3.4 La teoria dell’utilit`a incerta
3.4.1 Formulazione assiomatica
Per la teoria dell’utilit`a incerta esiste un teorema di rappresentazione come nel caso della teoria dell’utilit`a attesa. Tale teorema enuncia il fatto che, data la coerenza delle scelte di un individuo, allora esiste un’utilit`a incerta che rappresenta quel sistema di scelte. La coerenza delle scelte `e data dagli as- siomi della EUU, i quali differiscono da quelli della teoria dell’utilit`a attesa, e sono in un certo senso pi`u complessi. Ricordiamo tuttavia che, a fronte di questa maggiore complessit`a nella definizione della teoria, la EUU possiede una formulazione che permette di non andare incontro a molte delle criticit`a sollevate sulla teoria dell’utilit`a attesa. In questo lavoro di tesi mostreremo anche, a titolo di esempio, come al teoria dell’utilit`a incerta pu`o trattare il paradosso di Ellsberg. Per enunciare gli assiomi relativi alla EUU abbiamo bisogno di definire alcuni tipi di eventi, importanti di per s´e o necessari per dare le definizioni.
Adottando la stessa notazione che abbiamo usato in precedenza in un con- testo leggermente pi`u generale, per ogni f , g ∈F e A ⊂ Ω, indichiamo con f Ag l’atto che coincide con f su A e con g su Ac. In altre parole f Ag `e l’unico atto h tale che A ⊂ {h = f } e Ac⊂ {h = g}. Tale atto rappresenta la “scommessa” che porta l’esito f al verificarsi dell’evento A e l’esito g al verificarsi dell’evento Ac, ovvero al non verificarsi di A. Andiamo ora a definire gli eventi ideali, i quali forniscono la base per calibrare le pref- erenze dell’individuo verso l’incertezza. Consideriamo due diversi atti che si comportano in maniera uguale su Ec e in maniera differente su E. Se E `e un evento ideale, allora la preferenza di un atto sull’altro non dipende dall’esito comune su Ec. Allo stesso modo, se due diversi atti che si com- portano in maniera uguale su E e in maniera differente su Ec, nel caso in cui E sia un evento ideale, la preferenza di un atto sull’altro non dipende dall’esito comune su E. Ecco la definizione formale:
Definizione 10 Un evento E `e detto evento ideale se per ogni atto f , g, h, g0 vale la seguente relazione
f Eh gEh e hE f hEg ⇒ f Eh0 gEh0e h0E f h0Eg.
Definizione 11 Un evento A `e detto evento nullo se f Ah ∼ gAh per ogni f, g, h ∈F .
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Gli eventi non nulli sono quelli che ci permettono di distinguere almeno qualche atto. Indichiamo l’insieme degli eventi ideali conE , e con E+ de-
notiamo l’insieme degli eventi ideali non nulli. Gli eventi diffusi invece sono quelli che intersecano ogni evento ideale non-nullo, e per cui la stessa propriet`a vale per il complementare. Tali eventi vengono utilizzati in questo ambito per rappresentare la completa ignoranza, ovvero la completa inca- pacit`a di quantificare l’incertezza, in quanto non si riesce a trovare nes- sun evento ideale non nullo che intersechi l’evento diffuso o il suo comple- mentare, per cui non vi `e possibilit`a di stimare la probabilit`a dell’evento. Definizione 12 Un evento D si dice diffuso se E ∩ D 6= /0 6= E ∩ Dcper ogni E∈E+.
Indicheremo conD l’insieme dei eventi diffusi. Dunque gli elementi di D consistono di eventi la cui verosimiglianza non pu`o essere vincolata da ele- menti diE+. Andiamo ora a enunciare formalmente gli assiomi che vanno
a formare la teoria dell’utilit`a incerta:
Il primo assioma comprende quelli che erano i primi due assiomi della teo- ria dell’utilit`a attesa, ovvero stabilisce che la relazione binaria che si vuole rappresentare come un’utilit`a deve essere completa e transitiva.
ASSIOMA 1: La relazione binaria `e transitiva e completa, dunque val- gono le seguenti due propriet`a:
– Per ogni coppia di esiti L, M, vale soltanto una delle seguenti: L M, M L, L ∼ M;
– Se L M, e M N, allora L N.
Il secondo assioma `e una ovvia conseguenza del fatto che interpretiamo gli atti come azioni che portano a premi in denaro, e che quindi si preferiscono maggiori premi a minori premi:
3.4 La teoria dell’utilit`a incerta 85
L’ipotesi principale della teoria dell’utilit`a incerta `e che gli agenti usino gli eventi ideali non nulli E+ per quantificare l’incertezza di tutti gli eventi.
Detto pi`u precisamente, se l’evento A contiene esattamente gli stessi ele- menti diE+ dell’evento B, e l’evento Accontiene esattamente gli stessi ele-
menti diE+ dell’evento Bc, allora l’agente pu`o scegliere indifferentemente
se scommettere su A o su B. Il terzo assioma fondamentalmente formal- izza quest’ipotesi. La mianera per esprimere questa propriet`a `e quella di stabilire che `e indifferente scommettere su tutti gli eventi del tipo E ∩ D, se facciamo variare D tra gli eventi diffusi. Questo perch´e ovviamente, se E ∈E e D1, D2∈D, allora: (i) E ∩ D1e E ∩ D2 non contengono elementi
diE+; (ii) (E ∩ D1)ce (E ∩ D2)ccontengono esattamente quegli elementi di
E+ che sono contenuti in Ec.
ASSIOMA 3: Per ogni x, y, D, D0∈D, E ∈ £+, vale
y(E ∩ D)x ∼ y(E ∩ D0)x.
Il quarto assioma esprime una sorta di coerenza che gli atti devono avere, una volta che sono stati fissati gli eventi sui quali si scommette.
ASSIOMA 4: Se y > x e w > z allora yEx yE0ximplica che wEz wE0z.
Sia F0 l’insieme degli atti detti semplici, ovvero quelli per cui f (Ω) `e finito. Un atto semplice f `e ideale se f−1(x) ∈E per ogni x. Denotiamo conFel’insieme degli atti semplici ideali.
ASSIOMA 5: Se f , g ∈Fe e f g, allora esiste una partizione E1, . . . , En
di Ω tale che lEif mEigper ogni i.
L’assioma 6 serve per estendere la rappresentazione dagli atti semplici all’in- sieme di tutti gli atti, per garantire la continuit`a di u, e per garantire la addi- tivit`a numerabile della misura di probabilit`a a priori µ.
ASSIOMA 6: Sia g fn h per ogni n. Allora la convergenza puntuale
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fn∈F a f implica g f h.
Il risultato fondamentale della teoria dell’utilit`a incerta riguarda l’esistenza di una rappresentazione che sia in accordo con tutti gli assiomi enunciati. Tale rappresentazione ha due parametri, ovvero la misura di probabilit`a a priori µ e l’utilit`a di intervallo u che assegna un’utilit`a a ogni intervallo di prezzo [21].
Teorema 5 Una relazione binaria soddisfa agli assiomi 1−6 se e soltanto se esiste una misura di probabilit`a a priori µ e un’utilit`a di intervallo u tale che `e la relazione binaria u
µ data da
Uµ( f ) =
Z
u[ f ]dµ.
La misura di probabilit`a a priori µ `e unica, mentre l’utilit`a di intervallo u `e unica a meno di trasformazioni affini positive.
Le criticit`a della teoria dell’utilit`a attesa che abbiamo fatto presenti hanno a che fare con la percezione dell’incertezza e l’attitudine all’incertezza degli individui che devono prendere le decisioni. Mediante la teoria dell’utilit`a in- certa si possono dare delle definizioni formali di questi due concetti. Questo rappresenta anche un passo importante nella risoluzione di queste criticit`a. Supponiamo dunque che ci siano due decisori a cui sono quindi associate due misure dell’utilit`a, rispettivamente u1
µ1,
u2
µ2. Ci riferiremo al decisore ui
µiindicandolo semplicemente con i.
Definizione 13 Il decisore 1 percepisce la stessa incertezza nell’evento B che il decisore 2 nell’evento A se vale
µ1?(B) = µ2?(A) e µ1?(B) = µ2?(A).
Definizione 14 Il decisore 1 ha la stessa attitudine all’incertezza del de- cisore 2 se u1`e una trasformazione affine u2. Dunque, µ descrive la percezione
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