Geometria dei poliedri

Prerequisiti

• _{Nozioni di geometria del piano} • _{Rette e piani nello spazio}

• _{Parallelismo e perpendicolarità fra rette e fra piani} • _{Angoli diedri}

Obiettivi

• _{Generalizzare il concetto di poligono nel piano}

• _{Comprendere il concetto di poliedro regolare e semiregolare} • _{Acquisire il concetto di caratteristica di Eulero}

• _{Affinare l’intuizione spaziale}

• _{Abituarsi a pensare “tridimensionalmente”}

Contenuti

• _{I poliedri} • _{I prismi}

• _{Le piramidi e i tronchi di piramide} • _{La formula di Eulero}

• _{I poliedri regolari} • _{I poliedri semiregolari}

Parole Chiave

C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico – Vol 2 – Capitolo 6 - Unità 2

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Richiamiamo le conoscenze

Definizione A

L’insieme formato dai punti del piano delimitati da segmenti a due a due consecutivi si dice poligono, i segmenti che lo compongono si chiamano lati, gli estremi dei lati si dicono vertici.

Definizione B

Una figura si dice convessa se, ogniqualvolta scegliamo due suoi punti qualsiasi, l’intero segmento che li congiunge è formato solo da punti appartenenti alla figura stessa, diversamente la figura si dice concava.

Esempio A

Figura convessa Figura concava

I poliedri

Il problema

Qual è il corrispondente spaziale del poligono nel piano?

Vogliamo estendere il concetto di poligono. Ci rendiamo conto che dobbiamo considerare non segmenti ma poligoni i quali abbiano a due a due dei lati in comune, intendendo con questo termine che i due segmenti debbono coincidere, così come i rispettivi estremi. Il minimo numero di poligoni per racchiudere una parte di spazio è evidentemente quattro, purché a tre a tre abbiano anche un vertice in comune. Con lo stesso si-gnificato di dentro e fuori già illustrato e con il conseguente concetto di spazio delimitato da, possiamo dare la seguente definizione.

Definizione 1

Diciamo poliedro la parte di spazio delimitata da quattro o più poligoni aventi i lati a due a due comuni, in modo che non vi siano lati di alcun poligono che non siano comuni a un altro.

I poligoni che lo generano si dicono facce del poliedro, i loro lati si dicono spigoli del poliedro, i loro vertici si dicono vertici del poliedro.

A seconda del numero delle sue facce, un poliedro sarà chiamato con un vocabolo formato da un prefisso ri-ferito a tale numero e dal suffisso edro (tetraedro, pentaedro, esaedro, ...).

Esempio 1

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E adesso uno di poliedro concavo

Il poliedro minimo, quello cioè corrispondente al triangolo nel piano ha 4 facce, tutte triangolari e si chiama tetraedro.

Esempio 2

Un tetraedro ha 4 facce, 4 vertici e 6 spigoli. Osserviamo alcuni fatti, validi per ogni poliedro convesso.

1. Ogni vertice è incontro di non meno di tre facce e di non meno di tre spigoli.

2. In ogni vertice si possono incontrare poligoni tali che la somma degli angoli interni che hanno quel tale vertice in comune sia inferiore a 360°.

Quest’ultimo fatto dipende dalla possibilità che abbiamo di costruire un poliedro convesso a partire dal suo cosiddetto sviluppo piano, ossia dalla figura piana che si ottiene “scollando” alcuni degli spigoli comuni del poliedro convesso in modo da “appiattire” il solido.

Esempio 3

In figura vi è lo sviluppo piano di un tetraedro

I vertici senza nome sono quelli che andranno ad unirsi nel vertice A, rimasto “sospeso in aria”, per ricostruire il tetraedro. Come si vede vi è la possibilità di sollevare i detti punti dal piano, perché i tre angoli che essi determinano nei rispettivi triangoli sono acuti e quindi la loro somma non supererà 270° e a maggior ragione non raggiungerà i 360°.

Il tetraedro è il corrispondente spaziale del triangolo, e in effetti verifica alcune proprietà simili a quelle del triangolo. Per esempio ha alcuni punti notevoli, di cui ne vediamo per il momento due, rimandando all’unità sulle sfere gli altri due.

Definizione 2

Diciamo mediana di un tetraedro riferita a un vertice e alla sua faccia opposta (cioè faccia non complanare con il vertice), il segmento che ha per estremi il vertice e il baricentro di tale faccia.

AG è la mediana relativa al vertice A e alla faccia opposta BCD. Valgono i seguenti risultati.

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Teorema 1

Le mediane di un tetraedro si incontrano in un punto, che si chiama baricentro del tetraedro.

Dimostrazione

Consideriamo i tre piani in figura che contengono ciascuno uno degli spigoli AB, AC e AD e il punto medio delle facce opposte ai detti spigoli. Così α è determinato da AB e M1, β è determinato da AC e M2 e γ è determinato da AD e M3.

Questi piani incontrano il piano determinato dal triangolo BDC ovviamente nelle mediane dello stesso triangolo, quindi, per quel che sappiamo sui triangoli determinano il baricentro G1 di BCD. Quindi i tre piani hanno in comune la retta baricentrica AG1. Ragionando allo stesso modo per le altre terne di piani, determineremo le altre rette baricentriche e quindi ovviamente queste rette essendo comuni a più piani devono incontrarsi in uno stesso punto, che è perciò il baricentro.

La precedente dimostrazione ha anche provato il seguente risultato

Corollario 1

I segmenti che congiungono i punti medi delle coppie di spigoli opposti, si incontrano nel baricentro, che è punto medio dei detti segmenti.

Esiste anche una proprietà del baricentro dei tetraedri simile a quella dei triangoli.

Teorema 2

Il baricentro di un tetraedro divide ciascuna mediana in modo che la parte che contiene il vertice è tripla dell’altra.

Dimostrazione

Consideriamo la figura seguente in cui G è il baricentro del tetraedro, AG1 e BG2 due sue mediane.

La dimostrazione è simile a quella che di solito si usa per la proprietà dei baricentri di un triangolo.

Per le proprietà di G1 e G2 nel triangolo ABM, abbiamo che dividono i rispettivi segmenti nel rapporto ½, quindi G1G2 è parallelo ad AB e misura 1/3 di esso. Adesso scegliamo i punti D ed E sulle mediane in modo che siano a un terzo delle stesse. Allora anche DE è parallelo ad AB e misura 1/3 di esso, cioè DEG1G2 è un parallelogramma. Pertanto G dimezza le diagonali. Ma allora G divide le mediane nel rapporto 1:3. Come volevasi dimostrare.

Invece in generale i tetraedri non hanno un ortocentro.

Definizione 3

Un tetraedro le cui altezze, rette condotte da ogni vertice perpendicolarmente al piano che contiene la faccia opposta, si incontrano in un punto, si dice ortocentrico.

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motivo trirettangolo, è ortocentrico, di ortocentro il vertice trirettangolo A.

Invece in generale un tetraedro qualsiasi non è ortocentrico, come mostrato nella successiva figura.

Cosa deve succedere affinché un tetraedro sia ortocentrico? Il più semplice risultato è il seguente.

Teorema 3

Un tetraedro è ortocentrico se e solo se il piede di un’altezza è ortocentro della faccia opposta.

Dimostrazione Omessa

Verifiche

Lavoriamo insieme

Una faccia di un poliedro è pentagonale. Quante facce, minimo, può avere il poliedro?

Minimo possiamo costruire su ciascuno dei lati del poligono un triangolo e tutti i triangoli devono avere il terzo vertice in comune, quindi al minimo il poliedro ha sei facce, come mostrato in figura.

Livello 1

1. Se sulla faccia di un tetraedro costruiamo un altro tetraedro con una faccia coincidente, il poliedro ot-tenuto è concavo o convesso? Giustificare la risposta. [Concavo]

2. Dati i seguenti poliedri, contare quante facce ha ciascuno di essi.

[14; 8; 10] 3. Con riferimento al precedente esercizio, contare quanti spigoli ha ciascun poliedro. [36; 18; 24] 4. Esistono poliedri concavi con quattro facce? Giustificare la risposta. [No] 5. Una faccia di un poliedro è esagonale. Quante facce, minimo, può avere il poliedro? [7] 6. Esistono poliedri che hanno tutte le facce triangolari meno una? Se la risposta è positiva, dette n le

facce triangolari (n ≥ 4), quanti lati ha il poligono non triangolo? [Sì; n] 7. Esistono poliedri che hanno tutte le facce quadrilatere meno una? Se la risposta è positiva, dette n le facce triangolari (n ≥ 4), quanti lati ha il poligono non triangolo? [No] 8. Esistono poliedri che hanno tutte le facce quadrilatere meno due? Se la risposta è positiva, dette n le

facce quadrilatere (n ≥ 3), quanti lati hanno i poligoni non quadrilateri? [Sì; entrambi n] Livello 2

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9. Un poliedro ha 5 facce, quante di esse possono essere triangolari? Quante quadrate? Quante pentago-nali? [4; 1; 0] 10. Un poliedro ha una faccia pentagonale e una quadrata, quante facce minimo ha? E quanti lati hanno le rimanenti? [6; 3 triangoli e 1 quadrilatero] 11. Un poliedro ha una faccia esagonale e una pentagonale, quante facce minimo ha? E quanti lati hanno le rimanenti? [8; 5 triangoli e 1 quadrilatero]

Lavoriamo insieme

Nel poliedro in figura AC è un unico spigolo o deve contarsi per due?

Che cos'è uno spigolo? Il lato di una faccia, quindi AC non è lato di alcuna faccia, mentre AB e BC sono lati di due diverse facce, quindi AC deve contarsi per due spigoli: AB e BC.

Livello 2

Nei seguenti quesiti le risposte vanno giustificate

12. Nel poliedro in figura AC è un unico spigolo o deve contarsi per due? [2]

13. Nel poliedro in figura quali fra AB, AC e BC sono spigoli? [AB e AC]

14. Nel poliedro in figura quali fra AB, AC, AD, BC, BD, CD sono spigoli?

[AB e CD] 15. Quante facce hanno i poliedri in figura? Giustificare la risposta.

[8] [8] [10] 16. Quanti spigoli hanno i poliedri in figura? Giustificare la risposta.

[19] [18] [17]

17. Possiamo costruire un tetraedro che ha tutte le facce che sono triangoli rettangoli? Isosceli? Equilateri? Ottusangoli? [Sì; Sì; Sì; Sì]

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83 Livello 3

18. Un tetraedro ha tre facce che sono triangoli isosceli e una equilatera. Provare che il tetraedro è orto-centrico. Possiamo dire che le 4 altezze sono isometriche? [No] 19. Con riferimento al precedente problema, se i lati obliqui dei triangoli isosceli misurano 17 cm e l’altezza del tetraedro riferita alla faccia equilatera è 15 cm, determinare la misura del lato del triango-lo equilatero. [16 cm]

I prismi

Adesso consideriamo dei particolari poliedri. Tracciamo un poligono convesso su un piano, e conduciamo da uno dei vertici una retta a piacere che incontra un piano parallelo al dato. Quindi tracciamo le parallele a tali rette per gli altri vertici, determinando così sull’altro piano un poligono isometrico al dato.

Definizione 4

• _{La parte di spazio delimitata da due poligoni isometrici, posti su due piani fra loro paralleli e dai} parallelogrammi aventi una coppia di lati opposti formata dalle coppie di lati che si corrispondono

nell’isometria, si chiama prisma.

• _{I poligoni isometrici e paralleli si chiamano basi, i parallelogrammi si chiamano facce laterali.}

Quindi in generale un prisma ha un numero di facce pari a due in più del numero di lati dei poligoni di base. Vi sono ovviamente prismi particolari.

Definizione 5

Un prisma le cui facce laterali sono rettangoli si chiama prisma retto. Gli spigoli delle facce rettangolari

sono tutti fra loro isometrici e ciascuno di essi si chiama altezza del prisma retto.

Definizione 6

• _{Un prisma retto le cui basi sono rettangoli si chiama parallelepipedo rettangolo.}

• _{I dodici spigoli di un parallelepipedo rettangolo si possono raggruppare in tre insiemi di segmenti a} quattro a quattro isometrici. Quindi in generale ci sono tre diverse misure di spigoli in un parallelepipedo rettangolo che si chiamano dimensioni del parallelepipedo.

• I segmenti che uniscono vertici di facce opposte non appartenenti a una stessa faccia si chiamano

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Esempio 4

Facendo riferimento alla figura precedente, una diagonale del parallelepipedo è D´B, non sono invece diagonali D′A, D′C e D′D. Perché tutti questi segmenti appartengono a una faccia del parallelepipedo. Le altre diagonali sono perciò C′A, B′D e A′C. Ovviamente tutte e quattro le diagonali sono segmenti fra loro isometrici.

Teorema 4

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo si ottengono estraendo la radice quadrata della somma dei

quadrati delle dimensioni. In formula 2 2 2

d = a +b +c .

Dimostrazione

Per esercizio. Basta applicare il teorema di Pitagora a due opportuni triangoli rettangoli.

Definizione 7

Un parallelepipedo rettangolo, le cui facce sono tutti quadrati si chiama cubo.

In un cubo tutte le dimensioni sono isometriche, parleremo quindi semplicemente di spigolo del cubo. Possiamo calcolare molto facilmente la superficie dei prismi retti, infatti le facce laterali sono tutte rettango-li, quindi abbiamo il seguente risultato.

Teorema 5

La superficie di un prisma retto si ottiene moltiplicando il perimetro di una delle basi per l’altezza e sommando le superfici di base.

Si hanno i seguenti immediati corollari.

Corollario 2

La superficie di un parallelepipedo rettangolo è data dal doppio della somma dei prodotti delle dimensioni a due a due. In formula indicate con a, b, c, le misura delle dimensioni si ha: S = 2 ⋅ (ab + ac + bc).

Corollario 3

La superficie di un cubo è pari a sei volte quella di una sua faccia. In formula, indicata con ℓ la misura dello spigolo si ha: S= ⋅ℓ . 6 2

Verifiche

Lavoriamo insieme

Un prisma ha 2002 vertici. Quanti spigoli ha?

Un prisma è formato da due poligoni con lo stesso numero di vertici collegati fra loro da segmenti, quindi in generale un prisma le cui basi sono poligoni con n vertici hanno un totale di 2n vertici e di 3n spigoli. Pertanto per n = 1001, avremo 3003 spigoli.

Livello 1

1. È sufficiente dire che un prisma è un poliedro con due facce appartenenti a piani paralleli e

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2. Con riferimento al precedente quesito cosa dobbiamo aggiungere alla definizione perché sia corretta? [Che il poliedro sia convesso] 3. Possiamo dire che un parallelepipedo rettangolo è un poliedro le cui facce sono tutte rettangoli? Se la risposta è negativa fornire un esempio di poliedro con facce rettangolari che non è un parallelepipedo rettangolo. [No, ] 4. Con riferimento al precedente problema, possiamo dire che un parallelepipedo rettangolo è un poliedro convesso le cui facce sono tutte rettangoli? [Sì] 5. Da un panetto di burro a forma di parallelepipedo rettangolo tagliamo gli angoli in modo da ottenere delle sezioni triangolari, quante facce ha il solido così ottenuto? [14] 6. Con riferimento al precedente esercizio, quanti spigoli ha il solido ottenuto? [36] 7. Incolliamo 6 cubetti uguali, in modo da ottenere un poliedro a forma di croce, come mostrato in figura.

Quanti vertici ha? Quanti spigoli? Quante facce? [32; 60; 30] 8. In un parallelepipedo rettangolo uno spigolo misura 5 cm e la diagonale della faccia che ha per

dimen-sioni gli altri due spigoli misura 12 cm, determinare la misura della diagonale del parallelepipedo. [13 cm] 9. In un parallelepipedo rettangolo la somma delle tre dimensioni è 21 cm e le dimensioni sono una

dop-pia dell’altra, determinare tali dimensioni. [3 cm, 6 cm, 12 cm] 10. In un parallelepipedo rettangolo due dimensioni sono isometriche e doppie della terza, la diagonale misura 6 cm.Determinare la misura delle dimensioni. [2 cm, 4 cm, 4 cm] 11. Incolliamo 5 cubetti di lato 1 cm, in modo da ottenere un poliedro a forma di T, come mostrato in

figu-ra. Quanto misura la distanza AB? [ 14 cm] 12. Incolliamo 8 cubetti di lato 1 cm, in modo da ottenere un poliedro a forma di E, come mostrato in

figu-ra. Quanto misura la distanza AB? [ 30 cm] Livello 2

13. In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni sono nel rapporto 1: 2: 3, la diagonale misura

2⋅ 7 cm_{. Determinare la misura delle dimensioni.} _ 2 cm, 2⋅ 2cm,3⋅ 2cm_

14. Un prisma retto a base triangoli equilateri, ha gli spigoli della stessa misura, se la sua superficie è

(

12 2+ ⋅ 3 cm

)

2, quanto misura lo spigolo? [2 cm] 15. Dimostrare che in un parallelepipedo rettangolo le diagonali si incontrano nel loro punto medio.

16. Dimostrare che se in un prisma a base quadrangolare le diagonali si incontrano nel loro punto medio, allora il prisma è un parallelepipedo rettangolo.

17. Dimostrare che se in un prisma a base quadrangolare le diagonali sono isometriche, allora il prisma è un parallelepipedo rettangolo.

18. In un parallelepipedo rettangolo le dimensioni sono una doppia dell’altra, se tutte le misure sono inte-re, la somma delle tre dimensioni è multipla di quale numero? [7] 19. In figura è mostrata una tenda canadese a forma di prisma retto. Se la porta d’ingresso ha la massima ampiezza di 4 m, la lunghezza della tenda è 6 m e l’altezza di 1,5 m. Quanto sarà lungo un cavo teso

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che congiunge in punti A e B? [6,5 m]

Livello 3

20. Con riferimento al precedente problema determinare una formula per trovare AB in funzione dell’ampiezza a, la lunghezza l e l’altezza h.

2 2 2 4 4 2 h a l  + +       

21. Dimostrare che in un prisma retto a base triangolare, i segmenti che uniscono un vertice di una base con il punto medio del lato opposto nell’altra base, si incontrano in uno stesso punto, che è allineato

con il segmento che unisce i baricentri delle basi.

22. Con riferimento al precedente esercizio, in che modo il punto d’incontro divide il segmento che ha per estremi i baricentri? [Nel rapporto 2:1] 23. Dimostrare che un prisma quadrangolare le cui facce opposte sono isometriche è un parallelepipedo

rettangolo.

24. Dimostrare che un prisma quadrangolare le cui diagonali si incontrano nei loro punti medi è un paral-lelepipedo rettangolo.

25. Dimostrare che un parallelepipedo con le diagonali isometriche è rettangolo.

26. Dimostrare che in un parallelepipedo rettangolo, la somma dei quadrati delle misure degli spigoli è uguale alla somma dei quadrati delle diagonali.

27. Un problema di Dudeney. Una stanza a forma di parallelepipedo rettangolo ha dimensioni, in centime-tri, 12 × 30 × 12. Un ragno è sulla linea centrale di una parete terminale a 1 cm dal soffitto. Una mo-sca è sulla linea centrale del muro terminale opposto, a 1 cm dal pavimento. Qual è la minima distanza che il ragno deve percorrere per raggiungere la mosca? Suggerimento: Espandere sul piano la super-ficie della stanza. [40 cm]

Lavoriamo insieme

Il solido nella figura seguente è ottenuto eliminando un prisma rettangolare da un cubo di lato 8 m.

Vogliamo determinare la superficie del solido.

Osserviamo che la scelta delle dimensioni del prisma da tagliare sono ininfluenti perché il solido ottenuto ha sempre la stessa superficie. Infatti essa non è altro che la superficie del cubo. Poiché ogni pezzo di superficie eliminata dal cubo viene compensata da una faccia del parallelepipedo rimasta.

Pertanto la superficie è 6 × 8² m² = 6 × 64 m² = 384 m².

Livello 1

28. Calcolare la superficie di un solido formato da un cubo di lato lungo 8 cm, con un altro cubo incollato sulla sua base superiore le cui facce hanno la diagonale che misura 6 cm. [456 cm²] 29. Calcolare la superficie di un solido formato da un cubo di lato che misura 4 cm, con un buco a forma

di cubo di lato 2 cm. [112 cm²] 30. In un parallelepipedo rettangolo, sommando a due a due le aree delle facce non parallele, si ottengono i numeri 27, 32, 35. Determinare la misura delle tre dimensioni. [3, 4, 5]

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31. Un prisma equilatero retto a basi triangolari ha superficie

(

18 3 108 cm⋅ +

)

2, determinare la misura del perimetro di base. [18 cm] 32. Un prisma retto ha per basi due triangoli equilateri di area 2

4⋅ 3 cm . Sapendo che il prisma ha super-ficie

(

8 3 93 cm⋅ +

)

2, determinare la misura dell’altezza del prisma. [7,75 cm] 33. Un prisma retto ha per basi due triangoli equilateri di perimetro 18 cm. Sapendo che l’altezza del pri-sma misura 4 cm, determinare la misura della superficie. ^_

(

18⋅ 3 72 cm+

)

2^_ 34. Un prisma retto ha per basi due triangoli rettangoli di cateti lunghi 3 cm e 4 cm, se l’altezza del prisma misura 6 cm., determinare la misura della superficie. [84 cm²] 35. Un prisma retto ha per basi due rombi di lato lungo 3 cm e formanti un angolo di 60°. Se l’altezza del

prisma è lunga 5 cm, determinare la superficie del prisma.

( )

2

9 3 60 cm

 ⋅ + 

 

36. Un prisma retto ha per basi due rombi di diagonali una doppia dell’altra ed altezza isometrica alla dia-gonale maggiore, se la superficie del prisma è

( )

2

64⋅ 5 32 cm+ , determinare la misura della diagona-le minore. [4 cm] 37. Un prisma retto ha per basi due esagoni regolari di lato lungo 4 cm e altezza lunga 6 cm. Determinare la misura della superficie. ^_48 3⋅ +

(

3 cm

)

2^_ 38. Un prisma equilatero retto a basi esagonali ha superficie 27 cm², determinare la misura dello spigolo.

3 2 3 cm

 ⋅ − 

 

 

Livello 2

39. Determinare una formula per il calcolo della superficie di un prisma retto a base triangolo equilatero, in funzione del lato l della base e dell’altezza h del prisma. ³ h ₂³

   ⋅ ⋅ + ⋅  _ _      ℓ ℓ

40. Determinare una formula per il calcolo della superficie di un prisma retto a base triangolo rettangolo, in funzione dei cateti a, b, della base e dell’altezza h del prisma.

(

2 2

)

a b a b h a b

 + + + ⋅ + ⋅ 

 

 

41. Determinare una formula per il calcolo della superficie di un prisma retto a base esagono regolare, in funzione del lato l della base e dell’altezza h del prisma. _ℓ⋅

(

6h+3ℓ⋅ 3

)

_

Livello 3

42. Consideriamo due cubi identici di lato l, su uno di questi sovrapponiamo un cubo di lato l ′ < l, sull’altro produciamo un buco a forma di cubo di lato l ′ < l. In che relazione sono le superfici dei due

Nel documento Carmelo Di Stefano Dal problema al modello matematico Vol. 2 Funzioni esponenziali e logaritmiche, Geometria dello spazio, Trigonometria, Successioni di numeri reali Matematicamente.it (pagine 80-92)