21 July 2021
AperTO - Archivio Istituzionale Open Access dell'Università di Torino
Original Citation:
Matematica per l'Azienda - seconda edizione
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Availability:
G. GIAPPICHELLI EDITORE
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Claudio Mattalia
Settembre 2020
Prefazione xiii
I
Matematica Generale
1
1 Insiemi e logica 3
1.1 Insiemi: nozioni di base . . . 3
1.2 Operazioni tra insiemi . . . 5
1.3 Prodotto cartesiano . . . 9
1.4 Gli insiemi numerici . . . 10
1.5 Insiemi di numeri reali: gli intervalli . . . 13
1.6 Massimo e minimo, estremo superiore e inferiore . . . 16
1.7 Intorni e topologia . . . 19
1.8 Logica: proposizioni e connettivi . . . 24
1.9 Predicati e quanti…catori . . . 27
1.10 Tautologie, teoremi, dimostrazioni . . . 30
1.11 Esercizi da svolgere . . . 33
1.12 Soluzioni degli esercizi . . . 35
2 Funzioni 43 2.1 De…nizioni . . . 43
2.2 Funzioni monotòne, concave, convesse . . . 48
2.3 Funzioni pari e dispari . . . 51
2.4 Studio di funzioni: dominio, intersezioni con gli assi, segno e simmetrie 52 2.5 Funzioni elementari . . . 59
2.5.1 Funzioni lineari . . . 59
2.5.2 Funzioni quadratiche . . . 64
2.5.3 Funzioni rappresentate da un’iperbole . . . 66
2.5.4 Funzioni potenza . . . 68 2.5.5 Funzioni esponenziali . . . 73 2.5.6 Funzioni logaritmiche . . . 74 2.5.7 Funzioni trigonometriche . . . 76 2.6 Trasformazioni geometriche . . . 83 2.7 Funzioni composte . . . 92
viii Indice
2.8 Funzioni inverse . . . 97
2.9 Successioni e cardinalità degli insiemi . . . 106
2.10 Esercizi da svolgere . . . 109
2.11 Soluzioni degli esercizi . . . 112
3 Limiti e funzioni continue 117 3.1 De…nizioni . . . 117
3.2 Limiti di successioni . . . 124
3.3 Esistenza del limite e teoremi sui limiti . . . 125
3.4 Il calcolo dei limiti . . . 131
3.5 La de…nizione di continuità . . . 131
3.6 I limiti delle funzioni elementari . . . 132
3.7 Il Teorema delle operazioni sui limiti . . . 137
3.8 La risoluzione delle forme di indecisione . . . 142
3.9 Calcolo di limiti: manipolazioni algebriche . . . 144
3.10 Calcolo di limiti: in…nitesimi ed in…niti . . . 146
3.11 Calcolo di limiti: limiti notevoli . . . 150
3.12 Calcolo di limiti: regola di de l’Hospital . . . 154
3.13 Calcolo di limiti: formula di Taylor-Mac Laurin . . . 158
3.14 Asintoti . . . 164
3.15 Funzioni continue . . . 167
3.16 Teoremi sulle funzioni continue . . . 173
3.17 Esercizi da svolgere . . . 176
3.18 Soluzioni degli esercizi . . . 180
4 Calcolo di¤erenziale 183 4.1 La de…nizione di derivata . . . 183
4.2 Signi…cato geometrico della derivata . . . 193
4.3 Di¤erenziabilità di una funzione . . . 194
4.4 Derivabilità e continuità . . . 199
4.5 Le derivate in Economia . . . 203
4.6 Elasticità di una funzione . . . 204
4.7 Derivate successive . . . 207
4.8 Formula di Taylor-Mac Laurin . . . 208
4.9 Teoremi del calcolo di¤erenziale . . . 213
4.9.1 Teorema di Fermat . . . 213
4.9.2 Teorema di Rolle . . . 215
4.9.3 Teorema di Lagrange . . . 219
4.10 Derivate e comportamento di una funzione . . . 222
4.10.1 Monotonia . . . 223
4.10.2 Massimi e minimi . . . 226
4.10.3 Concavità e convessità . . . 231
4.11 Studio di funzioni . . . 235
4.12 Esercizi da svolgere . . . 240
5 Calcolo integrale 251
5.1 Primitive e integrale inde…nito . . . 251
5.2 Integrale de…nito . . . 261
5.3 Integrali impropri o generalizzati . . . 276
5.3.1 Integrali di funzioni illimitate in corrispondenza di intervalli limitati . . . 276
5.3.2 Integrali di funzioni limitate in corrispondenza di intervalli il-limitati . . . 280
5.4 Esercizi da svolgere . . . 283
5.5 Soluzioni degli esercizi . . . 286
6 Algebra lineare 291 6.1 Vettori: de…nizioni e proprietà . . . 291
6.2 Operazioni tra vettori . . . 295
6.2.1 Somma di vettori . . . 295
6.2.2 Moltiplicazione di un vettore per uno scalare . . . 296
6.2.3 Prodotto scalare tra vettori . . . 296
6.2.4 Norma di un vettore, distanza tra vettori, combinazione lineare di vettori, dipendenza e indipendenza lineare . . . 298
6.3 Matrici: de…nizioni e proprietà . . . 308
6.4 Operazioni tra matrici . . . 310
6.4.1 Somma di matrici . . . 310
6.4.2 Moltiplicazione di una matrice per uno scalare . . . 310
6.4.3 Prodotto di matrici . . . 311
6.5 Determinante di una matrice quadrata . . . 313
6.6 Rango di una matrice . . . 317
6.7 Matrice inversa . . . 319
6.8 Riduzione di una matrice . . . 321
6.9 Sistemi lineari: de…nizioni . . . 326
6.10 Sistemi lineari di n equazioni ed n incognite . . . 330
6.11 Sistemi lineari di m equazioni ed n incognite . . . 332
6.12 Sistemi lineari omogenei . . . 335
6.13 Esercizi da svolgere . . . 338
6.14 Soluzioni degli esercizi . . . 343
7 Funzioni di più variabili 347 7.1 De…nizioni e dominio . . . 347
7.2 Continuità . . . 355
7.3 Derivabilità e di¤erenziabilità . . . 356
7.4 Massimi e minimi liberi . . . 367
7.5 Esercizi da svolgere . . . 373
x Indice
II
Matematica Finanziaria
379
8 Calcolo …nanziario 381
8.1 Capitalizzazione e attualizzazione . . . 381
8.2 Regimi …nanziari e leggi …nanziarie . . . 382
8.2.1 Capitalizzazione semplice . . . 383
8.2.2 Capitalizzazione composta . . . 387
8.2.3 Capitalizzazione a interessi semplici anticipati . . . 392
8.3 Montanti e valori attuali di più somme . . . 396
8.4 Rendite in capitalizzazione composta . . . 398
8.5 Esercizi da svolgere . . . 404
8.6 Soluzioni degli esercizi . . . 407
9 Scelte …nanziarie 409 9.1 DCF di un’operazione …nanziaria . . . 409
9.2 Valore Attuale Netto e criterio del VAN . . . 413
9.3 Tasso Interno di Rendimento e criterio del TIR . . . 418
9.4 Indicatori legali di redditività e onerosità . . . 423
9.5 Esercizi da svolgere . . . 430
9.6 Soluzioni degli esercizi . . . 433
10 Applicazioni …nanziarie 437 10.1 Ammortamento di un prestito . . . 437
10.2 Leasing …nanziario . . . 447
10.3 Vendita rateale . . . 452
10.4 Titoli senza cedole . . . 455
10.4.1 Ritenuta …scale all’emissione . . . 460
10.4.2 Ritenuta …scale al rimborso . . . 461
10.5 Titoli con cedole . . . 463
10.6 Esercizi da svolgere . . . 469
10.7 Soluzioni degli esercizi . . . 472
11 Struttura a termine dei tassi di interesse 481 11.1 Prezzi spot e prezzi forward . . . 481
11.2 Tassi spot e tassi forward . . . 485
11.3 Duration e convexity . . . 488
11.3.1 Immunizzazione contro il rischio di tasso . . . 488
11.3.2 Volatilità del prezzo . . . 494
11.3.3 Struttura a termine dei tassi non piatta . . . 498
11.4 Esercizi da svolgere . . . 499
III
Appendice
515
A Disequazioni 517
A.1 De…nizioni . . . 517
A.2 Disequazioni razionali intere di 1 grado . . . 519
A.3 Disequazioni razionali intere di 2 grado . . . 520
A.4 Disequazioni razionali fratte . . . 525
A.5 Sistemi di disequazioni . . . 528
A.6 Disequazioni con valore assoluto . . . 530
A.7 Disequazioni irrazionali . . . 535
A.8 Disequazioni logaritmiche ed esponenziali . . . 542
A.9 Esercizi da svolgere . . . 549
Questo volume è il risultato di una lunga esperienza didattica maturata presso la Scuola di Management ed Economia dell’Università di Torino. Il testo a¤ronta gli argomenti tradizionali di un primo corso universitario dedicato alla matematica applicata in campo economico ed aziendale. Nella prima parte vengono presentati i concetti classici di Matematica Generale: dopo un Capitolo dedicato alle nozioni di base della teoria degli insiemi e della logica, sono introdotti i concetti fondamentali riguardanti le funzioni reali di una variabile reale, i limiti e la continuità, il calcolo di¤erenziale e il calcolo integrale per tali funzioni. Concludono questa prima parte due Capitoli dedicati, rispettivamente, all’algebra lineare e alle funzioni reali di più variabili reali, con alcuni approfondimenti utili anche per corsi più avanzati. Nella seconda parte vengono invece presentati i concetti fondamentali di Matematica Fi-nanziaria: dopo un Capitolo dedicato alle nozioni di base del calcolo …nanziario, sono introdotti gli argomenti costituiti dalle scelte …nanziarie e da una serie di applicazioni …nanziarie. Il Capitolo conclusivo è dedicato alla struttura a termine dei tassi di in-teresse e alla duration, anche in questo caso con approfondimenti utili al di là di un corso base.
In ogni Capitolo gli argomenti vengono presentati innanzitutto a livello teorico, cercando di privilegiare la semplicità e la chiarezza espositiva, senza però rinunciare al rigore richiesto dalla materia in oggetto. Ciascun argomento è poi illustrato attraverso una ricca serie di esempi, risolti in modo dettagliato, cercando innanzitutto di mettere in evidenza il ragionamento che (al di là dei singoli calcoli, pure importanti) è alla base della risoluzione di un certo problema. Al termine di ogni Capitolo, inoltre, sono raccolti numerosi esercizi da svolgere, dei quali è riportata la soluzione. Chiude il volume un’Appendice che contiene una presentazione dettagliata dell’argomento costituito dalle disequazioni, utilizzate ampiamente nel testo.
Desidero ringraziare i miei colleghi del Dipartimento di Scienze Economico-Sociali e Matematico-Statistiche dell’Università di Torino con i quali, nel corso degli anni, ho condiviso i corsi dai quali è nato il materiale oggetto di questo testo, e i numerosi studenti che hanno utilizzato ed apprezzato, in precedenti versioni, tale materiale. Un ringraziamento particolare va anche all’Editore, per l’incoraggiamento e il sostegno nella stesura del testo. Resta ovviamente inteso che gli eventuali errori ancora presenti sono di mia esclusiva responsabilità.
Insiemi e logica
1.1.
Insiemi: nozioni di base
Il concetto di insieme viene di solito assunto come noto e utilizzato come sinoni-mo di collezione, famiglia, classe di elementi individuati in base ad una determinata speci…cazione. Gli insiemi vengono indicati con lettere maiuscole (ad es. A, B, X, Y ), mentre i loro elementi vengono indicati con lettere minuscole (ad es. a, b, x, y). Un primo modo per rappresentare un insieme consiste nell’elencare i suoi elementi (racchiudendoli tra parentesi gra¤e), un secondo modo consiste invece nell’indicare una proprietà che li caratterizza, mentre un terzo modo consiste nell’utilizzare i dia-grammi di Venn, nei quali gli elementi dell’insieme sono rappresentati come punti del piano.
Esempio 1.1 L’insieme A costituito dalle prime 3 lettere dell’alfabeto può essere rappresentato elencando i suoi elementi:
A = fa; b; cg oppure indicando una loro proprietà caratteristica:
A = fprime 3 lettere dell’alfabetog oppure con un diagramma di Venn:
4 Capitolo 1. Insiemi e logica Esempio 1.2 L’insieme B costituito dai primi 5 numeri positivi pari può essere rappresentato elencando i suoi elementi:
B = f2; 4; 6; 8; 10g oppure indicando una loro proprietà caratteristica:
B = fprimi 5 numeri positivi parig oppure con un diagramma di Venn:
Un simbolo spesso utilizzato è quello di 2 che indica “appartenenza”, mentre il simbolo =2 indica “non appartenenza”, ed un insieme particolare è l’insieme vuoto, cioè privo di elementi, che si indica con il simbolo ;.
Esempio 1.3 Dato l’insieme:
X = f0; 1; 2g
si ha che 1 2 X (cioè 1 è un elemento dell’insieme), mentre 4 =2 X (cioè 4 non è un elemento dell’insieme).
Dato l’insieme vuoto, poi, si ha che per qualsiasi elemento a risulta a =2 ; (cioè a non è un elemento dell’insieme vuoto).
Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi, e in questo caso non è rilevante l’ordine con il quale essi vengono elencati. Dati due insiemi A e B, poi, si dice che A è sottoinsieme di B (oppure che A è contenuto in B), e si scrive A B, se ogni elemento di A è anche elemento di B. Gra…camente si ha:
Il simbolo indica “inclusione”, e non esclude che gli insiemi A e B coincidano, mentre se si vuole escludere questa possibilità si può usare il simbolo che indica
“inclusione stretta”. Si dice allora che A è sottoinsieme proprio di B (oppure che A è strettamente contenuto in B), e si scrive A B, se ogni elemento di A è anche elemento di B, ma esiste almeno un elemento di B che non è elemento di A. In particolare, l’insieme ; è strettamente contenuto in ogni altro insieme.
Esempio 1.4 Dati gli insiemi:
A = f0; 1; 2g B = f1; 2; 0g
si ha A B e anche B A, cioè A è un sottoinsieme di B e B è un sottoinsieme di A, per cui in realtà i due insiemi sono uguali, cioè A = B.
Dati invece gli insiemi:
A = f0; 1g B = f0; 1; 2g si ha A B, cioè A è un sottoinsieme (proprio) di B.
Ogni insieme A contiene sempre se stesso (A A) e l’insieme vuoto (; A), che vengono detti sottoinsiemi impropri di A.
Dato un insieme A, l’insieme costituito da tutti i suoi sottoinsiemi (propri e impro-pri) prende il nome di insieme delle parti e viene indicato con P(A). Se A è formato da n elementi, il suo insieme delle parti è costituito da 2n elementi.
Esempio 1.5 Dato l’insieme:
A = f1; 2; 3g determinare il suo insieme delle parti.
In questo caso l’insieme delle parti di A è dato da:
P(A) = f;; f1g ; f2g ; f3g ; f1; 2g ; f1; 3g ; f2; 3g ; f1; 2; 3gg
che risulta costituito da 23= 8 elementi (dove n = 3 è il numero di elementi di A).
1.2.
Operazioni tra insiemi
Tra insiemi è possibile de…nire alcune operazioni. In particolare, dati due insiemi A e B, la loro unione è l’insieme, indicato con A [ B, costituito da tutti gli elementi che appartengono ad A o a B (o ad entrambi), cioè:
6 Capitolo 1. Insiemi e logica (dove il simbolo : si legge “tale che”) e gra…camente:
mentre la loro intersezione è l’insieme, indicato con A \ B, costituito da tutti gli elementi che appartengono sia ad A sia a B, cioè:
A \ B = fx : x 2 A e x 2 Bg e gra…camente:
Se due insiemi hanno intersezione vuota (cioè A \ B = ;) si dicono disgiunti, e gra…camente:
Esempio 1.6 Dati gli insiemi:
A = f0; 1; 2g B = f1; 2; 3g individuare la loro unione e la loro intersezione.
In questo caso l’unione dei due insiemi è data da: A [ B = f0; 1; 2; 3g mentre la loro intersezione è data da:
A \ B = f1; 2g
Dato un insieme U (detto “insieme universo”) e un sottoinsieme A di U , poi, il complementare di A rispetto ad U , indicato con Ac
U (oppure con Ac o con A) è
l’insieme formato dagli elementi di U che non appartengono ad A, cioè: Ac= fx : x 2 U e x =2 Ag
e gra…camente:
mentre dati due insiemi A e B l’insieme di¤ erenza di A e B, indicato con A n B, è l’insieme costituito dagli elementi che appartengono ad A ma non a B, cioè:
A n B = fx : x 2 A e x =2 Bg e gra…camente:
8 Capitolo 1. Insiemi e logica Si ha allora che il complementare di A rispetto ad U può anche essere visto come di¤erenza tra U ed A, cioè Ac
U = U nA.
Esempio 1.7 Dati gli insiemi:
U = f1; 2; 3; 4; 5; 6g A = f1; 4g B = f0; 1; 2g C = f1; 2; 3g individuare il complementare di A rispetto ad U e l’insieme di¤ erenza di B e C.
In questo caso il complementare di A rispetto ad U è: Ac = f2; 3; 5; 6g = U n A mentre l’insieme di¤erenza di B e C è:
B n C = f0g
cioè l’insieme costituito dal solo elemento 0 (che non va confuso con l’insieme vuoto ;).
Le operazioni di unione, intersezione e complementare godono di una serie di proprietà, in particolare:
(i) proprietà di idempotenza:
A [ A = A A \ A = A (ii) proprietà commutativa:
A [ B = B [ A A \ B = B \ A (iii) proprietà associativa:
(A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) (iv) proprietà distributiva:
(A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) (v) si ha:
A [ ; = A A \ ; = ;
(vi) leggi di De Morgan:
(A [ B)c= Ac\ Bc (A \ B)c= Ac[ Bc
Queste ultime, in particolare, indicano che il complementare dell’unione (intersezione) di due insiemi è uguale all’intersezione (unione) dei complementari degli insiemi stessi, e hanno un equivalente di particolare rilievo dal punto di vista logico (come si vedrà nella Sezione 1:9).
1.3.
Prodotto cartesiano
Dati due insiemi del tipo A = fa; bg e B = fb; ag, come visto in precedenza essi coincidono (cioè A = B), in quanto possiedono gli stessi elementi, indipendentemente dall’ordine con il quale questi vengono indicati. In alcuni casi occorre invece consi-derare delle coppie ordinate, nelle quali cioè è rilevante l’ordine con il quale si scrivono gli elementi. Dati due insiemi A e B (non necessariamente distinti), si chiama coppia ordinata un insieme (a; b) costituito prendendo un elemento a 2 A e un elemento b 2 B nell’ordine indicato. L’insieme di tutte queste coppie ordinate si chiama poi prodotto cartesiano di A e B e si indica con A B (che si legge “A cartesiano B”), cioè:
A B = f(a; b) : a 2 A e b 2 Bg
e se A 6= B allora risulta A B 6= B A, mentre se A = B si scrive A A = A2.
Esempio 1.8 Dati gli insiemi:
A = f0; 1; 2g B = f 1; 1g individuare i prodotti cartesiani A B e B A.
In questo caso il prodotto cartesiano A B è dato da:
A B = f(0; 1) ; (0; 1) ; (1; 1) ; (1; 1) ; (2; 1) ; (2; 1)g mentre il prodotto cartesiano B A è dato da:
B A = f( 1; 0) ; ( 1; 1) ; ( 1; 2) ; (1; 0) ; (1; 1) ; (1; 2)g e risulta A B 6= B A.
Più in generale, dati n insiemi A1; A2; :::; An (non necessariamente distinti) si
chiama n-pla (ennupla) ordinata un insieme (a1; a2; :::; an) costituito prendendo un
elemento a1 2 A1, un elemento a2 2 A2, ..., un elemento an 2 An nell’ordine
indi-cato. L’insieme di tutte queste n-ple ordinate si chiama poi prodotto cartesiano di A1; A2; :::; An e si indica con A1 A2 ::: An, cioè:
A1 A2 ::: An= f(a1; a2; :::; an) : ai2 Ai i = 1; 2; :::; ng
10 Capitolo 1. Insiemi e logica
1.4.
Gli insiemi numerici
Insiemi di particolare importanza sono quelli numerici, più precisamente: 1. l’insieme dei numeri naturali N:
N = f0; 1; 2; 3; :::g 2. l’insieme dei numeri interi relativi Z:
Z = f0; 1; 2; 3; :::g 3. l’insieme dei numeri razionali Q:
Q =n m
n con m; n 2 N; n 6= 0 o
Gli insiemi N e Z sono detti discreti, in quanto non sempre tra 2 elementi di N (o di Z) è compreso un altro elemento di N (o di Z), ad esempio si ha:
e tra 2 e 3 non vi è alcun elemento appartenente a N (o a Z). Considerando invece Q, è sempre vero che dati 2 numeri q1; q22 Q esiste un terzo numero q3(con q1< q3< q2)
appartenente a Q (ad esempio la media aritmetica tra q1 e q2):
Questa proprietà (per cui tra 2 razionali esiste sempre un altro razionale) si esprime dicendo che Q è denso. Tuttavia, Q è ancora discontinuo, cioè tra 2 razionali può trovarsi un numero non razionale. Si dimostra ad esempio che il numero indicato con p
2 (cioè il numero il cui quadrato è uguale a 2) non appartiene all’insieme Q. A questo proposito si considera innanzitutto la seguente costruzione geometrica:
cioè un quadrato di lato unitario, e applicando il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo con vertici nei punti A = (0; 0), B = (1; 0) e D = (1; 1) si ha:
d2= 12+ 12) d2= 2 ) d =p2
per cui la lunghezza della diagonale del quadrato considerato è uguale al numerop2. Vale a questo punto il seguente risultato:
Teorema 1 Non esiste alcun numero razionale m
n il cui quadrato è uguale a 2.
Dimostrazione Nella dimostrazione si sfrutta il fatto che un numero pari può sempre essere scritto nella forma:
m = 2k con k 2 N
mentre un numero dispari può sempre essere scritto nella forma: n = 2k + 1 con k 2 N
Da ciò risulta anche che il quadrato di un numero pari può essere scritto come: m2= (2k)2= 4k2= 2(2k2) = 2z
che è sicuramente, a sua volta, un numero pari, mentre il quadrato di un numero dispari può essere scritto come:
n2= (2k + 1)2= 4k2+ 4k + 1 = 2(2k2) + 2(2k) + 1 = = 2z + 2t + 1 = 2(z + t) + 1 = 2r + 1
che è sicuramente, a sua volta, un numero dispari.
Per dimostrare il Teorema si procede per assurdo, cioè si nega la tesi e si assume che esista un numero razionale mn il cui quadrato è 2:
m n 2 = 2 ) m 2 n2 = 2 ) m 2= 2n2
A questo punto, poiché 2n2 è sicuramente un numero pari, anche m2 è pari, e quindi anche m è pari (perché, come visto sopra, il quadrato di un numero dispari è dispari), per cui si può scrivere:
m = 2k e poi:
m2= 2n2) (2k)2= 2n2) 4k2= 2n2) 2k2= n2
dove 2k2 è sicuramente un numero pari, per cui anche n2 è pari, e quindi anche n è pari. Questo però è un assurdo, perché in un numero razionale mn i numeri m e n sono sempre primi tra loro, cioè non hanno divisori in comune (e se non lo fossero si potrebbero comunque sempli…care facendo sì che diventino primi tra loro), mentre in questo caso ciò non accade (in quanto essendo m e n entrambi numeri pari hanno
12 Capitolo 1. Insiemi e logica almeno il divisore 2 in comune). In conclusione, è sbagliato negare la tesi, cioè la tesi è vera, e quindi non esiste alcun numero razionale mn il cui quadrato è uguale a 2.
Gra…camente, con riferimento all’esempio appena considerato si ha una situazione di questo tipo:
e il punto D0sulla retta corrisponde al numerop2 =2 Q, quindi l’insieme Q lascia sulla
retta dei “buchi”. Per “riempire” tali buchi occorre allora introdurre un ulteriore insieme numerico, l’insieme dei numeri reali R.
I numeri reali sono individuati da un qualsiasi allineamento decimale, mentre i numeri razionali ammettono una rappresentazione decimale limitata o illimitata perio-dica. Di conseguenza, gli allineamenti decimali illimitati non periodici corrispondono ai numeri irrazionali, il cui insieme viene indicato (attraverso la di¤erenza insiemistica) con R n Q. Si ha ad esempio:
p
2 2 R n Q e 2 R n Q 2 R n Q
L’insieme R “riempie”tutti i buchi della retta, perciò è un insieme continuo (cioè tra 2 numeri reali vi sono sempre tutti numeri reali). I numeri reali sono quindi in corrispondenza biunivoca con i punti della retta (cioè ad ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa), per cui si parla anche di retta reale:
Gli insiemi numerici considerati stanno tra di loro nella seguente relazione:
N Z Q R
1.5.
Insiemi di numeri reali: gli intervalli
Un rilievo particolare spetta ad alcuni sottoinsiemi di R, che vengono detti inter-valli. A questo proposito, dati due numeri reali a; b con a < b si introducono i seguenti insiemi:
(i) intervallo chiuso e limitato di estremi a e b: [a; b] = fx 2 R : a x bg
(ii) intervallo aperto e limitato di estremi a e b: (a; b) = fx 2 R : a < x < bg
(iii) intervallo semichiuso o semiaperto (chiuso a sinistra e aperto a destra) e limitato di estremi a e b:
[a; b) = fx 2 R : a x < bg
(iv) intervallo semiaperto o semichiuso (aperto a sinistra e chiuso a destra) e limitato di estremi a e b:
(a; b] = fx 2 R : a < x bg
nei quali la speci…cazione “chiuso” e “aperto” deriva dal fatto che gli estremi, rispet-tivamente, appartengono o non appartengono all’insieme in esame, mentre la speci-…cazione “limitato” deriva dal fatto che gli estremi costituiscono un con…ne infe-riore e supeinfe-riore per gli elementi dell’insieme stesso. Tutti questi intervalli hanno un segmento di retta come immagine geometrica.
14 Capitolo 1. Insiemi e logica A questo punto si possono introdurre i simboli +1 (più in…nito) e 1 (meno in…nito), i quali sono tali che:
1 < x < +1 8x 2 R
(dove il simbolo 8 si legge “per ogni”), e si de…nisce sistema ampliato di numeri reali l’insieme:
R = R [ f 1; +1g
Si possono così introdurre anche gli intervalli illimitati (la cui immagine geometrica è una semiretta), che sono insiemi de…niti nel seguente modo:
(i) intervallo chiuso e illimitato a destra:
[a; +1) = fx 2 R : x ag
(ii) intervallo aperto e illimitato a destra:
(a; +1) = fx 2 R : x > ag
(iii) intervallo chiuso e illimitato a sinistra:
( 1; b] = fx 2 R : x bg
(iv) intervallo aperto e illimitato a sinistra:
( 1; b) = fx 2 R : x < bg
L’insieme dei numeri reali, la cui immagine geometrica è la retta, in…ne, può essere indicato con:
Nel sistema ampliato dei numeri reali R si introduce una parziale aritmetizzazione dei simboli +1 e 1. Valgono in particolare le seguenti regole:
a) per la somma:
+1 + a = +1 8a 2 R 1 + a = 1 8a 2 R +1 + 1 = +1
1 1 = 1 mentre non è de…nita la forma:
+1 1 =? b) per il prodotto: (+1) a = 8 < : +1 se a > 0 1 se a < 0 ( 1) a = 8 < : 1 se a > 0 +1 se a < 0 ( 1) ( 1) = +1 ( 1) ( 1) = 1 mentre non è de…nita la forma:
0 ( 1) =? c) per il reciproco: 1 0 = 1 1 1 = 0 d) per il rapporto: a 0 = a 1 0 = a 1 = 1 8a 2 Rn f0g a 1 = a 1 1 = a 0 = 0 8a 2 Rn f0g 1 0 = 1 1 0 = 1 1 = 1 0 1 = 0 1 1 = 0 0 = 0
16 Capitolo 1. Insiemi e logica mentre non sono de…nite le forme:
0 0 =? 1 1 =? e) per l’esponenziale: a+1= 8 < : +1 se a > 1 0 se 0 < a < 1 a 1= 8 < : 0 se a > 1 +1 se 0 < a < 1 (+1)+1= +1 (+1) 1= 0 mentre non sono de…nite le forme:
11=? 00=? 10=?
Tutte queste regole verranno riprese nel Capitolo dedicato allo studio dei limiti.
1.6.
Massimo e minimo, estremo superiore e
infe-riore
Con riferimento agli insiemi di numeri reali si possono introdurre le nozioni di massimo e minimo. Vale la seguente de…nizione:
De…nizione 2 Dato un insieme A R non vuoto, si dice massimo di A (e si scrive M = max A) l’elemento M 2 R tale che:
(i) M 2 A
(ii) M a 8a 2 A
Il massimo di un insieme è quindi un elemento che appartiene all’insieme (con-dizione (i)) e che risulta maggiore (o uguale) di tutti gli elementi dell’insieme stesso (condizione (ii)), cioè è un maggiorante che appartiene all’insieme.
Vale poi anche la seguente de…nizione:
De…nizione 3 Dato un insieme A R non vuoto, si dice minimo di A (e si scrive m = min A) l’elemento m 2 R tale che:
(i) m 2 A
Il minimo di un insieme è quindi un elemento che appartiene all’insieme (condizione (i)) e che risulta minore (o uguale) di tutti gli elementi dell’insieme stesso (condizione (ii)), cioè è un minorante che appartiene all’insieme.
Esempio 1.9 Dati gli insiemi (intervalli) di numeri reali: A = [ 1; 3] B = ( 1; 3) individuare (se esistono) il massimo e il minimo.
Per l’insieme A il massimo e il minimo sono, rispettivamente: max A = 3 min A = 1
in quanto essi rispettano le condizioni (i) e (ii) delle de…nizioni. Per l’insieme B, invece, il massimo e il minimo non esistono, in quanto i valori x = 1 e x = 3 soddisfano la condizione (ii) delle de…nizioni ma non la condizione (i) (poiché non appartengono all’insieme B).
Poiché massimo e minimo non esistono sempre, è possibile introdurre i concetti di estremo superiore ed estremo inferiore (che invece esistono sempre). Innanzitutto, un insieme A R si dice limitato superiormente se esiste un numero h maggiore (o uguale) di tutti gli elementi di A, cioè:
9h 2 R : h a 8a 2 A
(dove il simbolo 9 si legge “esiste”), mentre si dice limitato inferiormente se esiste un numero k minore (o uguale) di tutti gli elementi di A, cioè:
9k 2 R : k a 8a 2 A
e si dice limitato se è contemporaneamente limitato superiormente e inferiormente. Esempio 1.10 L’insieme:
A = [ 1; 3]
è limitato superiormente e inferiormente, quindi è limitato, mentre l’insieme: B = ( 1; 3)
è limitato superiormente ma non inferiormente, e l’insieme: C = [1; +1)
18 Capitolo 1. Insiemi e logica Vale a questo punto la seguente de…nizione:
De…nizione 4 Dato un insieme A R non vuoto e limitato superiormente, si dice estremo superiore di A (e si scrive S = sup A) l’elemento S 2 R tale che:
(i) S a 8a 2 A
(ii) 8" > 0; 9a 2 A : S " < a
L’estremo superiore di un insieme è quindi un maggiorante (condizione (i)), ed è anche il più piccolo dei maggioranti (condizione (ii)). Gra…camente si ha una situazione di questo tipo:
Vale poi anche la seguente de…nizione:
De…nizione 5 Dato un insieme A R non vuoto e limitato inferiormente, si dice estremo inferiore di A (e si scrive s = inf A) l’elemento s 2 R tale che:
(i) s a 8a 2 A
(ii) 8" > 0; 9a 2 A : s + " > a
L’estremo inferiore di un insieme è quindi un minorante (condizione (i)), ed è anche il più grande dei minoranti (condizione (ii)). Gra…camente si ha una situazione di questo tipo:
In queste de…nizioni non si richiede che S 2 A (s 2 A), ed è proprio questa condizione che diversi…ca il concetto di estremo superiore (inferiore) da quello di massimo (minimo). In particolare, se S 2 A (s 2 A), allora è il massimo (minimo) di A ed anche l’estremo superiore (inferiore) di A, mentre se S =2 A (s =2 A) allora è l’estremo superiore (inferiore) di A, mentre il massimo (minimo) non esiste.
Esempio 1.11 Dati gli insiemi:
A = [ 1; 3] B = ( 1; 3) individuare l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
In questo caso per l’insieme A si ha:
sup A = max A = 3 inf A = min A = 1
in quanto x = 3 è il più piccolo dei maggioranti di A ed inoltre appartiene ad A (per cui è anche il massimo) e x = 1 è il più grande dei minoranti di A ed inoltre appartiene ad A (per cui è anche il minimo). Per l’insieme B si ha invece:
sup B = 3 inf B = 1
mentre massimo e minimo non esistono, in quanto x = 3 è il più piccolo dei maggio-ranti di B ma non appartiene a B, e x = 1 è il più grande dei minoranti di B ma non appartiene a B.
Nel caso di un insieme A che non risulta limitato superiormente si può porre: sup A = +1
e nel caso di un insieme A che non risulta limitato inferiormente si può porre: inf A = 1
1.7.
Intorni e topologia
Accanto alla cosiddetta struttura algebrica dell’insieme dei numeri reali (basata sulle operazioni prima introdotte) è possibile poi considerare la struttura metrica e successivamente la struttura topologica. A questo proposito occorre innanzitutto tenere presente che, data una disequazione con valore assoluto del tipo:
jf(x)j k con k > 0 essa corrisponde all’unione delle due disequazioni:
f (x) k oppure f (x) k mentre data una disequazione del tipo:
jf(x)j k con k > 0 essa corrisponde alla doppia diseguaglianza:
20 Capitolo 1. Insiemi e logica Il punto di partenza per lo studio della struttura metrica dell’insieme R è la nozione di distanza. Vale a questo proposito la seguente de…nizione:
De…nizione 6 Dati x; y 2 R, si chiama distanza il valore assoluto (o modulo) della loro di¤ erenza:
d(x; y) = jx yj Come conseguenza si ha quindi anche che:
jxj = jx 0j = d(x; 0)
cioè il modulo di un numero reale rappresenta la sua distanza dall’origine.
Il punto di partenza per lo studio della struttura topologica dell’insieme R, invece, è la nozione di intorno di un punto, che costituisce un particolare intervallo. Vale la seguente de…nizione:
De…nizione 7 Dato un punto p 2 R, si chiama intorno (completo) di centro p e raggio r (dove r > 0) l’insieme dei punti che distano da p meno di r:
Ur(p) = fx 2 R : d(x; p) < rg = fx 2 R : jx pj < rg =
= fx 2 R : r < x p < rg = fx 2 R : p r < x < p + rg = = (p r; p + r)
per cui l’intorno di un punto p con raggio r è l’intervallo aperto (p r; p + r):
In modo analogo si de…niscono intorni sinistri e destri, che sono intervalli del tipo: Ur (p) = (p r; p] Ur+(p) = [p; p + r)
cioè:
e anche intorni di 1 e di +1, che sono intervalli del tipo: U ( 1) = ( 1; M) U (+1) = (M; +1) cioè:
Esempio 1.12 L’intorno (completo) di centro 3 e raggio 1 è l’intervallo: U1(3) = (3 1; 3 + 1) = (2; 4)
mentre l’intorno sinistro di centro 3 e raggio 1 è l’intervallo: U1 (3) = (3 1; 3] = (2; 3] e l’intorno destro di centro 3 e raggio 1 è l’intervallo:
U1+(3) = [3; 3 + 1) = [3; 4)
Dato un insieme A R si possono poi introdurre una serie di classi…cazioni con riferimento ai punti che appartengono (o non appartengono) ad A. Vale la seguente de…nizione:
De…nizione 8 Dato un insieme A R, un punto p 2 R si dice:
(i) interno ad A se appartiene ad A ed esiste almeno un suo intorno tutto con-tenuto in A, cioè:
p 2 A e 9Ur(p) A
L’insieme dei punti interni di A viene indicato con Ai.
(ii) esterno ad A se è interno al complementare di A, cioè se non appartiene ad A ed esiste almeno un suo intorno che non ha elementi in comune con A, cioè:
p =2 A e 9Ur(p) : Ur(p) \ A = ;
L’insieme dei punti esterni di A viene indicato con Ae.
(iii) di frontiera per A se ogni suo intorno contiene sia punti di A sia punti del complementare di A (in questo caso il punto p può appartenere o meno ad A), cioè:
8Ur(p) : Ur(p) \ A 6= ; e Ur(p) \ Ac 6= ;
L’insieme dei punti di frontiera di A viene indicato con @A (detto anche frontiera o bordo di A).
22 Capitolo 1. Insiemi e logica (iv) di accumulazione per A se ogni suo intorno contiene punti di A (diversi dal punto p stesso), cioè:
8Ur(p) : Ur(p) \ A n fpg 6= ;
L’insieme dei punti di accumulazione di A viene indicato con A0 (detto anche insieme
derivato).
(v) isolato rispetto ad A se appartiene ad A ed esiste almeno un suo intorno al quale non appartengono punti di A (diversi da p stesso), cioè:
p 2 A e 9Ur(p) : Ur(p) \ A n fpg = ;
L’insieme dei punti isolati di A viene indicato con Ais.
Si possono in…ne introdurre alcune classi…cazioni con riferimento agli insiemi, in relazione alle caratteristiche dei punti che li costituiscono. Vale la seguente de…nizione: De…nizione 9 Un insieme A R si dice:
(i) aperto se tutti i suoi punti sono interni:
(ii) chiuso se il suo complementare è aperto (e anche se contiene tutti i suoi punti di accumulazione):
Si deve inoltre tenere presente che gli insiemi possono anche non essere né aperti né chiusi, ad esempio:
mentre gli insiemi ; e R si considerano sia aperti sia chiusi (e sono gli unici ad avere questa proprietà).
Esempio 1.13 Dato l’insieme:
A = ( 3; 1] [ f4g caratterizzarlo dal punto di vista topologico.
In questo caso si ha anche:
Ac = ( 1; 3] [ (1; 4) [ (4; +1) e gra…camente:
da cui si deduce che i punti interni sono tutti quelli dell’intervallo ( 3; 1), mentre i punti esterni sono tutti quelli di ( 1; 3) [ (1; 4) [ (4; +1) e i punti di frontiera sono quelli dell’insieme f 3; 1; 4g. I punti di accumulazione, poi, sono tutti quelli dell’intervallo [ 3; 1] e l’unico punto isolato è f4g. Per l’insieme A si ha quindi:
Ai= ( 3; 1)
Ae= ( 1; 3) [ (1; 4) [ (4; +1) @A = f 3; 1; 4g
A0= [ 3; 1] Ais= f4g
24 Capitolo 1. Insiemi e logica
1.8.
Logica: proposizioni e connettivi
Un primo concetto di rilievo nell’ambito della logica è costituito dalla nozione di proposizione, che è una frase di senso compiuto alla quale è possibile attribuire un valore di verità: vero (V ) o falso (F ). Ad esempio la frase:
“Oggi piove”
è una proposizione (in quanto è possibile stabilire se è vera o falsa), mentre la frase: “Come stai?”
non lo è. Le proposizioni vengono indicate con lettere minuscole quali p; q; r e pos-sono essere legate tra di loro, dando luogo a proposizioni più complesse, attraverso i cosiddetti connettivi logici, che sono:
1. la negazione, che si indica con il simbolo (oppure con un trattino sopra la proposizione che viene negata) e corrisponde all’avverbio “non”; si ha ad esempio:
p : “Oggi piove” p : “Oggi non piove”
2. la congiunzione, che si indica con il simbolo ^ (“et”) e corrisponde alla congiun-zione “e”; si ha ad esempio:
p : “Leggo il giornale” q : “Ascolto la radio”
p ^ q : “Leggo il giornale e ascolto la radio” (p e q valgono entrambe)
3. la disgiunzione, che si indica con il simbolo _ (“vel”) e corrisponde alla con-giunzione “o”; si ha ad esempio:
p : “Leggo il giornale” q : “Ascolto la radio”
p _ q : “Leggo il giornale o ascolto la radio” (o faccio tutte e due le cose,
una almeno tra p e q deve valere)
4. l’implicazione, che si indica con il simbolo ) e corrisponde alla locuzione “se...allora”; si ha ad esempio:
p : “C’è il sole” q : “Vado al mare”
p ) q : “Se c’è il sole allora vado al mare”
In questo caso si dice anche che p è condizione su¢ ciente perché valga q, e che q è condizione necessaria perché valga p. Considerando ad esempio:
p : “Essere torinese” q : “Essere italiano”
si ha che “essere torinese” è condizione su¢ ciente per “essere italiano” (ma non è necessaria!), mentre “essere italiano” è condizione necessaria per “essere torinese” (ma non è su¢ ciente!)
5. l’equivalenza o doppia implicazione, che si indica con il simbolo , e corrisponde alla locuzione “se e solo se”; si ha ad esempio:
p : “Resto a casa” q : “Piove”
p , q : “Resto a casa se e solo se piove” (cioè se resto a casa piove, e se piove resto a casa)
In questo caso si dice anche che p è condizione necessaria e su¢ ciente perché valga q, e che q è condizione necessaria e su¢ ciente perché valga p.
Tra i connettivi logici, così come accade tra le operazioni aritmetiche, esiste un ordine gerarchico dato da:
, ^ , _ , ) , ,
in cui ciascun connettivo “lega” di più dei successivi. Ad esempio, l’enunciato: q_ p ) r
corrisponde a:
(q _ ( p)) ) ( r)
Esempio 1.14 Date le proposizioni:
p : “Ho del tempo libero” q : “Piove”
r : “Vado al mare” l’enunciato:
q_ p ) r risulta equivalente a:
26 Capitolo 1. Insiemi e logica Il valore di verità (V o F ) di una proposizione, ottenuta legando due o più propo-sizioni mediante i connettivi logici, dipende dal valore di verità delle propopropo-sizioni componenti secondo le seguenti tavole di verità:
1. per la negazione: p p V F F V 2. per la congiunzione: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F 3. per la disgiunzione: p q p _ q V V V V F V F V V F F F 4. per l’implicazione: p q p ) q V V V V F F F V V F F V 5. per l’equivalenza: p q p , q V V V V F F F V F F F V
Due proposizioni, inoltre, si dicono “logicamente equivalenti” se hanno la stessa tavola di verità.
Esempio 1.15 Veri…care l’equivalenza logica delle proposizioni: (p ) q) e p ^ ( q)
In questo caso la tavola di verità di (p ) q) è data da: p q p ) q (p ) q)
V V V F
V F F V
F V V F
F F V F
e la tavola di verità di p ^ ( q) è data da:
p q q p ^ ( q)
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
che coincide con la precedente, per cui le due proposizioni sono logicamente equi-valenti.
1.9.
Predicati e quanti…catori
Una frase in cui compare una variabile (che rappresenta un elemento di un certo insieme) si chiama predicato e si indica con una scrittura del tipo p(x), dove x indica la variabile. La verità di un predicato dipende dai valori assegnati di volta in volta alle variabili, ad esempio considerando:
p(x) : “x è un numero reale positivo” si ha:
per x = 5 p(x) è vera per x = 1 p(x) è falsa
Un predicato quindi non è una proposizione, ma da esso si possono ottenere propo-sizioni assegnando alla variabile un particolare valore.
Esiste una corrispondenza tra le operazioni logiche sui predicati e le operazioni sugli insiemi. Infatti, dati due predicati p(x) e q(x), dove x è un elemento appartenente ad un insieme X, si possono considerare i sottoinsiemi di X dati da:
28 Capitolo 1. Insiemi e logica per cui A è l’insieme dei valori della x che rendono vero il predicato p(x) (si dice anche che A è il dominio di verità del predicato p(x)) e B è l’insieme dei valori della x che rendono vero il predicato q(x) (si dice anche che B è il dominio di verità del predicato q(x)). A questo punto si ha:
A [ B = fx 2 X : p(x) _ q(x)g A \ B = fx 2 X : p(x) ^ q(x)g
Ac= fx 2 X : p(x)g
per cui A [ B è l’insieme dei valori della x che rendono vero almeno uno dei due predicati p(x) e q(x), mentre A \ B è l’insieme dei valori della x che rendono veri entrambi i predicati p(x) e q(x), e Ac è l’insieme dei valori della x che rendono vera la negazione del predicato p(x).
Esempio 1.16 Dati i predicati:
p(x) : “x è un numero reale maggiore o uguale a 3” q(x) : “x è un numero reale minore o uguale a 5” si ha: A = fx 2 R : x 3g B = fx 2 R : x 5g e poi: A [ B = fx 2 R : x 3 _ x 5g = R A \ B = fx 2 R : x 3 ^ x 5g = [3; 5] Ac= fx 2 R : x < 3g = ( 1; 3)
Per questo motivo la disgiunzione _ e la congiunzione ^ si chiamano anche, rispet-tivamente, unione logica e intersezione logica, essendo gli equivalenti, dal punto di vista logico, delle operazioni di unione e di intersezione dal punto di vista insiemisti-co. Per le operazioni logiche, inoltre, valgono le proprietà tipiche delle operazioni insiemistiche, in particolare le formule di De Morgan, in base alle quali si ha:
(p _ q) , ( p) ^ ( q)
(cioè se si nega che almeno una fra due proposizioni sia vera, ciò equivale ad a¤ermare che entrambe sono false) e anche:
(p ^ q) , ( p) _ ( q)
(cioè se si nega che due proposizioni siano entrambe vere contemporaneamente, ciò equivale ad a¤ermare che almeno una delle due è falsa). Queste equivalenze logiche possono essere veri…cate facilmente costruendo le tavole di verità dei primi membri e quelle dei secondi membri ed osservando che sono uguali.
A partire dai predicati, poi, è possibile ottenere proposizioni mediante l’appli-cazione dei quanti…catori, che sono:
1. il quanti…catore esistenziale, che si indica con il simbolo 9 e signi…ca “esiste”; 2. il quanti…catore universale, che si indica con il simbolo 8 e signi…ca “per ogni”.
Ad esempio, la proposizione:
9x : p(x) signi…ca:
“esiste (almeno) un x per cui è vera p(x)”
(si deve invece tenere presente che il simbolo 9! signi…ca “esiste ed è unico”), mentre la proposizione:
8x : p(x) signi…ca:
“per ogni x è vera p(x)”
Esiste un’importante relazione tra i quanti…catori, che risulta evidente passando da un’a¤ermazione alla sua negazione; si ha infatti:
(8x : p(x)) , 9x : p(x) e anche:
(9x : p(x)) , 8x : p(x) Ad esempio, dato il predicato:
p(x) : “lo studente x passa l’esame” la prima equivalenza logica diventa:
non è vero che tutti gli studenti
passano l’esame ,
esiste (almeno) uno studente che non passa
l’esame mentre la seconda diventa:
non è vero che esiste uno studente
che passa l’esame
,
nessuno studente passa l’esame (tutti gli studenti non passano l’esame)
Risulta allora chiaro che la negazione di un’a¤ermazione universale è un’a¤er-mazione esistenziale e viceversa, cioè passando da un’a¤erun’a¤er-mazione alla sua negazione i simboli 9 e 8 si scambiano tra di loro.
30 Capitolo 1. Insiemi e logica
1.10.
Tautologie, teoremi, dimostrazioni
Si chiama tautologia una proposizione che risulta vera qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono. Esempi di tautologie sono:
1. il principio del terzo escluso:
p _ ( p) 2. il principio di non contraddizione:
(p^ p) 3. il sillogismo: (p ) q) ^ (q ) r) ) (p ) r) 4. le leggi di De Morgan: (p _ q) , ( p) ^ ( q) (p ^ q) , ( p) _ ( q) 5. il modus ponens: p ^ (p ) q) ) q che viene usato nelle dimostrazioni dirette dei teoremi 6. il principio di contrapposizione:
(p ) q) , ( q ) p)
che viene usato nelle dimostrazioni per assurdo dei teoremi (in questo caso l’implicazione p ) q viene detta diretta, mentre l’implicazione q ) p viene detta contronominale)
7. il modus tollens:
(p ) q) , p ^ ( q)
che viene usata nelle dimostrazioni per controesempio dei teoremi
Per veri…care che le proposizioni sopra elencate sono delle tautologie è su¢ ciente costruire le rispettive tavole di verità, le quali devono dare il valore vero (V ) qualunque sia il valore di verità delle proposizioni componenti. Considerando ad esempio il principio del terzo escluso, la corrispondente tavola di verità è:
p p p _ ( p)
V F V
F V V
dalla quale risulta che la proposizione p_( p) è sempre vera, il che conferma appunto che ci si trova in presenza di una tautologia.
Le ultime 3 tautologie riportate, in particolare, vengono usate nelle dimostrazioni dei teoremi. A questo proposito, data una proposizione p detta ipotesi a cui si at-tribuisce il valore vero (V ) e una proposizione q detta tesi di cui si deve provare il valore di verità (V ), si chiama teorema la proposizione p ) q. Le regole che per-mettono di passare da una proposizione vera ad un’altra logicamente equivalente si chiamano regole di deduzione, e l’insieme dei passaggi da una proposizione ad un’al-tra logicamente equivalente si chiama dimosun’al-trazione. Poiché la dimosun’al-trazione di un teorema si basa sui teoremi già dimostrati e poiché non è possibile procedere a ritroso all’in…nito, inoltre, si devono assumere in partenza un certo numero di enunciati (detti assiomi o postulati ) come convenzionalmente veri. Un assioma è quindi una proposizione che viene assunta vera senza dimostrazione.
Nelle dimostrazioni dirette dei teoremi, in particolare, si sfrutta la tautologia 5) prima enunciata. In questo caso, se p (ipotesi) è vera e si vuole mostrare che q (tesi) è vera, si procede mostrando che p ) q è vera.
Esempio 1.17 Il Teorema:
Il prodotto di 2 numeri pari è pari può essere dimostrato in modo diretto considerando:
p (ipotesi) = a e b sono due numeri naturali pari q (tesi) = il prodotto a b è un numero naturale pari e scrivendo:
a = 2n b = 2m n; m 2 N che costituisce l’ipotesi p, dopodiché si ottiene subito:
a b = 2n 2m = 4nm = 2 (2nm) = 2k che è sicuramente un numero pari, il che mostra che la tesi q è vera.
Nelle dimostrazioni per assurdo, invece, si sfrutta la tautologia 6), in particolare si mantiene l’ipotesi p vera e si nega la tesi q (cioè si suppone vera la sua negazione q), e in questo modo si arriva ad una contraddizione (con l’ipotesi o con un principio più generale), cioè si dimostra la verità dell’implicazione q ) p (che, per quanto visto, è equivalente a p ) q).
Esempio 1.18 Il Teorema:
La radice quadrata di 2 non è un numero razionale può essere dimostrato per assurdo considerando:
p (ipotesi) = m
n numero razionale (con m e n primi tra loro) q (tesi) =p2 numero irrazionale
32 Capitolo 1. Insiemi e logica e negando q (cioè ipotizzando chep2 sia razionale) si ottiene una contraddizione con p (in quanto, come visto in precedenza, si conclude che m e n non sono primi tra loro). Di conseguenza, poiché risulta:
( q) ) ( p)
si ha che questo equivale a (p ) q) e la tesi è dimostrata.
Nelle dimostrazioni per controesempio, in…ne, si sfrutta la tautologia 7), in parti-colare si considera una proposizione del tipo:
8x : p(x) ) q(x)
e si dimostra che è falsa esibendo un particolare x (il controesempio) per il quale p(x) è vera ma q(x) è falsa, cioè si dimostra che:
9x : p(x) ^ ( q(x))
il che garantisce la falsità della proposizione iniziale (perché sussiste l’equivalenza tra (p ) q) e p ^ ( q)).
Esempio 1.19 Dato il (presunto) Teorema:
Ogni numero divisibile per 2 è anche divisibile per 4 si ha:
p (ipotesi) = x è divisibile per 2 q (tesi) = x è divisibile per 4
dopodiché, però, risulta ad esempio che x = 6 è divisibile per 2 (quindi p è vera) ma non è divisibile per 4 (quindi q è vera), di conseguenza si ha che vale (p ) q), e il Teorema non è vero (cioè un numero divisibile per 2 non sempre è anche divisibile per 4).
1.11.
Esercizi da svolgere
Dati gli insiemi A e B, individuare gli insiemi A [ B, A \ B, A n B, B n A: 1) A = f0; 1g B = f1; 2g
2) A = f0; 1g B = f2; 3g 3) A = f1; 3; 5g B = f2; 3; 4g
Rappresentare i seguenti insiemi di numeri reali: 4) X = A [ B con A = ( 3; 3] e B = (0; 5) 5) X = A [ B con A = ( 8; 5] e B = (0; 4) 6) X = A \ B con A = ( 1; 7) e B = ( 3; 7) 7) X = A \ B con A = ( 1; 3) e B = (6; +1) 8) X = (A [ B)c con A = [1; 4) e B = [3; 8] 9) X = (A [ B)c con A = ( 1; 3) e B = ( 3; +1) 10) X = (A [ B)c con A = ( 1; 0) e B = (0; +1) 11) X = (A \ B)c con A = ( 7; 7] e B = (0; 5) 12) X = (A \ B)c con A = ( 1; 0) e B = ( 1; 2] 13) X = (A \ B)c con A = ( 1; 2) e B = (2; +1)
Dati gli insiemi A e B, individuare i prodotti cartesiani A B e B A: 14) A = f0; 1g B = f0; 1g
15) A = f 1; 1g B = f0; 1g 16) A = f0; 1g B = f 1; 2; 3g
34 Capitolo 1. Insiemi e logica Caratterizzare dal punto di vista topologico i seguenti insiemi di numeri reali: 17) X = A [ B con A = ( 1; 0) e B = [0; 2] 18) X = A \ B con A = ( 1; 3) e B = ( 4; 2) 19) X = (A [ B)c con A = ( 1; 5) e B = (3; 4) 20) X = (A [ B)c con A = [ 2; 1) e B = [ 1; 2) 21) X = (A [ B)c con A = [ 3; 2) e B = ( 1; 0] 22) X = (A \ B)c con A = [ 3; 2) e B = ( 2; 3) 23) X = (A \ B)c con A = ( 2; 1] e B = ( 1; 2] 24) X = (A \ B)c con A = ( 1; 3] e B = ( 2; +1) 25) X = A [ B con A = ( 2; 3] e B = f4g
Costruire le tavole di verità delle seguenti proposizioni: 26) p ^ q 27) ( p ^ q) 28) (p ) q) 29) p ) q 30) p , q 31) p ) q 32) q ) p 33) q ) p 34) p_ q 35) p , q 36) q , p 37) p ) q
38) p , q 39) p^ q 40) q ) p 41) [(p_ p) ^ p] _ q
Veri…care l’equivalenza logica delle seguenti proposizioni: 42) p ) q e p _ q
43) p , q e (p ) q) ^ (q ) p) 44) (p _ q) e ( p) ^ ( q) 45) (p ^ q) e ( p) _ ( q)
Veri…care che le seguenti proposizioni costituiscono delle tautologie: 46) (p^ p)
47) p ^ (p ) q) ) q 48) (p ) q) , ( q ) p) 49) (p ) q) , p^ q
50) (p ) q) ^ (q ) r) ) (p ) r)
1.12.
Soluzioni degli esercizi
1) A [ B = f0; 1; 2g A \ B = f1g A n B = f0g B n A = f2g 2) A [ B = f0; 1; 2; 3g A \ B = ; A n B = f0; 1g B n A = f2; 3g 3) A [ B = f1; 2; 3; 4; 5g A \ B = f3g A n B = f1; 5g B n A = f2; 4g 4) X = ( 3; 5) 5) X = ( 8; 5] 6) X = ( 3; 7)
36 Capitolo 1. Insiemi e logica 7) X = ; 8) X = ( 1; 1) [ (8; +1) 9) X = ; 10) X = f0g 11) X = ( 1; 0] [ [5; +1) 12) X = ( 1; 1] [ [0; +1) 13) X = R 14) A B = f(0; 0) ; (0; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g mentre B A = f(0; 0) ; (0; 1) ; ( 1; 0) ; ( 1; 1)g 15) A B = f( 1; 0) ; ( 1; 1) ; (1; 0) ; (1; 1)g mentre B A = f(0; 1) ; (0; 1) ; (1; 1) ; (1; 1)g 16) A B = f(0; 1) ; (0; 2) ; (0; 3) ; (1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3)g mentre B A = f( 1; 0) ; ( 1; 1) ; (2; 0) ; (2; 1) ; (3; 0) ; (3; 1)g
17) X = ( 1; 2], max = 2, min @, sup = 2, inf = 1, i punti interni sono quelli di ( 1; 2), i punti esterni sono quelli di ( 1; 1) [ (2; +1), i punti di frontiera sono quelli di f 1; 2g, i punti di accumulazione sono quelli di [ 1; 2], l’insieme non è né aperto né chiuso ed è limitato.
18) X = ( 4; 3), max @, min @, sup = 3, inf = 4, i punti interni sono quelli di ( 4; 3), i punti esterni sono quelli di ( 1; 4) [ ( 3; +1), i punti di frontiera sono quelli di f 4; 3g, i punti di accumulazione sono quelli di [ 4; 3], l’insieme è aperto ed è limitato.
19) X = [ 5; 3] [ [4; +1), max @, min = 5, sup = +1, inf = 5, i punti interni sono quelli di ( 5; 3) [(4; +1), i punti esterni sono quelli di ( 1; 5)[(3; 4), i punti di frontiera sono quelli di f 5; 3; 4g, i punti di accumulazione sono quelli di [ 5; 3] [ [4; +1), l’insieme è chiuso ed è illimitato (superiormente).
20) X = ( 1; 2) [ [2; +1), max @, min @, sup = +1, inf = 1, i pun-ti interni sono quelli di ( 1; 2) [ (2; +1), i punpun-ti esterni sono quelli di ( 2; 2), i punti di frontiera sono quelli di f 2; 2g, i punti di accumulazione sono quelli di ( 1; 2] [ [2; +1), l’insieme non è né aperto né chiuso ed è illimitato.
21) X = ( 1; 3) [ [ 2; 1] [ (0; +1), max @, min @, sup = +1, inf = 1, i punti interni sono quelli di ( 1; 3) [ ( 2; 1) [ (0; +1), i punti esterni sono quelli
di ( 3; 2) [ ( 1; 0), i punti di frontiera sono quelli di f 3; 2; 1; 0g, i punti di accumulazione sono quelli di ( 1; 3] [ [ 2; 1] [ [0; +1), l’insieme non è né aperto né chiuso ed è illimitato.
22) X = ( 1; 2] [ [2; +1), max @, min @, sup = +1, inf = 1, i pun-ti interni sono quelli di ( 1; 2) [ (2; +1), i punpun-ti esterni sono quelli di ( 2; 2), i punti di frontiera sono quelli di f 2; 2g, i punti di accumulazione sono quelli di ( 1; 2] [ [2; +1), l’insieme è chiuso ed è illimitato.
23) X = ( 1; 1] [ (1; +1), max @, min @, sup = +1, inf = 1, i pun-ti interni sono quelli di ( 1; 1) [ (1; +1), i punpun-ti esterni sono quelli di ( 1; 1), i punti di frontiera sono quelli di f 1; 1g, i punti di accumulazione sono quelli di ( 1; 1] [ [1; +1), l’insieme non è né aperto né chiuso ed è illimitato.
24) X = ( 1; 2] [ (3; +1), max @, min @, sup = +1, inf = 1, i pun-ti interni sono quelli di ( 1; 2) [ (3; +1), i punpun-ti esterni sono quelli di ( 2; 3), i punti di frontiera sono quelli di f 2; 3g, i punti di accumulazione sono quelli di ( 1; 2] [ [3; +1), l’insieme non è né aperto né chiuso ed è illimitato.
25) X = ( 2; 3] [ f4g, max = 4, min = @, sup = 4, inf = 2, i punti interni sono quelli di ( 2; 3), i punti esterni sono quelli di ( 1; 2) [ (3; 4) [ (4; +1), i punti di frontiera sono quelli di f 2; 3; 4g, i punti di accumulazione sono quelli di [ 2; 3], il punto isolato è f4g, l’insieme non è né aperto né chiuso ed è limitato.
26) La tavola di verità di p ^ q è data da: p q p p ^ q
V V F F
V F F F
F V V V
F F V F
27) La tavola di verità di ( p ^ q) è data da: p q p p ^ q ( p ^ q)
V V F F V
V F F F V
F V V V F
F F V F V
28) La tavola di verità di (p ) q) è data da: p q q p ) q (p ) q)
V V F F V
V F V V F
F V F V F
38 Capitolo 1. Insiemi e logica 29) La tavola di verità di p ) q è data da:
p q p q p ) q
V V F F V
V F F V V
F V V F F
F F V V V
30) La tavola di verità di p , q è data da: p q q p , q
V V F F
V F V V
F V F V
F F V F
31) La tavola di verità di p ) q è data da: p q p p ) q
V V F V
V F F V
F V V V
F F V F
32) La tavola di verità di q ) p è data da: p q q q ) p
V V F V
V F V V
F V F V
F F V F
33) La tavola di verità di q ) p è data da: p q q ) p
V V V
V F V
F V F
F F V
34) La tavola di verità di p_ q è data da:
p q p q p_ q
V V F F F
V F F V V
F V V F V
35) La tavola di verità di p , q è data da: p q p q p , q V V F F V V F F V F F V V F F F F V V V
36) La tavola di verità di q , p è data da: p q q , p
V V V
V F F
F V F
F F V
37) La tavola di verità di p ) q è data da: p q q p ) q
V V F F
V F V V
F V F V
F F V V
38) La tavola di verità di p , q è data da: p q p p , q
V V F F
V F F V
F V V V
F F V F
39) La tavola di verità di p^ q è data da: p q q p^ q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
40) La tavola di verità di q ) p è data da:
p q q p q ) p
V V F F V
V F V F F
F V F V V
40 Capitolo 1. Insiemi e logica 41) La tavola di verità di [(p_ p) ^ p] _ q è data da:
p q p p_ p (p_ p) ^ p [(p_ p) ^ p] _ q
V V F V V V
V F F V V V
F V V V F V
F F V V F F
42) Le tavole di verità di p ) q e di p _ q sono: p q p ) q V V V V F F F V V F F V p q p p _ q V V F V V F F F F V V V F F V V
43) Le tavole di verità di p , q e di (p ) q) ^ (q ) p) sono: p q p , q V V V V F F F V F F F V p q p ) q q ) p (p ) q) ^ (q ) p) V V V V V V F F V F F V V F F F F V V V
44) Le tavole di verità di (p _ q) e di ( p) ^ ( q) sono: p q p _ q (p _ q) V V V F V F V F F V V F F F F V p q p q ( p) ^ ( q) V V F F F V F F V F F V V F F F F V V V
45) Le tavole di verità di (p ^ q) e di ( p) _ ( q) sono: p q p ^ q (p ^ q) V V V F V F F V F V F V F F F V p q p q ( p) _ ( q) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V 46) La tavola di verità di (p^ p) è: p p p^ p (p^ p) V F F V F V F V
47) La tavola di verità di p ^ (p ) q) ) q è: p q p ) q p ^ (p ) q) p ^ (p ) q) ) q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 48) La tavola di verità di (p ) q) , ( q ) p) è: p q p ) q q p q ) p (p ) q) , ( q ) p) V V V F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V V V V 49) La tavola di verità di (p ) q) , p^ q è: p q p ) q (p ) q) q p^ q (p ) q) , p^ q V V V F F F V V F F V V V V F V V F F F V F F V F V F V 50) La tavola di verità di (p ) q) ^ (q ) r) ) (p ) r) è: p q r p ) q q ) r (p ) q) ^ (q ) r) p ) r (p ) q) ^ (q ) r) ) (p ) r) V V V V V V V V V V F V F F F V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F F V V V V V V F F F V V V V V
Funzioni
2.1.
De…nizioni
Un concetto di fondamentale importanza è quello di funzione. Vale a questo proposito la seguente de…nizione:
De…nizione 10 Dati due insiemi (non vuoti) X e Y , si chiama funzione (o appli-cazione, o corrispondenza) di X in Y una legge che ad ogni elemento x 2 X associa (al più) un unico elemento y 2 Y .
Una funzione è quindi caratterizzata da una situazione di questo tipo:
e non è possibile che ad uno stesso x 2 X siano associati due o più elementi y 2 Y , ad esempio in questo caso:
44 Capitolo 2. Funzioni non ci si trova in presenza di una funzione (per esempio la corrispondenza madre ! figli , per cui ad una stessa madre possono essere associati più …gli, non è una funzione). E’ invece possibile che a diversi elementi x 2 X sia associato uno stesso elemento y 2 Y , cioè:
(per esempio la corrispondenza f iglio ! madre , per cui a diversi …gli può essere associata la stessa madre, è una funzione). Si dice anche che una funzione costituisce una corrispondenza univoca.
L’insieme di partenza X prende il nome di dominio, mentre il sottoinsieme A X costituito dagli elementi x ai quali sono associati degli elementi y 2 Y viene detto insieme di esistenza (o campo di de…nizione). L’insieme di arrivo Y prende il nome di codominio, mentre il sottoinsieme f (X) costituito dagli elementi y 2 Y che corrispondono a qualche elemento x 2 X viene detto insieme delle immagini (in pra-tica, il codominio è l’insieme in cui, a priori, la funzione può assumere valori, mentre l’insieme delle immagini è l’insieme dei valori e¤ettivamente assunti dalla funzione). La corrispondenza (funzione) tra X e Y viene indicata con f , per cui si ha:
f : X ! Y oppure f : A X ! Y e anche:
y = f (x)
La variabile x, inoltre, viene detta variabile indipendente, mentre la variabile y viene detta variabile dipendente. Si deve anche osservare che le lettere usate per indicare le variabili indipendente e dipendente sono irrilevanti, ad esempio:
y = f (x) ) y = 2x 3 e z = f (t) ) z = 2t 3 individuano esattamente la stessa funzione.
Una nozione di rilievo è poi quella di funzione iniettiva:
De…nizione 11 Una funzione f : A X ! Y si dice iniettiva quando elementi distinti del dominio hanno immagini distinte, cioè:
8x1; x22 A; x16= x2) f(x1) 6= f(x2)
Gra…camente, nel caso di funzione iniettiva si ha una situazione di questo tipo:
ad esempio la funzione f (x) = x3è iniettiva, in quanto si ha:
x16= x2) (x1)36= (x2)3
46 Capitolo 2. Funzioni ad esempio la funzione f (x) = x2non è iniettiva, in quanto si ha:
f ( 3) = ( 3)2= 9 f (3) = (3)2= 9 da cui:
x16= x2) f(x1) = f (x2)
A questo punto diventa possibile introdurre le funzioni in cui sia X sia Y sono insiemi numerici, in particolare X = Y = R, per cui si parla di funzioni reali di variabile reale:
f : A R ! R
Poiché l’insieme R coincide con i punti della retta, è possibile rappresentare la variabile indipendente x su di una retta (orizzontale) e la variabile dipendente y su di un’altra retta (verticale):
dopodiché si associa ad ogni x il corrispondente y = f (x) e si individuano i relativi punti del piano, ottenendo il gra…co (o diagramma) della funzione, che è quindi dato da:
Gf = (x; y) 2 R2: x 2 A; y = f(x)
Poiché una funzione può essere identi…cata con il suo gra…co, è possibile riformulare le de…nizioni di funzione e di funzione iniettiva in termini gra…ci. Per quanto riguarda la de…nizione di funzione, dato che una funzione è una corrispondenza univoca che ad ogni x 2 A associa (al più) un unico y 2 Y , dal punto di vista gra…co ciò signi…ca che ogni retta verticale di equazione x = k (con k costante) interseca il gra…co di f
al più in un punto; in caso contrario, f non è una funzione. Si ha ad esempio (utilizzando il cosiddetto “criterio della retta verticale”):
Per quanto riguarda la de…nizione di funzione iniettiva, dal punto di vista gra…co una funzione è iniettiva (cioè ad elementi distinti del dominio corrispondono immagini distinte) quando ogni retta orizzontale di equazione y = k (con k costante) interseca il gra…co di f al più in un punto; in caso contrario, f non è iniettiva. Si ha ad esempio (utilizzando il cosiddetto “criterio della retta orizzontale”):
48 Capitolo 2. Funzioni
2.2.
Funzioni monotòne, concave, convesse
Una classi…cazione importante riguarda la monotonia di una funzione. Vale a questo proposito la seguente de…nizione:
De…nizione 12 Una funzione f : A R ! R si dice: (i) crescente quando:
8x1; x22 A con x1< x2) f(x1) f (x2)
(ii) crescente in senso stretto quando:
(iii) decrescente quando:
8x1; x22 A con x1< x2) f(x1) f (x2)
(iv) decrescente in senso stretto quando:
50 Capitolo 2. Funzioni Un’altra classi…cazione di rilievo riguarda le funzioni concave e convesse. Vale la seguente de…nizione:
De…nizione 13 Una funzione f : A R ! R si dice convessa quando 8x1; x22 A
il segmento che congiunge i punti (x1; f (x1)) e (x2; f (x2)) sta al di sopra (o almeno
non al di sotto) del gra…co di f .
In particolare, se nel gra…co esistono tratti rettilinei la funzione è convessa (non in senso stretto), altrimenti è convessa in senso stretto:
Vale poi anche la seguente de…nizione:
De…nizione 14 Una funzione f : A R ! R si dice concava quando 8x1; x2 2 A
il segmento che congiunge i punti (x1; f (x1)) e (x2; f (x2)) sta al di sotto (o almeno
non al di sopra) del gra…co di f .
In particolare, se nel gra…co esistono tratti rettilinei la funzione è concava (non in senso stretto), altrimenti è concava in senso stretto:
2.3.
Funzioni pari e dispari
Un’altra classi…cazione è quella relativa alle funzioni pari e dispari. Vale la seguente de…nizione:
De…nizione 15 Una funzione f : A R ! R con insieme di esistenza A simmetrico rispetto all’origine (cioè se x 2 A, allora anche x 2 A) si dice pari quando risulta:
f ( x) = f (x) 8x 2 A mentre si dice dispari quando risulta:
f ( x) = f (x) 8x 2 A
Nel caso di funzioni pari la condizione f ( x) = f (x) signi…ca che valori opposti attribuiti alla x hanno la stessa immagine, per cui una funzione pari, dal punto di vista gra…co, risulta simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, cioè:
(x; y) 2 Gf ) ( x; y) 2 Gf
Un semplice esempio di funzione pari è costituito da: y = f (x) = x2 per la quale si ha:
f ( x) = ( x)2= ( x) ( x) = x2= f (x)
che è appunto la condizione che deve essere veri…cata a¢ nché la funzione sia pari. Il suo gra…co è:
e in questo caso risulta evidente la simmetria rispetto all’asse delle y.
Nel caso di funzioni dispari la condizione f ( x) = f (x) signi…ca che valori opposti attribuiti alla x hanno immagini opposte, per cui una funzione dispari, dal punto di vista gra…co, risulta simmetrica rispetto all’origine, cioè:
52 Capitolo 2. Funzioni Un semplice esempio di funzione dispari è costituito da:
y = f (x) = x3 per la quale si ha:
f ( x) = ( x)3= ( x) ( x) ( x) = x3= f (x)
che è appunto la condizione che deve essere veri…cata a¢ nché la funzione sia dispari. Il suo gra…co è:
e in questo caso risulta evidente la simmetria rispetto all’origine.
Nel caso di funzioni pari o dispari è su¢ ciente e¤ettuare lo studio di f per x 0, dopodiché il gra…co complessivo della funzione si ottiene ribaltando quello ottenuto per valori non negativi delle x rispetto all’asse y (nel caso di funzioni pari) oppure rispetto all’origine (nel caso di funzioni dispari).
2.4.
Studio di funzioni: dominio, intersezioni con
gli assi, segno e simmetrie
Lo scopo dell’analisi e¤ettuata sulle funzioni reali di variabile reale consiste nel partire dall’espressione analitica per giungere alla loro rappresentazione gra…ca, attra-verso quello che viene de…nito “studio di funzione”. Il primo problema da a¤rontare nello studio di una funzione è costituito dall’individuazione del suo dominio, che viene de…nito come il più ampio sottoinsieme di R in cui sono possibili le operazioni indi-cate nell’espressione f (x) (per cui si parla anche di “dominio naturale” di f ). In generale, invece, non si procede all’individuazione dell’insieme delle immagini, che in molti casi non è agevole da determinare, e ci si limita ad indicare il codominio (che per le funzioni considerate è costituito dall’insieme R).
