Si dicefunzione realeuna funzione f : D✓ R ! C ✓ R. Ilgraficodi una funzione reale `e il sottoinsieme diR2 definito da
Graph(f ) ={(x, y) 2 R2
| x 2 D, y = f(x)} = {(x, f(x)) 2 R2
| x 2 D} e potremo quindi rappresentarlo in un piano cartesiano Oxy
I La funzione f :R ! R definita da f(x) = x2ha per grafico la parabola di equazione y = x2
I La funzione f :R \ {0} ! R data da f(x) = 1
x ha per grafico l’iperbole equilatera xy = 1.
Ricordiamo che una funzione associa ad ogni punto del dominio uno e un solo punto del codominio.
Un sottoinsieme del piano `e quindi il grafico di una funzione f (x) se e solo se ogni retta verticale lo intereseca in al pi`u un punto.
Ricordiamo che l’immagine di una funzione f : D! R `e l’insieme Im(f ) ={y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 D} = {f(x) | x 2 D} Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), il dominio e l’immagine si possono ottenere proiettando il grafico sull’asse x e sull’asse y
Ricordiamo che data una funzione f : D! R, l’immagine di un sottoinsieme A✓ D `e l’insieme
f (A) ={y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 A} = {f(x) | x 2 A} La controimmagine di un sottoinsieme B✓ R `e l’insieme
f 1(B) ={x 2 D | f(x) 2 B}
Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), l’immagine f (A) di un insieme A✓ D `e un sottoinsieme dell’asse delle ordinate, mentre la controimmagine f 1(B) di un insieme B✓ R `e un sottoinsieme dell’asse delle ascisse:
⌅l’immagine f (A) si ottiene proiettando sull’asse delle ordinate la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ascissa che appartiene ad A;
⌅la controimmagine f 1(B) si ottiene proiettando sull’asse delle ascisse la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ordinata che appartiene a B.
IData la funzione f (x) = x1, l’immagine dell’intervallo (12, 3] `e l’intervallo [13, 2), mentre la controimmagine dell’intervallo [ 1, 2] `e l’unione ( 1, 1] [ [1
Ricordiamo che una funzione f : D! R `e iniettiva se
8x1, x22 D si ha che x16= x2 ) f(x1)6= f(x2) o equivalentemente, se
8x1, x22 D si ha che f(x1) = f (x2) ) x1= x2. Dal grafico di una funzione si pu`o riconoscere se questa `e iniettiva:
⌅una funzione reale f : D! C `e iniettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico al pi`u una volta.
La funzione f :R ! R `e iniettiva, non lo `e g : R ! R
Ricordiamo che una funzione f : D! C `e suriettiva se ogni elemento di C `e immagine di qualche elemento del dominio D, cio`e se
8 y 2 C 9 x 2 D tale che f(x) = y , C = Im(f) Dal grafico di una funzione si pu`o riconoscere se questa `e suriettiva:
⌅una funzione reale f : D! C `e suriettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico almeno una volta.
Infine, una funzione f : D! C `e bijettiva se `e iniettiva e suriettiva, quindi
⌅una funzione reale f : D! C `e bijettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico una e una sola volta.
I La funzione f :R \ {1} ! R \ {0} definita da fx) = 1
x 1 `e bijettiva, infatti ogni retta orizzontale y = k, eccetto l’asse x, interseca il suo grafico (l’iperbole di equazione y = 1
x 1) esattamente una volta.
Esercizi
A B C
•Il diagramma A rappresenta una funzione
1. y = f (x) iniettiva 3. y = f (x) suriettiva suR 2. y = f (x) non iniettiva 4. x = g(y)
•L’immagine dell’intervallo ( 2, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in B `e l’intervallo
1. ( 2, +1) 3. [ 4, +1) 2. [ 4, 2) 4. ( 2, 0)
•La controimmagine dell’intervallo [3, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in C `e l’intervallo
1. [2, +1) 3. (1, 2] 2. ( 1, 2] 4. [1, 2)
Risposte
A B C
•Il diagramma A rappresenta una funzione
1. y = f (x) iniettiva 3. y = f (x) suriettiva suR 2. y = f (x) non iniettiva 4. x = g(y)
•L’immagine dell’intervallo ( 2, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in B `e l’intervallo
1. ( 2, +1) 3. [ 4, +1)
2. [ 4, 2) 4. ( 2, 0)
•La controimmagine dell’intervallo [3, +1) mediante la funzione il cui grafico `e rappresentato in C `e l’intervallo
1. [2, +1) 3. (1, 2]
2. ( 1, 2] 4. [1, 2)
Esempi notevoli
Nel caso di funzioni reali, spesso si usa indicare solo la legge f (x), sottointendendo che il dominio D `e costituito da tutti i numeri reali per i quali sono possibili le operazioni indicate nella legge (dominio naturale) e come codominio C =R.
I Funzione costante: f (x) = b per ogni x2 R, si ha Dom(f(x)) = R e Im(f (x)) ={b} I Funzione segno: sgn(x) = ® 1 se x > 0, 1 se x < 0, abbiamo Dom(sgn(x)) =R \ {0} e Im(sgn(x)) = { 1; 1}
I Funzione parte intera: f (x) = [x] = n dove n2 Z `e tale che n x < n + 1. Si ha che Dom([x]) = R e Im([x]) = Z
I Funzione lineare: f (x) = ax + b per ogni x2 R, si ha Dom(f (x)) =R e se a 6= 0, Im(f(x)) = R
I Funzione valore assoluto: f (x) =|x| = ®
x se x 0,
x se x < 0, dove Dom(f (x)) =R e Im(f(x)) = [0, +1)
FUNZIONI PERIODICHE, PARI e DISPARI
Una funzione f : D✓ R ! R `e dettaperiodicadi periodo T 2 R se • D `e tale che x + T 2 D per ogni x 2 D,
• f (x + T ) = f (x) per ogni x2 D.
La funzione mantissa m(x) = x [x] `e un esempio di funzione periodica di periodo 1.
Data una funzione reale f : D✓ R ! R , sia D simmetrico rispetto all’origine, cio`e sia tale che se x2 D allora x 2 D.
La funzione `e dettaparise
f ( x) = f (x) per ogni x2 D La funzione `e detta invece disparise
f ( x) = f (x) per ogni x2 D
Abbiamo che il grafico di una funzione pari risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate mentre quello di una funzione dispari risulta simmetrico rispetto all’origine del piano cartesiano.
Per esempio le funzioni |x| e x2 sono pari, mentre sgn(x), x e x3 sono funzioni dispari.
FUNZIONI MONOTONE
Una funzione f : D✓ R ! R si dicecrescentein un intervallo I ✓ D se 8x1, x22 I si ha che x1< x2 ) f(x1) f(x2)
Si dicedecrescentein un intervallo I ✓ R se
8x1, x22 I si ha che x1< x2 ) f(x1) f (x2) Una funzione si dicemonotonase `e crescente oppure decrescente.
Quando vale la disuguaglianza stretta anche per i valori della f (x), allora la funzione si dicestrettamente monotona. In particolare, la funzione `e strettamente crescentein un intervallo I ✓ D se
8x1, x22 I si ha x1< x2 ) f(x1) < f (x2) `estrettamente decrescentein un intervallo I ✓ D se
8x1, x22 I si ha x1< x2 ) f(x1) > f (x2) Osserviamo che ogni funzione strettamente monotona `e iniettiva Per esempio, le funzioni x e x3 sono strettamente crescenti inR, le funzioni |x| e x2 non sono monotone inR ma sono strettamente decrescenti (risp. crescenti) in ( 1, 0] (risp. [0, +1)).
Esercizi
•La funzione f (x) il cui grafico `e rappresentato in figura
1. `e dispari e periodica di periodo 2 3. `e dispari e periodica di periodo 4 2. `e pari e periodica di periodo 2 4. `e pari e periodica di periodo 4
•La funzione f (x) rappresentata in figura
1. `e dispari ed `e decrescente in [ 1, 1] 3. `e dispari ed `e crescente in [ 3, 1] 2. `e pari ed `crescente in [0, 1] 4. `e dispari ed `e decrescente in [ 3, 1]
•Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?
1. se una funzione `e pari, allora non `e strettamente crescente 2. se una funzione `e periodica, allora non `e strettamente decrescente 3. se una funzione `e dispari, allora `e monotona
4. se una funzione `e dispari, allora non ha segno costante
Risposte
•La funzione f (x) il cui grafico `e rappresentato in figura
1. `e dispari e periodica di periodo 2 3.`e dispari e periodica di periodo 4
2. `e pari e periodica di periodo 2 4. `e pari e periodica di periodo 4
•La funzione f (x) rappresentata in figura
1. `e dispari ed `e decrescente in [ 1, 1] 3. `e dispari ed `e crescente in [ 3, 1] 2. `e pari ed `crescente in [0, 1] 4.`e dispari ed `e decrescente in [ 3, 1] •Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?
1. se una funzione `e pari, allora non `e strettamente crescente 2. se una funzione `e periodica, allora non `e strettamente decrescente 3. se una funzione `e dispari, allora `e monotona