Il problema
Vogliamo rappresentare su un foglio di carta o su un monitor, una scatola a forma di cubo o di parallelepipedo. Come possiamo fare?
In questa Unità abbiamo parlato finora di riferimenti unidimensionali (sulla retta) e soprattutto bidimensio-nali (sul piano). Il mondo in cui viviamo ha però almeno 3 dimensioni: oltre le dimensioni comunemente chiamate lunghezza e larghezza vi è infatti la cosiddetta profondità.
Sembrerebbe quindi più naturale e anche più semplice parlare di spazi a tre dimensioni. Da un punto di vista geometrico però, ciò non è né semplice, né naturale. Infatti uno dei problemi più grossi con i quali ci scon-triamo è quello della cosiddetta visualizzazione: quasi tutti i supporti più comuni che utilizziamo per rappre-sentare oggetti spaziali sono bidimensionali (la lavagna, il foglio di quaderno, il monitor, ...), o comunque hanno una profondità irrisoria.
L’enorme difficoltà nella rappresentazione di paesaggi o di persone, proprio per la mancanza di profondità è testimoniata anche dalle arti pittoriche. Persino i quadri di sommi artisti come Giotto o Cimabue possono apparirci sotto certi punti di vista quasi ridicoli nelle loro rappresentazioni sproporzionate. Solo l'applica-zione delle matematiche all'arte pittorica, a partire da Leon Battista Alberti, Piero delle Francesca e altri, ha portato alla scoperta della prospettiva, cioè a una rappresentazione pittorica che, pur rimanendo bidimensio-nale, simulava meglio gli spazi tridimensionali che voleva descrivere.
Analoghi problemi si presentano anche per la geometria analitica, almeno quando cerchiamo di visualizzare gli oggetti (punti, segmenti, rette poliedri, ...); vengono invece del tutto superati quando ci limitiamo ad as-sociare ai punti dei numeri che ne rappresentano la posizione e operiamo poi su di essi con le regole dell'al-gebra. In questo modo, anzi, arriviamo quasi all'assurdo di operare con tecniche matematiche su oggetti che non solo non riusciamo a visualizzare ma nemmeno a immaginare.
Cominciamo a impostare il problema per gli spazi a 3 dimensioni.
Definizione 1
L''insieme {O, x, y, z, u}, formato da tre rette x, y e z a due a due ortogonali fra loro e incidenti nel punto O e dalla misura u di un segmento, si chiama sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico
nello spazio.
Si capisce il perché di una retta in più, essa rappresenta né più e né meno che il riferimento necessario per la terza dimensione.
Esempio 1
In figura vediamo un esempio di spazio cartesiano ortogonale.
Notiamo subito che le difficoltà a cui abbiamo accennato si sono mostrate reali, e il disegno (effettuato in parte con il software Derive) risente del fatto che è solo una simulazione dell'ambiente spaziale. Per cercare di migliorare la sensazione spaziale abbiamo tratteggiato i semiassi negativi.
Non vi sono invece difficoltà nel definire che cosa intendiamo per punto dello spazio cartesiano.
Definizione 2
Diciamo punto dello spazio cartesiano ortogonale una terna ordinata di numeri reali, (x; y; z) che rappresentano le coordinate delle proiezioni del dato punto sui tre assi coordinati.
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Esempio 2
Per quanto affermato nella definizione precedente i punti (x; 0; 0) sono tutti e soli quelli che appartengono all'asse x, i punti (0; y; 0) quelli dell'asse y e i punti (0; 0; z) quelli dell'asse z. L'origine naturalmente ha
coordinate (0; 0; 0). Nella figura precedente abbiamo rappresentato (sempre
con Derive) i punti A ≡ (1; 2; 3), B ≡ (–1; –2; –3) e C ≡ (1; –2; –3):, notiamo che è facile individuarne la
posizione, indipendentemente dal fatto che l'unità di misura venga o meno esplicitata. Dato che si rivela particolarmente efficace la trattazione algebrica, sfruttiamola. Così enunciamo il seguente
risultato, generalizzazione dell'analogo teorema del piano.
Teorema 1
Nello spazio cartesiano ortogonale il segmento di estremi A ≡ (xA; yA; zA), B ≡ (xB; yB; zB), misura, nell'unità
di misura prescelta,
( )
2( )
2( )
2A B A B A B
AB= x −x + y −y + z −z .
Esempio 3
Vogliamo misurare il segmento di estremi A≡ (1; −2; 4) e B≡ (0; −1; 2). Applicando la formula stabilita dal
Teorema 1; abbiamo:
( )
2( ( ))
2( )
21 0 2 1 4 2 1 1 4 6
AB= − + − − − + − = + + = .
Allo stesso modo possiamo enunciare i seguenti teoremi, generalizzazioni dei corrispondenti teoremi validi nel piano cartesiano.
Teorema 2
Il punto che nello spazio cartesiano ortogonale divide il segmento di estremi A≡ (xA; yA; zA), B≡ (xB; yB; zB)
in modo che si abbia AC m
n AB = , è
( ) ( ) ( )
, , A B A B A B n m x m x n m y m y n m z m z n n n − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ . Corollario 1Il punto medio del segmento di estremi A≡ (xA; yA; zA) e B≡ (xB; yB; zB) è: ; ;
2 2 2 A B A B A B x x y y z z M + + + ≡ Corollario 2
Il baricentro di un triangolo di vertici A ≡ (xA; yA; zA), B ≡ (xB; yB; zB), C ≡ (xC; yC; zC), è
; ; 3 3 3 A B C A B C A B C x x x y y y z z z G + + + + + + ≡ .
Concludiamo osservando che la potenza dell'algebra travalica qualsiasi problema di natura geometrica, infat-ti possiamo benissimo parlare di un punto in uno spazio a 2000 dimensioni, la cui natura ci è del tutto ignota, semplicemente come una 2000–upla ordinata di numeri reali.
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Verifiche
Lavoriamo insieme
Vogliamo rappresentare, in uno spazio cartesiano ortogonale, i vertici di un cubo di lato 2.
Un modo per risolvere la questione consiste nello sfruttare le proprietà di simmetria del solido. In particolare consideriamo l'origine degli assi come centro di simmetria del cubo. Così gli otto vertici del cubo avranno coordinate il cui valore assoluto è 1. Saranno perciò: A ≡ (1; 1; 1), B ≡ (1; –1; 1), C ≡ (–1; –1; 1),
D ≡ (–1; 1; 1), E ≡ (1; 1; –1), F ≡ (1; –1; –1), G ≡ (–1; –1; –1), H ≡ (–1; 1; –1).
Calcoliamo adesso la misura di una diagonale, per esempio
( )
2( )
2( )
21 1 1 1 1 1 2 3
AG= + + + + + = ⋅
Abbiamo verificato che la diagonale di un cubo si ottiene moltiplicando la misura del lato per 3 .
Livello 2
1. Determinare una formula che calcoli la distanza di un punto P ≡ (xP; yP; zP) dall'origine degli assi.
2 2 2
P P P
x y z
+ +
2. Individuare la caratteristica di tutti i punti appartenenti ai piani formati dalle rette
x e y [(x; y; 0)] x e z [(x; 0; z)] y e z [(0; y; z)] 3. Determinare una formula che calcoli la distanza di due punti entrambi appartenenti al piano
xy
( ) (
2)
2 p Q p Q x x y y − + − xz( ) (
2)
2 p Q p Q x x z z − + − yz( ) (
2)
2 p Q p Q y y z z − + − 4. Calcolare la misura dei seguenti segmenti, di cui forniamo le coordinate degli estremi. (1; 2; –4), (3; –1; 0) 29
(3; 1; 0), (–1; –2; –3) 34 ( ½; 2; –1/3), (–½; 0; –1/3) 5
(–3/2; ¼; –2/3), (¼; 3/2; –2/3) 74 / 4
(
2; 1; 3 ,−) (
− ⋅2 2; 3;1)
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5. Determinare le coordinate dei punti medi dei segmenti i cui estremi sono dati nell'esercizio precedente. [(2; ½; –2); (1; –½; –3/2); (0; 1; –1/3); (–5/8; 7/8; –2/3);
(
− 2 / 2;(
3 1 / 2;−) (
3 1 / 2+) )
]Livello 3
6. Determinare l’altro estremo del segmento in cui un estremo è (2; –1; 4) e il punto medio è (0; 1; 3). [(–2; 3; 2)]
7. Determinare per quali valori del parametro reale m il punto medio del segmento di estremi (1; –2; 3) e (m2; 1 – m; 2 + m) appartiene di volta in volta ai piani: xy [–5] xz [–1] yz [∅] 8. Determinare le coordinate dei vertici di un cubo di lato 1; che ha un vertice nell'origine e tre spigoli
appartenenti agli assi coordinati.
[8 soluzioni possibili, p.e.: (0; 0; 0), (1; 0; 0), (1; 1; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 1), (0; 1; 1)] 9. Si dimostra che l'area del triangolo di vertici i punti (xA; yA; zA), (xB; yB; zB), (xC; yC; zC) si calcola con
la formula 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 A A A A A A B B B B B B C C C C C C x y y z x z x y y z x z x y y z x z
⋅ + + . Verificare che se i punti appartengono tutti
al piano xy, la detta formula coincide con quella già nota.
cal-161 cola con la formula
1 1 1 1 6 1 A A A B B B C C C D D D x y z x y z x y z x y z ⋅
(il determinante in valore assoluto). Calcolare il volume
del tetraedro i cui vertici sono l'origine e i punti (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1). [1/6] 11. Dimostrare il Corollario 1.
12. Dimostrare il Corollario 2.
L’angolo di Derive
Derive ha un ambiente grafico 3D, al quale si accede mediante la pressione del pulsante . Così facendo l'ambiente nel quale ci troviamo è, per default, il seguente:
Vi è cioè un cubo di lato 10 che rappresenta l'ambiente all'interno del quale saranno rappresentate le nostre figure.
Possiamo naturalmente apportare variazioni alla rappresentazione grafica: per far ciò basta fare doppio clic in un qualsiasi punto all'interno del foglio di lavoro, oppure scegliere Opzioni Visualizzazione o ancora premere il tasto F11.
In ogni caso sarà visualizzata una finestra con cinque schede: Assi, Box, Legenda, Rotazione, Sfondo, nelle quali effettueremo le nostre scelte. Per esempio potremo visualizzare gli assi, colorarli e così via.
Per rappresentare un punto basta scriverne le relative coordinate all'interno di parentesi quadre, separate da virgole. Per esempio: [1; –2; 3]
Se immettiamo più di un punto, e per far ciò separiamo le coordinate dei due punti con punto e virgola, au-tomaticamente essi saranno congiunti da un segmento: [1; –2; 3; –4; 0, 1]
Permette la seguente visualizzazione:
Attività
Rappresentare i punti e i segmenti degli esercizi precedenti e i poliedri aventi le dimensioni doppie, triple e quadruple di quelle del cubo presentato nel box “Lavoriamo insieme”.
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L’angolo di Microsoft Mathematics
Possiamo immettere e visualizzare funzioni a due variabili, come mostrato in figura
A questo punto clicchiamo su e otteniamo quanto mostrato in figura, che può anche essere mostrato insieme con la sintassi del comando
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