2.4 Studio di funzioni: dominio, intersezioni con gli assi, segno e simmetrie
2.5.4 Funzioni potenza
Un quarto insieme di funzioni elementari è quello delle funzioni potenza, che sono del tipo:
f (x) = xa con a 2 R; a 6= 0
Considerando innanzitutto situazioni in cui l’esponente a è intero e positivo, cioè: f (x) = xn con n 2 N; n 6= 0
occorre distinguere tra il caso in cui n è pari e quello in cui n è dispari. Se n = 1 si ottiene f (x) = x (funzione lineare), se n = 2 si ottiene f (x) = x2 (funzione
quadratica), mentre se n = 3 si ha:
f (x) = x3 che presenta il seguente andamento:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita 8x 2 R, inoltre f(0) = 0 e f(1) = 1
f (x) è dispari (il suo gra…co è simmetrico rispetto all’origine) f (x) < 0 8x < 0, f(x) > 0 8x > 0
f (x) è strettamente crescente 8x 2 R
poiché risulta:
x3 x2) x3 x2 0 ) x2(x 1) 0 ) x 1
si ha che il gra…co di f (x) = x3sta al di sopra di quello di f (x) = x2 per x > 1:
Se n = 4, poi, la funzione potenza diventa: f (x) = x4 che ha il seguente andamento:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita 8x 2 R, inoltre f(0) = 0 e f(1) = 1
f (x) è pari (il suo gra…co è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate) f (x) 0 8x 2 R
70 Capitolo 2. Funzioni f (x) è strettamente convessa 8x 2 R
poiché risulta:
x4 x2) x4 x2 0 ) x2 x2 1 0 ) x 1 _ x 1
si ha che il gra…co di f (x) = x4sta al di sopra di quello di f (x) = x2per x < 1 e per x > 1:
In de…nitiva, la distinzione fondamentale per le funzioni f (x) = xn è tra il caso di
n pari e quello di n dispari, inoltre considerando solo x 0 si ha:
e risulta:
f (0) = 0 e f (1) = 1 8n
per 0 < x < 1 all’aumentare di n i gra…ci di f (x) = xn si allontanano dalla
bisettrice del primo e terzo quadrante f (x) = x e si “schiacciano” verso l’asse delle ascisse
per x > 1 all’aumentare di n i gra…ci di f (x) = xn si alzano progressivamente
Considerando invece le funzioni:
f (x) = xn con n frazionario e positivo, nel caso n = 12 si ha:
f (x) = x12 =px e gra…camente:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita solo per x 0, inoltre f (0) = 0 e f (1) = 1 f (x) 0 8x 0
f (x) è strettamente crescente 8x 0 f (x) è strettamente concava 8x 0 Nel caso n = 13 , invece, si ha:
f (x) = x13 =p3x e gra…camente:
72 Capitolo 2. Funzioni per cui si ha che:
f (x) è de…nita 8x 2 R, inoltre f(0) = 0 e f(1) = 1 f (x) < 0 8x < 0 e f(x) > 0 8x > 0
f (x) è strettamente crescente 8x 2 R
f (x) è strettamente convessa 8x 0 e strettamente concava 8x 0 In generale, le funzioni:
f (x) = xa con a 2 R; a 6= 0
sono de…nite solo per x > 0, inoltre se a > 0 sono de…nite anche in x = 0 (dove valgono 0), in alcuni casi poi sono de…nite su tutto R (ad esempio x2; x3; x4; :::), in
altri casi sono de…nite su R n f0g (ad esempio x 1= 1 x; x
2= 1
x2; :::), in altri ancora sono de…nite su [0; +1) (ad esempiopx;p4x; :::).
In generale, l’andamento del loro gra…co (per x 0) al variare dell’esponente a è il seguente:
Queste funzioni sono quindi:
strettamente crescenti per a > 0 e strettamente decrescenti per a < 0
strettamente convesse per a < 0 e per a > 1 e strettamente concave per 0 < a < 1
2.5.5.
Funzioni esponenziali
Un altro insieme di funzioni elementari è costituito dalle funzioni esponenziali, che sono del tipo:
f (x) = ax
ed esprimono una relazione in cui i valori della variabile dipendente variano in progres- sione geometrica (cioè il rapporto tra due valori consecutivi è costante). Considerando infatti: f (0) = 1 e poi: f (1) = f (0) a = 1 a = a f (2) = f (1) a = a a = a2 f (3) = f (2) a = a2 a = a3 ::: f (n) = f (n 1) a = an 1 a = an si ottiene: f (n) = an con n 2 N
e prendendo in esame l’esponente non solo naturale ma reale si ottengono le funzioni: f (x) = ax con a > 0; a 6= 1
che sono dette funzioni esponenziali di base a. Nel caso di base a > 1 l’andamento di queste funzioni è il seguente:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita 8x 2 R f (x) > 0 8x 2 R e f(0) = 1
74 Capitolo 2. Funzioni f (x) è strettamente crescente 8x 2 R
f (x) è strettamente convessa 8x 2 R Nel caso di base 0 < a < 1 l’andamento è:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita 8x 2 R f (x) > 0 8x 2 R e f(0) = 1
f (x) è strettamente decrescente 8x 2 R f (x) è strettamente convessa 8x 2 R
Spesso si usa l’esponenziale di base e = 2; 7182:::, cioè: f (x) = ex
il cui andamento quindi è quello delle funzioni esponenziali di base maggiore di 1.
2.5.6.
Funzioni logaritmiche
Un ulteriore insieme di funzioni elementari è quello delle funzioni logaritmiche, che sono del tipo:
f (x) = logax con a > 0; a 6= 1 dove si ha che:
Nel caso di base a > 1 l’andamento è il seguente:
per cui si ha che:
f (x) è de…nita solo per x > 0
f (x) < 0 per 0 < x < 1, f (1) = 0 e f (x) > 0 per x > 1 f (x) è strettamente crescente 8x > 0
f (x) è strettamente concava 8x > 0
76 Capitolo 2. Funzioni per cui si ha che:
f (x) è de…nita solo per x > 0
f (x) > 0 per 0 < x < 1, f (1) = 0 e f (x) < 0 per x > 1 f (x) è strettamente decrescente 8x > 0
f (x) è strettamente convessa 8x > 0
Poiché f (x) = logax è de…nita solo per x > 0, nelle proprietà dei logaritmi si ha:
loga(x y) = logax + logay 8x; y > 0 logax
y = logax logay 8x; y > 0 logaxp= p logax 8x > 0
Spesso si usa il logaritmo di base e, cioè:
f (x) = log x e anche f (x) = ln x
2.5.7.
Funzioni trigonometriche
Un ultimo insieme di funzioni elementari è costituito dalle funzioni trigonome- triche. Per introdurle si considera innanzitutto una circonferenza con centro in (0; 0) e raggio 1:
Dato il punto A = (1; 0) e un punto B sulla circonferenza, si indica con x la lunghezza dell’arco dAB, assumendo x > 0 se ci si muove da A verso B in senso antiorario, x < 0 se ci si muove in senso orario. A questo punto si de…nisce radiante l’angolo cui corrisponde sulla circonferenza un arco lungo quanto il raggio, per cui x rappresenta
anche la misura in radianti dell’angolo al centro AOB, corrispondente all’arco AB sulla circonferenza. Si ha allora:
circonferenza = 2 r ) C = 2 radianti
A questo punto l’ordinata del punto B viene de…nita seno dell’arco AB (o del cor- rispondente angolo al centro) e la funzione che ad ogni x associa il valore corrispon- dente del seno si indica con f (x) = sin x. L’ascissa del punto B viene invece de…nita coseno dell’arco AB (o del corrispondente angolo al centro) e la funzione che ad ogni x associa il valore corrispondente del coseno si indica con f (x) = cos x. Il gra…co di f (x) = sin x è il seguente:
78 Capitolo 2. Funzioni mentre il gra…co di f (x) = cos x è il seguente:
Vale la seguente de…nizione di funzione periodica:
De…nizione 16 Una funzione f : A R ! R si dice periodica di periodo t se t è il più piccolo numero reale positivo tale che:
f (x + t) = f (x) 8x 2 A
Dal punto di vista geometrico il gra…co di una funzione periodica si ripete dopo ogni intervallo di ampiezza t, quindi:
(x; y) 2 Gf) (x + t; y) 2 Gf
e gra…camente si ha una situazione di questo tipo:
Se f è periodica, allora, è su¢ ciente studiarla su di un intervallo di ampiezza t, dopodiché il gra…co completo si ottiene riportando più volte quello così ottenuto.
Vale poi la seguente de…nizione relativa ai diversi tipi di funzione limitata:
De…nizione 17 Una funzione f : A R ! R si dice:
(i) limitata superiormente se il suo codominio è un insieme superiormente limitato, cioè:
9M 2 R : f(x) M 8x 2 A e gra…camente:
(ii) limitata inferiormente se il suo codominio è un insieme inferiormente limitato, cioè:
9m 2 R : f(x) m 8x 2 A e gra…camente:
80 Capitolo 2. Funzioni (iii) limitata se è limitata sia superiormente sia inferiormente, cioè:
9M 2 R : M f (x) M 8x 2 A e gra…camente:
Dall’analisi dei gra…ci si ha allora che il seno è una funzione periodica di periodo 2 , infatti:
sin (x + 2 ) = sin x 8x 2 R inoltre è dispari, cioè:
sin ( x) = sin x 8x 2 R
ed è anche una funzione limitata, in quanto assume sempre valori compresi tra 1 e +1:
1 sin x 1 8x 2 R
In modo analogo il coseno è una funzione periodica di periodo 2 , infatti: cos (x + 2 ) = cos x 8x 2 R
inoltre è pari, cioè:
cos ( x) = cos x 8x 2 R
ed è limitata, in quanto assume sempre valori compresi tra 1 e +1: 1 cos x 1 8x 2 R
Si può poi considerare anche:
e applicando il Teorema di Pitagora al triangolo OBH si ottiene: (sin x)2+ (cos x)2= 12
cioè:
sin2x + cos2x = 1 che è l’identità trigonometrica fondamentale.
Un’altra funzione trigonometrica rilevante è la tangente:
che è l’ordinata del punto T di intersezione tra la retta tangente alla circonferenza in A e il prolungamento del raggio OB. Si ha anche (dalle proprietà dei triangoli simili):
T A OA =
BH OH
cioè (tenendo presente che T A = tgx, OA = 1, BH = sin x e OH = cos x): tgx = sin x
82 Capitolo 2. Funzioni e la funzione che associa ad ogni angolo al centro x la corrispondente tangente si chiama tangente e si indica con f (x) = tgx = tan x. Si ha inoltre che tgx è il coe¢ ciente angolare della retta uscente dall’origine e che forma un angolo x con la direzione positiva dell’asse delle ascisse:
Poiché:
tgx = sin x cos x
la tangente non è de…nita per i valori di x che annullano il coseno, cioè deve essere: x 6= 2 + k k 2 Z
e quindi il dominio della tangente è: D = R n
n
2 + k ; k 2 Z o Il gra…co della tangente è il seguente:
da cui si deduce che si tratta di una funzione periodica di periodo , infatti: tg (x + ) = tgx 8x 2 D
ed anche dispari, in quanto:
2.6.
Trasformazioni geometriche
Dai gra…ci delle funzioni elementari introdotte nella Sezione precedente (e più in generale dai gra…ci di funzioni note) è possibile, attraverso semplici considerazioni di tipo geometrico, ricavare i gra…ci di altre funzioni (dette “quasi elementari”), legate a quelle di partenza da determinate relazioni.
In particolare, conoscendo il gra…co di y = f (x) è possibile ottenere agevolmente i gra…ci di:
y = f (x) y = f ( x) y = f (x) + c con c 2 R y = f (x + c) con c 2 R y = cf (x) con c 2 Rn f0g y = f (cx) con c 2 Rn f0g
y = jf(x)j y = f (jxj)
Un esempio può essere illustrato considerando come funzione di partenza: y = f (x) = x2 2x 3
che è una parabola con la concavità rivolta verso l’alto la quale interseca l’asse delle ascisse in corrispondenza dei punti A = ( 1; 0) e B = (3; 0) e l’asse delle ordinate in corrispondenza del punto C = (0; 3), ha il vertice nel punto V = (1; 4) e il cui gra…co è il seguente:
84 Capitolo 2. Funzioni Da questo si ricavano facilmente i seguenti altri gra…ci:
Il gra…co di y = f (x) = x2+2x+3 si ottiene da quello di f (x) “ribaltandolo”
rispetto all’asse delle x:
Il gra…co di y = f ( x) = x2+ 2x 3 si ottiene da quello di f (x) “ribaltandolo”
Il gra…co di y = f (x) + c con c 2 R si ottiene da quello di f(x) traslandolo della quantità jcj verso l’alto (se c > 0) oppure verso il basso (se c < 0). Ad esempio, nel caso di c = 2 si ottiene y = f (x) 2 = x2 2x 5 il cui gra…co
è:
Il gra…co di y = f (x + c) con c 2 R si ottiene da quello di f(x) traslandolo della quantità jcj a sinistra (se c > 0) oppure a destra (se c < 0). Ad esempio, nel caso di c = 2 si ottiene y = f (x 2) = x2 6x + 5 il cui gra…co è:
86 Capitolo 2. Funzioni Il gra…co di y = cf (x) con c 2 Rn f0g si ottiene da quello di f(x) “dilatandolo” di jcj volte nel senso dell’asse delle ordinate (più precisamente, il gra…co risulta dilatato rispetto a quello di partenza se c > 1, mentre risulta compresso rispetto a quello di partenza se 0 < c < 1 – e se c < 0 valgono considerazioni analoghe ma in aggiunta il gra…co risulta ribaltato rispetto all’asse delle x, come indicato nella prima delle trasformazioni considerate –). Ad esempio, nel caso di c = 2 si ottiene y = 2f (x) = 2x2 4x 6 il cui gra…co è:
Il gra…co di y = f (cx) con c 2 Rn f0g si ottiene da quello di f(x) “comprimen- dolo” di jcj volte nel senso dell’asse delle ascisse (più precisamente, il gra…co risulta compresso rispetto a quello di partenza se c > 1, mentre risulta dilatato rispetto a quello di partenza se 0 < c < 1 – e se c < 0 valgono considerazioni analoghe ma in aggiunta il gra…co risulta ribaltato rispetto all’asse delle y, come indicato nella seconda delle trasformazioni considerate –). Ad esempio, nel caso di c = 2 si ottiene y = f (2x) = 4x2 4x 3 il cui gra…co è:
Il gra…co di y = jf(x)j = x2 2x 3 si ottiene da quello di f (x) ribaltando al
di sopra dell’asse delle ascisse la parte del gra…co stesso che si trova al di sotto, in quanto per de…nizione di valore assoluto si ha:
jf(x)j = 8 < : f (x) se f (x) 0 f (x) se f (x) < 0
Il gra…co di y = f (jxj) = x2 2 jxj 3 si ottiene da quello di f (x) ribaltando a
sinistra dell’asse delle ordinate la parte del gra…co stesso che si trova alla destra, in quanto per de…nizione di valore assoluto si ha:
f (jxj) = 8 < : f (x) se x 0 f ( x) se x < 0
e, qualunque sia la funzione di partenza f (x), si ha che la funzione f (jxj) risulta essere pari.
88 Capitolo 2. Funzioni Esempio 2.14 Ricavare il gra…co della funzione:
f (x) = log2(x + 1)
In questo caso si può partire dalla funzione log2x ottenendo poi (attraverso una
trasformazione del tipo f (x + c)):
Esempio 2.15 Ricavare il gra…co della funzione: f (x) = 2x+ 1
In questo caso si può partire dalla funzione 2x ottenendo poi (attraverso una trasformazione del tipo f (x) + c):
Esempio 2.16 Ricavare il gra…co della funzione: f (x) = 2x+1
In questo caso si può partire dalla funzione 2x ottenendo poi (attraverso una
trasformazione del tipo f (x + c)):
Esempio 2.17 Ricavare il gra…co della funzione: f (x) = x2 2 jxj + 1 In questo caso si ha innanzitutto:
f ( x) = ( x)2 2 j xj + 1 = x2 2 jxj + 1 = f(x)
per cui f è pari, quindi è possibile tracciare la funzione f (x) per x 0 e poi ribaltare il gra…co rispetto all’asse y. Per x 0 si ha:
f (x) = x2 2x + 1 = (x 1)2
che può essere ottenuta partendo da x2attraverso una trasformazione del tipo f (x+c),
90 Capitolo 2. Funzioni Esempio 2.18 Ricavare il gra…co della funzione:
f (x) = log (jxj + 1) In questo caso si ha innanzitutto:
f ( x) = log (j xj + 1) = log (jxj + 1) = f(x)
per cui f è pari, quindi è possibile tracciare la funzione f (x) per x 0 e poi ribaltare il gra…co rispetto all’asse y. Per x 0 si ha:
f (x) = log (x + 1)
che può essere ottenuta partendo da log x attraverso una trasformazione del tipo f (x + c), per cui in de…nitiva si ha:
Esempio 2.19 Ricavare il gra…co della funzione: f (x) = 1
x+ 4
In questo caso si può partire dalla funzione x1 ottenendo poi (attraverso una trasformazione del tipo f (x) + c):
In alternativa è possibile considerare: f (x) = 1
x+ 4 = 1 + 4x
x che è un’iperbole con assi di simmetria:
x = 0 y =4x x = 4 e il cui gra…co è quello sopra riportato.
Esempio 2.20 Ricavare il gra…co della funzione: f (x) = 1
x + 4
In questo caso si può partire dalla funzione 1x ottenendo poi (attraverso una trasformazione del tipo f (x + c)):
In alternativa è possibile considerare:
f (x) = 1 x + 4 che è un’iperbole con assi di simmetria:
x = 4 y = 0 x x = 0 e il cui gra…co è quello sopra riportato.
92 Capitolo 2. Funzioni Esempio 2.21 Ricavare il gra…co della funzione:
f (x) = 1 jxj 3 In questo caso si ha innanzitutto:
f ( x) = 1 j xj 3 =
1
jxj 3 = f (x)
per cui f è pari, quindi è possibile tracciare la funzione f (x) per x 0 e poi ribaltare il gra…co rispetto all’asse y. Per x 0 si ha:
f (x) = 1 x 3
il cui gra…co può essere ottenuto a partire da quello della funzione 1
x attraverso una trasformazione del tipo f (x+c) (in e¤etti si tratta di un’iperbole con assi di simmetria x = 3 e y = 0). In de…nitiva, il gra…co della funzione iniziale è il seguente:
2.7.
Funzioni composte
Un’operazione di particolare importanza che può essere de…nita con riferimento alle funzioni è quella di composizione. Vale innanzitutto la seguente de…nizione:
De…nizione 18 Date le funzioni f : A X ! Y e g : Y ! Z, ad ogni x 2 A corrisponde, tramite f , un elemento y = f (x) 2 Y al quale, tramite g, corrisponde a sua volta un elemento z = g(y) = g(f (x)).
Si chiama funzione composta mediante f e g la funzione h : A X ! Z che ad ogni x 2 X associa l’elemento z = g(f(x)). Si indica tale funzione composta con g(f) oppure g f (dove f è la funzione interna e g quella esterna nella composizione).
Il concetto di funzione composta può essere illustrato attraverso il seguente gra…co:
In particolare, considerando funzioni reali di variabile reale: t = f (x) con f : A R ! R y = g(t) con g : B R ! R
tali che ogni valore assunto da f cada nel dominio di g (cioé f (A) B), ad ogni x 2 A la funzione f associa un unico elemento f (x), e poiché questo è un elemento di B ad esso la funzione g associa un unico elemento g(f (x)). Si chiama funzione composta g f (dove è de…nita) la funzione:
y = h(x) = g(f (x)) con h : A R ! R che ad ogni x 2 A associa l’elemento g(f(x)).
La condizione da veri…care per stabilire se la funzione composta esiste è quindi f (A) B, in quanto si potrebbe avere una situazione di questo tipo:
in cui f (A) e B sono insiemi disgiunti, per cui g f non esiste.
In pratica, date le due funzioni f e g, è possibile scrivere subito la funzione com- posta g f , dopodiché si impongono le (eventuali) condizioni di realtà richieste dal- l’espressione analitica della funzione, e in questo modo si individua il dominio della funzione composta (eventualmente vuoto, nel qual caso la funzione composta non esiste). In modo analogo è possibile individuare (se esiste) la funzione composta f g. L’operazione di composizione non è commutativa, cioè anche quando esistono sia g f sia f g, in generale si ha g f 6= f g.
94 Capitolo 2. Funzioni Esempio 2.22 Date le funzioni:
f (x) = x3+ 2 g(t) = et+ 5 determinare le funzioni composte g f e f g.
Per determinare g f si pone:
t = f (x) = x3+ 2
e sostituendo questa espressione nella funzione g(t) al posto di t si ottiene: g(f (x)) = ex3+2+ 5
e, poiché non vi sono condizioni di realtà da imporre, questa è la funzione composta g f , che risulta de…nita 8x 2 R.
In modo analogo, per determinare f g si pone: x = g(t) = et+ 5
e sostituendo questa espressione nella funzione f (x) al posto di x si ottiene: f (g(t)) = et+ 5 3+ 2
e, poiché anche in questo caso non vi sono condizioni di realtà da imporre, questa è la funzione composta f g, che risulta de…nita 8t 2 R. Si può inoltre osservare che, pur essendo de…nite (su tutto R) sia g f sia f g, si ha g f 6= f g.
Esempio 2.23 Date le funzioni:
f (x) = log x g(t) =pt determinare le funzioni composte g f e f g.
Per determinare g f si pone:
t = f (x) = log x
e sostituendo questa espressione nella funzione g(t) al posto di t si ottiene: g(f (x)) =plog x
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà (del logaritmo e della
radice): 8 < : x > 0 log x 0 ) 8 < : x > 0 x 1 ) x 1
per cui la funzione composta cercata è:
g f = g(f (x)) =plog x per x 1 In modo analogo, per determinare f g si pone:
x = g(t) =pt
e sostituendo questa espressione nella funzione f (x) al posto di x si ottiene: f (g(t)) = log(pt)
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà (della radice e del logaritmo): 8 < : t 0 p t > 0 ) 8 < : t 0 t > 0 ) t > 0 per cui la funzione composta cercata è:
f g = f (g(t)) = log(pt) per t > 0
Anche in questo caso si può osservare che, pur essendo de…nite sia g f sia f g, si ha g f 6= f g.
Esempio 2.24 Date le funzioni:
f (x) = log x g(t) = pt determinare le funzioni composte g f e f g.
Per determinare g f si pone:
t = f (x) = log x
e sostituendo questa espressione nella funzione g(t) al posto di t si ottiene: g(f (x)) = plog x
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà: 8 < : x > 0 log x 0 ) 8 < : x > 0 x 1 ) x 1 per cui la funzione composta cercata è:
96 Capitolo 2. Funzioni In modo analogo, per determinare f g si pone:
x = g(t) = pt
e sostituendo questa espressione nella funzione f (x) al posto di x si ottiene: f (g(t)) = log( pt)
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà: 8 < : t 0 p t > 0 ) 8 < : t 0 p t < 0 ) impossibile
per cui la funzione composta f g non esiste (in quanto la funzione g assume sempre valori non positivi, che quindi non appartengono al dominio della funzione f , costituito dai valori strettamente positivi).
In questo caso si ha quindi che la funzione g f esiste, mentre la funzione f g non esiste.
Esempio 2.25 Date le funzioni:
f (x) =px g(t) = pt determinare le funzioni composte g f e f g.
Per determinare g f si pone:
t = f (x) =px
e sostituendo questa espressione nella funzione g(t) al posto di t si ottiene: g(f (x)) = qpx
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà: 8
< :
x 0
px 0 ) x 0 per cui la funzione composta cercata è:
g f = g(f (x)) = qpx = p4x per x 0 In modo analogo, per determinare f g si pone:
e sostituendo questa espressione nella funzione f (x) al posto di x si ottiene: f (g(t)) =q pt
A questo punto è necessario imporre le condizioni di realtà: 8 < : t 0 p t 0 ) 8 < : t 0 p t 0 ) t = 0 per cui la funzione composta cercata (de…nita in un solo punto) è:
f g = f (g(t)) =q pt per t = 0 cioè:
f (g(t)) = 0 in t = 0