Unsistema di riferimento cartesianoOxy (opiano cartesiano) `e costituito da due rette reali tra loro perpendicolari che si intersecano nell’origine comune O.
Le due rette vengono detteassi cartesiani, le quattro regioni in cui il piano risulta diviso dai due assi vengono dettequadranti
Attraverso la funzione ascissa `e possibile determinare una corrispondenza biunivoca tra il piano cartesiano e l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali
R2
=R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R}
A ogni punto del P del piano cartesiano corrisponde un’ascissa x2 R e un’ordinatay2 R pari rispettivamente all’ascissa del punto Px, proiezione del punto P sull’asse delle ascisse, e del punto Py, proiezione del punto P sull’asse delle ordinate
=
Si dice in tal caso che il punto P hacoordinate(x, y)2 R2
e si usa scrivere P = (x, y), identificando il punto con le sue coordinate.
DISTANZA e PUNTO MEDIO
Ladistanza d(P1, P2)tra due punti P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2) del piano `e la lunghezza del segmento di estremi P1e P2. Grazie al teorema di Pitagora abbiamo che
d(P1, P2) =p
(x1 x2)2+ (y1 y2)2
Ilpunto mediodi un segmento `e il punto equidistante dai due estremi, ovvero `e il punto che divide il segmento in due parti uguali. Le coordinate del punto medio PM del segmento di estremi P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2) sono date da PM =⇣x1+ x2 2 , y1+ y2 2 ⌘
I La distanza tra i punti P1= (1, 3) e P2= (0, 2) vale d(P1, P2) =p
(1 0)2+ ( 3 2)2=p 26. Il punto medio del segmento di estremi P1e P2`e il punto
PM=⇣1 + 0 2 , 3 + 2 2 ⌘ =⇣1 2, 1 2 ⌘ .
TRASFORMAZIONI del PIANO
Ricordiamo alcune trasformazioni del piano.
⌅ Latraslazionedi vettore ~v = (a, b) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P0= (x + a, y + b);
⌅ Lasimmetria centrale di centro il punto P0= (x0, y0) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P0= (2x0 x, 2y0 y);
⌅ ladilatazione orizzontaledi parametro a > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P0= (ax, y);
⌅ ladilatazione verticale di parametro b > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P0= (x, by).
Per esempio
I la traslazione di vettore ~v = (0, 2) trasforma il punto P = (1, 3) nel punto P0= (1, 1);
I la simmetria centrale di centro l’origine O = (0, 0) trasforma il punto P = ( 1, 2) nel punto P0= (1, 2);
I il quadrato Q di vertici A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1) per la dilatazione orizzontale di parametro a = 3 viene trasformato nel rettangolo di vertici A0= (0, 0), B0= (3, 0), C0= (3, 1) e D0= (0, 1); la dilatazione verticale di parametro b = 1
2 lo trasforma nel rettangolo di vertici A00= (0, 0), B00= (1, 0), C00= (1,1
2) e D00= (0,1 2).
LA RETTA
Ricordiamo innanzitutto che una retta in un sistema di riferimento cartesiano Oxy pu`o essere descritta da un’equazione implicita:
ax + by + c = 0 con a, b, c2 R e a, b non entrambi nulli.
Se b6= 0, l’equazione potr`a riscriversi nella forma y = mx + q con m, q2 R , dettaequazione esplicita.
Nell’equazione esplicita di una retta y = mx + q, il coefficientemviene dettocoefficiente angolare,q inveceordinata all’origine
Dati due punti P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2) con x16= x2, l’equazione implicita della retta passante per P1 e P2`e
(y2 y1)(x x1) (x2 x1)(y y1) = 0 Se x16= x2, l’equazione esplicita `e
y = y1+ y2 y1 x2 x1
(x x1)
NOTA: il coefficiente angolare della retta vale y2 y1 x2 x1.
In particolare, l’equazione (dettasegmentaria) della retta passante per i punti P = (p, 0) e Q = (0, q) `e data da
x p +
y q = 1
I L’equazione della retta passante per i punti (1, 2) e (3, 4) `e ( 4 2)(x 1) (3 2)(y + 4) = 0 ovvero 3x y 5 = 0 o anche y = 3x 5;
I L’equazione della retta passante per (3, 0) e (0, 2) `e x
3+ y2 = 1 ovvero 2x + 3y + 6 = 0 o anche y = 23x 2
RETTE PARALLELE e PERPENDICOLARI
Date due rette di equazione implicita ax + by + c = 0 e a0x + b0y + c0= 0, queste sono
• parallelese e solo se a· b0 = a0· b
• perpendicolarise e solo se a· a0+ b· b0= 0
Date due rette di equazione esplicita y = mx + q e y = m0x + q0, queste sono
• parallelese e solo se m = m0
• perpendicolarise e solo se m· m0= 1 Per esempio
I Le rette y = 2x 10 e y = 2x + 1 sono parallele
I Le rette y =2
3x + 1 e y = 3
PROIEZIONE ORTOGONALE e DISTANZA PUNTO-RETTA
Dati una retta r e un punto P0 nel piano, laproiezione ortogonale di P0 su r`e il punto H0di intersezione fra r e la retta perpendicolare a r passante per P0. Ladistanza di P0 da r`e la distanza di P0da H0.
Abbiamo che
⌅ la distanza fra la retta r di equazione ax + by + c = 0 e il punto P0= (x0, y0) `e |axp0+by0+c|
a2+b2
⌅ la distanza fra la retta r di equazione y = mx + q e il punto P0= (x0, y0) `e |y0p(mx0+q)|
1+m2
ASSE di un SEGMENTO e SIMMETRIA ASSIALE
L’asse di un segmento`e il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso : dati P1= (x1, y1) e P2= (x2, y2) il punto P = (x, y) appartiene all’asse del segmento P1P2se e solo se
d(P, P1) = d(P, P2) , (x x1)2+ (y y1)2= (x x2)2+ (y y2)2. Lasimmetria assiale di asse rtrasforma il punto P nel punto P0 tale che la retta r sia l’asse del segmento P P0
I La simmetria di asse x = 1 manda il punto di coordinate (3, 4) nel punto ( 5, 4), quella di asse y = 2 trasforma il punto ( 4, 3) in ( 4, 1).
I La simmetria di asse la bisettrice y = x manda ( 2, 4) in (4, 2) mentre la simmetria di asse y = x trasforma (4, 2) in (2, 4).
Esercizi
•La retta per i punti 5
3, 4 e 4,7 6 ha equazione 1. 2x y = 11 2. 3x 7y + 5 = 0 3. 5x + 9y + 4 = 0 4. 3x 6y + 19 = 0
•Sapendo che le rette r e s in figura sono perpendicolari, qual `e l’equazione della retta s? 1. y 32x = 125 3. y +23x = 118 2. y +3 2x = 13 12 4. y +2 3x = 2 3
•La distanza fra il punto (4, 1) e la retta x + 2y 8 = 0 `e 1. compresa fra 4 e 6
2. minore di 3 3. maggiore di 8 4. un numero intero
Risposte
•La retta per i punti 53, 4 e 4,76 ha equazione 1. 2x y = 11
2. 3x 7y + 5 = 0 3. 5x + 9y + 4 = 0 4. 3x 6y + 19 = 0
•Sapendo che le rette r e s in figura sono perpendicolari, qual `e l’equazione della retta s? 1. y 3 2x = 5 12 3. y +2 3x = 11 8 2. y + 3 2x = 13 12 4. y +2 3x = 2 3
•La distanza fra il punto (4, 1) e la retta x + 2y 8 = 0 `e 1. compresa fra 4 e 6
2. minore di 3 3. maggiore di 8 4. un numero intero
CIRCONFERENZA
Ricordiamo che unacirconferenzadi centro C e raggio r > 0 `e costituita dai punti P che hanno distanza r dal centro, ovvero tali che d(P, C) = r. Se C = (x0, y0) il generico punto P = (x, y) della circonferenza dovr`a allora verificare l’equazione
p
(x x0)2+ (y y0)2= r , (x x0)2+ (y y0)2= r2
I L’equazione x2+ 2x + y2 4y 1 = 0 pu`o essere riscritta come (x + 1)2+ (y 2)2= 6, rappresenta quindi una circonferenza di centro C = ( 1, 2) e raggio r =p
6.
I L’equazione x2+ x + y2 4y +p
2 + 3 = 0 pu`o essere riscritta come (x + 1 2)2+ (y 2)2= 1 4+ 4 p 2 3 = 5 4 p
2 non rappresenta una circonferenza dato che p
2 > 5 4.
In generale l’equazione x2+ y2+ ax + by + c = 0 si pu`o riscrivere come x +a2 2+ y +2b 2= a2+b4 2 c e rappresenta una circonferenza se e solo se a2+ b2> 4c
ELLISSE
Ricordiamo che un’ellisse`e il luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze da duefuochiF1e F2risulta costante. Si diceasse focale la retta r passante per i due fuochi, mentre `e dettocentro il punto medio del segmento F1F2
L’equazione (x x0)2
a2 +(y y0)2
b2 = 1 con a > b > 0 rappresenta un’ellisse di centro (x0, y0) e asse focale parallelo all’asse delle ascisse. La somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai fuochi F1e F2 vale 2a, la distanza tra i due fuochi vale 2c dove c =p
a2 b2. In tal caso a (risp. b) `e detto semiasse maggiore (risp. minore).
I L’equazione 4x2+ 9y2= 36 pu`o essere riscritta come x2 9 + y2
4 = 1, rappresenta quindi un’ellisse di centro l’origine e semiassi a = 3 e b = 2.
Esercizi
•Il centro della circonferenza di equazione 2x2+ 2y2 4x + 8y 1 = 0 `e 1. (1, 2)
2. (1, 2) 3. (2, 1) 4. (0, 1)
•Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza? 1. x2+ y2+ 2x 4y + 6 = 0
2. x2+ 4y2 6x = 0 3. x2+ y2 x + 4y + 2 = 0 4. x2+ y2 2x + 2y + 10 = 0
•Quale delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse di semiassi 2 e 12? 1. x2+ 4y2= 2
2. 16x2+ 8y2= 4 3. 8x2+ y2= 2 4. 16x2+ y2= 4
Risposte
•Il centro della circonferenza di equazione 2x2+ 2y2 4x + 8y 1 = 0 `e 1. (1, 2)
2. (1, 2) 3. (2, 1) 4. (0, 1)
•Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza? 1. x2+ y2+ 2x 4y + 6 = 0
2. x2+ 4y2 6x = 0 3. x2+ y2 x + 4y + 2 = 0 4. x2+ y2 2x + 2y + 10 = 0
•Quale delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse di semiassi 2 e 12? 1. x2+ 4y2= 2
2. 16x2+ 8y2= 4 3. 8x2+ y2= 2 4. 16x2+ y2= 4
PARABOLA
LaparabolaP difuocoF edirettrice `e il luogo dei punti P del piano che sono equidistanti da F e da .
Indicata con H la proiezione ortogonale di F su , il punto medio V del segmento F H si diceverticedella parabola, La retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco si chiamaassedella parabola.
NOTA: l’asse della parabola `e asse di simmetria per la parabola
L’equazione y = ax2 descrive i punti della parabola con vertice nell’origine, direttrice y = 4a1, fuoco F = (0,4a1) e asse x = 0.
Osservato che possiamo scrivere
ax2+ bx + c = a x + b 2a
2 b2 4ac 4a
riconosciamo che la parabola y = ax2+ bx + c si pu`o ottenere dalla parabola y = ax2 operando una traslazione di vettore ~v =Ä b
2a, b24a4acä .
⌅ l’equazione y = ax2+ bx + c, a6= 0, descrive una parabola con vertice V =Ä b 2a, b2 4ac 4a ä , fuoco F =Ä b 2a,1 (b24a4ac)ä , asse x = b 2a.
Si dice inoltre che una parabola y = ax2+ bx + c ha laconcavit`a rivolta verso l’altose a > 0, ha laconcavit`a rivolta verso il bassose a < 0.
I La parabola di equazione y = 2x2+ 4x + 3 ha concavit`a verso l’alto, ha vertice V = ( 1, 1) e asse x = 1. L’equazione pu`o essere riscritta come y = 2(x + 1)2+ 1, la parabola si ottiene quindi per traslazione di vettore ~v = ( 1, 1) della parabola y = 2x2.
I L’equazione x = y2+ 1 descrive una parabola con asse orizzontale, x = 0, vertice V = (1, 0) e concavit`a verso destra: si ottiene dalla parabola x = y2per traslazione di vettore ~v = (1, 0)
IPERBOLE
Dati due punti distinti F1 e F2 nel piano, si chiamaiperboleI difuochi F1e F2l’insieme dei punti P del piano tali che il valore assoluto della di↵erenza delle distanze da F1 e F2 risulti costante.
Il punto medio C del segmento F1F2viene dettocentro dell’iperbole, la retta per F1e F2 si chiamaasse focale.
Presi a, b > 0 e posto c =p
a2+ b2, abbiamo che
⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che x2 a2 y2
b2 = 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi (±c, 0) e asse focale y = 0;
⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che x2 a2
y2
b2 = 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi (0,±c) e asse focale x = 0.
NOTA: Le rette y =±b
ax sono detteasintotidell’iperbole x2 a2 y2 b2 =±1. I L’equazione x2 9 y2
16 = 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi (±5, 0), asse focale y = 0 e asintoti y = ±4
3x, mentre x72 y92 = 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi (0,±4), asse focale x = 0 e asintoti y =±p3
7x
L’equazione x2 y2= k con k6= 0 descrive un’iperbole avente per asintoti le bisettrici y =±x, tale iperbole `e dettaequilatera.
NOTA: l’equazione xy = k descrive un’iperbole equilatera con asse la bisettrice y = x se k > 0, y = x se k < 0, centro l’origine e con asintoti gli assi cartesiani
Scelti a, b, c, d2 R tali che c 6= 0 e ad bc6= 0 l’equazione y = ax+b cx+d descrive un’iperbole omografica.
⇣ x +d c ⌘Ä y a c ä = bc ad c2 si ha che l’iperbole ha centro ( d
c,a c), asintoti y = a c e x = d c L’iperbole omografica y = 3x+4x+1
Esercizi
•La parabola di equazione y = 2x2 3x + 2 ha vertice 1. ( 3 4,43 8) 3. (3 4,7 8) 2. (7 8,4 3) 4. (3 2, 2)
•Sapendo che la parabola f in figura ha equazione y = ax2+ bx + c,
possiamo dedurre che
1. a < 0, b < 0, c < 0 3. a > 0, b < 0, c > 0 2. a > 0, b > 0, c > 0 4. a > 0, b > 0, c < 0
•Quale delle seguenti rette `e un asintoto dell’iperbole y =3x+2x 4 ? 1. y = 3 3. x = 0
2. y = 4x 4. y = 1 3
Risposte
•La parabola di equazione y = 2x2 3x + 2 ha vertice 1. ( 3 4,43 8) 3. (3 4,7 8) 2. (7 8,4 3) 4. (3 2, 2)
•Sapendo che la parabola f in figura ha equazione y = ax2+ bx + c,
possiamo dedurre che
1. a < 0, b < 0, c < 0 3. a > 0, b < 0, c > 0 2. a > 0, b > 0, c > 0 4. a > 0, b > 0, c < 0
•Quale delle seguenti rette `e un asintoto dell’iperbole y = 3x+2 x 4 ? 1. y = 3 3. x = 0
2. y = 4x 4. y = 1 3