobile semplice. Fonte (11)

comportamento in termini frequenziali (scarse prestazioni nella separazione delle frequenze). Qualora si desiderino migliori prestazioni in termini frequenziali, è possibile utilizzare delle varianti del filtro base, la più semplice delle quali prevede di applicare più volte il filtro. Questo sostanzialmente non intacca le ottime performance nel dominio del tempo ma le accresce molto in quello della frequenza: ad esempio applicando due volte la media mobile semplice, il risultato è una risposta impulsiva data da un onda triangolare (in effetti i pesi della media non sono più unitari ma seguono una distribuzione triangolare), una risposta al gradino un po’ meno rapida ma ancora senza oscillazioni indesiderate e una risposta in frequenza decisamente migliore della precedente.

Continuando ad applicare più volte lo stesso filtro, la risposta impulsiva tende asintoticamente ad una gaussiana. Calcolare il filtro applicandolo più volte (cioè per convoluzione con se stesso) è il modo più semplice ma non il più efficiente: in realtà, conoscendo in anticipo la distribuzione che si vuole dare ai pesi della media, è possibile ottenere lo stesso effetto senza dover calcolare esplicitamente tutti i passi intermedi. A tal proposito in letteratura esistono trattazioni che mettono a confronto pregi e difetti di varie distribuzioni, come quella di De La Vallée-Poussin, di Blackman, di Hann, etc.

La procedura che si è scelto di implementare nel software realizza una media mobile a doppio passaggio, con il secondo eseguito in direzione inversa, dalla fine del segnale all’inizio. Questa variante, semplice da realizzare, permette di eliminare perfettamente lo sfasamento temporale tipico della media mobile semplice senza necessità di intervento manuale. Si è ritenuto che questa combinazione migliorasse decisamente le prestazioni filtranti, senza necessità di utilizzare filtri ancora più complessi.

A titolo di esempio, si riporta il calcolo esplicito dei coefficienti della media nel caso si consideri una finestra di 3 campioni. Il segnale prodotto dal primo passaggio è dato da:

Figura 4-3Risposta impulsiva, al gradino e frequenziale della media mobile con distribuzione triangolare dei coefficienti. Fonte (11)

Analisi concettuale

𝑦𝑦3(1) = 𝑥𝑥(1)

𝑦𝑦3(2) = 𝑥𝑥(2)

𝑦𝑦3(3) =𝑥𝑥(3) + 𝑥𝑥(2) + 𝑥𝑥(1)₃

𝑦𝑦3(𝑘𝑘) =𝑥𝑥(𝑘𝑘) + 𝑥𝑥(𝑘𝑘 − 1) + 𝑥𝑥(𝑘𝑘 − 2)₃

Dalla formula è chiaro che il filtro non è efficace per i primi 2 campioni, che si è deciso di lasciare inalterati. Al secondo passaggio si considera la stessa finestra, 3 campioni, ma si inizia dall’ultimo elemento del segnale, composto da N campioni:

𝑦𝑦′3(𝑁𝑁) = 𝑦𝑦3(𝑁𝑁)

𝑦𝑦′3(𝑁𝑁 − 1) = 𝑦𝑦3(𝑁𝑁)

𝑦𝑦′3(𝑁𝑁 − 2) =𝑦𝑦3(𝑁𝑁 − 2) + 𝑦𝑦3(𝑁𝑁 − 1) + 𝑦𝑦₃ 3(𝑁𝑁)

𝑦𝑦′3(𝑁𝑁 − 𝑘𝑘) =𝑦𝑦3(𝑘𝑘) + 𝑦𝑦3(𝑁𝑁 − 𝑘𝑘 + 1) + 𝑦𝑦₃ 3(𝑁𝑁 − 𝑘𝑘 + 2)

Effettuando una sostituzione dei primi valori in questa seconda formula perché compaia il segnale originario si ha, per l’elemento di posto 3:

𝑦𝑦3′ (3) =𝑥𝑥(1) + 2𝑥𝑥(2) + 3𝑥𝑥(3) + 2𝑥𝑥(4) + 𝑥𝑥(5)₉

È chiaro a questo punto che eseguire due volte la media mobile semplice, la seconda volta dall’ultimo elemento al primo, in realtà equivale ad applicare una media mobile centrata, con coefficienti (pesi) non uguali tra loro ma secondo una distribuzione triangolare e finestra di osservazione che riguarda 2n-1 campioni; n è il valore utilizzato per la prima media semplice.

La tecnica necessita quindi di tutto il segnale e pertanto è applicabile solo nel caso di analisi “off-line”, come nel presente progetto: in particolare è necessario conoscere anche campioni “futuri” (sistema non causale) rispetto al campione esaminato.

Per eliminare la necessità di variare il numero di campioni in base al tempo di campionamento per mantenere costante l’efficacia filtrante, si è deciso di utilizzare nel tool una finestra espressa in base tempo (centesimi di secondo). In questo modo, il programma calcola internamente il numero di campioni, dividendo per tempo di campionamento.

Al segnale accelerazione, data la particolare importanza della sua valutazione, è stata dedicata un’attenzione speciale. Poiché si tratta di un segnale ottenuto per derivazione, si è proceduto a filtrare preliminarmente la velocità, per quanto detto sopra, ma a questo punto si poneva il problema della taratura del filtro. Da uno studio effettuato, è emerso come i risultati migliori si ottengano applicando un filtro sia alla velocità che all’accelerazione, con intensità modeste ma omogenee. In §6.1.2, nell’ambito dell’analisi di un caso studio, si vedrà una taratura numerica. Riferimenti: (10) e (11).