tale che
h(x) = (g ◦ f )(x) = g(f (x)) agisca come segue
x7→ f (x)f 7→ g(f (x))g
In generale, può risultare che siano ben de nite sia g◦f che f ◦g ma usualmente sarà g◦f 6= f ◦g. . Esempio 2.7.1. Siano f (x) = x2 e g(x) = x − 2. Allora
f ◦ g(x) : x 7→ x − 2 7→ (x − 2)2 g ◦ f (x) : x 7→ x2 7→ x2− 2
e in generale (x − 2)2 6= x2− 2.
Quindi la composizione di funzioni non è in generale commutativa; però si dimostra che è associativa, cioè si ha
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h).
Se una funzione è tale che f(D) ⊆ D allora tale funzioni si può comporre con se stessa, ottenendo
f2(x) = f ◦ f (x) = f (f (x)) iterata seconda
...
fn(x) = f ◦ f ◦ · · · ◦ f (x) = f (f (f (. . . f (x)))) iterata ennesima
+ Osservazione 2.7.2. Quando si chiede di determinare il dominio della funzione composta, occorre sempre prestare attenzione. Infatti in generale il dominio è dato dall'intersezione tra il dominio della funzione di partenza e il dominio della funzione in arrivo; una valutazione non attenta può portare a conclusioni errate. Ad esempio, se f(x) = √x + 1 e g(x) = x2− 4allora g ◦ f(x) = x − 3 il cui dominio non è R come sembrerebbe a prima vista, ma x ≥ −1, perché se si prende x al di fuori di questo dominio, la f non è nemmeno applicabile e quindi non ha nemmeno senso scrivere la funzione composta.
2.8. Funzioni invertibili e funzioni inverse
2.8.1. Generalità
Sia data una funzione f : D ⊆ R → R. Questo signi ca, per de nizione di funzione, che
∀x ∈ D, ∃!f (x) 43
2 Funzioni reali di una variabile reale
essendo le funzioni caratterizzate, come si è più volte detto, dalla univocità della corrispondenza input-output.
Se accade anche che
∀y ∈ f (D), ∃!x ∈ D : f (x) = y,
allora f si dice invertibile e si realizza una corrispondenza biunivoca tra D e f(D). Formalmente:
r De nizione 2.8.1. Si dice che una funzione è iniettiva se accade che
∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2) o equiv. ∀x1, x2 ∈ D, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2;
si dice che una funzione è suriettiva o surgettiva se accade che ∀y ∈ f (D), ∃x ∈ D : f (x) = y;
si dice che una funzione è biunivoca o biiettiva o bigettiva se accade che ∀y ∈ f (D), ∃!x ∈ D : f (x) = y.
La funzione che per ogni y ∈ f(D) associa l'unico elemento x ∈ D tale che si abbia f(x) = y si chiama funzione inversa e si indica con il simbolo f−1 (non si confonda la funzione inversa f−1
con la funzione 1
f che in generale sono ben diverse!).
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −1 1 2 3 4 5 0
Esempio di funzione invertibile
Quindi riassumendo ( y = f (x) x ∈ D ⇐⇒ ( x = f−1(y) y ∈ f (D)
C'è un'interessante interpretazione geometrica della condizione di invertibilità: se f è invert- ibile, allora il gra co di f può essere intersecato al massimo in un solo punto da ogni retta parallela all'asse delle x.
2.8 Funzioni invertibili e funzioni inverse
. Esempio 2.8.2. y = x2 non è invertibile sul suo naturale dominio di de nizione (che è R);
infatti essendo una funzione pari, il suo gra co è simmetrico rispetto all'asse delle y e quindi ogni retta parallela all'asse delle x del tipo y = k interseca il gra co in due punti (se k > 0 naturalmente). Tuttavia la restrizione della stessa funzione al dominio x ≥ 0 è invertibile e la sua inversa è √x (ed è anche questo un motivo per cui la radice quadrata di un numero la si calcola solo per reali positivi o nulli e dà come output un numero positivo o nullo).
In generale quindi sicuramente non sono invertibili nel loro naturale dominio di de nizione sia le funzioni simmetriche pari che le funzioni periodiche.
Vale il seguente importantissimo risultato.
Teorema 2.8.3. Una funzione f : D ⊆ R → R strettamente monotona in D è invertibile in D. Inoltre la sua inversa è ancora strettamente monotona.
dimostrazione. Supponiamo che f sia strettamente crescente. Allora presi x1, x2 ∈ D
dobbiamo provare che
x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2).
Se x1 6= x2 allora possono accadere solo due casi: x1 < x2 oppure x1 > x2. Allora, dalla
crescenza (stretta!) di f si ha
x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2) oppure x1 > x2 ⇒ f (x1) > f (x2).
In entrambi i casi si ottiene f(x1) 6= f (x2) da cui la tesi. Il caso in cui f è strettamente
decrescente si tratta in modo analogo.
Ora proviamo che f−1 è strettamente crescente se f lo è. Sia y
1 < y2; dobbiamo far vedere che
x1 < x2, dove xi = f−1(yi), i = 1, 2. Supponiamo per assurdo che sia x1 ≥ x2; allora visto che
f è strettamente crescente, si ha f(x1) ≥ f (x2)cioè y1 ≥ y2, il che è assurdo. Questo permette
di concludere. 2
r De nizione 2.8.4. Date due proposizioni P e Q, si dice che: P è condizione necessaria per Q se Q ⇒ P;
P è condizione sufficiente per Q se P ⇒ Q;
+ Osservazione 2.8.5. Dal Teorema 2.8.3 si evince che se una funzione è strettamente monotona è invertibile, quindi la stretta monotonia è condizione su ciente per l'invertibilità. Siccome però non vale il viceversa, come da controesempio in gura, cioè una funzione può essere invertibile anche senza essere strettamente monotona, la stretta monotonia non è condizione necessaria per l'invertibilità.
2 Funzioni reali di una variabile reale −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 Controesempio Riassumendo:
f strettamente monotona ⇒ f invertibile f invertibile ; f strettamente monotona.
+ Osservazione 2.8.6. C'è un'interessante interpretazione geometrica riguardo i gra ci di una funzione e della sua inversa: infatti sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Alcuni esempi sono riportati in fondo al capitolo.
2.8.2. Funzioni trigonometriche inverse
Come abbiamo osservato in precedenza, le funzioni periodiche non sono in generale invertibili nel loro dominio di de nizione; lo diventano se vengono ristrette a opportuni intervalli all'in- terno dei quali esse sono strettamente monotone. Presentiamo ora quindi le generalità delle funzioni trigonometriche inverse. I gra ci vengono presentati in fondo al capitolo.
Osserviamo che sin x viene per convenzione ristretto all'intervallo [−π 2,
π
2] dove è strettamente
crescente; per il Teorema 2.8.3 il seno ristretto a questo intervallo è una funzione invertibile e la sua funzione inversa prende il nome di arcoseno e si indica con arcsin y. Si osserva che il dominio della funzione seno ristretta diventa l'immagine della funzione arcoseno e viceversa. Questo è un fatto generale che accade anche per le altre funzioni trigonometriche inverse.
y = sin x Dominio:h−π 2, π 2 i Immagine:[−1, 1] ⇐⇒ x = arcsin y Dominio:[−1, 1] Immagine:h−π 2, π 2 i 46
2.9 Alcuni grafici elementari
Invece cos x viene per convenzione ristretto all'intervallo [0, π] dove è strettamente decrescente; per il Teorema 2.8.3 il coseno ristretto a questo intervallo è una funzione invertibile e la sua funzione inversa prende il nome di arcocoseno e si indica con arccos y. Si ha
y = cos x Dominio: [0, π] Immagine:[−1, 1] ⇐⇒ x = arccos y Dominio:[−1, 1] Immagine:[0, π] In ne tan x viene per convenzione ristretta all'intervallo (−π
2, π
2) (estremi esclusi!) dove è
strettamente crescente; per il Teorema 2.8.3 la tangente ristretta a questo intervallo è una funzione invertibile e la sua funzione inversa prende il nome di arcotangente e si indica con arctan y. Si ha y = tan x Dominio:−π 2, π 2 Immagine:R ⇐⇒ x = arctan y Dominio:R Immagine:−π 2, π 2