pi`u di 1000 dollari. Secondo il buon senso dunque, anche se molti non ac- cetterebbero la singola scommessa, quasi tutti accetterebbero le possibilit`a offerte dalle 100 scommesse giocate contemporaneamente.
Notiamo come questi comportamenti di ipotetici individui che ci sembrano “irrazionali” sono legati a due assiomi in particolare, ovvero la propriet`a dell’utilit`a arginale positiva e l’assioma di indipendenza.
3.3
I paradossi di Allais e di Ellsberg
La propriet`a di utilit`a marginale positiva, e l’assioma di indipendenza, ven- gono manipolati in maniera ancora pi`u raffinata di quanto abbiamo visto nella precedente sezione, per dimostrare altre criticit`a della teoria dell’utilit`a attesa, che per la loro apparente assurdit`a sono chiamati paradossi. Due di questi paradossi sono i pi`u conosciuti, il paradosso di Ellsberg, e quello di Allais.
3.3.1
Il paradosso di Ellsberg
Il paradosso di Ellsberg [17] ha come idea di base il fatto che gli individui preferiscono accettare il rischio in situazioni in cui conoscono le rispet- tive probabilit`a, invece che accettarlo in situazioni dove invece tali prob- abilit`a non sono note. Questo tende a essere il comportamento usuale anche quando effettivamente converrebbe prendere del rischio in situazioni dove l’incertezza non si pu`o quantificare a priori. Ellsberg ha proposto due para- dossi, noti come il problema dei 2 colori, che comprende scommesse su due urne, ognuno dei quali coinvolge palline di due diversi colori; e il problema dei 3 colori, che invece riguarda una sola urna che contiene palline di 3 di- versi colori. Nell’esemplificare questo genere di paradossi prenderemo ad esempio il problema dei 2 colori.
Nella sua versione a due colori il paradosso di Ellsberg si pu`o cos`ı formaliz- zare: supponiamo di avere un’urna contente 30 palline rosse, e 60 ulteriori palline di colore giallo oppure nero. A questo punto si pesca una pallina a caso dall’urna, e si propone di fare una scelta tra due differenti scommesse, che chiameremo A e B, in due diversi esperimenti, che indicheremo con 1 e 2. Gli esiti possibili sono descritti nel seguente elenco.
74 TEORIA DELL’UTILITA
– Esperimento 1, scommessa A
100 dollari se viene estratta una pallina rossa. – Esperimento 1, scommessa B
100 dollari se viene estratta una pallina nera. – Esperimento 2, scommessa A
100 dollari se viene estratta una pallina rossa o gialla. – Esperimento 2, scommessa B
100 dollari se viene estratta una pallina nera o gialla.
Osserviamo innanzitutto che i premi in denaro delle diverse scommesse sono sempre gli stessi. Chi preferisce l’esperimento 1 - scommessa A all’esperimento 1 - scommessa B pensa che sia pi`u probabile estrarre una pallina rossa anzich´e una nera. Dunque secondo la teoria dell’utilit`a attesa, lo stesso individuo dovrebbe preferire la l’esperimento 2 - scommessa A all’esperimento 2 - scommessa B, perch´e le scommesse A e B del secondo esperimento entrambe ottenute aggiungendo alla A e alla B i casi in cui si pu`o estrarre una pallina gialla. Tuttavia, il paradosso si verifica perch´e nella pratica la maggior parte delle persone preferisce l’esperimento 1 - scommessa A all’esperimento 1 - scommessa B, ma preferisce l’esperimento 2 - scommessa B all’esperimento 2 - scommessa A.
Uno dei motivi per cui gli individui sono indotti a preferire l’esperimento 1 - scommessa A all’esperimento 1 - scommessa B `e che la probabilit`a dell’estrazione di una pallina rossa `e quantificabile con esattezza (infatti `e uguale a 1/3), mentre la probabilit`a di estrazione di una pallina nera non lo `e. Allo stesso modo, un motivo per cui gli individui sono indotti a preferire l’esperimento 2 - scommessa B all’esperimento 2 - scommessa A `e che la probabilit`a dell’estrazione di una pallina nera o gialla `e quantificabile con esattezza (infatti `e uguale a 2/3), mentre la probabilit`a di estrazione di una pallina rossa o gialla non lo `e.
Come si pu`o facilmente notare dunque, il paradosso di Ellsberg sfrutta l’assioma di indipendenza per ottenere un risultato che non rappresenta le scelte degli individui nella pratica, e lo sfrutta in una situazione in cui l’individuo `e messo di fronte ad un’informazione probabilistica incompleta.
3.3 I paradossi di Allais e di Ellsberg 75
3.3.2
Il paradosso di Allais
Il paradosso di Allais [1] `e un problema in cui si pone un ipotetico individuo di fronte a una scelta tra diverse scommesse. I risultati degli esperimenti condotti ponendo di fronte allo stesso problema persone fisiche, mettono in contraddizione il risultato teorico “atteso” secondo la teoria dell’utilit`a e le scelte effettivamente fatte dagli individui. Una versione del paradosso consiste nello scegliere tra due differenti scommesse, che chiameremo A e B, in due diversi esperimenti, che indicheremo con 1 e 2. Gli esiti possibili sono descritti nel seguente elenco.
– Esperimento 1, scommessa A
- 1 milione di dollari con probabilit`a 100%. – Esperimento 1, scommessa B
- 1 milione di dollari con probabilit`a 89%; - 0 dollari con probabilit`a 1%;
- 5 milioni di dollari con probabilit`a 10%. – Esperimento 2, scommessa A
- 0 dollari con probabilit`a 89%;
-1 milione di dollari con probabilit`a 11%. – Esperimento 2, scommessa B
- 0 dollari con probabilit`a 90%;
- 5 milioni di dollari con probabilit`a 10%.
Il paradosso nasce quando si chiede ai partecipanti di scegliere tra le due dif- ferenti scommesse A e B, negli esperimenti 1 e 2. Molti studi infatti hanno mostrato che la maggior parte degli individui scelgono nell’esperimento 1 la scommessa A, mentre la maggior parte degli individui scelgono nell’esperi- mento 2 la scommessa B [44, 49]. Allais fa osservare che `e ragionevole scegliere le alternative esperimento 1-scommessa A, oppure esperimento 2-scommessa B da sole, ma la scelta contemporanea di esperimento 1- scommessa A e esperimento 2-scommessa B da parte dello stesso individuo non `e in accordo con quanto previsto dalla teoria dell’utilit`a attesa. Per sp- iegare questo disaccordo proviamo a scrivere gli esiti degli esperimenti in un’altra maniera, equivalente a quella data:
– Esperimento 1, scommessa A
76 TEORIA DELL’UTILITA
- 1 milione di dollari con probabilit`a 11%. – Esperimento 1, scommessa B
- 1 milione di dollari con probabilit`a 89%; - 0 dollari con probabilit`a 1%;
- 5 milioni di dollari con probabilit`a 10%. – Esperimento 2, scommessa A
- 0 dollari con probabilit`a 89%;
-1 milione di dollari con probabilit`a 11%. – Esperimento 2, scommessa B
- 0 dollari con probabilit`a 89%; - 0 dollari con probabilit`a 1%;
- 5 milioni di dollari con probabilit`a 10%.
Dati i dati precedenti in questa nuova forma possiamo spiegare facilmente il disaccordo teorico secondo la teoria dell’utilit`a attesa nello scegliere es- perimento 1-scommessa A e esperimento 2-scommessa B. Infatti secondo tale teoria lo stesso esito aggiunto ad ognuno dei due esperimenti (ovvero 1 milione di dollari nell’89% dei casi nell’esperimento 1, e 0 dollari nell’89% dei casi nell’esperimento 2) non dovrebbe avere effetti sulla scelta di A o B, che nel resto dei casi sono esattamente uguali. Quindi esperimento 1- scommessa A e esperimento 2-scommessa A consistono in pratica “nella stessa scelta” secondo la teoria dell’utilit`a attesa, una volta scartato l’esito aggiunto comune. Lo stesso si pu`o dire per esperimento 1-scommessa B e esperimento 2-scommessa B. Ci`o che nei suoi lavori voleva osservare Allais `e il fatto che l’assioma di indipendenza potrebbe non essere vero, almeno nella forma in cui `e enunciato. Se in teoria secondo questo assioma due esiti identici dentro una scommessa dovrebbero essere trattati come irrilevanti, in pratica la scelta su una parte della scommessa dipende in maniera deter- minante degli esiti possibili di altre parti della scommessa. Nell’esempio in questione, in esperimento 1- scommessa B la possibilit`a di 0 dollari nell’1% dei casi porta con s´e anche il timore di accettare la scommessa e non prendere nulla, sapendo che nel caso esperimento 1-scomessa A si pu`o guadagnare nel 100% dei casi. Questo “timore” `e appunto legato al resto degli esiti possibili, proprio quelli che secondo l’assioma di indipendenza non dovrebbero essere tenuti da conto.