Funzioni reali

1. Qualche richiamo

Dati due insiemi X e Y di numeri reali, una funzione f tra X ed Y `e una legge che fa corrispondere ad ogni x ∈ X uno ed un solo elemento y ∈ Y . Scriveremo f : X → Y ed anche f : x ∈ X 7→ y ∈ Y dove y = f (x), intendendo che alla variabile x ∈ X corrisponde il valore y ∈ Y tramite la funzione f .

L’insieme X ove opera la funzione f viene detto dominio di f e viene denotato con Dom f . L’insieme Y ove prende valori la funzione f viene detto codominio. Se una funzione f (x) viene definita senza specificarne il dominio, si sottointende che Dom f `e il pi`u grande sottoinsieme di R ove risulta definito il valore f (x).

Ad esempio:

• xn, n ∈ N. Dom(xn) = R.

• xα, α ∈ R. Dom(xα) = (0, +∞). • ax, a > 0. Dom(ax) = R.

• log_ax, a > 0 e a 6= 1. Dom(log_ax) = (0, +∞). • sin x e cos x. Dom(sin x) = Dom(cos x) = R. • tan x. Dom(tan x) = {x ∈ R | x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z}. Alcune particolari funzioni reali sono:

Funzione valore assoluto: |x| = (

x se x ≥ 0,

−x se x < 0. Dom(|x|) = R. Funzione parte intera: [x] = max{n ∈ Z | n ≤ x}. Dom([x]) = R. Funzione mantissa: m(x) = x − [x]. Dom([x]) = R.

Funzione segno: sgn(x) = ( 1 se x > 0, −1 se x < 0. Dom(sgn(x)) = R \ {0}. Funzione di Dirichlet: D(x) = ( 1 se x ∈ Q, 0 se x ∈ R \ Q. ^{Dom(D(x)) = R.} 63

Data una funzione f : X → Y ed x ∈ X, si dice immagine di x mediante f il valore f (x) ∈ Y . Se A ⊂ X si dice immagine di A mediante f l’insieme f (A) = {f (x) ∈ Y | x ∈ A}. In particolare, si dice immagine di f l’insieme f (X) = {f (x) ∈ Y | x ∈ X} che indicheremo anche con Imf . Ad esempio: • Im(|x|) = [0, +∞), • Im([x]) = Z, • Im(m(x)) = [0, 1), • Im(sgn(x)) = {±1} e • Im(D(x)) = {0; 1}.

Proveremo nei prossimi paragrafi che

• Im(xn) = [0, +∞) se n ∈ N `e pari e Im(xn) = R se n ∈ N `e dispari,

• Im(ax) = (0, +∞), per ogni a > 0, • Im(log_ax) = R, per ogni a > 0, a 6= 1,

• Im(sin x) = Im(cos x) = [−1, 1] e Im(tan x) = R,

Data una funzione f : X → Y ed y ∈ Y , si dice controimmagine di y mediante f l’insieme f⁻¹({y}) = {x ∈ X | f (x) = y}. Se B ⊂ Y si dice controimmagine di B mediante f l’insieme f⁻¹(B) = {x ∈ A | f (x) ∈ B}.

Osserviamo che potremo avere f⁻¹(B) = ∅. Ad esempio, essendo f (x) = x2 ≥ 0 per ogni x ∈ R avremo f−1([−2, −1]) = ∅. Osserviamo inoltre che dato y ∈ Y potremo avere che f⁻¹({y}) risulti costituito da pi`u di un punto. Ad esempio, considerata f (x) = x2 avremo che f⁻¹({1}) = {±1}.

Data f : X → Y , si dice grafico di f l’insieme {(x, f (x)) ∈ R²| x ∈ X}.

O

O

1

-1

1. QUALCHE RICHIAMO 65 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -3 -2 -1 1 2 3 -2 -1 0 1 2 -1 1 Grafici di f (x) = [x] e f (x) = m(x)

La funzione mantissa `e un esempio di funzione periodica di periodo 1. Una funzione f : X → R `e detta periodica di periodo T ∈ R se X `e tale che x + T ∈ X per ogni x ∈ X e se f (x + T ) = f (x) per ogni x ∈ X. Altri esempi di funzioni periodiche sono dati dalle funzioni sin x e cos x, periodiche di periodo 2π, e la funzione tan x, periodica di periodo π. Il loro grafico si otterr`a quindi mediante traslazione del grafico su un intervallo fondamentale di ampiezza il periodo.

-1 0 1 π -π 2π -2π -1 0 1 π -π 2π -2π

Grafici di f (x) = sin x e f (x) = cos x

π

-π 2π

-2π 0

Grafico di f (x) = tan x

Altre simmetrie sono presentate dal grafico delle funzioni pari e dispari. Una funzione f : X → Y , dove X `e tale che se x ∈ X allora −x ∈ X, `

e detta pari se f (−x) = f (x) per ogni x ∈ X (ad esempio sono pari le funzioni |x|, xn con n pari, la funzione cos x). Il loro grafico risulta simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.

Una funzione `e detta invece dispari se f (−x) = −f (x) per ogni x ∈ X (ad esempio sono dispari le funzioni sgn(x), xncon n dispari, le funzioni sin x e tan x). Il loro grafico risulta simmetrico rispetto all’origine del piano cartesiano.

O

O

Grafici di f (x) = xⁿ con n ∈ N pari e dispari

Date due funzioni f (x) e g(x) si definiscono le funzioni somma, diffe-renza, prodotto e quoziente nel seguente modo:

(f ± g)(x) = f (x) ± g(x) per ogni x ∈ Domf ∩ Domg; (f · g)(x) = f (x) · g(x) per ogni x ∈ Domf ∩ Domg (^f

g^{)(x) =} f (x)

g(x) ^{per ogni x ∈ Domf ∩ Domg tale che g(x) 6= 0.} Si definisce inoltre la funzione composta gof ponendo

gof (x) = g(f (x)) per ogni x ∈ Domf tale che f (x) ∈ Domg. Ad esempio sono definite a partire dalla funzione esponenziale ex le funzioni sinh x = ^e x− e−x 2 ^{e cosh x =} e^x+ e^−x 2 dette rispettivamente seno e coseno iperbolico.

Risulta allora Dom(sinh x) = Dom(cosh x) = R, inoltre `e immedia-to che sinh x risulta funzione dispari mentre cosh x funzione pari. Si pu`o inoltre provare che il punto di coordinate (cosh x, sinh x) giace sull’iperbole equilatera x2−y2 = 1 (da qui il nome) ovvero vale l’identit`a

cosh²x − sinh²x = 1, ∀x ∈ R.

1. QUALCHE RICHIAMO 67

O

1 O

Grafico di f (x) = cosh x e f (x) = sinh x

Al concetto di funzione inversa premettiamo alcune definizioni.

Una funzione f : X → Y `e detta iniettiva se per ogni x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> ∈ X tali che x<sub>1</sub> 6= x<sub>2</sub> risulta f (x<sub>1</sub>) 6= f (x<sub>2</sub>) o equivalentemente, se f (x<sub>1</sub>) = f (x<sub>2</sub>) allora x<sub>1</sub> = x<sub>2</sub>. `E detta suriettiva se Imf = Y , `e detta bijettiva se risulta iniettiva e suriettiva. Osserviamo che se f : X → Y `e bijettiva allora f determina una corrispondenza uno-uno tra gli insieme X e Y . Ad esempio, non risulta iniettiva la funzione cosh x in quanto funzione pari, risulta invece bijettiva da R in R la funzione sinh x.

Osserviamo che ogni funzione f : X → Y potr`a considerarsi suriettiva restringendone il codominio all’immagine Imf . L’iniettivit`a `e invece legata alla possibilit`a di definire la funzione inversa. Difatti, se f (x) `

e funzione iniettiva allora ad ogni y ∈ Imf corrisponde uno ed un solo x ∈ Domf tale che f (x) = y. Quindi, l’applicazione che ad ogni y ∈ Imf fa corrispondere quell’unico x ∈ Domf tale che f (x) = y `e una funzione. Tale funzione viene detta funzione inversa di f e viene indicata con f⁻¹:

y ∈ Imf, f⁻¹(y) = x ⇐⇒ x ∈ Domf, f (x) = y

Diremo anche che la funzione f `e invertibile sulla sua immagine. Dalla definizione segue inoltre che Domf⁻¹ = Imf e Imf⁻¹ = Domf e che valgono le seguenti leggi di cancellazione:

f⁻¹(f (x)) = x, ∀ x ∈ Domf e f (f⁻¹(y)) = y, ∀ y ∈ Imf Osserviamo infine che se f (x) `e funzione iniettiva sul suo dominio allora il grafico della funzione inversa f⁻¹(x) risulta il simmetrico del grafico di f (x) rispetto alla bisettrice y = x. Infatti, per x ∈ Dom(f ), posto y = f (x) ∈ Dom(f⁻¹), risulta

(x, f (x)) = (f⁻¹(y), y)

O x f(x) x=f (y) y=f(x) -1 (y, f (y))^-1 (x, f(x)) y=x

Ad esempio, la funzione f (x) = x3 risulta iniettiva nel suo dominio Domf = R, dunque risulta invertibile sulla sua immagine Imf = R e la sua funzione inversa `e (per definizione di potenza frazionaria) f⁻¹(x) =

3 √ x = x¹3. O Grafici di f (x) = x³ e f⁻¹(x) = √3 x

Valgono quindi le leggi di cancellazione

3

√

x3 = x e (√3

x)³ = x per ogni x ∈ R.

Come ulteriore esempio, consideriamo la funzione f (x) = x2 che non risulta iniettiva in tutto R ma risulta iniettiva se la consideriamo ri-stretta al dominio Domf = [0, +∞). Dunque risulta invertibile sulla sua immagine Imf = [0, +∞) e la sua funzione inversa `e (per defi-nizione di potenza frazionaria) f⁻¹(x) = √

x = x¹2. Si osservi che Domf⁻¹ = Imf = [0, +∞) e quindi che √

x risulta definita solo per x ≥ 0.

1. QUALCHE RICHIAMO 69

O

Grafici di f (x) = x² e f⁻¹(x) =^√x

Valgono inoltre le leggi di cancellazione √

x2 = x e (√

x)² = x per ogni x ∈ [0, +∞). Si osservi che, dalla definizione di valore assoluto, risulta invece

√

x2 = |x| per ogni x ∈ R.

Come ulteriore esempio notevole consideriamo la funzione esponenziale f (x) = ax con a > 0 che risulta iniettiva in tutto il suo dominio R per a 6= 1. La funzione risulta allora invertibile sulla sua immagine Imf = (0, +∞) e la sua inversa `e la funzione logaritmica f⁻¹(x) = log_ax. Si osservi che Domf⁻¹ = Imf = (0, +∞) e quindi che log_ax risulta definita solo per x > 0.

O 1 1

O 1 1

Grafici di f (x) = a^x e f⁻¹(x) = log_ax per a > 1 e 0 < a < 1

Valgono inoltre le leggi di cancellazione

log_a(a^x) = x per ogni x ∈ R e a^logax= x per ogni x ∈ (0, +∞). Consideriamo le funzioni sinh x e cosh x. Abbiamo che sinh x risulta invertibile in R e la sua funzione inversa `e detta settore seno iperbolico e viene denotata con settsinh x:

Risulta allora Dom(settsinh x) = Im(sinh x) = R e Im(settsinh x) = Dom(sinh x) = R. Dalla precedente definizione si pu`o provare che risulta

settsinh x = log(x +√

x2+ 1) per ogni x ∈ R.

La funzione cosh x risulta invece invertibile se considerata ristretta a [0, +∞) e la sua funzione inversa `e detta settore coseno iperbolico e viene denotata con settcosh x:

settcosh x = y ⇐⇒ cosh y = x

Si ha quindi che Dom(settcosh x) = Im(cosh x) = [1, +∞) mentre Im(settcosh x) = Dom(cosh x) = [0, +∞). Si pu`o inoltre provare che risulta

settcosh x = log(x +√

x2− 1) per ogni x ≥ 1.∗

O 1

1 O

Grafici di f (x) = settcosh x e y = settsinh x

Infine, ricordiamo le funzioni arcoseno (arcsin x), arcocoseno (arccos x) e arcotangente (arctan x) definite rispettivamente come le inverse delle funzioni sin x ristretta all’intervallo [−^π₂,^π₂], cos x ristretta a [0, π] e tan x ristretta a (−^π₂,^π₂). Risulta allora

Dom(arcsin x) = [−1, 1] e Im(arcsin x) = [−^π₂,^π₂], Dom(arccos x) = [−1, 1] e Im(arccos x) = [0, π], Dom(arctan x) = R e Im(arctan x) = (−^π₂,^π₂).

* Si osservi che per ogni x ≥ 1 risulta log(x−√

x2− 1) = − log(x+^√x2− 1) < 0

e che, essendo il coseno iperbolico funzione pari, si ha cosh(log(x +√

x2− 1)) =

cosh(log(x −√

2. LIMITI DI FUNZIONI 71 O π/2 1 -1 -π/2 O 1 -1 π 1 -1 π

Grafici di f (x) = arcsin x e f (x) = arccos x

O π/2 -π/2 -π/2 π/2 Grafico di f (x) = arctan x 2. Limiti di funzioni

Data una funzione f (x) definita in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x<sub>0</sub> ∈ I, si dice che f (x) ha limite pari ad ` ∈ R per x che tende a x₀, e si scrive lim

x→x0

f (x) = `, se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I verifica 0 < |x − x0| < δ allora |f (x) − `| < ε. Utilizzando i quantificatori scriveremo che lim

x→x0

f (x) = ` se e solo se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / |f (x) − `| < ε ∀x ∈ I, 0 < |x − x₀| < δ

Diremo anche che f (x) tende o converge al limite ` ∈ R per x che tende a x<sub>0</sub> e scriveremo f (x) → ` per x → x₀.

Come nel caso di limite di successione, possiamo provare che se una funzione ammette limite questo `e unico.

Verifichiamo ad esempio che lim

x→0x² = 0. Per ogni ε > 0 sia δ = √ ε. Avremo che se |x| < δ allora x2 < δ2 = ε.

Un esempio di funzione che non ammette limite in un punto `e la fun-zione segno, infatti si ha che non esiste lim

x > 0 risulta sgn(x) = 1 mentre per x < 0 risulta sgn(x) = −1. Preso allora ε > 0 e un qualunque δ > 0 avremo che non esiste alcun ` ∈ R tale che |sgn(x) − `| < ε per ogni 0 < |x| < δ.

Proviamo ora che la funzione di Dirichlet non ammette limite in alcun punto x₀ ∈ R. Difatti, preso comunque ε > 0 e preso comunque δ > 0, se 0 < |x − x₀| < δ e x ∈ Q avremo D(x) = 1 mentre se 0 < |x−x0| < δ e x 6∈ Q avremo D(x) = 0 e dunque, dalla propriet`a di densit`a dei numeri razionali non potr`a esistere ` ∈ R tale che |D(x) − `| < ε.

Si dice invece che f (x) ha limite pari ad +∞ per x che tende a x₀, e si scrive lim

x→x0

f (x) = +∞, se per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I verifica 0 < |x − x₀| < δ allora f (x) > M . Utilizzando i quantificatori scriveremo lim

x→x0

f (x) = +∞ se e solo se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 / f (x) > M ∀x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ

Diremo anche che f (x) tende o diverge a +∞ per x che tende a x₀ e scriveremo f (x) → +∞ per x → x0.

Analogalmente, diremo che f (x) ha limite pari ad −∞ per x che tende a x0, e si scrive lim

x→x0

f (x) = −∞, se per ogni M > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I verifica 0 < |x − x₀| < δ allora f (x) < −M . Scriveremo

lim

x→x0

f (x) = −∞ se e solo se

∀ M > 0 ∃ δ > 0 / f (x) < −M ∀x ∈ I, 0 < |x − x₀| < δ

Diremo anche che f (x) tende o diverge a −∞ per x che tende a x₀ e scriveremo f (x) → −∞ per x → x₀.

Se lim

x→x0

f (x) = ±∞, la retta x = x₀ `e detta asintoto verticale per f (x).

Ad esempio lim

x→0 1

x2 = +∞, l’asse delle ordinate x = 0 `e asintoto verticale per _x¹2.

2. LIMITI DI FUNZIONI 73

O

Grafico di f (x) = _x¹2

Vale il seguente risultato che ci permette di mettere in relazione il concetto di limite di funzione con il concetto di limite di successione. Teorema 3.1. (di caratterizzazione sequenziale del limite)

Sia f (x) una funzione definita in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x0 ∈ I e sia ` ∈ R ∪ {±∞}. Sono allora equivalenti le seguenti affermazioni:

(A) lim

x→x0

f (x) = `,

(B) per ogni successione (x_n)_n∈N ⊂ I \ {x₀} tale che x_n → x₀ per n → +∞ risulta f (x_n) → ` per n → +∞.

Dim. Proviamo il risultato solo nel caso ` ∈ R, la dimostrazione del caso ` = ±∞ `e analoga.

Proviamo che (A) ⇒ (B). Sia (x_n) ⊂ I \ {x₀} tale che x_n → x₀. Preso comunque ε > 0, proviamo che esiste ν ∈ N tale che |f (xn) − `| < ε per ogni n ≥ ν. Poich`e per ipotesi f (x) → ` per x → x<sub>0</sub>, avremo che esiste δ > 0 tale che risulta |f (x) − `| < ε per ogni x ∈ I \ {x₀} con |x − x₀| < δ. Essendo xn → x₀ per n → +∞, avremo che esiste ν ∈ N tale che |xn− x₀| < δ per ogni n ≥ ν. Allora, per ogni n ≥ ν avremo x_n∈ I \ {x₀} e |x_n− x₀| < δ e dunque |f (xn) − `| < ε.

Proviamo ora che (B) ⇒ (A). Per assurdo, supponiamo che esista ε0> 0 tale che per ogni δ > 0 esiste x ∈ I \ {x0} tale che |x − x₀| < δ ma |f (x) − `| ≥ ε<sub>0</sub>. Per ogni n ∈ N consideriamo δn= <sub>n</sub><sup>1</sup> e sia xn∈ I \{x<sub>0</sub>} tale che |x<sub>n</sub>−x<sub>0</sub>| < <sub>n</sub><sup>1</sup> e |f (xn) − `| ≥ ε. Avremo allora che (xn) ⊂ I \ {x0} e per il Teorema del confronto, xn → x₀. Da (B) si ha allora che f (xn) → ` per n → +∞, in contraddizione con |f (x<sub>n</sub>) − `| ≥ ε₀ per ogni n ∈ N. 

Dal precedente risultato e dai limiti notevoli per le successioni nume-riche si ottengono i seguenti limiti notevoli per le funzioni:

lim x→0sin x = 0, lim x→0cos x = 1, lim x→0 sin x x ^{= 1 e lim}x→0 1 − cos x x2 = ¹ 2^, lim x→0e^x = 1, lim x→0log(1 + x) = 0, lim x→0 e^x− 1 x ^{= 1 e lim}x→0 log(1 + x) x ^{= 1} e per ogni α ∈ R lim x→0(1 + x)^α = 1 e lim x→0 (1 + x)^α− 1 x ^{= α.}

Inoltre, per ogni x₀ ∈ R e α ∈ R, risulta lim

x→x0

e^x = e^x0, lim

x→x0

log x = log x₀ e lim

x→x0

x^α = x^α₀ (se x₀ > 0). Risulter`a inoltre utile introdurre le seguenti definizioni. Data una fun-zione f (x) definita in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I, si dice che f (x) ha limite pari ad ` ∈ R per x che tende a x0

da destra, e si scrive lim

x→x⁺₀

f (x) = `, se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I verifica x<sub>0</sub> < x < x<sub>0</sub>+ δ allora |f (x) − `| < ε. Scriveremo

lim

x→x⁺₀

f (x) = ` se e solo se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / |f (x) − `| < ε ∀x ∈ I, x₀ < x < x₀+ δ.

Diremo anche che f (x) tende o converge al limite ` ∈ R per x che tende a x<sub>0</sub> da destra e scriveremo f (x) → ` per x → x⁺₀.

Analogalmente, si dice che f (x) ha limite pari ad ` ∈ R per x che tende a x₀ da sinistra, e si scrive lim

x→x⁻₀

f (x) = `, se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che se x ∈ I verifica x<sub>0</sub>− δ < x < x<sub>0</sub> allora |f (x) − `| < ε. Dunque lim_x→x−

0 f (x) = ` se e solo se

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 / |f (x) − `| < ε ∀x ∈ I, x₀− δ < x < x₀

Diremo anche che f (x) tende o converge al limite ` ∈ R per x che tende a x0 da sinistra e scriveremo f (x) → ` per x → x⁻₀.

Analoghe definizioni si danno per lim

x→x^±₀

f (x) = ±∞. In tal caso la retta x = x₀ `e detta asintoto verticale destro, rispettivamente sinistro.

Ad esempio, per ogni a > 1 e p > 0 risulta lim x→^π₂^∓ tan x = ±∞, lim x→0+log_ax = −∞, lim x→0+ 1 xp = +∞.

2. LIMITI DI FUNZIONI 75 potremo provare tali limiti utilizzando la definizione oppure la carat-terizzazione sequenziale (ed i limiti notevoli per le successioni): risulta difatti che lim

x→x^±₀ f (x) = ` ∈ R ∪ {±∞} se e solo se

∀(xn) ⊂ I \ {x0} tale che xn→ x^±₀ si ha f (xn) → `. Segue inoltre immediatamente

Lemma 3.1. Sia f (x) una funzione definita in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I. Risulta lim

x→x0f (x) = ` ∈ R ∪ {±∞} se e solo se lim x→x<sup>+</sup><sub>0</sub> f (x) = ` e lim x→x⁻₀ f (x) = `. Ad esempio, osserviamo che lim

x→0+sgn(x) = 1 mentre lim

x→0−sgn(x) = −1. Dunque, come gi`a provato, non esiste lim

x→0sgn(x). Osserviamo inoltre che essendo lim

x→x⁺₀

[x] = x₀ mentre lim

x→x⁻₀

[x] = x₀− 1, non esiste il limite lim

x→x0

[x] in ogni x₀ ∈ Z.

Diremo che una funzione f (x) `e limitata in un sottoinsieme A ⊆ R ove risulta definita se esistono m, M ∈ R tali che m ≤ f (x) ≤ M per ogni x ∈ A. Utilizzando la caratterizzazione sequenziale del limite ed il risultato gi`a provato per le successioni, possiamo provare che

Lemma 3.2. Siano f (x) e g(x) funzioni definite in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I. Se f (x) risulta limitata in I \ {x₀} e

lim

x→x0

g(x) = 0 allora lim

x→x0

f (x)g(x) = 0.

Allo stesso modo possiamo provare il seguente risultato Proposizione 3.1. (Algebra dei limiti)

Siano f (x) e g(x) funzioni definite in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I. Risulta

1. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e lim x→x0g(x) = m ∈ R allora lim x→x0 f (x) + g(x) = ` + m; 2. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e lim x→x0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 f (x) + g(x) = ±∞; 3. se lim x→x0 f (x) = ±∞ e lim x→x0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 f (x) + g(x) = ±∞; 4. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e lim x→x0g(x) = m ∈ R allora lim x→x0 f (x)g(x) = `m; 5. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R dove ` 6= 0 e lim x→x0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 |f (x)g(x)| = +∞;

6. se lim x→x0 f (x) = ±∞ e lim x→x0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 |f (x)g(x)| = +∞; 7. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e se lim<sub>x→x</sub> 0g(x) = m ∈ R \ {0} allora lim x→x0 f (x) g(x) <sup>=</sup> ` m 8. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e lim x→x0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 f (x) g(x) <sup>= 0;</sup> 9. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R e lim_x→x 0 g(x) = ±∞ allora lim x→x0 |^g(x) f (x)| = +∞; 10. se lim x→x0f (x) = ` ∈ R, ` 6= 0, e lim x→x0 g(x) = 0 allora lim x→x0 |^{f (x)}_g(x)| = +∞;

Come nel caso di limiti di successioni risultano esclusi dal Teorema le seguenti forme indeterminate

∞ − ∞, 0 · ∞, ^∞ ∞^,

0 0^. Vale inoltre

Proposizione 3.2. (limite di funzioni composte)

Sia f (x) una funzione definita in un intervallo I ⊆ R, eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I, tale che

1. lim

x→x0

f (x) = y₀ e

2. esiste δ > 0 tale che f (x) 6= y₀ per ogni x ∈ I con 0 < |x − x₀| < δ.

Sia g(y) una funzione definita in un intervallo J ⊆ R, contenente f (I), eccetto al pi`u nel punto y₀ e tale che lim

y→y0

g(y) = `. Allora, la funzione composta gof (x) ammette limite per x → x₀ e

lim x→x0 gof (x) = lim x→x0 g(f (x)) = lim y→y0 g(y) = `.

Dim. Usiamo il teorema di caratterizzazione sequenziale e proviamo che per ogni successione (x_n) ⊂ I \ {x₀} con x_n→ x₀ risulta g(f (x_n)) → `.

Poich`e lim

x→x0

f (x) = y₀, avremo che y_n = f (x_n) → y₀. Inoltre, poich`e x_n → x₀, dalla condizione 2. avremo che esiste ν ∈ N tale che per ogni n ≥ ν, 0 < |x_n− x₀| < δ e dunque f (x_n) = y_n 6= y₀. Ne segue che per ogni n sufficientemente grande risulta (yn) ⊂ J \{y0} e dunque, essendo lim

y→y0

g(y) = `, dal Teorema di caratterizzazione concludiamo che g(f (xn)) = g(yn) → `.

2. LIMITI DI FUNZIONI 77 Ad esempio, per calcolare lim

x→0e^{cos x}, osserviamo che posto f (x) = cos x e g(y) = ey, avremo che ecos x = g(f (x)). Poich`e lim

x→0f (x) = lim

x→0cos x = 1 e lim

y→1g(y) = lim

y→1e^y = e, essendo f (x) = cos x 6= 1 in (−π, π) \ {0}, avremo

lim

x→0e^{cos x} = lim

x→0g(f (x)) = lim

y→1g(y) = lim

y→1e^y = e. Diremo che nel limite abbiamo operato la sostituzione y = g(x). Osserviamo che la condizione 2. `e essenziale. Si pensi ad esempio alle seguenti funzioni: f (x) = ( x²− 1, se |x| > 1 0, se |x| ≤ 1 ^{e g(y) =} ( y, se y 6= 0 1, se y = 0 Allora risulta lim

x→0f (x) = 0 e lim

y→0g(y) = 0 mentre essendo

g(f (x)) = ( f (x), se f (x) 6= 0 1, se f (x) = 0 ⁼ ( x2− 1, se |x| > 1 1, se |x| ≤ 1 avremo lim x→0g(f (x)) = 1 6= lim y→0g(y).

Valgono, come per i limiti di successioni, i seguenti Teoremi di confronto Teorema 3.2. (della permanenza del segno)

Sia f (x) una funzione definita in un intervallo I ⊆ R eccetto al pi`u nel punto x₀ ∈ I. Se lim

x→x0

f (x) = ` > 0 allora esiste δ > 0 tale che f (x) > 0 per ogni x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ.

Dim. Per definizione di limite, dato ε = <sup>`</sup><sub>2</sub> esiste δ > 0 tale che se x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ allora |f (x) − `| < ε e dunque in particolare f (x) > ` − ε =

`

2 > 0. 

Teorema 3.3. (del confronto tra limiti finiti ed infiniti)

Siano f (x), g(x) e h(x) funzioni definite in un intervallo I ⊆ R, eccetto al pi`u nel punto x<sub>0</sub> ∈ I, tali che f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x ∈ I \ {x0}. Risulta (i) se lim x→x0 f (x) = lim x→x0h(x) = ` ∈ R, allora lim x→x0 g(x) = `, (ii) se lim x→x0 f (x) = +∞, allora lim x→x0 g(x) = +∞, (iii) se lim x→x0 h(x) = −∞, allora lim x→x0 g(x) = −∞.

Dim. (i) Per ogni ε > 0, poich`e lim

x→x0

f (x) = `, sia δ1 > 0 tale che se x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ<sub>1</sub> allora |f (x) − `| < ε e analogalmente, poich`e lim

x→x0

h(x) = `, sia δ<sub>2</sub> > 0 tale che se x ∈ I, 0 < |x − x<sub>0</sub>| < δ<sub>2</sub> allora |h(x) − `| < ε. Ne segue che se x ∈ I, 0 < |x − x0| < δ = min{δ₁, δ2} allora

` − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < ` + ε e dunque che lim

x→x0

g(x) = `. (ii) Per ogni M > 0, poich`e lim

x→x0

f (x) = +∞, sia δ > 0 tale che se x ∈ I, 0 < |x − x₀| < δ allora f (x) > M . Ne segue allora che M < f (x) ≤ g(x) per ogni x ∈ I, 0 < |x − x₀| < δ e dunque che lim

x→x0

g(x) = +∞.

(iii) Analoga a (ii). 

Diamo ora la seguente definizione. Una funzione f (x) definita in un intervallo I ⊆ R `e detta monotona in I se verifica una delle seguenti condizioni:

- per ogni x, y ∈ I con x < y risulta f (x) ≤ f (y); oppure - per ogni x, y ∈ I con x < y risulta f (x) ≥ f (y).

Nel primo caso la funzione viene detta crescente, nel secondo decrescen-te. Se le precedenti diseguaglianze risultano strette, la funzione viene detta strettamente monotona, rispettivamente strettamente crescente e strettamente decrescente.

Sono esempi di funzioni monotone crescenti nel loro dominio le funzioni f (x) = x³ ed f (x) = e^x. Sono invece decrescenti nel loro dominio le funzioni f (x) = _x¹3 e f (x) = e^−x.

Data una funzione f (x) definita in un intervallo I ⊆ R, diremo estremo superiore di f (x) in I l’estremo superiore dell’insieme f (I):

sup

x∈I

f (x) = sup

I

f (I) = sup{f (x) | x ∈ I}

Analogalmente, diremo estremo inferiore di f (x) in I l’estremo inferiore dell’insieme f (I):

inf

x∈If (x) = inf

I f (I) = inf{f (x) | x ∈ I}

In modo analogo a quanto provato per le successioni monotone, pos-siamo provare il seguente risultato.

Teorema 3.4. (Limite delle funzioni monotone crescenti)

Sia f (x) funzione definita e crescente nell’intervallo (a, b) ⊆ R. Allora per ogni x0 ∈ (a, b) esistono finiti i limiti lim

x→x⁻₀

f (x) e lim

x→x⁺₀

2. LIMITI DI FUNZIONI 79 precisamente lim x→x⁻₀ f (x) = sup x∈(a,x0) f (x) e lim x→x⁺₀ f (x) = inf x∈(x0,b)f (x). Inoltre, esistono i limiti lim

x→a+f (x) e lim x→b−f (x) e precisamente lim x→a+f (x) = inf x∈(a,b)f (x) e lim x→b−f (x) = sup x∈(a,b) f (x).

Dim. Proviamo che per ogni x0 ∈ (a, b) risulta lim

x→x⁻₀

f (x) = sup{f (x) | a < x < x0}

Osserviamo che essendo f (x) crescente, risulta f (x) ≤ f (x₀) per ogni a < x < x0 e dunque che risulta finito sup{f (x) | a < x < x0} = m ≤ f (x₀). Proviamo che lim

x→x⁻₀

f (x) = m. Preso comunque ε > 0, dalla caratterizzazio-ne di estremo superiore abbiamo che f (x) ≤ m < m + ε per ogni a < x < x₀. Inoltre, abbiamo che esiste x1 con a < x1 < x0 tale che f (x1) > m − ε. Poich`e la funzione `e crescente, avremo che per ogni x1 < x < x0 risulta f (x) ≥ f (x₁) > m − ε. Ne segue che posto δ = x₀− x₁ avremo che se x ∈ (a, b) e x0 − δ < x < x₀ allora m − ε < f (x) < m + ε. Dunque

lim

x→x⁻₀

f (x) = m.

In modo analogo si pu`o provare che lim

x→x⁺₀

f (x) = inf{f (x) | x₀ < x < b}. Proviamo ora che

lim

x→b−f (x) = sup{f (x) | x ∈ (a, b)}.

Se sup{f (x) | x ∈ (a, b)} = m ∈ R potremo procedere esattamente come sopra. Se invece sup{f (x) | x ∈ (a, b)} = +∞, proviamo che lim

x→b−f (x) = +∞. Preso comunque M > 0, sia x1 ∈ (a, b) tale che f (x₁) > M . Poich`e f (x) `e crescente avremo che f (x) ≥ f (x1) > M per ogni x1 < x < b. Scelto allora δ = b − x1 > 0 avremo che se b − δ < x < b allora f (x) > M e quindi che lim

x→b−f (x) = +∞.

Allo stesso modo si pu`o provare che lim

x→a+f (x) = inf{f (x) | x ∈ (a, b)}.  Si osservi che dal precedente risultato otteniamo che se f (x) `e funzione crescente nell’intervallo (a, b), per ogni x₀ ∈ (a, b) risulta

lim

x→x⁻₀

f (x) ≤ f (x0) ≤ lim

x→x⁺₀

f (x)

Nel caso di funzione monotona decrescente, si pu`o in modo analogo provare il seguente risultato

Teorema 3.5. (Limite delle funzioni monotone decrescenti)

Sia f (x) funzione definita e decrescente nell’intervallo (a, b) ⊆ R. Al-lora per ogni x₀ ∈ (a, b) esistono finiti i limiti lim

x→x⁻₀ f (x) e lim x→x⁺₀ f (x) e precisamente lim x→x⁻₀ f (x) = inf x∈(a,x0)f (x) e lim x→x⁺₀ f (x) = sup x∈(x0,b) f (x). Inoltre, esistono i limiti lim

x→a+f (x) e lim x→b−f (x) e precisamente lim x→a+f (x) = sup x∈(a,b) f (x) e lim x→b−f (x) = inf x∈(a,b)f (x).

Ad esempio, essendo log_ax funzione crescente in (0, +∞) risulta inf

x∈(0,+∞)log_ax = lim

x→0+log_ax = −∞.

Sia f (x) una funzione definita in un intervallo illimitato I = [a, +∞). Si dice che f (x) ha limite pari ad ` ∈ R per x che tende a +∞, e si scrive lim

x→+∞f (x) = `, se per ogni ε > 0 esiste N > 0 tale che se x ∈ I verifica x > N allora |f (x) − `| < ε:

lim

x→+∞f (x) = ` ⇔ ∀ ε > 0 ∃ M > 0 / |f (x) − `| < ε ∀x ∈ I, x > M. Diremo anche che f (x) tende o converge al limite ` ∈ R per x che tende a +∞ e scriveremo f (x) → ` per x → +∞.

In tal caso diremo che la retta y = ` `e un asintoto orizzontale per x → +∞.

Ad esempio, la funzione f (x) = ^2x+1_x ammette come asintoto orizzon-tale per x → ±∞ la retta y = 2

O

2. LIMITI DI FUNZIONI 81 Diremo invece che f (x) ha limite pari ad +∞ per x che tende a +∞, e si scrive lim

x→+∞f (x) = +∞, se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che se x ∈ I verifica x > N allora f (x) > M :

lim

x→+∞f (x) = +∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N > 0 / f (x) > M ∀x ∈ I, x > M.

Diremo anche che f (x) tende o diverge a +∞ per x che tende a +∞ e scriveremo f (x) → +∞ per x → +∞.

Analogalmente, diremo che f (x) ha limite pari ad −∞ per x che tende a +∞, e si scrive lim

x→+∞f (x) = −∞, se per ogni M > 0 esiste N > 0 tale che se x ∈ I verifica x > N allora f (x) < −M :

lim

x→+∞f (x) = +∞ ⇔ ∀ M > 0 ∃ N > 0 / f (x) < −M ∀x ∈ I, x > M.

Diremo anche che f (x) tende o diverge a −∞ per x che tende a +∞ e scriveremo f (x) → −∞ per x → +∞.

Se f (x) `e una funzione definita in un intervallo illimitato I = (−∞, a], potremo in modo analogo definire i limiti lim

x→−∞f (x) = ` ∈ R ∪ {±∞}. Se lim

x→±∞f (x) = ±∞, diremo che la retta y = mx + q `e un asintoto obliquo per x → ±∞ se

lim

x→±∞

f (x)

x ^{= m e} x→±∞^lim f (x) − mx = q.

Ad esempio, la funzione f (x) = ^2x2+3x+1_x ammette come asintoto obli-quo per x → ±∞la retta y = 2x + 3 essendo

lim x→±∞ 2x2+3x+1 x x ^{= lim}x→±∞ 2x2+ 3x + 1 x2 = 2 e lim x→±∞ 2x2+ 3x + 1 x − 2x = lim x→±∞ 3x + 1 x ^{= 3.}

O

Grafico di f (x) = ^2x2+3x+1_x

Per i limiti per x → ±∞ valgono le seguenti caratterizzazioni sequen-ziali: lim

x→±∞f (x) = ` ∈ R ∪ {±∞} se e solo se

∀(x_n) ⊂ I tale che x_n → ±∞ risulta f (x_n) → `.

Con tale caratterizzazione proviamo ad esempio che sin x non ammette limite per x → +∞. Abbiamo difatti che per x_n = nπ → +∞ risulta sin(x_n) = 0 mentre per y_n = ^π₂ + 2nπ → +∞ risulta sin(y_n) = 1. Dai limiti notevoli sulle successioni otteniamo allora

lim x→+∞x^b = ( +∞ se b > 0 0 se b < 0 Per ogni a > 1 lim x→+∞a^x = +∞ e lim x→−∞a^x= 0. ed anche lim x→+∞log_ax = +∞ Infine, per ogni p > 0 e a > 1 risulta

lim x→+∞ log_ax xb = lim x→+∞ x^b ax = lim x→+∞ a^x xx = 0

Anche per tali limiti potremo provare i risultati sull’algebra dei limiti, il Teorema della permanenza del segno, i Teoremi del confronto e sul limite delle funzioni monotone:

Teorema 3.6. (Limite delle funzioni monotone)

Sia f (x) funzione definita e monotona nell’intervallo (a, +∞) ⊂ R. Allora esiste il limite lim

x→+∞f (x) e precisamente lim

3. RELAZIONE DI ASINTOTICO E SIMBOLI DI LANDAU 83 mentre

lim

x→+∞f (x) = inf{f (x) | x ∈ (a, +∞)} se f (x) `e decrescente. Ad esempio, come applicazione di quest’ultimo risultato abbiamo che per ogni a > 1 risulta

sup x∈R a^x = lim x→+∞a^x = +∞ e inf x∈Ra^x = lim x→−∞a^x = 0 ed anche sup x∈(0,+∞) log_ax = lim x→+∞log_ax = +∞.

3. Relazione di asintotico e simboli di Landau

Come per i limiti di successioni risulta utile introdurre la relazione di asintotico tra funzioni. Nel seguito, dato x₀ ∈ R, considereremo funzioni definite in un intervallo I ⊆ R contenente x0, eccetto al pi`u in x₀. Se x₀ = ±∞, considereremo funzioni definite in un intervallo illimitato I della forma I = [a, +∞) se x₀ = +∞ oppure I = (−∞, a] se x₀ = −∞.

Due funzioni f (x) e g(x) sono dette asintotiche per x → x0 ∈ R∪{±∞}, e si scrive f (x) ∼ g(x) per x → x0, se

lim

x→x0

f (x) g(x) ^{= 1.}

Come per la relazione di asintotico tra successioni, si possono provare le seguenti propriet`a:

(i) se lim

x→x0f (x) = ` ∈ R \ {0} allora f (x) ∼ ` per x → x0. (ii) Se f (x) ∼ g(x) per x → x₀ e lim

x→x0g(x) = ` ∈ R ∪ {±∞} allora lim

x→x0

f (x) = `.

(iii) Se f (x) ∼ g(x) e g(x) ∼ h(x) per x → x0 allora f (x) ∼ h(x) per x → x0.

(iv) Se f (x) ∼ g(x) per x → x₀ allora per ogni funzione non nulla h(x) si ha f (x)h(x) ∼ g(x)h(x), ^{f (x)} h(x) ∼ ^g(x) h(x)^, h(x) f (x) ∼ ^h(x) g(x) ^{per x → x0.} Dai limiti notevoli visti risulta in particolare che per x → 0 si ha sin x ∼ x, 1 − cos x ∼ ^x

2

2^{, e}

Come per le successioni, la sostituzione in un limite di una funzione con una asintotica ad essa pu`o essere effettuata in prodotti e quozienti ma non in somme e differenze. Difatti, se f (x) ∼ g(x) per x → x<sub>0</sub> avremo che f (x) = g(x) + r(x) dove il resto r(x) non `e necessariamente infinitesimo e dunque si potrebbe incorrere in errore “trascurandolo”. L’unica informazione che abbiamo su tale resto `e che ^r(x)_g(x) → 0 per x → x₀, ovvero, secondo la definizione che segue, il resto r(x) risulta trascurabile rispetto a g(x) per x → x₀.

Date due funzioni f (x) e g(x), si dice che f (x) `e trascurabile rispetto a g(x) per x → x₀ ∈ R ∪ {±∞}, e si scrive f(x) = o(g(x)) per x → x0, se

lim

x→x0

f (x) g(x) ^{= 0.}

Ad esempio, dai limiti notevoli per x → +∞ risulta log_ax = o(x^p), x^p = o(a^x), a^x = o(x^x) e xⁿ= o(x^m), per ogni n < m, a > 1 e p > 0. Per quanto osservato sopra, abbiamo che se f (x) ∼ g(x) per x → x₀ allora f (x) = g(x) + r(x) dove r(x) = o(g(x)) per x → x₀ e viceversa. Dunque risulta

f (x) ∼ g(x) per x → x₀ ⇐⇒ f (x) = g(x) + o(g(x)) per x → x₀ In particolare, se lim

x→x0f (x) = ` ∈ R \ {0} allora f (x) = ` + o(1) per x → x₀ (dove o(1) sta ad indicare una funzione infinitesima per

Nel documento Appunti di Analisi Matematica Uno (pagine 63-97)