Data una funzione f :
è possibile considerare la funzione inversa f 1che a y associa la sua controimmagine.
Se però si ha una situazione di questo tipo:
la corrispondenza che a y associa la sua controimmagine non è una funzione (perché ad uno stesso elemento y = f (x) corrispondono due - o più - controimmagini x1; x2).
98 Capitolo 2. Funzioni Per poter parlare di funzione inversa occorre allora che f sia iniettiva, cioè:
x16= x2) f(x1) 6= f(x2)
Vale a questo proposito la seguente de…nizione:
De…nizione 19 Data una funzione f : A X ! Y iniettiva, si chiama inversa di f la funzione, indicata con f 1, de…nita su f (X) e a valori in X che ad ogni y 2 f(X)
associa la sua controimmagine x.
Si deve inoltre tenere presente che la notazione f 1non equivale a 1
f (x) (cioè non
rappresenta il reciproco di f ).
Nel caso di una funzione reale di variabile reale iniettiva: y = f (x) con f : X R ! R si chiama inversa di f (x) la funzione:
x = f 1(y) con f 1: f (X) ! X tale che:
f (x) = y cioè f f 1(y) = y e gra…camente:
In pratica, per stabilire se una funzione è invertibile occorre innanzitutto veri…- care che sia iniettiva (ad esempio con il criterio della retta orizzontale), dopodiché è possibile ricavare l’espressione analitica della funzione inversa esprimendo la variabile x in termini della variabile y, ottenendo quindi x = f 1(y). Si deve inoltre tenere
presente che, passando da una funzione alla sua inversa, il dominio e l’insieme delle immagini si scambiano tra di loro, cioè quello che è il dominio della funzione diretta diventa l’insieme delle immagini della funzione inversa e viceversa. I gra…ci di una funzione e della sua inversa, in…ne, risultano simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante y = x, cioè si ha che:
(x; y) 2 Gf ) (y; x) 2 Gf 1
Si può inoltre osservare che una funzione f : X R ! R continua è invertibile su X se e solo se è strettamente monotona su X; se invece la funzione non è continua, allora la stretta monotonia è una condizione su¢ ciente (ma non necessaria) per l’invertibilità, cioè si ha:
(i) f continua f invertibile , f strettamente monotòna (ii) f non continua f strettamente monotòna ) f invertibile
Esempio 2.26 Data la funzione:
f (x) = x3+ 1
veri…care se essa è iniettiva e, in caso a¤ ermativo, determinare la funzione inversa. Il gra…co della funzione è:
da cui risulta evidente che f (x) è strettamente crescente su tutto R, quindi è iniettiva ed invertibile su tutto R. La funzione inversa si ottiene considerando:
100 Capitolo 2. Funzioni ed è data da:
x = f 1(y) =p3 y 1
e anche (indicando nuovamente con x la variabile indipendente): y = f 1(x) =p3
x 1
Il gra…co (nel quale sono riportate sia la funzione f sia la sua inversa f 1) è il seguente:
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni, in…ne, si ha:
funzione diretta f D = R I = R funzione inversa f 1 D = R I = R
Esempio 2.27 Data la funzione: f (x) = 8 > < > : p x se x 0 1 x se x > 0
veri…care se essa è iniettiva e, in caso a¤ ermativo, determinare la funzione inversa. Il gra…co della funzione è:
da cui risulta evidente che in questo caso f (x) non è strettamente monotòna su tutto R (infatti è strettamente monotòna decrescente sull’intervallo ( 1; 0] e strettamente monotòna crescente sull’intervallo (0; +1) ma non è monotòna su R nel suo insieme), tuttavia è iniettiva e quindi invertibile su tutto R (in e¤etti in questo caso la funzione non è continua – in particolare ha una discontinuità nell’origine – per cui, come indicato prima, la stretta monotonia è una condizione su¢ ciente, ma non necessaria, per l’invertibilità). La funzione inversa si ottiene considerando:
8 > < > : y =p x se x 0 ) x = y2 se y 0 y = 1 x se x > 0 ) x = 1 y se y < 0
(dove i valori assunti dalla y in ciascuno dei due tratti della funzione inversa possono essere determinati osservando i valori assunti dalla medesima variabile nella corrispon- dente parte di gra…co della funzione diretta) ed è data (indicando con x la variabile indipendente) da: f 1(x) = 8 > < > : 1 x se x < 0 x2 se x 0
Il gra…co della funzione inversa è il seguente:
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni, in…ne, si ha:
funzione diretta f D = R I = R funzione inversa f 1 D = R I = R
102 Capitolo 2. Funzioni Esempio 2.28 Data la funzione:
f (x) = x2+ 3
veri…care se essa è iniettiva e, in caso a¤ ermativo, determinare la funzione inversa. Il gra…co della funzione è:
da cui risulta evidente che in questo caso f (x) non è iniettiva su R (infatti vi sono rette parallele all’asse delle ascisse che intersecano il gra…co della funzione in due punti), quindi non è invertibile. La funzione diventa però iniettiva (e quindi inverti- bile) considerando separatamente gli intervalli ( 1; 0] e [0; +1). Le corrispondenti funzioni inverse (cioè le inverse delle restrizioni di f a ciascuno dei due intervalli su cui f è iniettiva) si ottengono considerando:
su ( 1; 0] y = x2+ 3 ) x2= y 3 ) x = py 3 se y 3
su [0; +1) y = x2+ 3 ) x2= y 3 ) x = +py 3 se y 3
A questo proposito si deve osservare che sul primo dei due intervalli l’espressione corretta da utilizzare è py 3 in quanto i valori corrispondenti della x sono nega- tivi (infatti l’intervallo sul quale si sta e¤ettuando il calcolo della funzione inversa è ( 1; 0]) e tali valori si ottengono considerando appunto la radice quadrata di y 3 pre- ceduta dal segno negativo; sul secondo dei due intervalli, invece, l’espressione corretta da utilizzare è +py 3 in quanto i valori corrispondenti della x sono positivi (infat- ti l’intervallo sul quale si sta e¤ettuando il calcolo della funzione inversa è [0; +1)) e tali valori si ottengono considerando la radice quadrata di y 3 preceduta dal segno positivo. Si ha allora che la funzione inversa della restrizione di f all’intervallo ( 1; 0] è data (indicando con x la variabile indipendente) da:
il gra…co (nel quale sono riportate sia f sia f 1) è:
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = ( 1; 0] I = [3; +1)
funzione inversa f 1 D = [3; +1) I = ( 1; 0]
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo [0; +1), invece, è data da: f 1(x) =px 3 se x 3
104 Capitolo 2. Funzioni e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha:
funzione diretta f D = [0; +1) I = [3; +1) funzione inversa f 1 D = [3; +1) I = [0; +1)
In questo caso, quindi, la funzione f non è iniettiva e perciò non è invertibile, mentre lo sono le sue restrizioni agli intervalli ( 1; 0] e [0; +1), e le corrispondenti funzioni inverse sono quelle sopra ricavate.
Esempio 2.29 Data la funzione:
f (x) = 8 > > > > < > > > > : ex+ 2 se x 0 p x se 0 < x < 2 x se x 2
veri…care se essa è iniettiva e, in caso a¤ ermativo, determinare la funzione inversa. Il gra…co della funzione è:
da cui risulta evidente che in questo caso f (x) non è iniettiva su R, quindi non è invertibile. La funzione diventa però iniettiva (e quindi invertibile) considerando sepa- ratamente gli intervalli ( 1; 0], (0; 2) e [2; +1). Le corrispondenti funzioni inverse (cioè le inverse delle restrizioni di f a ciascuno dei tre intervalli su cui f è iniettiva) si ottengono considerando:
su ( 1; 0] y = ex+ 2 ) x = log(y 2) se 2 < y 3
su (0; 2) y = px ) x = y2 se p2 < y < 0 su [2; +1) y = x ) x = y se y 2
A questo proposito occorre tenere presente che gli intervalli di de…nizione di cia- scuna di queste funzioni inverse si determinano osservando sul gra…co le immagini delle corrispondenti restrizioni della funzione diretta (che appunto diventano i domini delle inverse, poiché dominio ed insieme delle immagini si scambiano passando da una funzione alla sua inversa).
Si ha allora che la funzione inversa della restrizione di f all’intervallo ( 1; 0] è data (indicando con x la variabile indipendente) da:
f 1(x) = log(x 2) se 2 < x 3 il suo gra…co è:
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = ( 1; 0] I = (2; 3]
funzione inversa f 1 D = (2; 3] I = ( 1; 0]
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo (0; 2), invece, è data da: f 1(x) = x2 se p2 < x < 0
106 Capitolo 2. Funzioni e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha:
funzione diretta f D = (0; 2) I = ( p2; 0) funzione inversa f 1 D = ( p2; 0) I = (0; 2)
La funzione inversa della restrizione di f all’intervallo [2; +1), in…ne, è data da: f 1(x) = x se x 2
il suo gra…co è:
e per quanto riguarda dominio ed insieme delle immagini delle due funzioni si ha: funzione diretta f D = [2; +1) I = [2; +1)
funzione inversa f 1 D = [2; +1) I = [2; +1)