Appunti di Analisi Matematica Uno

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Appunti di Analisi Matematica Uno

Francesca Alessio e Piero Montecchiari

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Prefazione

Le seguenti note sono una raccolta degli appunti dei corsi di Analisi Matematica 1 per i Corsi di Laurea in Ingegneria (Biomedica, Civile ed Ambientale, Elettronica, Meccanica, Informatica e Telecomunica- zioni) e di Matematica per il Corso di Laurea in Scienze Biologiche tenuti dagli autori negli ultimi anni presso l’Universit`a Politecnica delle Marche. Essendo al momento una semplice bozza, saranno sicura- mente presenti errori che vi preghiamo volerci segnalare all’indirizzo alessio@dipmat.univpm.it

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Indice

Prefazione 3

Capitolo 1. Numeri Reali 7

1. Assiomi dei numeri reali 7

2. Estremo superiore ed inferiore 15

3. Numeri Naturali e Numeri Razionali 19

4. Appendice: numeri complessi 23

Capitolo 2. Successioni numeriche 29

1. Limiti di successioni numeriche 29

2. Teoremi di confronto 37

3. Successioni monotone e Numero di Nepero 40 4. Criterio del rapporto ed infiniti di ordine crescente 49

5. Relazione di asintotico 52

6. Appendice: Sottosuccessioni e Teorema di Bolzano-

Weierstrass 55

7. Esercizi 60

Capitolo 3. Funzioni reali 63

1. Qualche richiamo 63

2. Limiti di funzioni 71

3. Relazione di asintotico e simboli di Landau 83

4. Ordine di infinitesimo 88

5. Ordine di infinito 91

6. Esercizi 93

Capitolo 4. Funzioni continue 97

1. Classificazione delle discontinuit`a 99

2. Immagine di una funzione continua 101

3. Continuit`a della funzione inversa 108

4. Appendice: Funzioni uniformemente continue e Teorema di

Heine-Cantor 109

5. Esercizi 112

Capitolo 5. Funzioni derivabili 113

1. Definizione di derivata 113

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2. Regole di derivazione 120 3. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale 123

4. Funzioni convesse 129

5. Applicazioni del calcolo differenziale 133

6. Teorema di De l’Hˆopital 139

7. Formula di Taylor 145

8. Esercizi 158

Capitolo 6. Funzioni integrabili 163

1. Integrale di Riemann 163

2. Teorema fondamentale del calcolo integrale 169

3. Integrali indefiniti 172

4. Calcolo di integrali definiti: aree e lunghezze 185

5. Esercizi 189

Capitolo 7. Integrali impropri 191

1. Integrali impropri su intervalli limitati 191 2. Integrali impropri su intervalli illimitati 199

3. Esercizi 211

Capitolo 8. Serie numeriche 215

1. Serie a termini non negativi 216

2. Serie a termini di segno alterno 222

3. Operazioni tra serie 224

4. Esercizi 227

Capitolo 9. Serie di potenze 229

1. Insieme di convergenza di una serie di potenze 230 2. Derivata ed integrale di una serie di potenze 234

3. Serie di Taylor 238

4. Esercizi 247

Capitolo 10. Serie di Fourier 249

1. Diseguaglianza di Bessel 249

2. Convergenza puntuale della Serie di Fourier 251

Indice analitico 261

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CAPITOLO 1

Numeri Reali

Iniziamo con il presentare l’insieme dei numeri reali, denotato con R.

Particolari e familiari numeri reali sono numeri naturali, N: 1, 2, 3, ...

numeri interi, Z: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....

numeri razionali, Q: ^p_q con p ∈ Z e q ∈ N dove si considerano identificate nel medesimo numero razionale frazioni del tipo ^p_q e ^mp_mq con m ∈ Z \ {0}.

Valgono ovviamente le inclusioni N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. I numeri razionali non esauriscono i numeri reali, ovvero l’insieme R\Q = {x ∈ R | x 6∈ Q}

`

e non vuoto ed i suoi elementi vengono chiamati numeri irrazionali. Ne sono esempi√

2, π ed il numero di Nepero e, che definiremo nel seguito.

I numeri reali possono essere introdotti mediante un procedimento di completamento dell’insieme dei numeri razionali (a loro volta definiti a partire dai numeri naturali) ma tale costruzione necessita di sofisticati concetti dell’analisi matematica che esulerebbe dai nostri intenti. I numeri reali possono invece essere introdotti in modo assiomatico nel seguente senso: postuliamo che esista un insieme ove siano definite due operazioni binarie interne (somma e prodotto) ed una relazione d’ordine (minore o uguale) soddisfacente a delle stabilite propriet`a, gli assiomi. Tale insieme verr`a chiamato insieme dei numeri reali.

1. Assiomi dei numeri reali

L’insieme dei numeri reali R `e un insieme soddisfacente i seguenti assiomi:

(A) Assiomi algebrici: sono definite in R due operazioni binarie interne, somma a + b e prodotto a · b soddisfacenti le seguenti propriet`a:

1. Propriet`a commutativa di somma e prodotto:

a + b = b + a e a · b = b · a, ∀ a, b ∈ R 2. Propriet`a associativa di somma e prodotto:

(a + b) + c = a + (b + c) e (a · b) · c = a · (b · c), ∀ a, b, c ∈ R

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3. Propriet`a distributiva della somma rispetto al prodotto:

a · (b + c) = a · b + b · c, ∀ a, b, c ∈ R

4. Esistenza dell’elemento neutro della somma o zero : esiste 0 ∈ R tale che a + 0 = a per ogni a ∈ R.

5. Esistenza dell’elemento neutro del prodotto o unit`a : esiste 1 ∈ R tale che a · 1 = a per ogni a ∈ R.

6. Esistenza dell’opposto: per ogni a ∈ R esiste −a ∈ R tale che a + (−a) = 0.

7. Esistenza del reciproco: per ogni a ∈ R con a 6= 0 esiste ¹_a ∈ R tale che a ·_a¹ = 1.

Tali propriet`a sono caratteristiche di un campo algebrico. Si usano le seguenti notazioni: a + (−b) = a − b e a ·¹_b = ^a_b.

Utilizzando le precedenti proprietà si può provare l’unicità dell’elemen- to neutro di somma e prodotto, cos`ı come l’unicità dell’opposto e del reciproco di ciascun numero reale non nullo.

Dalle precedenti propriet`a `e inoltre possibile ottenere le usuali regole dell’algebra. Vediamone solo alcune:

• Se a + b = c + b allora a = c. Infatti, dalla definizione di opposto e dalla propriet`a associativa si ha:

a = a + 0 = a + (b − b) = (a + b) − b

= (c + b) − b = c + (b − b) = c + 0 = c

• Risulta a · 0 = 0 per ogni a ∈ R. Infatti, essendo a · 1 = a per ogni a ∈ R, dalla propriet`a distributiva e dalla definizione di 0 si ottiene:

a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a = a + 0 e dalla precedente propriet`a segue che a · 0 = 0.

• Risulta a · (−1) = −a per ogni a ∈ R. Infatti, dalla definizione di 1, utilizzando la propriet`a distributiva si ha:

a + a · (−1) = a · 1 + a · (−1) = a · (1 − 1) = a · 0 = 0 e per l’unicit`a dell’opposto si ha che a · (−1) = −a.

• Risulta _a·b¹ = ¹_a·_b¹ ovvero che ¹_a·¹_b `e il reciproco di a · b. Difatti, dalla propriet`a commutativa e associativa del prodotto e dalla definizione di reciproco e di elemento neutro risulta

(a · b) · (1 a · 1

b) = (a · 1

a) · (b · 1

b) = 1 · 1 = 1

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1. ASSIOMI DEI NUMERI REALI 9

(B) Assiomi d’ordine: `e definita in R una relazione tra coppie di numeri reali, denotata con ≤ e detta minore o uguale, soddisfacente alle seguenti propriet`a:

1. Propriet`a riflessiva: per ogni a ∈ R risulta a ≤ a.

2. Propriet`a antisimmetrica: se a ≤ b e b ≤ a allora a = b.

3. Propriet`a transitiva: se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c.

Tali propriet`a sono caratteristiche di una relazione d’ordine. Si richiede inoltre che tale relazione sia totale ovvero che sia verificata la seguente propriet`a

4. Propriet`a di dicotomia: per ogni a, b ∈ R si ha a ≤ b oppure b ≤ a.

Infine si richiede che in relazione alle operazioni algebriche siano verificate

5. se a ≤ b e c ∈ R allora a + c ≤ b + c 6. se a ≤ b e 0 ≤ c allora a · c ≤ b · c.

A partire dalla relazione minore o uguale vengono definite inoltre le seguenti relazioni:

< , minore: a < b se a ≤ b e a 6= b;

≥ , maggiore o uguale: a ≥ b se b ≤ a;

> , maggiore: a > b se b ≤ a e a 6= b.

I numeri a ∈ R tali che a > 0 si dicono positivi mentre quelli tali che a < 0 si dicono negativi. Si dicono inoltre non negativi (rispettivamente non positivi) i numeri a ∈ R tali che a ≥ 0 (rispettivamente, a ≤ 0).

Dalle precedenti propriet`a seguono direttamente le usuali regole. Ve- diamone alcune.

• se a ≥ 0 allora −a ≤ 0. Infatti, dall’assioma B.5 si ha che essendo a ≥ 0 risulta

0 = a + (−a) ≥ 0 + (−a) = −a.

• se a ≤ b e c ≤ 0 allora a · c ≥ b · c. Infatti, essendo per quanto sopra, −c ≥ 0 dall’assioma B.6 si ha a · (−c) ≤ b · (−c) e quindi dall’assioma B.5

0 = a · c + a · (−c) ≤ a · c + b · (−c) da cui, sempre per B.5,

b · c ≤ (a · c + b · (−c)) + b · c = a · c

• per ogni a ∈ R, a² = a · a ≥ 0. Infatti, se a ≥ 0 allora da B.5 si ha a² = a · a ≥ a · 0 = 0. Se invece a ≤ 0, dalla precedente propriet`a si ha a² = a · a ≥ a · 0 = 0.

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Le proprietà sopra elencate riguardano l’algebra e l’ordinamento del- l’insieme dei numeri reali R ma non sono sufficienti a descrivere completamente tale insieme (infatti risultano verificate anche dall’insieme dei numeri razionali Q). Quello che “manca” è una proprietà che ci è familiare e che renda conto di una delle caratteristiche più importanti dei numeri reali: la completezza, la continuità, la possibilità di rappre- sentare i numeri reali mediante una retta. Tale proprietà distingue i numeri reali dai numeri razionali e rende l’insieme dei numeri reali R l’insieme più adatto alle necessità dell’analisi matematica, ad esempio al concetto fondamentale di limite ma anche alla semplice operazione di estrazione della radice quadrata (ovvero alla risoluzione dell’equazione x² = 2). Tale proprietà può essere formalizzata nel seguente modo:

(C) Assioma di completezza: per ogni coppia di insiemi non vuoti A, B ⊂ R tali che a ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B esiste c ∈ R, detto elemento separatore, tale che a ≤ c ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B.

Un classico esempio di applicazione dell’assioma di completezza `e la definizione di√

2. Denotato con a² = a·a per ogni a ∈ R, si considerino gli insiemi

A = {a ∈ R | a > 0, a² < 2} e B = {b ∈ R | b > 0, b² > 2}.

Risulta a ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B in quanto se fosse a > b per qualche a ∈ A e b ∈ B avremo, per gli assiomi d’ordine, 2 > a² >

a · b > b² > 2 che `e impossibile. Dunque, per l’assioma di completezza, avremo che esiste c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B.

Proviamo che l’elemento separatore c verifica c² = 2. Abbiamo che c 6∈ A. Infatti, se c ∈ A allora c² < 2 e sia δ > 0 tale che δ < ^2−c_2c+1² (sar`a sufficiente considerare δ = _2(2c+1)^2−c² ). Allora c + δ > 0 e

(c + δ)² = c²+ δ²+ 2δc < c²+ δ(2c + 1) < 2

da cui c + δ ∈ A in contraddizione con c ≥ a per ogni a ∈ A. Ana- logalmente si prova che c 6∈ B. Poichè c 6∈ A e c 6∈ B otteniamo che c² = 2. É immediato che l’elemento separatore verifica c > 0. Infine, per verificare l’unicità di tale elemento separatore supponiamo che c e d siano due elementi separatori con c < d. Allora, per quanto sopra, avremo 2 = c² < d² = 2, una contraddizione.

Tale elemento separatore viene denotato con √ 2.

Procedendo come nell’esempio precedente `e possibile definire la radice quadrata √

x di ogni numero reale x > 0.

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Le precedenti propriet`a caratterizzano completamente l’insieme dei numeri reali nel senso che ogni altro insieme soddisfacente tali assiomi risulta in corrispondenza uno-uno con R.

Utilizzando gli assiomi dei numeri reali possiamo ora definire formalmente gli insiemi dei numeri naturali, interi e razionali. Abbiamo visto che gli assiomi dei numeri reali garantiscono l’esistenza dell’elemento neutro del prodotto 1. Apparterranno quindi ad R anche i risultati delle operazioni eseguite a partire da 1. In particolare sono numeri reali i numeri 1 + 1 = 2, (1 + 1) + 1 = 3, ((1 + 1) + 1) + 1 = 4 , ...

Il sottoinsieme di numeri reali ottenuti in tal modo `e indicato con N e chiamato insieme dei numeri naturali:

N = {1, 2, 3, 4, ...}.

Osserviamo che dalla definizione segue che 1 ∈ N e che se n ∈ N allora n + 1 ∈ N, tali propriet`a sono caratteristiche di un insieme induttivo, di cui parleremo pi`u avanti.

Poichè tra gli assiomi dei numeri reali è prevista l’esistenza dell’opposto di ciascun numero reale, saranno numeri reali gli opposti di tutti i numeri naturali. Si indica con Z l’insieme costituito dai numeri naturali, dall’elemento neutro della somma, 0, e dagli opposti dei numeri naturali. Tale insieme è chiamato insieme dei numeri interi:

Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ..}

Infine, poich`e tra gli assiomi dei numeri reali `e garantita l’esistenza del reciproco di ciascun numero reale non nullo, saranno numeri reali i reciproci di tutti i numeri naturali, ovvero i numeri della forma _n¹ con n ∈ N. Saranno quindi numeri reali anche i risultati del prodotto di tali numeri con numeri interi, ovvero i numeri della forma ^m_n = ¹_n· m con n ∈ N e m ∈ Z. L’insieme costituito da tali numeri, dove si considerano identificati numeri della forma ^m_n e ^mp_np con p ∈ N, si indica con Q e viene chiamato insieme dei numeri razionali:

Q = {m

n | m ∈ Z, n ∈ N}

Essendo N, Z e Q sottoinsiemi di R saranno definite su tali insiemi le operazioni di somma e prodotto e la relazione d’ordine indotti da R. Osserviamo per`o che tali insiemi non soddisfano tutti gli assiomi dei numeri reali. Ad esempio N non soddisfa l’assioma che garanti- sce l’esistenza dell’elemento neutro della somma e nemmeno l’assioma sull’esistenza dell’opposto. Z invece non soddisfa l’assioma che garan- tisce l’esistenza del reciproco: escluso 1 il reciproco di ciascun numero

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intero non `e un numero intero. Q invece soddisfa tutti gli assiomi algebrici e d’ordine, l’unico assioma non soddisfatto da Q `e l’assioma di completezza. Si considerino difatti gli insiemi

A = {a ∈ Q | a > 0, a¯ ² < 2} e B = {b ∈ Q | b > 0, b¯ ² ≥ 2}.

Risulta a ≤ b per ogni a ∈ ¯A e b ∈ ¯B. Se esistesse un elemento separatore c ∈ Q tale elemento dovrebbe verificare, come già detto, c > 0 e c² = 2 e ciò è impossibile come prova il seguente risultato:

Teorema 1.1. Non esiste alcun c ∈ Q tale che c² = 2.

Dim. Procedendo per assurdo, supponiamo che esista c ∈ Q tale che c² = 2.

Per definizione di numero razionale siano m ∈ Z e n ∈ N, tali che c =

m

n. Semplificando gli eventuali fattori comuni, potremo scegliere m, n non entrambi pari. Allora

c²= m²

n² = 2 (1)

e quindi m² = 2n². Essendo 2n² numero pari, si ottiene che m² è pari e quindi che anche m è pari (infatti se m fosse dispari anche m² risulterebbe dispari). Sia allora h ∈ Z tale che m = 2h. Allora da (1) si ottiene n² = 2h² da cui, come sopra, si deduce che n² è pari e quindi che anche n è pari, in contraddizione con la scelta di m, n non entrambi pari. In altre parole, per la definizione data di √

2, il precedente risultato afferma che √

2 6∈ Q e quindi che R \ Q `e non vuoto.

Si consideri ora una retta r e su questa si fissi un punto, l’origine O, un orientamento e un’unit`a di misura. Una tale retta `e chiamata retta reale:

O

Grazie all’assioma di completezza si pu`o provare che ad ogni punto P ∈ r corrisponde un numero reale d(P, O) pari alla distanza del punto P dall’origine O. L’applicazione che ad ogni punto P ∈ r associa la distanza dall’origine d(P, O) se P si trova nel verso positivo rispetto a O (scriveremo P ∈ r⁺), l’opposto della distanza dall’origine −d(P, O) se P si trova nel verso negativo rispetto a O (scriveremo P ∈ r⁻) e 0

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se P ≡ O, viene detta funzione ascissa e denotata con x(P ):

P ∈ r 7→ x(P ) =







d(P, O) se P ∈ r⁺

0 se P ≡ O

−d(P, O) se P ∈ r⁻ Diremo che x(P ) `e l’ascissa del punto P ∈ r.

O

O P

Q x(P)=d(P,O)

x(Q)=-d(Q,O) x(O)=0 x(P)=d(P,O)

La funzione ascissa determina una corrispondenza uno-uno tra l’insieme dei numeri reali ed i punti della retta reale e nel seguito verranno spesso identificate, mediante la precedente corrispondenza, la retta reale r con l’insieme dei numeri reali R.

Si osservi che la corrispondenza inversa alla funzione ascissa `e l’applicazione che ad ogni x ∈ R associa il punto Px ∈ r tale che d(P_x, O) = |x|

e P_x ∈ r⁺ se x > 0, P_x ∈ r⁻ se x < 0 mentre P_x = O se x = 0, dove abbiamo denotato con |x| il valore assoluto del numero reale x ∈ R:

|x| =

(x se x ≥ 0

−x se x < 0

Osserviamo che se x < y allora P_x precede P_y sulla retta reale rispetto all’orientamento assegnato.

Dalla definizione di valore assoluto e della funzione ascissa, abbiamo visto che |x| indica la distanza del punto di ascissa x dall’origine O.

Pi`u in generale |x − x₀| indica la distanza tra il punto di ascissa x con il punto di ascissa x₀. Quindi, dato δ > 0 e x₀ ∈ R, la disequazione

|x − x₀| < δ ammette come soluzione tutti e soli i valori x₀ − δ <

x < x₀ + δ. Da tale interpretazione seguono immediatamente alcune propriet`a elementari del valore assoluto:

1. |x| ≥ 0 per ogni x ∈ R e |x| = 0 se e solo se x = 0.

2. −|x| ≤ x ≤ |x| per ogni x ∈ R.

3. per ogni δ > 0, x0 ∈ R, |x − x⁰| ≤ δ se e solo se x0− δ ≤ x ≤ x₀+ δ.

4. Diseguaglianza triangolare: |x+y| ≤ |x|+|y|, per ogni x, y ∈ R.

5. |xy| = |x||y|, per ogni x, y ∈ R.

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Le propriet`a 1, 2, 3 e 5 seguono direttamente dalla definizione. Per provare la diseguaglianza triangolare, osserviamo che da 2. abbiamo

−|x| ≤ x ≤ |x| e −|y| ≤ y ≤ |y| e dunque

−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y|

quindi, da 3. segue che |x + y| ≤ |x| + |y|.

Vediamo ora la definizione di particolari sottoinsieme di R (o della retta reale, secondo la precedente corrispondenza): gli intervalli. Dati a, b ∈ R con a ≤ b si dice intervallo limitato un insieme della seguente forma

[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}

(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}

(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}

Osserviamo che se a = b allora [a, b] = {a} mentre (a, b) = ∅ (intervalli degeneri). Dato a ∈ R, `e detto invece intervallo illimitato un insieme della forma

[a, +∞) = {x ∈ R | a ≤ x}

(a, +∞) = {x ∈ R | a < x}

(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}

(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}

(−∞, +∞) = R

Si può provare che gli intervalli (limitati e illimitati) A ⊆ R sono caratterizzati dalla proprietà che se α, β ∈ A allora ogni c ∈ R tale che α ≤ c ≤ β è ancora un elemento di A.

Completiamo il paragrafo osservando che attraverso la funzione ascissa

`

e possibile determinare una corrispondenza uno-uno tra l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali

R² = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R}

ed il piano cartesiano determinato da due rette orientate tra loro per- pendicolari che si intersecano nell’origine:

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2. ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE 15

O

Ad ogni punto del P del piano cartesiano corrisponde un ascissa x ∈ R ed un’ordinata y ∈ R pari rispettivamente all’ascissa del punto P^x proiezione del punto sulla retta orizzontale, detto asse delle ascisse, e del punto P_y proiezione del punto P sulla retta verticale, detto asse delle ordinate:

P

x y

P P

O

2. Estremo superiore ed inferiore

Vediamo ora la definizione di estremo superiore ed inferiore di un insieme numerico, concetti fondamentali per l’analisi matematica stret- tamente legati all’assioma di completezza.

Cominciamo con l’introdurre il concetto di maggiorante e minorante.

Un numero L ∈ R `e detto maggiorante di un insieme non vuoto A ⊂ R

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se risulta L ≥ a per ogni a ∈ A. Analogalmente, un numero ` ∈ R `e detto minorante di un insieme non vuoto A ⊂ R se risulta ` ≤ a per ogni a ∈ A.

Ad esempio, ogni ` ≤ 1 `e minorante dell’intervallo A = (1, 2] cos`ı come ogni L ≥ 2 `e maggiorante.

L’intervallo (1, +∞) non ammette maggioranti mentre ogni ` ≤ 1 `e minorante.

L’insieme A = {_n¹| n ∈ N} ammette come maggiorante ogni L ≥ 1, essendo _n¹ ≤ 1 per ogni n ∈ N, mentre ogni ` ≤ 0 `e un minorante essendo _n¹ > 0 per ogni n ∈ N.

Un insieme A ⊂ R si dice limitato superiormente se ammette un maggiorante, ovvero se esiste L ∈ R tale che a ≤ L per ogni a ∈ A. Si dice limitato inferiormente se ammette un minorante, ovvero se esiste ` ∈ R tale che a ≥ ` per ogni a ∈ A. Infine si dice limitato se risulta limitato superiormente ed inferiormente, ovvero se esistono `, L ∈ R tali che

` ≤ a ≤ L per ogni a ∈ A.

Tenendo conto della definizione di valore assoluto si riconosce facilmente che un insieme A risulta limitato se e solo se esiste M ∈ R tale che

|a| ≤ M per ogni a ∈ A (sar`a sufficiente considerare M = max{|`|, |L|}

dove ` ≤ a ≤ L per ogni a ∈ A).

Ad esempio, l’intervallo (1, 2] `e limitato. Ogni intervallo limitato `e un insieme limitato.

L’insieme A = {a ∈ R | a = sin x per qualche x ∈ R} `e limitato essendo

| sin x| ≤ 1 per ogni x ∈ R.

L’insieme A = {a²| a ∈ R} `e limitato inferiormente essendo a² ≥ 0 per ogni a ∈ R ma non superiormente. Infatti se L > 0 fosse un maggiorante allora a² ≤ L per ogni a ∈ R. Considerato per`o a0 =

√L + 1, avremo a²₀ = L + 1 > L contro la richiesta che L risulti maggiorante.

Particolari maggioranti e minoranti sono il massimo ed il minimo secondo la seguente definizione. Sia A un sottoinsieme non vuoto di R.

Il massimo di A, se esiste, `e un maggiorante M di A tale che M ∈ A:

M = max A ⇐⇒

(M ∈ A

M ≥ a, ∀a ∈ A

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2. ESTREMO SUPERIORE ED INFERIORE 17

Analogalmente, il minimo di A, se esiste, `e un minorante m ∈ R di A tale che m ∈ A:

m = min A ⇐⇒

(m ∈ A

m ≤ a, ∀a ∈ A

Ad esempio, l’intervallo A = [1, 3) ammette come minimo 1, min A = 1 essendo 1 ∈ A e 1 ≤ a per ogni a ∈ A, ma non ammette massimo.

Infatti se M ∈ A fosse massimo allora M < 3 e M ≥ a per ogni a ∈ A mentre a₀ = ^{M +3}₂ ∈ A ma a₀ > M .

L’insieme {_n¹ | n ∈ N} ammette massimo con max A = 1 mentre non ammette minimo. Infatti, se _N¹ con N ∈ N fosse minimo avremo _N¹ ≤ _n¹ per ogni n ∈ N mentre risulta ¹_n < _N¹ per ogni n > N .

L’insieme ˜A = {a ∈ Q | a > 0, a² ≤ 2} non ammette massimo mentre ammette massimo l’insieme A = {a ∈ R | a > 0, a² ≤ 2} e, per quanto visto, max A =√

2.

Dalla propriet`a di dicotomia si ha che ogni sottoinsieme di R costituito da un numero finito di elementi, A = {x₁, ..., x_n} ammette sia massimo che minimo.

Si verifica facilmente che quando esistono, il massimo ed il minimo sono unici. Infatti se M1 e M2 sono due massimi di A ⊂ R per definizione risulta a ≤ M1 e a ≤ M2 per ogni a ∈ A. Poich`e M1, M2 ∈ A, dalle precedenti diseguaglianze otteniamo M₂ ≤ M₁ e M₁ ≤ M₂ da cui segue che M₁ = M₂.

Ricordiamo che dalla definizione di massimo e di minimo di un insieme A ⊂ R se M è massimo di A allora M è un maggiorante di A e M ∈ A, quindi in particolare non esistono maggioranti di A “più piccoli” di M . In altre parole potremo dire che il massimo di un insieme A, se esiste,

`

e il pi`u piccolo maggiorante di A ovvero `e il minimo dei maggioranti di A:

se esiste, max A = min{L ∈ R | a ≤ L, ∀ a ∈ A}.

Analogalmente, il minimo di un insieme A, se esiste, `e il pi`u grande minorante di A, il massimo dei minoranti di A:

se esiste, min A = max{` ∈ R | ` ≤ a, ∀ a ∈ A}.

Abbiamo visto degli esempi di insiemi che pur essendo limitati supe- rioremente non ammettono massimo. Utilizzando l’assioma di completezza proveremo che tali insiemi ammettono comunque il minimo dei maggioranti, quello che chiameremo l’estremo superiore.

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Si dice estremo superiore di un insieme A ⊂ R non vuoto e superiormente limitato il minimo, se esiste, dei maggioranti di A:

sup A = min{L ∈ R | a ≤ L, ∀ a ∈ A}

Si dice invece estremo inferiore di un insieme A ⊂ R non vuoto e inferiormente limitato il massimo, se esiste, dei minoranti di A

inf A = max{` ∈ R | ` ≤ a, ∀ a ∈ A}

E chiaro che l’estremo superiore ed inferiore di un insieme quando esi-` stono sono unici. `E evidente inoltre che quando esiste il massimo (minimo) di un insieme allora questo coincide con l’estremo superiore (inferiore). Abbiamo per`o, a differenza del massimo e del minimo, che ogni insieme limitato superiormente (inferiormente) ammette estremo superiore (inferiore):

Teorema 1.2. (di esistenza dell’estremo superiore ed inferiore) Ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente (inferiormente) limitato ammette estremo superiore (inferiore).

Dim. Dimostriamo solo la prima delle due affermazioni, la prova della se- conda è analoga. Sia B l’insieme costituito da tutti i maggioranti di un insieme A non vuoto e limitato superiormente. Per definizione di insieme superiormente limitato avremo che B è insieme non vuoto e che risulta, per definizione di maggiorante, a ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B. Dall’assioma di completezza si ha allora che esiste un elemento separatore c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b per ogni a ∈ A e b ∈ B. Poichè a ≤ c per ogni a ∈ A si ha che c è maggiorante di A e dunque c ∈ B. D’altra parte c ≤ b per ogni b ∈ B, quindi c è il minimo di B ovvero è il minimo dei maggioranti di A. Il precedente Teorema, di particolare importanza per l’analisi, si può provare essere equivalente all’assioma di completezza.

Diamo ora una caratterizzazione dell’estremo superiore ed inferiore.

Sia A un insieme non vuoto e superiormente limitato. Dal precedente Teorema sia M = sup A. Per definizione M è un maggiorante di A, quindi a ≤ M per ogni a ∈ A, ed è il minimo dei maggioranti di A ovvero non esistono maggioranti di A più piccoli di M . Ciò vuol dire che ogni altro numero più piccolo di M , diciamo M −ε con ε > 0, non è maggiorante di A e dunque esiste a ∈ A tale che M − ε < a. Viceversa, ogni numero reale con queste caratteristiche è necessariamente estremo superiore. Possiamo allora dire che

M = sup A ⇐⇒

(a ≤ M ∀ a ∈ A

∀ ε > 0 esiste a ∈ A tale che M − ε < a

(19)

3. NUMERI NATURALI E NUMERI RAZIONALI 19

Analogalmente, se A ⊂ R `e insieme non vuoto ed inferiormente limitato dal precedente Teorema esiste l’estremo inferiore e vale la seguente caratterizzazione:

m = inf A ⇐⇒

(m ≤ a ∀ a ∈ A

∀ ε > 0 esiste a ∈ A tale che a < m + ε Sar`a comodo parlare di estremo superiore ed inferiore di insiemi non vuoti non superiormente ed inferiormente limitati utilizzando i simboli

±∞. Se A ⊆ R `e insieme non vuoto e non superiormente limitato scriveremo che sup A = +∞ mentre se non risulta inferiormente limitato scriveremo inf A = −∞. Per definizione, se A non `e superiormente limitato, non esistono maggioranti di A e quindi possiamo scrivere

sup A = +∞ ⇐⇒ ∀L ∈ R esiste a ∈ A tale che L < a e analogalmente, se A non `e inferiormente limitato, non esistono minoranti di A

inf A = −∞ ⇐⇒ ∀` ∈ R esiste a ∈ A tale che a < `

Vediamo alcuni esempi. Risulta sup(a, b) = b, infatti per definizione di intervallo x ≤ b per ogni x ∈ (a, b). Inoltre, per ogni ε > 0 esiste x0 = ^b−ε+b₂ (punto medio tra b e b − ε) tale che x0 ∈ (a, b) e x0 > b − ε.

Secondo la caratterizzazione di estremo superiore risulta allora che b = sup(a, b). Analogalmente si prova che inf(a, b) = a.

Consideriamo l’insieme A = {_n¹ | n ∈ N}. Abbiamo già visto che 1 = max A = sup A e che 0 è un minorante di A. Per provare che 0 è l’estremo inferiore di A, dalla caratterizzazione sarà sufficiente provare che per ogni ε > 0 esiste n₀ ∈ N tale che _n¹₀ < ε, ovvero n₀ > ¹_ε. L’esistenza di tale n₀ segue dalla Proprietà Archimedea che proveremo nella prossima sezione e che prova che l’insieme dei numeri naturali N non è superiormente limitato.

3. Numeri Naturali e Numeri Razionali

Terminiamo questo capitolo con alcune propriet`a fondamentali degli insiemi dei numeri naturali N e dei numeri razionali Q.

La prima proprietà che vedremo è una conseguenza del Teorema di esistenza dell’estremo superiore (e quindi dell’assioma di completezza), la Proprietà Archimedea

Teorema 1.3. (Propriet`a Archimedea) Per ogni x ∈ R esiste n ∈ N tale che x < n.

(20)

Dim. Per assurdo, supponiamo che esista x ∈ R tale che per ogni n ∈ N risulti n ≤ x. Ne seguirebbe che N risulta superiormente limitato e dunque, per il Teorema di esistenza dell’estremo superiore, esisterebbe M ∈ R tale che M = sup N. In particolare si avrebbe che n ≤ M per ogni n ∈ N ma poich`e per ogni n ∈ N risulta, per definizione, che n + 1 ∈ N dovr`a essere n + 1 ≤ M per ogni n ∈ N ovvero n ≤ M − 1 per ogni n ∈ N. Quindi avremo che M − 1 risulta maggiorante di N in contraddizione con la definizione di

l’estremo superiore.

Si osservi che la Propriet`a Archimedea afferma che l’insieme dei numeri naturali N non `e superiormente limitato, sup N = +∞. D’altra parte si ha

Lemma 1.1. Ogni sottoinsieme non vuoto A ⊆ N ammette minimo Dim. Preso un qualunque elemento n ∈ A, consideriamo l’insieme B = {x ∈ A | x ≤ n}. Se n è minimo la prova è conclusa. Se invece n non è minimo allora B ⊂ N è non vuoto e poichè esistono solo un numero finito di numeri naturali compresi tra 0 e n, avremo che B è insieme finito. Ne segue che B ammette minimo m e dalla definizione di B, m ∈ A e m ≤ n. Proviamo che m è minimo di A. Infatti, se x ∈ A è tale che x ≤ n, allora x ∈ B e quindi m ≤ x. Se invece x ∈ A è tale che x > n allora m ≤ n < x. Vale inoltre

Corollario 1.1. Ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato A ⊂ N `e finito ed in particolare, ammette massimo.

Dim. Sia M = sup A. Dalla Propriet`a Archimedea abbiamo che esiste n ∈ N tale che n > M . Dunque per ogni a ∈ A ⊂ N risulta 0 < a ≤ M < n e poich`e i numeri naturali compresi tra 0 ed n sono in numero finito avremo che anche A risulta finito. Quindi ammette massimo. Usando il precedente risultato otteniamo in particolare

Corollario 1.2. Per ogni x ∈ R esiste N ∈ Z tale che N ≤ x <

N + 1.

Dim. Dato x ∈ R, se x = 0 prenderemo N = 0. Se x > 0, l’insieme A = {k ∈ N^∗| k ≤ x} ⊂ N^∗ = N ∪ {0} risulta non vuoto e superiormente limitato.

Dal precedente risultato sia N = max A. Per definizione di massimo, N ∈ A e dunque N ≤ x, mentre N + 1 6∈ A, quindi N + 1 > x. Se x < 0 baster`a ripetere il precedente ragionamento a −x > 0. Dato x ∈ R, il numero intero N tale che N ≤ x < N + 1, la cui esistenza `e stata provata nel precedente risultato, viene detto parte intera di x e viene denotato con [x].

(21)

3. NUMERI NATURALI E NUMERI RAZIONALI 21

Un’ altra importante conseguenza della Proprietà Archimedea è il seguente risultato che prova che l’insieme dei numeri razionali Q è denso in R nel seguente senso

Corollario 1.3. (Densit`a dei Numeri Razionali)

Per ogni x, y ∈ R tali che x < y esiste q ∈ Q tale che x < q < y.

Dim. Supponiamo innanzitutto 0 < x < y. Dalla propriet`a Archimedea sappiamo che dato _y−x¹ ∈ R esiste n ∈ N tale che _y−x¹ < n ovvero tale che x+_n¹ < y. Consideriamo l’insieme A = {k ∈ N∪{0} | k ≤ nx} che risulta non vuoto e superiormente limitato e dunque, dal precedente corollario, ammette massimo. Sia m = max A allora m ∈ A mentre m + 1 6∈ A e quindi,dalla definizione di A, segue che m ≤ nx < m + 1. Dalla scelta di n risulta allora

x < m + 1

n = m

n + 1

n ≤ x + 1 n < y.

Quindi posto q = ^m+1_n abbiamo che q ∈ Q e x < q < y. Il risultato `e dunque provato per 0 < x < y.

Se x < 0 < y basterà scegliere q = 0 mentre se x < y < 0 basterà ripetere il ragionamento precedente alla coppia 0 < −y < −x. Infine, riguardo all’insieme dei numeri naturali, abbiamo osservato che per definizione tale insieme soddisfa le seguenti proprietà:

(a) 1 ∈ N,

(b) se n ∈ N allora n + 1 ∈ N,

che lo caratterizzano quale insieme induttivo. Diciamo difatti che un sottoinsieme A ⊆ R `e un insieme induttivo se verifica le seguenti condizioni

(a) 1 ∈ A,

(b) se n ∈ A allora n + 1 ∈ A.

Si ha che N è il più piccolo sottoinsieme induttivo di R, difatti un qualunque insieme induttivo A ⊆ R dovrà contenere l’unità 1 e tutti gli elementi successivi 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, ..., quindi avremo N ⊆ A.

In altri termini possiamo dire che vale la seguente propriet`a:

(P) se A ⊆ N `e un insieme induttivo allora A = N.

Quest’ultima propriet`a viene detta principio di induzione e viene spesso enunciata nella seguente forma equivalente

Teorema 1.4. (Principio di Induzione)

Sia {P_n, n ∈ N} una famiglia di proposizioni dipendenti da n ∈ N. Se (i) P₁ `e vera,

(ii) per ogni n ∈ N, se Pn `e vera allora P_n+1 `e vera,

(22)

allora Pn `e vera per ogni n ∈ N.

Dim. Basta applicare a proprietà (P) all’insieme A degli indici n ∈ N per i quali Pn è vera. Difatti da (i) risulta che 1 ∈ A mentre da (ii) si ha che se n ∈ A allora n + 1 ∈ A. Dunque A ⊆ N è insieme induttivo e da (P) segue

che A = N.

Vediamo alcune applicazioni di tale principio.

Identit`a di Gauss: per ogni n ∈ N si ha che 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)

2 .

Consideriamo infatti la famiglia di proposizioni P_n: 1 + 2 + ... + n =

n(n+1)

2 . È chiaro che P₁ è vera. Supponiamo ora P_n vera e verifichiamo che allora anche Pn+1 è vera. Poichè Pn è vera, abbiamo

1 + 2 + ... + n + (n + 1) = n(n + 1)

2 + (n + 1) = n²+ 3n + 2 2

= (n + 1)(n + 2) 2

cio`e P_n+1. Dal principio di induzione otteniamo allora che P_n `e vera per ogni n ∈ N.

Progressione geometrica: per ogni n ∈ N e per ogni x 6= 1 si ha 1 + x + x²+ ... + xⁿ= 1 − xⁿ⁺¹

1 − x . (2)

Infatti, preso x 6= 1, sia P_n: 1 + x + x²+ ... + xⁿ = ^1−x_1−xⁿ⁺¹. Abbiamo che P₁ `e vera in quanto 1 − x² = (1 + x)(1 − x). Supponiamo ora che P_n sia vera e proviamo che P_n+1 `e vera. Si ha

1 + x + x²+ .... + xⁿ+ xⁿ⁺¹ = 1 − xⁿ⁺¹

1 − x + xⁿ⁺¹= 1 − xⁿ⁺² 1 − x

e quindi P_n+1. Dal principio di induzione otteniamo allora che P_n `e vera per ogni n ∈ N.

Diseguaglianza di Bernoulli: per ogni n ∈ N e per ogni x ≥ −1 vale

(1 + x)ⁿ≥ 1 + nx.

Infatti, dato x ≥ −1, consideriamo la famiglia di proposizioni Pn: (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx. Abbiamo che P₁ `e verificata con l’uguaglianza.

Supponiamo ora verificata la proposizione P_n e proviamo che risulta

(23)

4. NUMERI COMPLESSI 23

vera la proposizione Pn+1. Abbiamo (1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x).

Poich`e x + 1 ≥ 0 e P_n `e supposta vera, ne segue che

(1 + x)ⁿ⁺¹ = (1 + x)ⁿ(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + (n + 1)x + nx²

≥ 1 + (n + 1)x

e dunque P_n+1 `e vera. Dal principio di induzione otteniamo allora che P_n `e vera per ogni n ∈ N.

Come applicazione della diseguaglianza di Bernoulli proviamo che per ogni a > 1 risulta sup{aⁿ| n ∈ N} = +∞. Infatti, per assurdo supponiamo che l’insieme {aⁿ| n ∈ N} risulti superiormente limitato. Sia allora L > 0 un maggiorante. Per ogni n ∈ N, dalla diseguaglianza di Bernoulli, essendo a > 1, risulterebbe

L ≥ aⁿ= (1 + (a − 1))ⁿ ≥ 1 + n(a − 1) =⇒ n ≤ L − 1 a − 1, in contraddizione con la propriet`a Archimedea.

Per esempio provare che per ogni n ∈ N risulta n² = 1 + 3 + ... + (2n − 1) =

n

X

k=1

(2k − 1)

4. Appendice: numeri complessi

L’insieme C dei numeri complessi `e l’insieme delle coppie ordinate (a, b) di numeri reali munito delle operazioni di somma e prodotto definite nel seguente modo

(a, b) + (c, d) := (a + b, c + d) e (a, b) · (c, d) := (ac − bd, ad + bc) Si può provare che tali operazioni soddisfano le proprietà caratteristiche di un campo algebrico (proprietà associativa, commutativa, distributiva, esistenza elemento neutro, di opposto e reciproco). In particolare, risulta elemento neutro della somma l’elemento (0, 0) mentre elemento neutro del prodotto risulta essere (1, 0). L’elemento opposto di (a, b)

`

e l’elemento −(a, b) := (−a, −b) mentre il reciproco di (a, b) 6= (0, 0) `e invece

1

(a, b) := ( a

a²+ b², − b a²+ b²).

Osserviamo che l’insieme dei numeri reali R pu`o essere identificato come sottoinsieme di C identificando ogni a ∈ R con il numero complesso (a, 0) ∈ C, scriveremo quindi a in luogo di (a, 0) e penseremo R ⊂ C.

I numeri complessi della forma (0, b) vengono invece detti immaginari puri.

(24)

Usualmente un numero complesso (a, b) ∈ C viene rappresentato nella forma a + ib (forma algebrica) dove si conviene che 1 := (1, 0) mentre i := (0, 1) viene detta unit`a immaginaria:

(a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib Usuale `e inoltre la notazione

a := a + i0 e ib := 0 + ib

Con tale notazione le operazioni di somma e prodotto risultano definite da

(a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d) e (a+ib)·(c+id) = (ac−bd)+i(ad+bc) Tali operazioni risultano formalmente immediate osservato che l’unit`a immaginaria i soddisfa la propriet`a

i² := i · i = (0, 1) · (0, 1) = −1,

da cui, utilizzando le usuali regole algebriche, vediamo che

(a + ib) · (c + id) = ac + iad + ibc + i²bd = ac + iad + ibc − bd

= (ac − bd) + i(ad + bc).

Se z = a + ib ∈ C il numero reale a viene detto parte reale del numero complesso z e viene denotato con Re(z), mentre il numero reale b viene detto parte immaginaria del numero complesso z e viene denotato con Im(z):

Re(z) = Re(a + ib) := a e Im(z) = Im(a + ib) := b Dato z = a + ib ∈ C, la quantit`a √

a²+ b² viene detta modulo del numero complesso z e viene denotata con |z|:

|z| = |a + ib| :=√

a²+ b².

Osserviamo inoltre che l’insieme dei numeri complessi pu`o essere rappresentato sul piano cartesiano, in questo contesto chiamato piano complesso, facendo corrispondere ad ogni z = x + iy ∈ C il punto P^z del piano avente ascissa x = Re z e ordinata y = Im z. Con tale rappre- sentazione, il modulo del numero complesso z = x + iy rappresenta la distanza del punto P_z dall’origine del piano cartesiano.

(25)

y

x

z=x+i y

O

Per ogni z, w ∈ C valgono le seguenti propriet`a:

1. |z| ≥ 0 e |z| = 0 se e solo se z = 0.

2. |Re z| ≤ |z|, |Im z| ≤ |z| e |z| ≤ |Re z| + |Im z|.

3. Diseguaglianza triangolare: |z + w| ≤ |z| + |w|, . 5. |zw| = |z||w|.

Risulta infine utile scrivere un numero complesso z ∈ C in forma polare:

dato z = x + iy ∈ C, indichiamo con ρ il modulo |z| e con θ l’angolo formato dal segmento congiungente P_z con l’origine O. Allora risulta x = ρ cos θ e y = ρ sin θ e dunque potremo scrivere

z = ρ(cos θ + i sin θ)

Tale scrittura prende il nome di forma polare o trigonometrica del numero complesso z ∈ C, il valore ρ = |z| viene detto modulo di z e l’angolo θ `e detto argomento di z e viene denotato anche con arg z.

Osserviamo che dati ρ > 0 e θ ∈ R risulta univocamente determinato il numero complesso z = ρ(cos θ + i sin θ). Viceversa, dato z = x + iy risulta z = ρ(cos θ + i sin θ) se ρ =px²+ y² e θ ∈ R verifica

cos θ = x

px²+ y² e sin θ = y

px²+ y² (3)

Osserviamo per`o che essendo seno e coseno funzioni periodiche tali condizioni non individuano univocamente un angolo θ: se θ0 verifica (3) allora anche θ₀ + 2kπ, k ∈ Z, verificher`a tali condizioni. Diciamo che le condizioni (3) individuano l’argomento θ del numero complesso z a meno di multipli interi di 2π.

La forma trigonometrica risulta utile nell’esprimere potenze intere di numeri complessi. Difatti, se z₁ = ρ₁(cos θ₁+ i sin θ₁) e z₂ = ρ₂(cos θ₂+

(26)

i sin θ2) allora

z1z2 = ρ1ρ2(cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)

In particolare dalla precedente formula si ottiene che per ogni z = ρ(cos θ + i sin θ) risulta

z² = ρ²(cos(2θ) + i sin(2θ))

da cui, per induzione, si ottiene la formula di De Moivre:

zⁿ = ρⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)), n ∈ N.

Si ha dunque che

|zⁿ| = |z|ⁿ e arg (zⁿ) = narg (z) + 2kπ, k ∈ Z.

Osservato inoltre che per ogni z = ρ(cos θ + i sin θ) 6= 0 risulta 1

z = z¯

|z|² = 1

ρ²ρ(cos θ − i sin θ) = ρ⁻¹(cos(−θ) + i sin(−θ)), si pu`o provare che la formula di De Moivre risulta valida per ogni n ∈ Z.

Infine, dato α ∈ C vediamo di determinare le soluzioni dell’equazione zⁿ= α. Per quanto sopra, se α = R(cos Θ+i sin Θ) allora z = ρ(cos θ + i sin θ) `e soluzione di zⁿ = α se e solo se ρⁿ = R, cos(nθ) = cos Θ e sin(nθ) = sin Θ, da cui

ρ = √ⁿ

R e θ = Θ + 2kπ

n , k ∈ Z.

Osserviamo che i valori di k ∈ Z che danno luogo a soluzioni z distinte sono i valori k = 0, ..., n − 1. Abbiamo quindi che dato α = R(cos Θ + i sin Θ) ∈ C esistono n radici complesse distinte dell’equazione zⁿ = α e queste sono date dalla formula

z_k = √ⁿ

R(cos θ_k+ i sin θ_k), essendo θk= ^Θ+2kπ_n , k = 0, 1, ..., n − 1.

Ad esempio, le radici quadrate complesse di α = −2 (R = 2 e Θ = π) sono z_k=√

2(cos θ_k+ i sin θ_k) con θ_k= ^π₂ + kπ, k = 0, 1, e quindi sono:

z₀ =√

2(cosπ

2 + i sinπ

2) = i√

2 e z₁ =√

2(cos3π

2 + i sin3π

2 ) = −i√ 2.

(27)

Le radici quarte di α = 1 (R = 1 e Θ = 0) sono zk = cos θk + i sin θk

con θ_k = ^kπ₂ , k = 0, 1, 2, 3, e dunque:

z₀ = cos 0 + i sin 0 = 1, z₁ = cosπ

2 + i sinπ 2 = i, z₂ = cos π + i sin π = −1, z₃ = cos3π

2 + i sin3π 2 = −i.

(28)

(29)

CAPITOLO 2

Successioni numeriche

Si dice successione (numerica) una legge che ad ogni n ∈ N fa corrispondere uno ed un solo a_n∈ R. Una successione verr`a indicata con (an)_n∈N, semplicemente con a_n, n ∈ N, oppure per esteso a1, a₂, ..., a_n, ....

Ne sono esempi la successione a_n = _n¹, n ∈ N:

1,1 2,1

3, ..., 1 n, ..., la successione costante a_n= 2, n ∈ N:

2, 2, 2, ..., 2, ..., la successione an= n², n ∈ N:

1, 4, 9, ..., n², ...

la successione a_n= (−1)ⁿ, n ∈ N:

1, −1, 1, ..., (−1)ⁿ, ...

ed infine la progressione geometrica a_n = xⁿ, x ∈ R, n ∈ N ∪ {0}:

1, x, x², x³, ..., xⁿ, ..

Parleremo di successione anche quando i termini an sono definiti solo per valori n ≥ n₀, come ad esempio la successione a_n = _n−2ⁿ definita solo per n ≥ 3:

3, 2,5

3, ..., n n − 2, ...

1. Limiti di successioni numeriche

Si dice che a ∈ R `e il limite della successione (an)_n∈N per n che tende a +∞ e si scrive lim

n→+∞a_n = a, se risulta verificata la seguente condizione:

∀ ε > 0 ∃ ν ∈ N tale che |an− a| < ε ∀ n ≥ ν

In tal caso diremo anche che la successione (a_n)_n∈Ntende o converge ad a ∈ R per n che tende a +∞ e scriveremo aⁿ → a per n → +∞.

Una successione che ammette limite a ∈ R viene detta successione convergente. In particolare, una successione convergente a 0 viene detta successione infinitesima.

29

(30)

Si osservi che, dalla definizione di valore assoluto, la relazione |an−a| <

ε si pu`o riscrivere come a − ε < a_n< a + ε ed anche a_n∈ (a − ε, a + ε).

Vale il seguente risultato

Teorema 2.1. (Unicit`a del limite)

Se una successione ammette limite, questo `e unico.

Dim. Sia (an)_n∈N una successione tale che lim

n→+∞a_n = a e lim

n→+∞a_n = b e proviamo che a = b. Per ogni ε > 0, poich`e lim

n→+∞a_n = a, dalla definizione di limite, esiste ν1∈ N tale che |an−a| < ₂^ε per ogni n ≥ ν1. Analogalmente, poich`e lim

n→+∞a_n = b, esiste ν₂ ∈ N tale che |an− b| < ^ε₂ per ogni n ≥ ν₂. Allora, per ogni n ≥ max{ν1, ν2} si ha

|b − a| ≤ |a_n− b| + |a_n− a| < ε

ed essendo ε > 0 arbitrario otteniamo a = b. Verifichiamo ad esempio che lim

n→+∞

1

n = 0. Preso comunque ε > 0, dalla Propriet`a Archimedea sia ν ∈ N tale che ¹_ε < ν. Allora, per ogni n ≥ ν avremo n ≥ ν > ¹_ε e dunque _n¹ < ε. In modo analogo, si pu`o provare che

n→+∞lim 1

n^p = 0 per ogni p > 0.

Verifichiamo che per ogni 0 < a < 1 risulta lim

n→+∞aⁿ = 0. Infatti, per ogni ε > 0 avremo aⁿ = |aⁿ| < ε se e solo se, posto b = ¹_a > 1, risulta bⁿ > ¹_ε. Dalla diseguaglianza di Bernoulli abbiamo

bⁿ = (1 + (b − 1))ⁿ ≥ 1 + n(b − 1), ∀n ∈ N, sar`a allora sufficiente scegliere ν ∈ N tale che ν >

1 ε−1

b−1 e dunque, per n ≥ ν, 1 + n(b − 1) > ¹_ε da cui bⁿ > ¹_ε.

Proviamo ora che la successione an = (−1)ⁿ non ammette limite. Per assurdo, supponiamo che esista lim

n→+∞(−1)ⁿ= a ∈ R.

Preso comunque ε > 0 sia ν ∈ N tale che |(−1)ⁿ−a| < ε per ogni n ≥ ν.

Allora, scelto n ≥ ν pari dovrà risultare |(−1)ⁿ− a| = |1 − a| < ε e quindi, essendo ε arbitrario, dovrà essere a = 1. Analogalmente, scelto n ≥ ν dispari dovrà risultare |(−1)ⁿ−a| = |1+a| < ε e dunque a = −1, in contraddizione con l’unicità del limite.

In modo analogo, si pu`o provare che per ogni a ≤ −1 non esiste il limite lim

n→+∞aⁿ.

Lemma 2.1. Una successione (an)_n∈N `e infinitesima se e solo se la successione (|a_n|)_n∈N `e infinitesima.

(31)

1. LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE 31

Dim. Posto bn= |an|, poich`e |bn| = b_n= |an|, otteniamo che la condizione

n→+∞lim bn= 0 equivale a lim

n→+∞an= 0.

Dal precedente risultato `e immediato verificare che lim

n→+∞

(−1)ⁿ

n = 0

essendo |⁽⁻¹⁾_nⁿ| = _n¹. Essendo lim

n→+∞aⁿ = 0 per ogni a ∈ (0, 1), dal precedente risultato otteniamo che per ogni |a| < 1 risulta lim

n→+∞aⁿ= 0.

Si osservi che il risultato vale solo per successioni infinitesime, ad esempio abbiamo provato che (−1)ⁿ non converge mentre la successione dei valori assoluti |(−1)ⁿ| = 1 risulta banalmente convergente ad 1.

Una successione (a_n)_n∈N `e detta inferiormente limitata se esiste ` ∈ R tale che ` ≤ a_n per ogni n ∈ N, `e detta invece superiormente limitata se esiste L ∈ R tale che an≤ L per ogni n ∈ N.

Infine, una successione (a_n)_n∈N`e detta limitata se esistono `, L ∈ R tali che ` ≤ a_n ≤ L per ogni n ∈ N o, equivalentemente, se esiste M > 0 tale che |a_n| ≤ M per ogni n ∈ N.

Sono esempi di successioni limitate le successioni (cos n)_n∈N, ((−1)ⁿ)_n∈N e (_n¹p)_n∈N, con p > 0. Non risultano invece limitate le successioni (n²)_n∈N e (2ⁿ)_n∈N.

Vale il seguente risultato

Lemma 2.2. Ogni successione convergente `e limitata.

Dim. Sia (an)_n∈N successione convergente al limite a ∈ R. Dalla definizione di limite, preso ε = 1, esiste ν ∈ N tale che |an− a| ≤ 1 per ogni n ≥ ν.

Avremo allora che per ogni n ≥ ν risulta a − 1 < a_n< a + 1. Siano ora

` = min{a − 1, a₁, a₂, ..., a_ν−1} e L = max{a + 1, a₁, a₂, ..., a_ν−1}.

Con tale scelta avremo allora che ` ≤ an≤ L per ogni n ∈ N. Osserviamo che non vale il viceversa: la successione ((−1)ⁿ)n ∈ N è limitata ma non è convergente. Abbiamo però il seguente risultato Lemma 2.3. Se (an)_n∈N è successione infinitesima e (bn)_n∈N è successione limitata allora la successione (a_nb_n)_n∈N risulta infinitesima.

Dim. Sia M > 0 tale che |bn| ≤ M per ogni n ∈ N. Preso ε > 0 qualunque, poich`e a_n→ 0 per n → +∞, esiste ν ∈ N tale che |an| < _M^ε per ogni n ≥ ν.

Allora per ogni n ≥ ν avremo |a_nb_n| = |a_n||b_n| ≤ M |a_n| < M_M^ε = ε. Si osservi che il risultato vale solo se la successione (a_n)_n∈N `e infinitesima: la successione (ⁿ⁺¹_n )_n∈N `e convergente ad 1, la successione

(32)

((−1)ⁿ)_n∈N `e limitata ma la successione prodotto ((−1)^{n n+1}_n )_n∈N non converge.

Proposizione 2.1. (Algebra dei limiti finiti)

Siano (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N successioni convergenti e siano a = lim

n→+∞a_n e b = lim

n→+∞b_n. Allora le successioni (a_n± b_n)_n∈N, (a_nb_n)_n∈N e (^a_bⁿ

n)_n∈N, se b 6= 0, sono convergenti e vale

(i) lim

n→+∞a_n± b_n= a ± b;

(ii) lim

n→+∞a_nb_n= ab;

(iii) se b_n, b 6= 0 per ogni n ∈ N, lim

n→+∞

a_n b_n = a

b. Dim. (i) Preso comunque ε > 0, poich`e lim

n→+∞a_n = a e lim

n→+∞b_n = b, esisteranno ν1 ∈ N e ν2 ∈ N tali che |an − a| < ^ε₂ per ogni n ≥ ν1 e

|b_n− b| < ^ε₂ per ogni n ≥ ν₂. Allora per ogni n ≥ ν = max{ν₁, ν₂} avremo

|(a_n± b_n) − (a ± b)| ≤ |an− a| + |b_n− b| < ε Dunque, lim

n→+∞a_n± b_n= a ± b.

(ii) Poich`e la successione (bn)_n∈N`e convergente, dal Lemma2.2avremo che esiste M > 0 tale che |b_n| ≤ M per ogni n ∈ N. Se a = 0, il risultato segue dal Lemma 2.3. Se a 6= 0, preso comunque ε > 0, sia ν₁ ∈ N tale che

|a_n− a| < _2M^ε e sia ν2 ∈ N tale che |bn− b| < _2|a|^ε per ogni n ≥ ν2. Allora, per ogni n ≥ ν = max{ν₁, ν₂} avremo

|a_nbn− ab| ≤ |b_n||a_n− a| + |a||b_n− b| ≤ M |a_n− a| + |a||b_n− b| < ε e quindi lim

n→+∞a_nb_n= ab.

(iii) Osserviamo innanzitutto che essendo b 6= 0, esiste ν0 ∈ N tale che per ogni n ≥ ν₀ risulta |b_n| > ^|b|₂ (baster`a scegliere nella definizione di limite ν0 ∈ N in corrispondenza di ε = ^|b|₂ > 0). Allora per ogni n ≥ ν0 avremo

|an

b_n −a

b| = |a_nb − abn|

|b_n||b| | < 2|a_nb − abn|

b² (4)

Preso comunque ε > 0, se a = 0, sia ν ∈ N tale che |an| < ^ε|b|₂ , allora da (4), per n ≥ max{ν₀, ν} risulta |^a_bⁿ

n| < ε. Se a 6= 0, sia ν₁ ∈ N tale che

|a_n− a| < ^ε|b|₄ per ogni n ≥ ν1 e sia ν2 ∈ N tale che |bn− b| < _4|a|^εb² per ogni n ≥ ν₂. Allora per ogni n ≥ ν = max{ν₀, ν₁, ν₂} risulta

|a_n bn

−a b| < 2

b²(|anb − ab| + |abn− ab|) = 2

b²|(|b||a_n− a| + |a||b_n− b|) < ε.

Quindi lim

n→+∞

an

bn

= a

b.

(33)

1. LIMITI DI SUCCESSIONI NUMERICHE 33

Ad esempio, dal precedente risultato `e immediato verificare che le successioni ⁿ⁺²_n e (₂¹n + 1)(ⁿ⁺³_2n ) sono convergenti con

n→+∞lim n + 2

n = lim

n→+∞1 + 2 n = 1 e

n→+∞lim (1

2ⁿ + 1)(n + 3

2n ) = lim

n→+∞( 1

2ⁿ + 1)1 2(1 + 3

n) = 1 2.

Si dice che la successione (an)_n∈N ha limite +∞ per n che tende a +∞, e si scrive lim

n→+∞an = +∞, se risulta verificata la seguente condizione:

∀ M > 0 ∃ ν ∈ N tale che an> M ∀ n ≥ ν

In tal caso diremo anche che la successione (a_n)_n∈N tende o diverge a +∞ per n che tende a +∞ e scriveremo a_n→ +∞ per n → +∞.

Analogalmente, si dice che la successione (a_n)_n∈N ha limite −∞ per n che tende a +∞, e si scrive lim

n→+∞a_n = −∞ se risulta verificata la seguente condizione:

∀ M > 0 ∃ ν ∈ N tale che an< −M ∀ n ≥ ν

Diremo anche che la successione (a_n)_n∈N tende o diverge ad −∞ per n che tende a +∞ e scriveremo a_n → −∞ per n → +∞.

Una successione che ammette limite ±∞ viene detta successione divergente. Infine, una successione che ammette limite (finito o infini- to) viene detta successione regolare mentre si diranno indeterminate le successioni che non ammettono limite.

Vediamo qualche esempio notevole di successioni divergenti. Dalla Pro- priet`a Archimedea risulta banalmente divergente la successione a_n= n.

Risulta inoltre

n→+∞lim n^p = +∞ per ogni p > 0.

Difatti, ricordando le propriet`a delle potenze, preso comunque M > 0, dalla Propriet`a Archimedea sia ν ∈ N tale che M¹^p < ν. Per ogni n ≥ ν avremo allora n^p ≥ ν^p > M . Possiamo quindi concludere che

n→+∞lim n^p =

(+∞ se p > 0 0 se p < 0 In generale, si pu`o provare che per ogni p > 0 risulta

(34)

n→+∞lim x^p_n=

(+∞ se x_n → +∞

0 se x_n → 0⁺

Infatti, se x_n→ +∞, per ogni M > 0 sia ν ∈ N tale che xn > M¹^p per ogni n ≥ ν. Allora per n ≥ ν risulta x^p_n> M . Se invece x_n → 0⁺, per ogni ε > 0 sia ν ∈ N tale che 0 < xn< ε¹^p. Allora per n ≥ ν otteniamo 0 < x^p_n < ε.

Per ogni a > 1 si ha

n→+∞lim aⁿ = +∞.

Difatti, dato M > 0, dalla Propriet`a Archimedea sia ν ∈ N tale che ν > ^{M −1}_a−1. Allora per ogni n ≥ ν, dalla diseguaglianza di Bernoulli, avremo

aⁿ = (1 + (a − 1))ⁿ≥ 1 + n(a − 1) ≥ 1 + ν(a − 1) > 1 + (M − 1) = M Otteniamo quindi che

n→+∞lim aⁿ=











+∞ se a > 1 1 se a = 1 0 se |a| < 1 6 ∃ se a ≤ −1

Ricordando che per ogni a > 1 risulta a^x > a^y per ogni x > y, otteniamo che

per ogni successione x_n→ +∞ risulta a^xⁿ → +∞ .

Difatti, preso comunque M > 0, poich`e aⁿ → +∞, esiste n₀ ∈ N tale che aⁿ⁰ > M . In corrispondenza di tale n₀ ∈ N, poich`e xn → +∞, esiste ν ∈ N tale che xn > n₀ per ogni n ≥ ν. Allora, per n ≥ ν avremo a^xⁿ > aⁿ⁰ > M .

Per ogni a > 1 si ha

per ogni successione x_n → +∞ risulta log_a(x_n) → +∞ .

Difatti, per ogni M > 0, sia ν ∈ N tale che xn > a^M per ogni n ≥ ν.

Allora log_a(x_n) > M per ogni n ≥ ν.

Riguardo alle operazioni tra limiti infiniti, utilizzando la definizione si pu`o provare il seguente risultato

Proposizione 2.2. (Algebra dei limiti infiniti)

Siano (a_n)_n∈N e (b_n)_n∈N due successioni regolari e sia a ∈ R. Allora