Successioni convergenti, divergenti, indeterminate

r Denizione 3.3.1. Una successione {an}n si dice convergente se esiste ` ∈ R con questa

proprietà

∀ε denitivamente |an− `| < ε

o equivalentemente

∀ ε > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N |an− `| < ε.

Il numero ` si chiama limite della successione e scriveremo lim

n→+∞an= ` oppure an→ ` per n → ∞

Teorema 3.3.2. Il limite di una successione, se esiste, è unico.

Dimostrazione. Se per assurdo esistessero due limiti di una successione, chiamiamoli `1 e `2,

si avrebbe

|`1− `2| ≤ |`1− an| + |an− `2| < ε + ε = 2ε

da cui `1 = `2 2

Gracamente: una successione tende a ` se ssata una striscia orizzontale centrata in ` e di semiampiezza ε (ssata una striscia orizzontale [` − ε; ` + ε] comunque stretta), da un certo indice in poi i punti della successione non escono dalla striscia; infatti

|an− `| < ε ⇔ −ε < an− ` < ε ⇔ ` − ε < an< ` + ε −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −3 −2 −1 1 2 3 4 0 ε ε N = 5 60

3.3 Successioni convergenti, divergenti, indeterminate

Conseguenza importante: Ogni successione convergente è limitata. (Intuitivamente: da un certo punto in poi, tutti i punti della successione stanno in una striscia, quindi la successione è denitivamente limitata; prima rimangono fuori solo un numero nito di punti, quindi si prende il massimo di questi in valore assoluto e questo costituisce il limite superiore (e con il segno contrario anche il limite inferiore).

Vale il viceversa? No. Esistono infatti successioni limitate ma non convergenti. Controesempio: an= (−1)n.

. Esempio 3.3.3. Dimostrare che

lim

n→∞

n + 1 n − 1 = 1 usando la denizione di limite.

Si deve far vedere che

∀ ε > 0, ∃N : ∀n ≥ N 1 − ε < n + 1 n − 1 < 1 + ε. A questo punto: n + 1 n − 1 + ε − 1 > 0 ⇔ n + 1 + ε(n − 1) − n + 1 n − 1 > 0 ⇔ 2 + ε(n − 1) n − 1 > 0 Ok se n > 1. Passiamo all'altra disuguaglianza:

n + 1 n − 1−ε−1 < 0 ⇔ n + 1 − ε(n − 1) − n + 1 n − 1 < 0 ⇔ 2−ε(n−1) < 0 ⇔ ε(n−1) > 2 ⇔ n > 1+ 2 ε. Quindi basta scegliere

N :=  1 + 2 ε  + 1,

dove il simbolo [x] denota la parte intera del numero x, come introdotto nel primo capitolo. r Denizione 3.3.4. Una successione si dice divergente a +∞ se

∀M > 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N an> M

Una successione si dice divergente a −∞ se

∀M < 0, ∃N ∈ N : ∀n ≥ N an< M

In tal caso +∞ o −∞ sono i limiti delle successioni divergenti e scriveremo lim

n→∞an= +∞ o n→∞lim an = −∞

3 Successioni

+ Osservazione 3.3.5. Occorre notare che ±∞ sono simboli a cui non corrisponde nessun numero reale e quindi le operazioni che li coinvolgono devono essere fatte con cautela.

r Denizione 3.3.6. Con il simbolo R∗ (o anche R) indichiamo l'insieme numerico dei reali estesi cioè

R∗ = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}.

+ Osservazione 3.3.7. È facile mostrare che le precedenti denizioni tornano a essere valide anche se le disuguaglianze strette sono rimpiazzate da quelle larghe e viceversa. Infatti in tali casi basta scegliere in modo opportuno la quantità N.

r Denizione 3.3.8. Una successione che ammette limite nito si dice convergente. Esempio: n 7→ _n1. Una successione che ammette limite innito si dice divergente. Esempio: n 7→ n2. Una successione che non ammette limite si dice irregolare o indeterminata. Esempio: n 7→ (−1)n. Una successione che tende a zero si dice infinitesima (quindi un innitesimo non è un numero innitamente piccolo ma una quantità variabile che diventa innitamente piccola). Una successione divergente (positivamente o negativamente) si dice infinita.

Proposizione 3.3.9. Una successione {an}n è innitesima se e solo se la successione dei suoi

valori assoluti {|an|}n è innitesima.

r Denizione 3.3.10. Si dice che an→ ` ∈ R per eccesso [[per difetto ]]e si scrive

lim n→0+an= ` + <sub>[[`</sub>− ]]oppure an→ `+ [[`− ]] se ∀ε, si ha che denitivamente 0 ≤ an− ` < ε [[0 ≤ ` − an < ε ]] . Esempio 3.3.11. lim n→+∞ 1 n = 0 + _lim n→+∞ n n + 1 = 1 − lim n→+∞ (−1)n n = 0 dove nell'ultimo caso non si può aermare né che an→ 0+ né che an→ 0−.

Proposizione 3.3.12. Una funzione f : N → N è crescente [[debolmente crescente ]] se e solo se

∀ n, f (n) < f (n + 1) [[≤ ]]

Analogamente, è decrescente [[debolmente decrescente ]] se e solo se ∀ n, f (n) > f (n + 1) [[≥ ]]

Proposizione 3.3.13. Se f : N → N è crescente, allora ∀ n, f(n) ≥ n. 62

3.3 Successioni convergenti, divergenti, indeterminate

Dimostrazione. Per induzione.

r Denizione 3.3.14. Si dice sottosuccessione di una successione {an}n (o successione

estratta da {an}n) la composizione a ◦ k della successione data con una qualunque applicazione

crescente k : N → N.

+ Osservazione 3.3.15. Poiché la composizione di due applicazioni crescenti è crescente, una sottosuccessione di una sottosuccessione di {an}n è ancora una sottosuccessione di {an}n. Inoltre

ogni sottosuccessione di una successione monotona è monotona dello stesso tipo.

Teorema 3.3.16. Se an → `allora per ogni sua estratta si ha ank → `. Il viceversa è banale,

visto che {an}n è un'estratta di se stessa.

Corollario 3.3.17. Se una successione ha limite, tutte le estratte hanno lo stesso limite. Quindi (−1)n non ha limite.

Proposizione 3.3.18. Se possiamo dividere una successione {an}n tra due successioni in modo

che tutti gli elementi della successione appartengano a qualcuna di esse, e se entrambe hanno lo stesso limite `, allora è tutta {an}n che ha limite `.

Quindi per dimostrare che {an}n∈N non ha limite basta trovare due successioni in modo tale

che tutti gli elementi delle successioni appartengano a una delle due e tali che convergano a due limiti diversi. Quindi nel caso an= (−1)n, basta considerare a2k → 1e a2k+1→ −1.

r Denizione 3.3.19. Sulla base dei risultati precedenti, diremo che una successione {an} è

monotona crescente se an ≤ an+1; diremo che essa è monotona strettamente cres-

cente se an< an+1; diremo che essa è monotona decrescente se an≥ an+1; diremo inne

che essa è monotona strettamente decrescente se an> an+1.

. Esempio 3.3.20. Quindi ad esempio n 7→ n2 _{è monotona strettamente crescente; n 7→} 1 n è

monotona strettamente decrescente; n 7→ (−1)n _{non è monotona.}

Teorema 3.3.21. Sia {an} una successione monotona crescente e superiormente limitata.

Allora {an} è convergente e il suo limite è sup{an : n ∈ N}. Analogamente se {an} è una

successione monotona decrescente e inferiormente limitata, allora {an} è convergente e il

suo limite è inf{an: n ∈ N}

3 Successioni

+ Osservazione 3.3.22. Questo teorema è una conseguenza dell'assioma di continuità dei numeri reali e quindi vale se siamo in R. Ad esempio, non è vero che una successione crescente e limitata di numeri razionali ammette sempre limite razionale.

Come conseguenza del teorema, si ha il seguente corollario:

Corollario 3.3.23. Sia {an} una successione monotona e crescente. Allora esiste

lim

n→+∞an= sup{an: n ∈ N}.

Analogamente sia {an} una successione monotona e decrescente. Allora esiste

lim

n→+∞an= inf{an : n ∈ N}.

Esplicitamente: se {an} è superiormente limitata allora converge a un numero reale; se è

superiormente illimitata allora diverge. Quindi una successione monotona converge o diverge; non può essere irregolare.

. Esempio 3.3.24. Consideriamo ad esempio la successione geometrica di ragione q: 1, q, q2, q3, . . . , qn, . . .

Allora se q > 1 è monotona crescente, illimitata superiormente, quindi diverge a +∞; se q = 1 o q = 0è constante. Se 0 < q < 1 è monotona decrescente e quindi si dimostra che è innitesima; se q < 0 invece non è monotona. Il comportamento si può riassumere come segue:

lim n→+∞q n₌          +∞ q > 1 1 q = 1 0 |q| < 1 @ q ≤ −1