PRECORSO di MATEMATICA

PRECORSO di MATEMATICA

Francesca G. Alessio

Universit`a Politecnica delle Marche

DI COSA CI OCCUPEREMO...

ELEMENTI di LOGICA RICHIAMI di INSIEMISTICA RELAZIONI e FUNZIONI

RELAZIONI di EQUIVALENZA RELAZIONI d’ORDINE

FUNZIONI NUMERI REALI

RETTA REALE VALORE ASSOLUTO INTERVALLI

PIANO CARTESIANO

ELEMENTI di GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI REALI

OPERAZIONI tra FUNZIONI REALI TRASFORMAZIONI di GRAFICI FUNZIONI ELEMENTARI

POTENZE POLINOMI

ESPONENZIALI e LOGARITMI

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

TESTI CONSIGLIATI

I

“Matematica Zero”, F. Alessio, C. de Fabritiis, C. Marcelli e P.

Montecchiari, Pearson

I

“Geometria analitica con elementi di algebra lineare”, III ed., M. Abate e C. de Fabritiis, McGraw-Hill

I

“Analisi Matematica 1.Teoria con esercizi svolti”, ed. 2017, F.

Alessio e P. Montecchiari, Esculapio

ELEMENTI di LOGICA

La logica elementare si occupa di stabilire la verit` a di a↵ermazioni complesse a partire dalla verit` a di quelle pi` u semplici che le compongono.

Si parla in questo caso di proposizioni o enunciati: sono a↵ermazioni per le quali `e possibile stabilire un valore di verit` a, vero o falso, con un giudizio oggettivo.

I “ 3 `e un numero dispari ” `e una proposizione (vera) I “ 2 > 4 ” `e una proposizione (falsa)

I “ 50 `e molto pi` u grande di 2 ” non `e una proposizione

I “ 2 `e un numero positivo e non `e dispari ” `e una proposizione (vera) L’ultima proposizione `e una proposizione composta, `e costituita da due proposizioni semplici : “ 2 `e un numero positivo ” e “ 2 non `e un numero dispari ” unite mediante la congiunzione “e”.

La proposizione “ 2 non `e un numero dispari ” `e la negazione della

proposizione “ 2 `e un numero dispari”.

Data una proposizione P possiamo considerare la sua negazione, che denoteremo con ¬P e leggeremo come non P, ovvero la proposizione che `e vera quando P `e falsa, `e falsa quando P `e vera

P ¬P

V F

F V

I la negazione di “ 2 `e un numero dispari ” (falsa) `e “ 2 non `e un numero dispari ” (vera)

I la negazione di “ogni numero maggiore di 3 `e positivo” (vera) `e “esiste un numero maggiore di 3 che non ` e positivo” (falsa)

Possiamo facilmente vedere che la negazione della negazione di una proposizione P, ¬(¬P), ha lo stesso valore di verit`a di P, ovvero vale la legge della doppia negazione

¬(¬P) = P

che possiamo esprimere dicendo che due negazioni a↵ermano.

La negazione di una proposizione richiede particolare attenzione se contiene un quantificatore universale (“per ogni”, “qualunque”) o esistenziale (“esiste”, “c’`e”). Abbiamo che

la negazione di un esistenziale `e un universale la negazione di un universale `e un esistenziale

I la negazione di “ogni (qualsiasi) bambino `e allegro” `e “esiste (c’`e, almeno) un bambino non allegro”

I la negazione di “almeno un giorno al mese vado al cinema” `e “ogni giorno del mese non vado al cinema”

In matematica per indicare i quantificatori si usano i simboli

8 , si legge “per ogni”, “qualunque”, “qualsiasi”, `e un quantificatore universale;

9 , si legge “esiste”, “c’`e”, `e un quantificatore esistenziale.

I la negazione di “ 8 x 2 R 9 n 2 N tale che x  n ” ^{(propriet` a}

archimedea) `e “ 9 x 2 R tale che 8 n 2 N si ha x > n ”

La congiunzione di due proposizioni P e Q `e la proposizione, che si denota con P ^ Q , che `e vera quando P e Q sono entrambe vere ed `e falsa negli altri casi

P Q P ^ Q

V V V

V F F

F V F

F F F

La proposizione P ^ Q `e la proposizione composta che si ottiene collegando le due proposizioni P e Q nel linguaggio corrente con la congiunzione “e”

I La proposizione “4 `e un numero positivo e pari” pu` o essere riscritta come P ^ Q dove P `e la proposizione “4 `e un numero positivo” e Q la proposizione “4 `e un numero pari”

I ^Se P `e la proposizione “4 `e un numero intero maggiore di 2” e Q `e la proposizione “4 `e un numero intero minore di 6”, la proposizione P ^ Q `e “4 `e un numero intero maggiore di 2 e minore di 6”

La disgiunzione di due proposizioni P e Q `e la proposizione, denotata con P _ Q , che `e vera quando almeno una delle due proposizioni `e vera, `e falsa se le due proposizioni sono entrambe false

P Q P _ Q

V V V

V F V

F V V

F F F

La proposizione P _ Q `e la proposizione che si ottiene nel linguaggio corrente collegando le due proposizioni P e Q con “o”, “oppure”

I La proposizione “4 `e un numero primo oppure pari” (vera) pu` o essere riscritta come P _ Q dove si `e denotata con P la proposizione “4 `e un numero primo” (falsa) e con Q la proposizione “4 `e un numero pari”

(vera)

I ^Se P `e la proposizione “10 `e divisibile per 3” (falsa) e Q `e la

proposizione “10 `e maggiore di 6” (vera), la proposizione P _ Q `e la

proposizione “10 `e divisibile per 3 oppure `e maggiore di 6” (vera).

I connettivi ^ e _ sono operazioni commutative, associative e distributive l’una rispetto all’altra.

Rispetto all’operazione di negazione valgono le leggi di De Morgan:

⌅ ¬(P ^ Q) = (¬P) _ (¬Q)

⌅ ¬(P _ Q) = (¬P) ^ (¬Q) Abbiamo per esempio

I La negazione di “ 2 `e un numero positivo e minore di 3 ” `e “ 2 `e un numero non positivo oppure non minore di 3 ”

I La negazione di “ x `e un numero negativo oppure `e un numero primo

” `e “ x `e un numero non negativo e non `e un numero primo”

NOTA: l’ultima proposizione (e la sua negazione) contiene un’incognita, un’indeterminata, si parla pi` u propriamente in questo caso di predicato, in cui il valore di verit` a dipende dal valore assegnato all’incognita.

Date due proposizione P e Q, l’ implicazione da P a Q, che si denota con P ) Q e si legge “ P implica Q”, `e la proposizione che `e falsa se P `e vera e Q `e falsa, mentre `e vera in tutti gli altri casi

P Q P ) Q

V V V

V F F

F V V

F F V

I La proposizione “se piove allora le strade sono bagnate” si pu` o

riscrivere come P ) Q dove P `e la proposizione “piove” e Q “le strade sono bagnate”.

I La proposizione “chi dorme non piglia pesci” si pu` o riscrivere come P ) Q dove P `e la proposizione “egli dorme” e Q “egli non piglia pesci”.

Osserviamo che se P `e falsa, l’implicazione P ) Q `e vera sia nel caso che Q

sia vera che falsa.

L’implicazione P ) Q ha lo stesso valore di verit`a (`e equivalente) dell’implicazione ¬Q ) ¬P , detta contronominale

P Q P ) Q ¬P ¬Q ¬Q ) ¬P

V V V F F V

V F F F V F

F V V V F V

F F V V V V

I L’implicazione “se piove allora le strade sono bagnate” `e equivalente alla proposizione contronominale “se le strade non sono bagnate allora non piove”.

I L’implicazione “chi dorme non piglia pesci” `e equivalente alla proposizione contronominale “chi piglia pesci non dorme” (nota la negazione di “egli non piglia pesci” `e ”egli piglia pesci”, legge della doppia negazione).

NOTA: se `e vera l’implicazione P ) Q non `e detto che sia vera Q ) P: se le strade sono bagnate non possiamo concludere che piove, se non piglio pesci non `e detto che sto dormendo!!

Nel caso in cui valgano sia l’implicazione P ) Q che Q ) P, si usa scrivere P , Q (e si legge “ P se e solo se Q”)

P , Q significa P ) Q ^ Q ) P La tavola di verit` a

P Q P ) Q Q ) P P , Q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

mostra che la doppia implicazione P , Q `e vera solo nel caso in cui le due proposizioni P e Q hanno stesso valore di verit`a, sono entrambe vere o entrambe sono false, sono equivalenti.

I “vieni promosso se e solo se hai un voto maggiore o uguale a 6 in ogni materia” esprime una doppia implicazione, un’equivalenza;

I “ x `e maggiore di 3 ” `e equivalente a “ x 3 `e maggiore di 0 ”, tra le

due a↵ermazioni intercorre la doppia implicazione.

Molti risultati in matematica sono delle implicazioni logiche della forma P ) Q e si esprimono in forme linguistiche diverse

• “Se vale l’ipotesi P allora vale la tesi Q”;

• “Condizione sufficiente affinch´e sia vera Q `e che sia vera P”;

• “Condizione necessaria affinch´e sia vera P `e che sia vera Q”.

Altri risultati sono delle equivalenze logiche, P , Q, che si possono esprimere come

• “Vale P se e solo se vale Q”;

• “Condizione necessaria e sufficiente affinch´e sia vera Q `e che sia vera P”.

Esercizi

• Se risultasse falso che “in ogni scuola c’`e una classe con tutti gli alunni allegri”, potremmo dedurre che

1. in una scuola c’`e una classe con tutti gli alunni tristi 2. in ogni scuola c’`e almeno un alunno triste per ogni classe 3. c’`e un scuola dove tutti gli alunni di ogni classe sono tristi 4. c’`e una scuola dove ogni classe ha almeno un alunno triste

• La negazione della proposizione “ 8 x 2 A 9 y 2 B tale che x y  1 e x + y > 0” `e

1. 8x 2 A 9y 2 B tale che x y > 1 e x + y  0

2. 9x 2 A tale che 8y 2 B si ha x y > 1 oppure x + y  0 3. 8x 2 A 9y 2 B tale che x y > 1 oppure x + y  0 4. 9x 2 A tale che 8y 2 B si ha x y > 1 e x + y  0

• A↵ermare che “se Carla non incontrer` a Umberto, non andr` a al cinema” a quale delle seguenti a↵ermazioni equivale?

1. incontrare Umberto `e condizione necessaria affinch´e Carla vada al cinema 2. se Carla incontrer` a Umberto allora andr` a al cinema

3. se Carla non andr` a al cinema allora non incontrer` a Umberto

4. incontrare Umberto `e condizione sufficiente affinch´e Carla vada al cinema

Risposte

• Se risultasse falso che “in ogni scuola c’`e una classe con tutti gli alunni allegri”, potremmo dedurre che

1. in una scuola c’`e una classe con tutti gli alunni tristi 2. in ogni scuola c’`e almeno un alunno triste per ogni classe 3. c’`e un scuola dove tutti gli alunni di ogni classe sono tristi 4. c’`e una scuola dove ogni classe ha almeno un alunno triste

• La negazione della proposizione “ 8 x 2 A 9 y 2 B tale che x y  1 e x + y > 0” `e

1. 8x 2 A 9y 2 B tale che x y > 1 e x + y  0

2. 9x 2 A tale che 8y 2 B si ha x y > 1 oppure x + y  0 3. 8x 2 A 9y 2 B tale che x y > 1 oppure x + y  0 4. 9x 2 A tale che 8y 2 B si ha x y > 1 e x + y  0

• A↵ermare che “se Carla non incontrer` a Umberto, non andr` a al cinema” a quale delle seguenti a↵ermazioni equivale?

1.incontrare Umberto `e condizione necessaria affinch´e Carla vada al cinema 2. se Carla incontrer` a Umberto allora andr` a al cinema

3. se Carla non andr` a al cinema allora non incontrer` a Umberto

4. incontrare Umberto `e condizione sufficiente affinch´e Carla vada al cinema

RICHIAMI di INSIEMISTICA

Il concetto di insieme in Matematica viene considerato primitivo cio`e noto e non definibile nei termini di concetti pi` u elementari.

Un insieme `e costituito dai suoi elementi. Scriveremo

x 2 A per indicare che x appartiene ad A, cio`e che x `e un elemento dell’insieme A,

x / 2 A per indicare che x non appartiene ad A.

L’insieme privo di elementi viene detto insieme vuoto e lo si indica con il simbolo ; .

Un insieme pu` o essere descritto in diversi modi, i pi` u usati sono per elencazione, cio`e elencando i suoi elementi tra parentesi gra↵e, oppure attraverso una propriet` a che caratterizza i suoi elementi.

Per esempio, l’insieme A dei numeri naturali pari minori di 10 pu` o essere descritto

I per elencazione: A = {0; 2; 4; 6; 8};

I mediante la propriet` a che li caratterizza:

A = {n 2 N | n < 10, n `e divisibile per 2} o anche

A = {n 2 N | n < 10, 9 m 2 N tale che n = 2m}.

Dati due insiemi A e B diremo che B `e sottoinsieme di A (o anche che B

`e incluso o contenuto in A) quando ogni elemento di B `e anche elemento di A, scriveremo B ✓ A .

Se due insiemi A e B sono uno sottoinsieme dell’altro, cio`e se B ✓ A e A ✓ B, allora A e B sono uguali e si scrive A = B . Si indica che A `e diverso da B scrivendo invece A 6= B .

Se B ✓ A e B 6= A diremo che B `e un sottoinsieme proprio di A e scriveremo B ⇢ A .

I L’insieme B dei numeri naturali dispari minori di 7 `e un

sottoinsieme proprio dell’insieme A dei numeri naturali minori di 7:

B = {1; 3; 5} ⇢ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Dati due insiemi A e B la di↵erenza tra gli insiemi A e B, denotato con A \ B , `e l’insieme costituito dagli elementi di A che non siano anche elementi di B

A \ B = {x | x 2 A e x / 2 B}

L’insieme A \ B `e detto anche complementare di B in A.

I ^{Se A =} {x 2 N | 1  x  4} e B = {x 2 N | x 2 } allora A \ B = {x 2 N | 1  x < 2}.

I Se A `e l’insieme delle lettere della parola “babbo” e B l’insieme delle vocali allora

A \ B = {b} e B \ A = {e; i; u}.

NOTA: in generale A \ B 6= B \ A.

Dati due insiemi A e B, si dice intersezione degli insiemi A e B l’insieme denotato con A \ B costituito dagli elementi in comune tra A e B

A \ B = {x | x 2 A e x 2 B}

L’insieme costituito dalla globalit` a degli elementi di A e B viene detto unione degli insiemi A e B e denotato con A [ B

A [ B = {x | x 2 A oppure x 2 B}

I ^{Se A =} {x 2 N | 1  x  4} e B = {x 2 N | x 2 } allora

A \ B = {x 2 N | 2  x  4} e A [ B = {x 2 N | x 1 }.

Se A \ B = ; si dice che A e B sono insiemi disgiunti.

Le operazioni di unione e intersezione sono commutative, associative e distributive l’una rispetto all’altra.

Inoltre considerato un insieme universo X, per ogni sottoinsieme A ✓ X denotiamo con {A il complementare di A in X. Valgono allora le propriet` a

⌅ {({A) = A

⌅ se A ⇢ B allora {B ⇢ {A

⌅ A \ {A = ; e A [ {A = X e le leggi di De Morgan

⌅ {(A [ B) = {A \ {B

⌅ {(A \ B) = {A [ {B.

C’`e un’analogia tra le operazioni tra insiemi e quelle tra proposizioni:

• alla negazione corrisponde il passaggio al complementare,

• alla congiunzione corrisponde l’intersezione,

• alla disgiunzione corrisponde l’unione,

• all’inclusione corrisponde l’implicazione.

Infine, si definisce prodotto cartesiano di due insiemi A e B, e si indica con A ⇥ B , l’insieme costituito dalle coppie ordinate (a, b), dove a

appartiene ad A e b appartiene a B

A ⇥ B = {(a, b) | a 2 A, b 2 B}

I ^{Se A =} {1, 2} e B = {↵, } allora A ⇥ B = {(1, ↵), (2, ↵), (1, ), (2, )}.

I ^{Se A =} {a} e B = {b, c} allora A ⇥ B = {(a, b), (a, c)} mentre B ⇥ A = {(b, a), (c, a)}.

NOTA: A ⇥ B `e in generale diverso da B ⇥ A, il prodotto cartesiano non `e commutativo.

Valgono invece le propriet` a

⌅ associativa A ⇥ (B ⇥ C) = (A ⇥ B) ⇥ C

⌅ distributiva

A ⇥ (B \ C) = (A ⇥ B) \ (A ⇥ C) A ⇥ (B [ C) = (A ⇥ B) [ (A ⇥ C) A ⇥ (B \ C) = (A ⇥ B) \ (A ⇥ C)

Esercizi

• Se A contiene 6 elementi e B ne contiene 8 elementi, allora 1. A \ B contiene al pi`u 6 elementi

2. B \ A contiene almeno 4 elementi 3. A \ B contiene almeno 3 elementi 4. A [ B contiene al pi`u 8 elementi

• Quale dei seguenti insieme `e rappresentato dall’insieme colorato nel diagramma in figura?

• Siano A = {a 2 N | 1  a  5} e B = {b 2 N | b `e un divisore di 18}.

Denotati con A

e B

i complementari degli insiemi A e B in N, quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?

1. 5 2 A \ B

2. 6 2 A [ B

3. 9 62 A

\ B

4. 4 2 (A \ B)

Risposte

• Se A contiene 6 elementi e B ne contiene 8 elementi, allora 1. A \ B contiene al pi`u 6 elementi

2. B \ A contiene almeno 4 elementi 3. A \ B contiene almeno 3 elementi 4. A [ B contiene al pi`u 8 elementi

• Quale dei seguenti insieme `e rappresentato dall’insieme colorato nel diagramma in figura?

• Siano A = {a 2 N | 1  a  5} e B = {b 2 N | b `e un divisore di 18}.

Denotati con A

e B

i complementari degli insiemi A e B in N, quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?

1. 5 2 A \ B

2. 6 2 A [ B 3. 9 62 A

\ B 4. 4 2 (A \ B)

RELAZIONI

Dati due insiemi A e B si dice relazione tra A e B una legge che associa elementi di A ad elementi di B.

L’insieme A `e detto dominio e l’insieme B codominio della relazione.

Se R `e una relazione tra A e B, per indicare che a 2 A `e in relazione con un elemento b in B scriveremo a R b .

I Se A `e l’insieme delle persone di sesso femminile di cittadinanza italiana e B l’insieme delle auto immatricolate in Italia, la legge che associa a 2 A a b 2 B qualora “a `e proprietaria di b” `e una relazione tra A e B.

I ^{Se A = B =} R, la legge che associa a 2 R con b 2 R se a

+ b

= 1 `e una relazione avente lo stesso dominio e codominio.

Si dice relazione binaria su A una relazione avente come dominio e codominio lo stesso insieme A.

Tra le relazioni binarie, di particolare importanza risultano essere quelle di

equivalenza e quelle d’ordine.

RELAZIONI di EQUIVALENZA

Una relazione binaria R su un insieme A si dice relazione di equivalenza se verifica le propriet` a

⌅ riflessiva a R a per ogni a 2 A

⌅ simmetrica se a R b allora b R a

⌅ transitiva se a R b e b R c allora a R c.

Per esempio

I la relazione tra due numeri interi n, m 2 Z definita da n ⇠ m se n m

`e un numero pari `e una relazione di equivalenza su Z;

I la relazione di similitudine nell’insieme dei triangoli del piano e la relazione di parallelismo tra rette nel piano sono relazioni di equivalenza.

RELAZIONI d’ORDINE

Una relazione binaria R su un insieme A si dice relazione d’ordine su A se verifica le propriet` a

⌅ riflessiva a R a per ogni a 2 A

⌅ antisimmetrica se a R b e b R a allora a = b

⌅ transitiva se a R b e b R c allora a R c

Una relazione d’ordine R su A si dice totale se verifica inoltre la propriet` a

⌅ dicotomia se a, b 2 A allora a R b oppure b R a

I La relazione di inclusione `e una relazione d’ordine nell’insieme T dei triangoli nel piano, non `e per` o totale visto che, per esempio, due triangoli disgiunti non risultano confrontabili.

I Un esempio importante di insieme totalmente ordinato `e dato dalla retta orientata. Dati due punti P e Q su una retta orientata, diciamo che P precede Q, e scriviamo P Q, se P = Q oppure se P 6= Q e percorrendo la retta da P a Q seguiamo l’orientamento della retta.

Tale relazione `e una relazione d’ordine totale.

FUNZIONI

Dati due insiemi A e B, una funzione (o applicazione) da A in B `e una relazione che associa a ciascun elemento di A uno ed un solo elemento di B. Gli insiemi A e B prendono ancora il nome di dominio e codominio.

Per esempio consideriamo le relazioni tra A e B rappresentate in figura

La relazione f

non `e una funzione perch´e sono presenti elementi in A non associati ad alcun elemento di B.

La relazione f

`e una funzione da A in B, dato che ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e un solo elemento del codominio.

La relazione f

non `e una funzione perch´e vi `e un elemento di A associato a pi` u elementi di B.

Per indicare una funzione f da A in B scriveremo f : A ! B .

Scriveremo f (a) = b per indicare che la funzione f associa all’elemento a 2 A l’elemento b 2 B, diremo anche che b `e immagine di a tramite f . L’insieme degli elementi di B che sono immagine tramite f di elementi di A viene detto immagine di f e denotato con f (A) oppure con Im(f )

Im(f ) = f (A) = {b 2 B | 9 a 2 A tale che f(a) = b} = {f(a) | a 2 A}

Pi` u in generale, dato un sottoinsieme C del dominio A, si dice immagine di C tramite f , l’insieme

f (C) = {b 2 B | 9 a 2 C tale che f(a) = b} = {f(a) | a 2 C}

Considerato invece un sottoinsieme D del codominio B, si dice controimmagine di D l’insieme

f

(D) = {a 2 A | f(a) 2 D}

I Consideriamo la funzione f : A ! B rappresentata in figura

Abbiamo che

I

Im(f ) = f (A) = {1; 3; 5; 6} 6= B,

I

f ( {a; b; c}) = {1; 3; 6},

I

f

( {1; 2; 3}) = {a; b}.

I Per la funzione f : N ! N definita da f(n) = 2n + 1 , risulta

I

Im(f ) = f ( N) = {1; 3; 5; 7; ...} `e costituito dai numeri naturali dispari,

I

f ( {1; 4}) = {3; 9},

I

f

( {5; 6}) = {2}.

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = x

ha per immagine l’intervallo [0, + 1).

FUNZIONE COMPOSTA

Date due funzioni f : A ! B e g : C ! D, se B ✓ C, risulta definita la funzione composta g f : A ! D che associa ad ogni x 2 A l’elemento

(g f )(x) = g(f (x))

Diremo che g f `e la composizione della funzione g con la funzione f . NOTA: se B 6✓ C la funzione composta g f potr`a essere definita sul dominio

A

= {a 2 A | f(a) 2 C}

I ^{Siano f :} N ! R e g : R ! R le funzioni definite da f(x) = p x e g(y) = y 3 . Abbiamo che

(g f )(x) = g(f (x)) = g( p x) = p

x 3

mentre

(f g)(y) = f (g(y)) = f (y 3) = p y 3.

Osserviamo che il dominio di g f `e N, dato che f(n) 2 Dom(g) = R per ogni n 2 N, mentre quello di f g `e

{y 2 R | g(y) = y 3 2 Dom(f) = N} = {3; 4; 5; ..} = {y 2 N | n 3 }.

NOTA: in generale g f 6= f g

Esercizi

• Quale delle funzioni rappresentate nei diagrammi in figura ha per immagine l’insieme C = {n 2 N | 0 < n  4}?

• Sia f la funzione che a ogni numero intero associa il suo quadrato, f (n) = n

, n 2 Z. Quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. L’immagine f ( { 2, 1, 2) `e costituita da tre elementi 2. La controimmagine f

( {9}) `e costituita da due elementi 3. L’immagine f ( { 4; 0; 2}) contiene 4

4. La controimmagine f

( {36; 81; 125}) contiene 5

• Siano f, g : Z ! Z le funzioni definite da f(n) = 2n 1 e g(n) = 3n + 2, quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. f (g(1)) = 9 e g(f ( 1)) = 6

2. f (g(1)) = 6 e g(f (1)) = 5

3. f (g(0)) = 2 e g(f ( 1)) = 7

4. f (g(0)) = 3 e g(f (1)) = 5

Risposte

• Quale delle funzioni rappresentate nei diagrammi in figura ha per immagine l’insieme C = {n 2 N | 0 < n  4}?

• Sia f la funzione che a ogni numero intero associa il suo quadrato, f (n) = n

, n 2 Z. Quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. L’immagine f ( { 2, 1, 2) `e costituita da tre elementi 2. La controimmagine f

( {9}) `e costituita da due elementi 3. L’immagine f ( { 4; 0; 2}) contiene 4

4. La controimmagine f

( {36; 81; 125}) contiene 5

• Siano f, g : Z ! Z le funzioni definite da f(n) = 2n 1 e g(n) = 3n + 2, quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. f (g(1)) = 9 e g(f ( 1)) = 6 2. f (g(1)) = 6 e g(f (1)) = 5 3. f (g(0)) = 2 e g(f ( 1)) = 7 4. f (g(0)) = 3 e g(f (1)) = 5

FUNZIONI INIETTIVE

Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se associa a elementi distinti di A elementi distinti di B. In altre parole f : A ! B `e iniettiva se

8 x

, x

2 A si ha x

6= x

) f(x

) 6= f(x

) o, equivalentemente, se

8 x

, x

2 A si ha f(x

) = f (x

) ) x

= x

per esempio consideriamo le funzioni tra A e B rappresentate in figura

Abbiamo che f

`e iniettiva, manda elementi diversi in elementi diversi.

La funzione f

non lo `e, esiste un elemento del codominio che corrisponde a elementi diversi del dominio.

NOTA: una funzione f : A ! B non `e iniettiva se 9 x

, x

2 A con x

6= x

per i quali f (x

) = f (x

)

FUNZIONI SURIETTIVE

Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se ogni elemento di B `e immagine di almeno un elemento di A, cio`e se

8 b 2 B 9 a 2 A tale che b = f(a)

o, equivalentemente, se la sua immagine coincide con il codominio f (A) = B

Consideriamo per esempio le funzioni rappresentate in figura

La funzione f

non `e suriettiva, esiste un elemento del codominio che non corrisponde ad alcun elemento del dominio. La funzione f

`e invece suriettiva, ogni elemento del codominio corrisponde ad almeno un elemento del dominio.

NOTA: una funzione f : A ! B non `e suriettiva se 9 b 2 B tale che 8 a 2 A risulta b 6= f(a)

FUNZIONI BIJETTIVE e FUNZIONE INVERSA

Una funzione f : A ! B si dice bijettiva o invertibile se risulta iniettiva e suriettiva. Una funzione `e quindi bijettiva se

8 b 2 B esiste ed `e unico a 2 A tale che f(a) = b

La legge che associa a ogni b 2 B l’unico a 2 A tale che f(a) = b definisce allora una funzione, detta funzione inversa di f e denotata con

f

: B ! A

f

(b) = a , b = f (a) Abbiamo che

⌅ Dom(f

) = B = Im(f ) e Im(f

) = A = Dom(f )

⌅ valgono le leggi di cancellazione:

f

(f (a)) = a, 8a 2 A e f(f

(b)) = b, 8b 2 B

la funzione f

f

FUNZIONI BIJETTIVE e FUNZIONE INVERSA

Una funzione f : A ! B si dice bijettiva o invertibile se risulta iniettiva e suriettiva. Una funzione `e quindi bijettiva se

8 b 2 B esiste ed `e unico a 2 A tale che f(a) = b

La legge che associa a ogni b 2 B l’unico a 2 A tale che f(a) = b definisce allora una funzione, detta funzione inversa di f e denotata con

f

: B ! A

f

(b) = a , b = f (a) Abbiamo che

⌅ Dom(f

) = B = Im(f ) e Im(f

) = A = Dom(f )

⌅ valgono le leggi di cancellazione:

f

(f (a)) = a, 8a 2 A e f(f

(b)) = b, 8b 2 B

la funzione f f

I La funzione f : N ! N \ {0} definita da f(n) = n + 1 `e iniettiva n

6= n

) f (n

) = n

+ 1 6= n

+ 1 = f (n

) E suriettiva `

8 m 2 N \ {0} 9 n = m 1 2 N tale che f(n) = n + 1 = (m 1) + 1 = m La funzione `e quindi bijettiva, la sua funzione inversa `e la funzione f

: N \ {0} ! N definita da f

(m) = m 1;

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = 3x + 2 `e iniettiva e suriettiva, risulta quindi invertibile.

Abbiamo che, dato y 2 R e posto x

=

, si ha f (x

) = y. Dunque f

(y) = x

= y 2

3 per ogni y 2 R.

NOTA: se f : A ! B `e iniettiva, allora restringendo il codominio

all’immagine f (A), possiamo dire che f : A ! f(A) `e iniettiva e suriettiva.

Tale funzione `e quindi invertibile ed `e definita la funzione inversa f

: f (A) ! A.

In questo senso si dice che se f : A ! B `e iniettiva allora f `e invertibile sulla sua immagine.

I La funzione f : [0, + 1) ! R definita da f(x) = 1 + x

`e iniettiva, poich´e se x

6= x

2 [0, +1) allora f(x

) 6= f(x

). Non risulta per` o suriettiva dato che

Im(f ) = f ([0, + 1)) = [1, +1) 6= R

Risulta per` o suriettiva se restringiamo il codominio all’immagine [1, + 1):

la funzione f : [0, + 1) ! [1, +1) definita da f(x) = 1 + x

`e iniettiva e suriettiva, la sua inversa `e la funzione f

: [1, + 1) ! [0, +1) definita da f

(y) = p y 1.

Esercizi

• Considerate le funzioni rappresentate in figura, quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. f

non `e suriettiva 2. f

`e suriettiva 3. f

`e bijettiva 4. f

`e iniettiva

• Se f : Q ! Q `e la funzione definita da f(q) =

3 allora 1. f `e invertibile e f

(p) = 3(p 4) per ogni p 2 Q 2. f `e invertibile e f

(p) = 4p + 3 per ogni p 2 Q 3. f `e invertibile e f

(p) = 4(p + 3) per ogni p 2 Q 4. f non `e invertibile

• Data la funzione f (x) = (x + 2)

1, la sua funzione inversa `e 1. f

(y) =

1

2. f

(y) = p

y + 1 2

3. f

(y) = p

y 2 + 1

4. f

(y) =

Risposte

• Considerate le funzioni rappresentate in figura, quale delle seguenti a↵ermazioni `e vera?

1. f

non `e suriettiva 2. f

`e suriettiva 3. f

`e bijettiva 4. f

`e iniettiva

• Se f : Q ! Q `e la funzione definita da f(q) =

3 allora 1. f `e invertibile e f

(p) = 3(p 4) per ogni p 2 Q 2. f `e invertibile e f

(p) = 4p + 3 per ogni p 2 Q 3. f `e invertibile e f

(p) = 4(p + 3) per ogni p 2 Q 4. f non `e invertibile

• Data la funzione f (x) = (x + 2)

1, la sua funzione inversa `e 1. f

(y) =

1

2. f

(y) = p

y + 1 2 3. f

(y) = p

y 2 + 1 4. f

(y) =

NUMERI REALI

I numeri reali possono essere definiti in modo assiomatico nel seguente modo: postuliamo che esista un insieme, l’insieme dei numeri reali R , dove siano definite le due operazioni di somma e prodotto e la relazione minore o uguale soddisfacenti a delle stabilite propriet` a, gli assiomi.

Possiamo distinguere gli assiomi dei numeri reali in tre categorie (A) assiomi algebrici

(B) assiomi d’ordine

(C) assioma di completezza

ASSIOMI ALGEBRICI

Sono definite in R due operazioni binarie interne, somma, a + b e prodotto, a · b, soddisfacenti le seguenti propriet`a

A.1 Propriet` a commutativa di somma e prodotto:

a + b = b + a e a · b = b · a, 8 a, b 2 R A.2 Propriet` a associativa di somma e prodotto:

(a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c), 8 a, b, c 2 R A.3 Propriet` a distributiva del prodotto rispetto alla somma:

a · (b + c) = a · b + a · c, 8 a, b, c 2 R

A.4 Esistenza dell’elemento neutro della somma o zero: esiste 0 2 R tale che a + 0 = a per ogni a 2 R.

A.5 Esistenza dell’elemento neutro del prodotto o uno: esiste 1 2 R \ {0}

tale che a · 1 = a per ogni a 2 R.

A.6 Esistenza dell’opposto: per ogni a 2 R esiste a 2 R tale che a + ( a) = 0.

A.7 Esistenza del reciproco: per ogni a 2 R con a 6= 0 esiste

2 R tale che a ·

= 1.

ASSIOMI D’ORDINE

E definita in ` R una relazione d’ordine totale tra coppie di numeri reali, denotata con  e detta minore o uguale, quindi soddisfacente le propriet`a B.1 Propriet` a riflessiva: per ogni a 2 R risulta a  a.

B.2 Propriet` a antisimmetrica: se a  b e b  a allora a = b.

B.3 Propriet` a transitiva: se a  b e b  c allora a  c.

B.4 Propriet` a di dicotomia: per ogni a, b 2 R si ha a  b oppure b  a.

Infine si chiede che rispetto alle operazioni algebriche siano verificate le seguenti propriet` a

B.5 se a  b e c 2 R allora a + c  b + c B.6 se a  b e c 0 allora a · c  b · c.

A partire dalla definizione di , minore o uguale, si definiscono le relazioni

• maggiore o uguale: a b se b  a;

• minore: a < b se a  b e a 6= b;

• maggiore: a > b se b  a e a 6= b

ASSIOMA DI COMPLETEZZA

C per ogni coppia di insiemi non vuoti A, B ✓ R tali che a  b per ogni a 2 A e b 2 B esiste c 2 R tale che

a  c  b per ogni a 2 A e b 2 B.

Il numero reale c `e detto elemento separatore degli insiemi A e B.

Per esempio, la radice quadrata di 2 pu` o essere definita come l’unico elemento separatore degli insiemi

A = {a 2 R | a > 0, a

< 2 } e B = {b 2 R | b > 0, b

> 2 }.

Abbiamo infatti che a  b per ogni a 2 A e b 2 B. Dunque, per l’assioma di completezza, avremo che esiste c 2 R tale che a  c  b per ogni a 2 A e b 2 B. Si pu`o provare che

• c `e positivo;

• c verifica c

= 2;

• c `e l’unico elemento separatore degli insiemi A e B.

Ne segue allora che esiste un unico numero reale positivo c tale che c

= 2 , tale numero viene detto radice quadrata di 2 e denotato con p

2.

A partire dagli assiomi algebrici possiamo definire gli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali.

⌅ L’insieme dei numeri naturali N `e l’insieme dei numeri reali ottenuti aggiungendo 1 a 0 e ai successivi: 0; 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1;

3 = 2 + 1; ... Quindi

N = {0; 1; 2; 3; ...}

⌅ L’insieme dei numeri interi Z `e l’insieme costituito da tutti i numeri naturali e dagli opposti dei numeri naturali. Dunque

Z = {... 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; ...}

⌅ L’insieme dei numeri razionali Q `e l’insieme dei numeri della forma

n

m

= n ·

dove m, n 2 Z e m `e non nullo, dove si considerano identificati numeri della forma

e

con p 2 Z \ {0}

Q = {

| m, n 2 Z, m 6= 0}

Chiaramente valgono le inclusioni

N ⇢ Z ⇢ Q ✓ R

Abbiamo che Q 6= R ovvero che l’insieme R \ Q dei numeri irrazionali

`e non vuoto.

Risulta difatti che p

2, e pi` u in generale pp con p numero primo, non `e un numero razionale vale infatti il seguente risultato

Teorema

p 2 non `e un numero razionale.

Altrimenti detto,

non esiste alcun c 2 Q con c > 0 tale che c

= 2.

Osserviamo che in particolare segue che Q non verifica l’assioma di completezza: gli insiemi di numeri razionali

A = ¯ {a 2 Q | a > 0, a

< 2 } e B = ¯ {b 2 Q | b > 0, b

> 2 } non ammettono elemento separatore in Q.

Dim. Procediamo per assurdo e supponiamo che esista c 2 Q con c > 0 tale che c

= 2.

Per definizione di numero razionale siano m, n 2 N, tali che c =

.

Semplificando gli eventuali fattori comuni, potremo scegliere m, n primi tra loro, in particolare non entrambi pari.

Poich´e c

= 2 abbiamo c

= m

n

= 2 , m

= 2n

( ⇤)

Essendo 2n

numero pari, si ottiene che m

`e pari e quindi che anche m `e pari. Sia dunque h 2 N tale che m = 2h.

Allora da ( ⇤) segue che

m

= (2h)

= 2n

, 4h

= 2n

, n

= 2h

Come sopra, possiamo allora concludere che n

`e pari e quindi che anche n `e pari.

Abbiamo quindi ottenuto una contraddizione e dimostrato il teorema.

RETTA REALE

Una retta reale `e una retta r su cui `e stato fissato

I

un punto O, detto origine,

I

un’orientazione (o verso di percorrenza)

I

un’unit` a di misura, ovvero un punto P

che individua insieme all’origine un segmento di lunghezza unitaria.

Grazie all’assioma di completezza dei numeri reali, a ogni punto P 2 r corrisponde uno e un solo numero reale uguale alla distanza del punto P dall’origine O, ovvero la lunghezza del segmento di estremi P e O.

Indicheremo tale numero con d(P, O) .

In generale, la distanza sulla retta reale del punto P dal punto Q, definita come la lunghezza del segmento P Q, verr` a indicata con d(P, Q) .

Viene detta funzione ascissa l’applicazione, denotata con x : r ! R, che a ogni punto P 2 r associa il numero reale x(P ) uguale a

• la distanza d(P, O) se P segue O rispetto all’orientazione prescelta (scriveremo P 2 r

),

• 0 se P ⌘ O,

• l’opposto della distanza d(P, O) se P precede O (scriveremo P 2 r ).

Quindi

x(P ) = 8 <

:

d(P, O) se P 2 r

0 se P ⌘ O

d(P, O) se P 2 r

Diremo che x(P ) `e l’ascissa del punto P della retta reale.

Viceversa, per ogni a 2 R esiste un unico punto P

2 r di ascissa a, cio`e tale che x(P

) = a

La funzione a 2 R 7! P

2 r `e quindi l’applicazione inversa della funzione ascissa P 2 r 7! x(P ) 2 R.

La funzione ascissa determina quindi una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali R e i punti della retta reale r.

Per tale motivo si usa identificare la retta reale con l’insieme dei numeri reali e indicare direttamente i punti della retta reale con i corrispondenti numeri reali.

NOTA: Per ogni a, b 2 R si ha che b < a se e solo se P

precede P

sulla retta reale rispetto all’orientazione assegnata. In questo senso la funzione ascissa preserva l’ordinamento tra i due insiemi.

VALORE ASSOLUTO

Diciamo valore assoluto, o modulo, di un numero reale x 2 R il numero

|x| =

® x se x 0, x se x < 0.

Dalle definizioni di valore assoluto e della funzione ascissa, abbiamo che per ogni x 2 R il punto P

2 r di ascissa x verifica d(P

, O) = |x|. In generale

⌅ per ogni x, x

2 R, |x x

| indica la distanza sulla retta reale tra il punto P

di ascissa x e il punto P

di ascissa x

In particolare, dato > 0 e x

2 R, la disequazione |x x

| < ammette

come soluzioni tutti e soli i valori x

< x < x

+

Valgono le seguenti propriet` a del valore assoluto.

⌅ |x| 0 per ogni x 2 R e |x| = 0 se e solo se x = 0;

⌅ |x|  x  |x| per ogni x 2 R;

⌅ per ogni > 0, |x| < se e solo se < x < ;

⌅ Disuguaglianza triangolare : |x + y|  |x| + |y|, per ogni x, y 2 R;

⌅ |x · y| = |x| · |y|, per ogni x, y 2 R.

Dalla disuguaglianza triangolare segue inoltre

⌅ |x| |y|  |x y |, per ogni x, y 2 R.

INTERVALLI

Dati a, b 2 R con a  b si dice intervallo limitato un insieme della seguente forma

• [ a, b] = {x 2 R | a  x  b} • [ a, b) = {x 2 R | a  x < b}

• (a, b] = {x 2 R | a < x  b} • (a, b) = {x 2 R | a < x < b}

NOTA: Gli intervalli definiti sopra corrispondono sulla retta reale a dei segmenti che hanno come estremi i punti di ascissa a e b, e ampiezza b a.

NOTA: se a = b allora [a, b] = {a} mentre (a, b) = ;, tali insiemi sono detti

intervalli degeneri.

Dato a 2 R, `e detto intervallo illimitato un insieme della forma

• [ a, + 1) = {x 2 R | x a } • ( 1, a] = {x 2 R | x  a}

• (a, + 1) = {x 2 R | x > a} • ( 1, a) = {x 2 R | x < a}

• ( 1, +1) = R

NOTA: Sulla retta reale gli intervalli sopra corrispondono a semirette uscenti dal punto di ascissa a, eccetto l’intervallo ( 1, +1) che corrisponde all’intera retta reale.

Gli intervalli sono caretterizzati dalla seguente propriet` a

I ✓ R `e un intervallo se e solo se presi comunque ↵, 2 I, con

↵ < , e c 2 R tale che ↵  c  , allora c 2 I.

Esercizi

• Se a > b e b > c allora `e sempre vero che 1. (a + b) · (b c) > 0

2. a + b b c 3. a |b| |b|c 4. a b b c

• Se 2 < a < 3 allora 1. |a + 1| < 3

2. |a 1 | > 2 3. 2 < |a| < 3 4. |a 2 | < 4

• Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?

1. per ogni a 2 R si ha |a|  |a 2 | + 2

2. se a 2 R `e tale che 1 < a < 3, allora |a 2 | < 1 3. se a 2 R verifica a 6= 2, allora |a 2 | > 0 4. per ogni a 2 R vale |a 4 |  |a| 4

• Se a 2 R `e tale che |a 3 | < 4 allora possiamo certamente concludere che 1. a 62 ( 1, 0)

2. a 2 [ 7, 1) 3. a 2 [ 2, 7]

4. a 62 ( 3, 2]

Risposte

• Se a > b e b > c allora `e sempre vero che 1. (a + b) · (b c) > 0

2. a + b b c 3. a |b| |b|c 4. a b b c

• Se 2 < a < 3 allora 1. |a + 1| < 3

2. |a 1 | > 2 3. 2 < |a| < 3 4. |a 2 | < 4

• Quale delle seguenti a↵ermazioni `e falsa?

1. per ogni a 2 R si ha |a|  |a 2 | + 2

2. se a 2 R `e tale che 1 < a < 3, allora |a 2 | < 1 3. se a 2 R verifica a 6= 2, allora |a 2 | > 0 4. per ogni a 2 R vale |a 4 |  |a| 4

• Se a 2 R `e tale che |a 3 | < 4 allora possiamo certamente concludere che 1. a 62 ( 1, 0)

2. a 2 [ 7, 1) 3. a 2 [ 2, 7]

4. a 62 ( 3, 2]

PIANO CARTESIANO

Un sistema di riferimento cartesiano Oxy (o piano cartesiano) `e costituito da due rette reali tra loro perpendicolari che si intersecano nell’origine comune O.

Le due rette vengono dette assi cartesiani, le quattro regioni in cui il

piano risulta diviso dai due assi vengono dette quadranti

Attraverso la funzione ascissa `e possibile determinare una corrispondenza biunivoca tra il piano cartesiano e l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali

R

= R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R}

A ogni punto del P del piano cartesiano corrisponde un’ascissa x 2 R e un’ordinata y 2 R pari rispettivamente all’ascissa del punto P

, proiezione del punto P sull’asse delle ascisse, e del punto P

, proiezione del punto P sull’asse delle ordinate

=

Si dice in tal caso che il punto P ha coordinate (x, y) 2 R

e si usa scrivere P = (x, y), identificando il punto con le sue coordinate.

DISTANZA e PUNTO MEDIO

La distanza d(P

, P

) tra due punti P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) del piano

`e la lunghezza del segmento di estremi P

e P

. Grazie al teorema di Pitagora abbiamo che

d(P

, P

) = p

(x

x

)

+ (y

y

)

Il punto medio di un segmento `e il punto equidistante dai due estremi, ovvero `e il punto che divide il segmento in due parti uguali. Le coordinate del punto medio P

del segmento di estremi P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) sono date da

P

= ⇣ _x

_{+ x}

2 , y

+ y

2

⌘

I La distanza tra i punti P

= (1, 3) e P

= (0, 2) vale d(P

, P

) = p

(1 0)

+ ( 3 2)

= p 26.

Il punto medio del segmento di estremi P

e P

`e il punto P

= ⇣ _{1 + 0}

2 , 3 + 2 2

⌘

= ⇣ ₁ 2 , 1

2

⌘

.

TRASFORMAZIONI del PIANO

Ricordiamo alcune trasformazioni del piano.

⌅ La traslazione di vettore ~v = (a, b) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (x + a, y + b);

⌅ La simmetria centrale di centro il punto P

= (x

, y

) trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (2x

x, 2y

y);

⌅ la dilatazione orizzontale di parametro a > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (ax, y);

⌅ la dilatazione verticale di parametro b > 0 trasforma il punto P = (x, y) nel punto P

= (x, by).

Per esempio

I la traslazione di vettore ~v = (0, 2) trasforma il punto P = (1, 3) nel punto P

= (1, 1);

I la simmetria centrale di centro l’origine O = (0, 0) trasforma il punto P = ( 1, 2) nel punto P

= (1, 2);

I il quadrato Q di vertici A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 1) e D = (0, 1) per la dilatazione orizzontale di parametro a = 3 viene trasformato nel rettangolo di vertici A

= (0, 0), B

= (3, 0), C

= (3, 1) e D

= (0, 1);

la dilatazione verticale di parametro b =

lo trasforma nel rettangolo di vertici A

= (0, 0), B

= (1, 0), C

= (1,

) e D

= (0,

).

LA RETTA

Ricordiamo innanzitutto che una retta in un sistema di riferimento cartesiano Oxy pu` o essere descritta da un’equazione implicita:

ax + by + c = 0 con a, b, c 2 R e a, b non entrambi nulli.

Se b 6= 0, l’equazione potr`a riscriversi nella forma y = mx + q con m, q 2 R , detta equazione esplicita.

Nell’equazione esplicita di una retta y = mx + q, il coefficiente m viene

detto coefficiente angolare, q invece ordinata all’origine

Dati due punti P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) con x

6= x

, l’equazione implicita della retta passante per P

e P

`e

(y

y

)(x x

) (x

x

)(y y

) = 0 Se x

6= x

, l’equazione esplicita `e

y = y

+ y

y

x

x

(x x

)

NOTA: il coefficiente angolare della retta vale y

y

x

x

.

In particolare, l’equazione (detta segmentaria) della retta passante per i punti P = (p, 0) e Q = (0, q) `e data da

x p + y

q = 1

I L’equazione della retta passante per i punti (1, 2) e (3, 4) `e ( 4 2)(x 1) (3 2)(y + 4) = 0 ovvero 3x y 5 = 0 o anche y = 3x 5;

I L’equazione della retta passante per (3, 0) e (0, 2) `e

+

= 1 ovvero 2x + 3y + 6 = 0 o anche y =

x 2

RETTE PARALLELE e PERPENDICOLARI

Date due rette di equazione implicita ax + by + c = 0 e a

x + b

y + c

= 0, queste sono

• parallele se e solo se a · b

= a

· b

• perpendicolari se e solo se a · a

+ b · b

= 0

Date due rette di equazione esplicita y = mx + q e y = m

x + q

, queste sono

• parallele se e solo se m = m

• perpendicolari se e solo se m · m

= 1 Per esempio

I Le rette y = 2x 10 e y = 2x + 1 sono parallele

I Le rette y =

x + 1 e y =

x sono perpendicolari

PROIEZIONE ORTOGONALE e DISTANZA PUNTO-RETTA

Dati una retta r e un punto P

nel piano, la proiezione ortogonale di P

su r `e il punto H

di intersezione fra r e la retta perpendicolare a r passante per P

. La distanza di P

da r `e la distanza di P

da H

.

Abbiamo che

⌅ la distanza fra la retta r di equazione ax + by + c = 0 e il punto P

= (x

, y

) `e

p

a²+b²

⌅ la distanza fra la retta r di equazione y = mx + q e il punto P

= (x

, y

) `e

p

1+m²

ASSE di un SEGMENTO e SIMMETRIA ASSIALE

L’asse di un segmento `e il luogo dei punti equidistanti dagli estremi del segmento stesso : dati P

= (x

, y

) e P

= (x

, y

) il punto P = (x, y) appartiene all’asse del segmento P

P

se e solo se

d(P, P

) = d(P, P

) , (x x

)

+ (y y

)

= (x x

)

+ (y y

)

. La simmetria assiale di asse r trasforma il punto P nel punto P

tale che la retta r sia l’asse del segmento P P

I La simmetria di asse x = 1 manda il punto di coordinate (3, 4) nel punto ( 5, 4), quella di asse y = 2 trasforma il punto ( 4, 3) in ( 4, 1).

I La simmetria di asse la bisettrice y = x manda ( 2, 4) in (4, 2)

mentre la simmetria di asse y = x trasforma (4, 2) in (2, 4).

Esercizi

• La retta per i punti

, 4 e 4,

ha equazione 1. 2x y = 11

2. 3x 7y + 5 = 0 3. 5x + 9y + 4 = 0 4. 3x 6y + 19 = 0

• Sapendo che le rette r e s in figura sono perpendicolari, qual `e l’equazione della retta s?

1. y

x =

3. y +

x =

2. y +

x =

4. y +

x =

• La distanza fra il punto (4, 1) e la retta x + 2y 8 = 0 `e 1. compresa fra 4 e 6

2. minore di 3 3. maggiore di 8 4. un numero intero

Risposte

• La retta per i punti

, 4 e 4,

ha equazione 1. 2x y = 11

2. 3x 7y + 5 = 0 3. 5x + 9y + 4 = 0 4. 3x 6y + 19 = 0

• Sapendo che le rette r e s in figura sono perpendicolari, qual `e l’equazione della retta s?

1. y

x =

3. y +

x =

2. y +

x =

4. y +

x =

• La distanza fra il punto (4, 1) e la retta x + 2y 8 = 0 `e 1. compresa fra 4 e 6

2. minore di 3

3. maggiore di 8

4. un numero intero

CIRCONFERENZA

Ricordiamo che una circonferenza di centro C e raggio r > 0 `e costituita dai punti P che hanno distanza r dal centro, ovvero tali che d(P, C) = r.

Se C = (x

, y

) il generico punto P = (x, y) della circonferenza dovr` a allora verificare l’equazione

p (x x

)

+ (y y

)

= r , (x x

)

+ (y y

)

= r

I L’equazione x

+ 2x + y

4y 1 = 0 pu` o essere riscritta come (x + 1)

+ (y 2)

= 6, rappresenta quindi una circonferenza di centro C = ( 1, 2) e raggio r = p

6.

I L’equazione x

+ x + y

4y + p

2 + 3 = 0 pu` o essere riscritta come (x +

)

+ (y 2)

=

+ 4 p

2 3 =

p

2 non rappresenta una circonferenza dato che p

2 >

.

In generale l’equazione x

+ y

+ ax + by + c = 0 si pu` o riscrivere come x +

+ y +

=

c e rappresenta una circonferenza se e solo se a

+ b

> 4c

ELLISSE

Ricordiamo che un’ellisse `e il luogo dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due fuochi F

e F

risulta costante. Si dice asse focale la retta r passante per i due fuochi, mentre `e detto centro il punto medio del segmento F

F

L’equazione

+

= 1 con a > b > 0 rappresenta un’ellisse di centro (x

, y

) e asse focale parallelo all’asse delle ascisse. La somma delle distanze del generico punto dell’ellisse dai fuochi F

e F

vale 2a, la distanza tra i due fuochi vale 2c dove c = p

a

b

. In tal caso a (risp. b) `e detto semiasse maggiore (risp. minore).

I L’equazione 4x

+ 9y

= 36 pu` o essere riscritta come

+

= 1,

rappresenta quindi un’ellisse di centro l’origine e semiassi a = 3 e b = 2.

Esercizi

• Il centro della circonferenza di equazione 2x

+ 2y

4x + 8y 1 = 0 `e 1. (1, 2)

2. (1, 2) 3. (2, 1) 4. (0, 1)

• Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza?

1. x

+ y

+ 2x 4y + 6 = 0 2. x

+ 4y

6x = 0 3. x

+ y

x + 4y + 2 = 0 4. x

+ y

2x + 2y + 10 = 0

• Quale delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse di semiassi 2 e

? 1. x

+ 4y

= 2

2. 16x

+ 8y

= 4 3. 8x

+ y

= 2 4. 16x

+ y

= 4

Risposte

• Il centro della circonferenza di equazione 2x

+ 2y

4x + 8y 1 = 0 `e 1. (1, 2)

2. (1, 2) 3. (2, 1) 4. (0, 1)

• Quale delle seguenti equazioni rappresenta una circonferenza?

1. x

+ y

+ 2x 4y + 6 = 0 2. x

+ 4y

6x = 0 3. x

+ y

x + 4y + 2 = 0 4. x

+ y

2x + 2y + 10 = 0

• Quale delle seguenti equazioni rappresenta un’ellisse di semiassi 2 e

? 1. x

+ 4y

= 2

2. 16x

+ 8y

= 4

3. 8x

+ y

= 2

4. 16x

+ y

= 4

PARABOLA

La parabola P di fuoco F e direttrice `e il luogo dei punti P del piano che sono equidistanti da F e da .

Indicata con H la proiezione ortogonale di F su , il punto medio V del segmento F H si dice vertice della parabola, La retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco si chiama asse della parabola.

NOTA: l’asse della parabola `e asse di simmetria per la parabola

L’equazione y = ax

descrive i punti della parabola con vertice nell’origine, direttrice y =

, fuoco F = (0,

) e asse x = 0.

Osservato che possiamo scrivere

ax

+ bx + c = a x +

riconosciamo che la parabola y = ax

+ bx + c si pu` o ottenere dalla parabola y = ax

operando una traslazione di vettore ~v = Ä

2a

,

ä .

⌅ l’equazione y = ax

+ bx + c, a 6= 0, descrive una parabola con vertice V = Ä

2a

,

ä

, fuoco F = Ä

2a

,

ä

, asse x =

.

Si dice inoltre che una parabola y = ax

+ bx + c ha la concavit` a rivolta verso l’alto se a > 0, ha la concavit` a rivolta verso il basso se a < 0.

I La parabola di equazione y = 2x

+ 4x + 3 ha concavit` a verso l’alto, ha vertice V = ( 1, 1) e asse x = 1. L’equazione pu` o essere riscritta come y = 2(x + 1)

+ 1, la parabola si ottiene quindi per traslazione di vettore ~v = ( 1, 1) della parabola y = 2x

.

I L’equazione x = y

+ 1 descrive una parabola con asse orizzontale, x = 0, vertice V = (1, 0) e concavit` a verso destra: si ottiene dalla parabola x = y

per traslazione di vettore ~v = (1, 0)

IPERBOLE

Dati due punti distinti F

e F

nel piano, si chiama iperbole I di fuochi F

e F

l’insieme dei punti P del piano tali che il valore assoluto della di↵erenza delle distanze da F

e F

risulti costante.

Il punto medio C del segmento F

F

viene detto centro dell’iperbole, la

retta per F

e F

si chiama asse focale.

Presi a, b > 0 e posto c = p

a

+ b

, abbiamo che

⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che

b²

= 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi ( ±c, 0) e asse focale y = 0;

⌅ il luogo dei punti P = (x, y) tali che

b²

= 1 `e l’iperbole che ha centro nell’origine, fuochi (0, ±c) e asse focale x = 0.

NOTA: Le rette y = ±

x sono dette asintoti dell’iperbole

= ±1.

I

L’equazione

= 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi ( ±5, 0), asse focale y = 0 e asintoti y = ±

x, mentre

= 1 descrive un’iperbole di centro l’origine, fuochi (0, ±4), asse focale x = 0 e asintoti y = ±

x

L’equazione x

y

= k con k 6= 0 descrive un’iperbole avente per asintoti le bisettrici y = ±x, tale iperbole `e detta equilatera.

NOTA: l’equazione xy = k descrive un’iperbole equilatera con asse la

bisettrice y = x se k > 0, y = x se k < 0, centro l’origine e con asintoti gli

assi cartesiani

Scelti a, b, c, d 2 R tali che c 6= 0 e ad bc 6= 0 l’equazione y =

descrive un’iperbole omografica.

⇣ x + d

c

⌘ Ä

y a

c

ä = bc ad c

si ha che l’iperbole ha centro (

,

), asintoti y =

e x =

L’iperbole omografica y = ^3x+4_x+1

Esercizi

• La parabola di equazione y = 2x

3x + 2 ha vertice 1. (

,

) 3. (

,

)

2. (

,

) 4. (

, 2)

• Sapendo che la parabola f in figura ha equazione y = ax

+ bx + c,

possiamo dedurre che

1. a < 0, b < 0, c < 0 3. a > 0, b < 0, c > 0 2. a > 0, b > 0, c > 0 4. a > 0, b > 0, c < 0

• Quale delle seguenti rette `e un asintoto dell’iperbole y =

? 1. y = 3 3. x = 0

2. y = 4x 4. y =

Risposte

• La parabola di equazione y = 2x

3x + 2 ha vertice 1. (

,

) 3. (

,

)

2. (

,

) 4. (

, 2)

• Sapendo che la parabola f in figura ha equazione y = ax

+ bx + c,

possiamo dedurre che

1. a < 0, b < 0, c < 0 3. a > 0, b < 0, c > 0 2. a > 0, b > 0, c > 0 4. a > 0, b > 0, c < 0

• Quale delle seguenti rette `e un asintoto dell’iperbole y =

? 1. y = 3 3. x = 0

2. y = 4x 4. y =

FUNZIONI REALI

Si dice funzione reale una funzione f : D ✓ R ! C ✓ R.

Il grafico di una funzione reale `e il sottoinsieme di R

definito da Graph(f ) = {(x, y) 2 R

| x 2 D, y = f(x)} = {(x, f(x)) 2 R

| x 2 D}

e potremo quindi rappresentarlo in un piano cartesiano Oxy

I La funzione f : R ! R definita da f(x) = x

ha per grafico la parabola di equazione y = x

I La funzione f : R \ {0} ! R data da f(x) =

ha per grafico l’iperbole

equilatera xy = 1.

Ricordiamo che una funzione associa ad ogni punto del dominio uno e un solo punto del codominio.

Un sottoinsieme del piano `e quindi il grafico di una funzione f (x) se e solo se ogni retta verticale lo intereseca in al pi` u un punto.

Ricordiamo che l’immagine di una funzione f : D ! R `e l’insieme Im(f ) = {y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 D} = {f(x) | x 2 D}

Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), il dominio e l’immagine si possono ottenere proiettando il grafico sull’asse x e sull’asse y

rispettivamente, come in figura.

Ricordiamo che data una funzione f : D ! R, l’immagine di un sottoinsieme A ✓ D `e l’insieme

f (A) = {y 2 R | y = f(x) per qualche x 2 A} = {f(x) | x 2 A}

La controimmagine di un sottoinsieme B ✓ R `e l’insieme f

(B) = {x 2 D | f(x) 2 B}

Dato il grafico di una funzione reale y = f (x), l’immagine f (A) di un insieme A ✓ D `e un sottoinsieme dell’asse delle ordinate, mentre la controimmagine f

(B) di un insieme B ✓ R `e un sottoinsieme dell’asse delle ascisse:

⌅ l’immagine f (A) si ottiene proiettando sull’asse delle ordinate la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ascissa che appartiene ad A;

⌅ la controimmagine f

(B) si ottiene proiettando sull’asse delle ascisse la porzione di grafico i cui punti (x, f (x)) hanno ordinata che appartiene a B.

I Data la funzione f (x) =

, l’immagine dell’intervallo (

, 3] `e

l’intervallo [

, 2), mentre la controimmagine dell’intervallo [ 1, 2] `e

l’unione ( 1, 1] [ [

, + 1).

Ricordiamo che una funzione f : D ! R `e iniettiva se

8x

, x

2 D si ha che x

6= x

) f(x

) 6= f(x

) o equivalentemente, se

8x

, x

2 D si ha che f(x

) = f (x

) ) x

= x

. Dal grafico di una funzione si pu` o riconoscere se questa `e iniettiva:

⌅ una funzione reale f : D ! C `e iniettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico al pi` u una volta.

La funzione f :R ! R `e iniettiva, non lo `e g : R ! R

Ricordiamo che una funzione f : D ! C `e suriettiva se ogni elemento di C

`e immagine di qualche elemento del dominio D, cio`e se 8 y 2 C 9 x 2 D tale che f(x) = y , C = Im(f) Dal grafico di una funzione si pu` o riconoscere se questa `e suriettiva:

⌅ una funzione reale f : D ! C `e suriettiva se per ogni k 2 C la retta orizzontale y = k interseca il suo grafico almeno una volta.

La funzione g :R ! R `e suriettiva, non lo `e h : R ! R