Carmelo Di Stefano Dal problema al modello matematico Vol. 2 Funzioni esponenziali e logaritmiche, Geometria dello spazio, Trigonometria, Successioni di numeri reali Matematicamente.it

(1)

(2)

Carmelo Di Stefano

Dal problema al modello matematico Vol. 2

Funzioni esponenziali e logaritmiche, Geometria dello spazio, Trigonometria,

Successioni di numeri reali

Matematicamente.it

www.matematicamente.it - info@matematicamente.it http://mathinterattiva.altervista.org/index.htm

ISBN 9788896354476

Edizione riveduta e corretta. Maggio 2014 Questo libro è rilasciato con licenza

Creative Commons BY-NC-ND

Attribuzione – Non Commerciale – Non opere derivate http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/it/deed.it

Attribuzione — Devi attribuire la paternità dell'opera nei modi indicati dall'autore o da chi ti ha dato l'opera in licenza e in modo tale da non suggerire che essi avallino te o il modo in cui tu usi l'opera.

Non commerciale — Non puoi usare quest'opera per fini commerciali.

Non opere derivate — Non puoi alterare o trasformare quest'opera, né usarla per crearne un'altra.

Se vuoi contribuire a migliorare questo testo, invia segnalazioni di errori, mancanze, integrazioni all’autore carmelodst@alice.it o all’editore info@matematicamente.it. I proprietari di immagini, o di altri contenuti, che sono stati utilizzati impropriamente e inavvertitamente in questo libro, se ritengono di non essere stati citati correttamente sono pregati di mettersi in contatto con l’autore o con l’editore per gli interventi che si riterranno necessari; si fa presente che questo libro non ha scopo di lucro.

(3)

ii

PRESENTAZIONE

Nel corso della lettura dei volumi troverai diverse cose, che di seguito ti spiego brevemente.

All’inizio di alcune unità trovi un breve ripasso di argomenti svolti negli anni precedenti che ti risultano utili per affrontare serenamente la stessa unità. Vanno sotto il nome di Richiamiamo le Conoscenze. In alcune unità vi sono anche argomenti di approfondimento, denominati con il titolo Quelli che vogliono sapere di più …

Le definizioni, i teoremi, i corollari e simili enti matematici, sono contenuti all’interno di appositi box di un uguale colore (verde per le definizioni, celeste per i teoremi e così via)

Ogni tanto troverai anche un box che ti spiega il significato di alcuni vocaboli, si intitola Che cosa signifi- ca?

Poi ci sono dei box con delle informazioni storiche che si chiamano I Protagonisti, che contengono infor- mazioni relativamente a famosi matematici citati nelle stesse pagine; e L’angolo storico, in cui invece ci sono informazioni di varia natura, su quando per la prima volta si sono incontrate le nozioni di cui si sta par- lando e simili informazioni. Trovi anche, ogni tanto un box denominato L’antologia, in cui sono riportati passi di famose opere matematiche, commentate. Vi sono anche dei box chiamati Enigmi matematici o In- tervallo matematico, che si riferiscono in genere ad applicazioni giocose della matematica.

Alla fine di ogni argomento vi sono le relative verifiche. In esse sono presenti esercizi di tre livelli di diffi- coltà, opportunamente indicati. Il Livello 1 è relativo a esercizi che sono spesso semplice applicazione di quanto detto nella teoria; quelli di Livello 2 o contengono calcoli più complicati, o hanno bisogno di un im- pegno maggiore; infine quelli di Livello 3 riguardano quesiti che devono essere impostati usando la fantasia e non in modo ripetitivo. Questi ultimi sono riferiti ai più volenterosi. Per quelli a cui piace veramente ra- gionare e impegnarsi, alla fine di ogni unità sono presenti alcuni esercizi molto complessi, che vanno sotto il nome di La sfida

Invece per aiutarti all’inizio di ogni gruppo di esercizi di livello 1 o 2 vi sono alcuni esercizi simili svolti.

Sono talvolta presenti box legati a importanti software matematici: Derive, Geogebra, Excel, Microsoft Ma- thematica. In essi ti vengono spiegate brevemente alcune funzionalità dei software, ti si spiega velocemente cosa puoi fare con essi relativamente all’argomento affrontato e poi ti vengono proposti esercizi da risolvere con i detti software. Ricorda che Geogebra e Microsoft Mathematica sono liberamente scaricabili da Inter- net, mentre Derive può essere scaricato liberamente solo in una versione di prova che, dopo 30 giorni, non ti permette più di salvare. Excel, o simile, è di solito installato in tutti i PC.

Alla fine dell’unità sono presentati, quando possibile, esercizi tratti dagli esami di stato, soprattutto del Liceo Scientifico, riferiti ad anni passati. Sono anche presenti dei quesiti tratti da gare matematiche italiane ed internazionali, alcuni quesiti sono anche enunciati in lingua inglese. Così come quesiti tratti dai Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari.

In alcune unità poi sono presentate anche delle proposte di attività interdisciplinari.

Infine sono proposti dei test, almeno 10 di numero, relativi ai più importanti argomenti dell’unità didattica.

Questi li trovi solo in formato multimediale scaricabili sempre dal sito http://mathinterattiva.altervista.org.

Un altro sito da cui puoi scaricare molto materiale didattico gratuito è http://matdidattica.altervista.org.

Buon lavoro Carmelo Di Stefano

(4)

1

Indice

5. Funzioni esponenziali e logaritmiche 5.1 Esponenziali

Richiamiamo le conoscenze Pag. 8

Verifiche 9

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 13

Questions in English 13

Uso della calcolatrice per il calcolo di una potenza 13

L’angolo di Microsoft Mathematics 14

L’angolo di Derive 14

Potenze ad esponente reale 15

Verifiche 16

Equazioni e disequazioni esponenziali 17

Verifiche 19

Giochiamo alla matematica 25

La sfida 28

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 29 5.2 Logaritmi

Concetto di logaritmo e curva logaritmica Pag. 31

Verifiche 34

Proprietà dei logaritmi 38

Verifiche 40

Equazioni e disequazioni logaritmiche 50

Verifiche 51

La sfida 56

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 60 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 61

6. Geometria dello spazio ambiente 6.1 Rette e piani nello spazio

Postulati ed enti primitivi della geometria euclidea dello spazio 64

Posizioni reciproche di piani nello spazio 65

Posizioni reciproche di rette nello spazio 66

Gli angoli diedri 67

Perpendicolarità nello spazio 68

(5)

2

L’antologia Pag. 70

Verifiche 71

L’angolo di Cabri3D 74

Temi assegnati agli esami di stato 75

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 76

6.2 Geometria dei poliedri

I poliedri 78

Verifiche 81

I prismi 83

Verifiche 84

Le piramidi e i tronchi di piramide 89

Verifiche 92

I poliedri regolari 97

Verifiche 99

L’angolo di Cabri3D 102

I poliedri semiregolari 103

Verifiche 105

Temi assegnati agli esami di stato 107

La sfida 108

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali 109

Questions in english 110

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 111 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 113

6.3. Geometria dei solidi di rotazione

Il cilindro, il cono e il tronco di cono 115

La sfera e le sue parti 123

La sfida 134

6.4. Il volume

Concetto di volume e volume dei poliedri Pag. 140

Volume dei corpi rotondi 146

(6)

3

La sfida 152

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 155 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 156 6.5. Geometria analitica in 3D

Geometria degli spazi a più di 2 dimensioni Pag. 158

L’angolo di Derive 161

L’angolo di Microsoft Mathematics 162

Piani e rette nello spazio cartesiano 163

Quelli che vogliono saperne di più … - Le quadriche canoniche 168

7. Goniometria e trigonometria 7.1 Risoluzione dei triangoli

Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli acuti 173

Risoluzione dei triangoli rettangoli 184

Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema dei seni 198

Risoluzione dei triangoli qualsiasi e teorema del coseno 210

La sfida 229

7.2 Goniometria

Definizione delle funzioni trigonometriche elementari per angoli qualsiasi Pag. 238

L’angolo di Geogebra e Cabri 248

Unità di misura in radianti e rappresentazione grafica

delle funzioni goniometriche elementari 248

L’angolo di Geogebra e Cabri 267

Quelli che vogliono sapere di più … Riferimento polare 271

(7)

4 7.3 Equazioni e disequazioni goniometriche

Risoluzione di equazioni goniometriche elementari Pag. 275

Equazioni omogenee in seno e coseno 286

Disequazioni goniometriche 290

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 299 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 300 7.4 Formule goniometriche

Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione degli archi Pag. 302

Equazioni lineari in seno e coseno 330

Formule di prostaferesi e di Werner 335

La sfida 342

7.5 Il campo dei numeri complessi

Un approccio storico 354

L’Antologia 356

Operazioni aritmetiche con i numeri complessi 358

Equazioni in C 366

Forma trigonometrica, radici ennesime dei numeri complessi

e piano di Argand–Gauss 371

Quelli che… vogliono sapere di più - Il campo dei numeri complessi 381

La sfida 382

(8)

5 8. Successioni di numeri reali

8.1 L’insieme dei numeri naturali

Il concetto di insieme infinito e di numerabilità Pag. 386

Giochiamo alla matematica 391

Il Principio di induzione 392

La sfida 395

8.2 Combinatoria

Raggruppamenti semplici e con ripetizione e principio dei cassetti Pag. 397

Disposizioni semplici e ripetute 400

Permutazioni semplici e ripetute 403

Combinazioni semplici e ripetute 407

Temi di esame assegnati agli esami di stato 418

La sfida 418

8.3 Progressioni numeriche

Progressioni aritmetiche Pag. 427

Progressioni geometriche 432

La sfida 437

8.4 Il calcolo delle probabilità

Concetto di evento aleatorio e diversi punti di vista della Probabilità 444

La concezione frequentista 448

(9)

6

L’angolo di Microsoft Mathematics Pag. 452

Probabilità secondo Laplace 453

Intervallo matematico 458

Probabilità dell’unione di eventi elementari 462

Estrazioni con e senza rigenerazione 469

Enigmi matematici 472

Probabilità condizionata 473

Eventi dipendenti ed eventi indipendenti 476

Teorema di Bayes 481

La sfida 487

Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 496 Risposte Test di ammissione alle Università o alle Accademie militari 499 8.5 Successioni infinite e serie numeriche

Proprietà delle successioni di numeri reali 504

Successioni divergenti 508

Successioni convergenti 512

Operazioni aritmetiche con i limiti 519

Successioni infinitesime e infinite 522

Proprietà dei limiti di successione 528

Le serie numeriche 533

Serie a termini di segno costante 539

La sfida 545

(10)

7

5. Esponenziali e logaritmi

5.1 Esponenziali

Prerequisiti

• Concetto di numero reale

• Elevamento a potenza di esponente intero o razionale

• Proprietà delle potenze

• Uso della calcolatrice

Obiettivi

• Comprendere il concetto di potenza a base ed esponente reale

• Sapere usare le proprietà delle potenze

• Sapere usare la notazione esponenziale

• Sapere impostare e risolvere semplici problemi relativi agli esponenziali

• Comprendere il concetto di logaritmo

• Saper calcolare logaritmi in qualsiasi base usando la calcolatrice scientifica

• Sapere usare i logaritmi per semplificare numeri a molte cifre

Contenuti

• Esponenti di base reale ed esponente intero o razionale

• Potenze a base ed esponente reale

• Equazioni e disequazioni esponenziali

• Applicazioni delle equazioni esponenziali alla risoluzione di problemi del mondo reale

Parole Chiave Base – Esponente

(11)

8

Richiamiamo le conoscenze

Esponenti di base reale ed esponente intero o razionale

L’operazione di elevamento di un numero a una potenza intera positiva non è altri che una generalizzazione dell’operazione di moltiplicazione.

Definizione A

Diciamo potenza di base il numero reale a e di esponente il numero naturale b, il prodotto di b fattori uguali ad a.

Notazione A

La potenza di a alla b si indica con a^b.

Dalla stessa definizione nascono immediati risultati di facile dimostrazione, perciò omessa.

Teorema A

Si ha: a^b ⋅ a^c = a^{b + c}, b, c ∈N; a^b : a^c = a^{b – c}, b, c ∈N, a ≠ 0; (a^b)^c = a^{b ⋅ c}, b, c ∈N

Esempio A

Abbiamo: [(2³ ⋅ 2⁵) : 2²]⁴= [2³⁺⁵ : 2²]⁴ = [2^{3+5 – 2}]⁴ = 2^{6 ⋅ 4} = 2²⁴.

Sempre sfruttando i risultati del Teorema A, possiamo generalizzare il concetto di potenza ad esponenti numeri interi relativi.

Esempio B

Per la seconda proprietà del Teorema A si ha: 3⁴ : 3⁶ = 3^–2. D’altro canto si ha anche:

4

4 6 3

3 : 3 = ₆

3 ² ²

1

=3 . Per- tanto possiamo dire che si ha: ² 1₂

3 3

− = .

Possiamo allora porre la seguente definizione.

Definizione B

Per ogni numero naturale b e per ogni numero reale diverso da zero a, si ha: b 1 a b

a

− = .

Possiamo generalizzare il concetto di potenza anche agli esponenti nulli, sempre usando la proprietà già vista.

Esempio C

Si ha: 5³ : 5³ = 5⁰, ma anche: 5³ : 5³ = 1. Pertanto possiamo dire che si ha: 5⁰ = 1.

In vista del precedente esempio possiamo dire.

Definizione C

Per ogni numero naturale b e per ogni numero reale diverso da zero a, si ha: 5⁰ = 1.

Cosa accade se la base è zero?

(12)

9 Esempio D

Se fosse 0⁰ = 1 dovrebbe essere anche:

2

0 2 2

2

0 0

0 0 : 0

0 0

= = = . Cioè 0

0=1, ma noi sappiamo che la scritta 0 0 non ha significato, poiché esistono infiniti numeri che moltiplicati per zero danno zero.

Definizione D

La scritta 0⁰ è priva di significato.

Una ulteriore estensione del concetto di potenza si ha con gli esponenti razionali.

Esempio E

Che significato possiamo dare alla scritta

1

32? Poiché si ha:

1 2

32 3

 

  =

  , abbiamo che il simbolo

1

32 è soluzio- ne dell’equazione x² = 3. Poiché nei numeri reali la detta equazione ha solo le soluzioni x = ± 3 e poiché il simbolo

1

32 certamente non rappresenta un numero negativo possiamo dire che

1

32 = 3. Tenuto conto di quanto detto possiamo stabilire la seguente definizione.

Definizione E

Per ogni numero razionale m; , , 0

b m n n

= n ∈ℤ ≠ e per ogni numero reale positivo, si ha:

m

n m

an = a

Esempio F

Per la definizione precedente si ha:

3 3 4 4

5 = 5 . Cosa succede se la base è negativa? Dipende dall’esponente.

(

⁻⁵

)

³⁴ ⁼ ⁴ ⁻⁵³ non ha significato, invece

(

⁻⁵

)

⁵³ ⁼ ³⁻⁵⁵ ^{= −}³⁵⁵ ^{= − ⋅}⁵ ³⁵² ha significato.

Quindi la potenza a esponente frazionario ha sempre significato per qualsiasi base positiva, mentre per le basi negative dipende dall’esponente. Per evitare problemi evitiamo di definire quindi le potenze ad esponente frazionario e base non positiva.

Verifiche

Lavoriamo insieme

Vogliamo semplificare la seguente espressione nel modo più rapido, ossia eseguendo solo quelle potenze che risultano necessarie: (2² ⋅ 3²)³ ⋅ 6² ⋅ 3³ ⋅ (6⁴ ⋅ 6³)⁵. Cominciamo ad applicare le proprietà enunciate nella teoria. [(2 ⋅ 3)²]³ ⋅ 6² ⋅ 3³ ⋅ (6⁴⁺³)⁵= (6²)³ ⋅ 6² ⋅ 3³ ⋅ (6⁷)⁵= 6⁶ ⋅ 6² ⋅ 3³ ⋅ 6³⁵= 6⁶⁺²⁺³⁵ ⋅ 3³ = 6⁴³ ⋅ 3³ Non riusciamo a semplificare ulteriormente l'espressione.

Utilizzando le proprietà delle potenze, semplificare le seguenti espressioni.

Livello 1

1. 2^–2 ⋅ 2³ ⋅ 2^–4 ⋅ 2⁵⋅ 2⁰ [2²] 2^–2 ⋅ 4³ ⋅ 8^–4 ⋅ 16⁵⋅ 32^–6⋅ 64⁷ [2²⁴] 2³ ⋅ 2⁵ ⋅ 2⁷⋅ 2⁴ [2¹⁹] 2 ⋅ 2² ⋅ 2³ ⋅ 2⁴ [2¹⁰] 2. 3²⋅ 3³⋅ (3⁴)² [3¹³] (5 ⋅ 5)² ⋅ (5⁴⋅ 5)⁴ [5²⁹] 7² ⋅ (7 ⋅ 7²)³ ⋅ (7⁴⋅ 7) [7¹⁶] 2²⋅ 2³⋅ (2³)² ⋅ (2⁴)⁴ [2²⁷] 3. (3 ⋅ 3²)³ ⋅ (3³⋅ 3)³ [3¹⁸] [(3²)³]⁴⋅ [(3³)²]⁴ [3⁴⁸] (2²)³ ⋅ (2³)²⋅ (2⁶)² [2²⁴]2⁴⋅ (2²)² ⋅ (2³)⁴⋅ (2⁴)³ [2³²] 4. 5³ : 5⁴ ⋅ (5³: 5)⁵ [5⁹]

( ) (

³ ³^: ²⁷

)

⁵^⋅

( )

³⁵ ²^{: 3}^_ ³⁻³^ (3/7)²⋅ (3/7)⁴⋅ (7/3) [3/7]

(13)

10 5. ³¹¹^⋅³^{121 :}

(

³¹¹^⋅³¹¹

)

⁴ ³11⁻⁵

  π⁴⋅ (π³)^–2 : π⁻³ ⋅ (π² : π⁵)^–2 [π^–11] Livello 2

6. 3² ⋅ 5² ⋅ 3³ ⋅ 2³ [2³⋅ 3⁵⋅ 5²] 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 2²⋅ 3²⋅ 5 [2⁴⋅ 3³⋅ 5²] –2⋅7 ⋅ 11 ⋅ 7⁴ ⋅ 11³ ⋅ 13² [– 2⋅7⁵⋅11⁴⋅13²] 7. 2⋅3⋅2²⋅5²⋅(–2⋅3³) ⋅ (–2⋅5²) ⋅ (–2²⋅3²⋅5³) [– 2⁷ ⋅ 3⁶ ⋅ 5⁷] [(2²⋅5²)³⋅3³]⁴: [(2⁴⋅3⁴)²⋅5²]⁴ [2^–8 ⋅ 3^–20⋅ 5¹⁶] 8.

3 2 2 3

2 3

2 8

:

32 π

π π

− −

     

    ⋅ 

     

    [2¹² ⋅ π^–18]

3 3

3 2 7

2 6 2

2 3 2

3 4 : 81

− −

−

   

 

⋅   

 

      [2^–60 ⋅ 3^–24] 9.

( )

⁵ ⁻³^{: 125}³^⋅⁵⁻³^⋅ ⁵⁵ [5^–27/2]

2 3 2 3

: :

2 3 4 6

π ⁻ π ⁻ π π

       

    ⋅   

        [2]

10.

( ) ( ) ( )

5 5 5

4 3 3

3 4 2

2 2 3 4 3 3 4 3 4 4 2 3

5 7 2 3 : 2 5 : 3 7 3 : 5 7 2

 ⋅ ⋅  ⋅   ⋅  ⋅  ⋅  ⋅  ⋅ 

        

      [2^–153 ⋅ 3²⁰⁰⋅ 5^–260 ⋅ 7¹³⁵]

Livello 3

11. Determinare x in modo che valga la seguente uguaglianza: 2^x ⋅ (2³)²⋅ (2^x)³ = 2²³. [17/4]

12. Un'azienda ha avuto una produzione di 2¹⁷ chicchi di riso. Nel giro di tre anni si prevede di raddoppia- re la produzione. Il tecnico del marketing dice che quindi si devono raccogliere 2³⁴ chicchi; la segreta- ria di produzione afferma che dovranno essere invece 4¹⁷; il direttore del settore vendite non è d'accor- do, saranno 2¹⁸; infine il responsabile pubblicitario afferma che il risultato corretto è invece 4³⁴. Chi ha ragione e perché? [Il direttore]

13. Sappiamo che 3²> 2² e che 6⁵ > 4⁵, possiamo dire che si ha sempre a > b ⇒ aⁿ > bⁿ, per ogni numero intero n? Giustificare la risposta. [No]

Lavoriamo insieme

Vogliamo semplificare la seguente espressione

2 3

4 2 4

3 9 3

27 9 3 3

3 27

−

⋅ +

+ ⋅

⋅

. Ci accorgiamo che tutte le potenze possono es-

sere ricondotte alla base comune 3, quindi effettuiamo intanto questa operazione

2 2 3

3 4

1

4 3

3 3

9 3

3 3

−

⋅   

  +

  +

⋅

. Osserviamo

che non abbiamo ricondotto il 9 a 3² perché in quel caso è un addendo e non un fattore, pertanto non a- vremmo ricevuto alcun vantaggio da questa espressione, non potendo applicare nessuna delle regole valide

per le moltiplicazioni e le divisioni fra potenze. Continuiamo

2 6 4

4 ( 12)

12 12

1 1

1

3 3 3

3 3

1 27 1

9 3 9 3

3 3

3

− −

− − −

− −

−

⋅ + +

= = +

+ +

+ ⋅

. Notiamo

che abbiamo trasformato una frazione in moltiplicazione e a un’altra abbiamo applicato la proprietà della di- visione fra potenze aventi la stessa base

4 12 8 8

1 1

3 3 3 3 3 3 6561 3 6564 1641

27 1 3 28 28 28 28 7

3

− + + + + +

= = = = =

+ ⋅ / /

.

Applicando le proprietà delle potenze semplificare le seguenti espressioni:

Livello 1

14. 35⋅3^–3⋅28^–1⋅ 98 ⋅ 108^–1 [2^–3⋅3^–6⋅5⋅7²] 3³ ⋅ 3^–4: 3⁵ ⋅ 3²+ 3 [2²⋅3^–4⋅61] (6² ⋅ 12^–3)^–1 : (18^–3: 16⁴)² [2⁴²⋅3¹³] 15. (3³)² ⋅ (5²)^–3: 25³ ⋅ (5 + 5²) [2 ⋅ 3 ⋅ 5^–5] (4² : 8³)^–4 ⋅ (2^–2: 2³)⁴+ 16 [17] ₂

5 3 2

7 343

49 7 7

−

⋅

⋅ [7⁸]

(14)

11 16. 3² ⋅ 5 ⋅ 3^–3⋅ 5^–2 + 3 ⋅ 5² ⋅ 3^–2⋅ 5^–3 [2 ⋅ 3^–1⋅ 5^–1]

3 3 3 3

7 4 3 2

−

[3^–2] 2³ ⋅ 3^–2⋅ 4³ ⋅ 6^–2⋅8⁵ ⋅ 9^–4 [2²² ⋅ 3^–12]

17. ₂ ₂

3 2 3

16 4

8 4 2

⋅

−

[2⁴] ₄ ₂

5 3 2

18 12

18 9 3

⋅

−

[2¹¹ ⋅ 3²] (4^–2 + 3^–1) ⋅ (4^–2– 3^–1) [–2^–8 ⋅ 3^–2⋅ 13 ⋅ 19]

Livello 2

18. (2^–1 + 1 – 2^–2) ⋅ (2^–1 + 1 – 2^–2) [2^–4 ⋅ 5²] (3^–1 + 3^–2 – 3^–3) ⋅ (3^–1 + 3^–2 – 3^–3) [3^–6⋅ 11²]

19. 2 2 2 1

) 1 2 ( ) 1 2 (

2 2

+

⋅ +

−

⋅ +

−

[–2^–2⋅3⋅5⋅ 7^–1] (2⋅3^–1 – 3 ⋅ 2^–1 – 1)⋅(2 ⋅ 3^–2 – 3 ⋅ 2^–1 + 1) [2^–3⋅3^–3⋅ 5⋅13]

20.

( ) ( )

[ ]

( ) ( )

[

³ ² ² ²

]

²

2 2 2 2 3

3 2 3

9 3

9 9 3 3

) 9 3 (

− −

−

+

⋅

−

⋅ +

[2^–4 ⋅ 3⁴⋅ 7]

21.

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

(

² ²

) (

² ¹

)

3 2

2 1 2 1

1 3

2 2 1 2

3 2

6 3 2 3

3 2

6 3 6

6 3

2 6 2

2

−

⋅ + −

−

⋅ + −

−

⋅

− [2^–2 ⋅ 3^–2⋅ 19]

22.

( ) ( )

(

³ ¹ ¹ ¹

) (

² ³ ¹ ¹ ¹

)

²

2 2 1 2 2 3

2 1 2 3

12 4 18 3 18

4 12 3

6 4 2 3 2

4 6 3

−

⋅

−

⋅ +

⋅

−

⋅ +

⋅

[2 ⋅ 13^–1⋅ 41]

23.

( ) ( )

(

²

) (

² ¹ ²

)

²

2 1 2 2

1 2

6 15 10

6 15 10 6

15 10

−

+

−

⋅

− +

[1]

24.

( ) ( )

1 4 2 1

) 1 ( 4

) 1 ( 2 2 2

4 2 1

2 3

2 2 2 2 3

3 2

+ +

−

− +

−

⋅

−

⋅ +

−

[2^–4 ⋅ 3]

Lavoriamo insieme

Vogliamo semplificare l’espressione:

1 2 3 3

3 3 4 2

3 ⋅6 ⋅4⁻ ⋅18⁻ . Cominciamo con la scomposizione delle basi in fattori primi: ¹³ ²³ ³⁴ ³² ¹³

( )

²³

( ) (

² ³⁴ ²

)

³²

1 2 2 3 3 3 1 2 2 3 3

2 2 3

3 3 3 4 2 2 3 3 3 2 2

3 6 4 18 3 2 3 2 2 3

3 2 3 2 2 3 3 2 3 2 2 3

− − − −

− ⋅ − − ⋅ − −

−

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Adesso moltiplichiamo fra loro le potenze di uguale base, applicando la ben nota regola secondo la quale gli esponenti si sommano e le basi restano invariate.

1 2 2 3 3 2 3 3 1 2 4 9 9 1 2 9 14 6 7

3 3 2

3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 6 3 6 3 3

3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

− − + −

− − + − − − −

− − − −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

Semplificare le seguenti espressioni Livello 1

25.

1 2 1

3 5 7

2 ⋅4⁻ : 8 [2^–94/105]

1 2

1

3 3

52⋅25 ⋅75 [3^2/3⋅ 5^5/2]

3 5

4 2

12 18⋅ [ 2⁴ ⋅ 3^23/4]

1 2 4

3 3 3

24 ⋅48 : 72 [2^–1/3 ⋅ 5^–5//3] 26.

5 9

1

8 32

2

7 11

3

16 64

4

2 2 2

⋅ ⋅

[2^3/64]

2 3

5 5

1 4

5 5

15 20

12 25

⋅

[2^4/5 ⋅ 3^1/5 ⋅ 5^–3/5]

2 1 1 1

3 3 2 4

1 1 2

1

6 3 3

2

2 64 128 16

32 4 256 8

⋅ ⋅ ⋅

[2^–1/3]

3 1 1 1

2 2 4 2

a ⋅b⁻ ⋅a ⋅b⁻ [a^–7/4⋅ b]

Livello 2 27.

2 2 1 2 1

3

5 









 − 8 2 − ⋅ 15

3 3 1 3 1

3

2 











+ [3 ⋅ 18^1/3 + 3 ⋅ 12^1/3 + 5] 











−

⋅













+ ²

1 2

1

7 1 7

1 [–6]

28. 











+

−

⋅













+ ³

2 3 1 3 2 3 1 3 1

2 10 5 2

5 [7]

2 4 1 2 2 1 4 1 2 1











 +

 +













−b a b

a 2a+ ⋅2 b

(15)

12

29. 









 +

⋅

−













+ +

⋅













−

 −













+ ⁻³

2 3

2 3 1 3 2 3 1 3 2 1 6 1 2 1

3 1 3 3 6 2 3 2 3

2 [2 ⋅ 24^1/6]

30. 









 −

⋅

−











 + −

⋅











 − −

+

−











 + +

⋅











 − + ⁴

3 2

1 2

1 4 1 2

1 4 1 2 3 4

1 2 1 4

1 2 1

2 1 2 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 3

2 1− 3

31.

2 4 1 4

1 3

2 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 1

1 2

1 1

2 











−

⋅

+













−

⋅











 +

⋅

 +











 +

−













−

⋅













+b a b a b a b b

a [–2a^1/3 – 2b^¼]

32. a b c a b c a b a a b

1 6

1 3

1 2

1 6

1 3

1 2

1 6

1 3

2 1

3 1 2

1

4 1 3

+ −

F HG I

KJ

^⋅

F

⁺ ⁺

HG I

KJ

⁻

F

⁻

HG I

KJ

⁻ ^⋅

F

⁻

HG I

KJ

^⋅

−

[a^–1/3 ⋅ b^1/3 – c]

Lavoriamo insieme

La notazione esponenziale è molto usata nelle scienze, per esempio in fisica o in chimica. Ciò infatti rende più semplice risolvere certi problemi. Sappiamo per esempio che la distanza media della terra dal sole è 150 milioni di chilometri, mentre la velocità della luce è di 300 000 Km al secondo, cioè in un secondo la luce percorre 300 000 Km. Se volessimo determinare in quanto tempo la luce del sole arriva fino a noi dovrem- mo semplificare la frazione 150000000

300000 , che non è difficile da ridurre. Se scriviamo però i due numeri nella notazione esponenziale in base 10:

7

2 5

15 10 3 10 5 10

⋅ = ⋅

⋅ , troveremmo più semplicemente il risultato. Sono perciò necessari 500 secondi. Quanti minuti rappresentano? In un minuto ci sono 60 secondi, quindi 500/60 ≈ 8,3 = 8^m48^s.

Usando la notazione esponenziale e la seguente tabella in cui sono riportati i dati sui pianeti del nostro sistema solare, risolvere i seguenti problemi. La velocità della luce è di 3 ⋅⋅⋅⋅ 10 ⁸ m/s

Livello 2

Pianeta Distanza media dal sole (in m) Raggio medio (in Km) Massa (in Kg)

Mercurio _{5, 79 10}_⋅ ¹⁰ _{2, 433 10}_⋅ ³ _{3,18 10}_⋅ ²³

Venere _{1, 082 10}⋅ ¹¹ 6, 08 10⋅ ³ 4,881 10⋅ ²⁴

Terra _{1, 496 10}_⋅ ¹¹ _{6, 378 10}_⋅ ³ _{5,976 10}_⋅ ²⁴

Marte _{2, 28 10}⋅ ¹¹ 3,386 10⋅ ³ 6, 41 10⋅ ²³

Giove _{7, 783 10}_⋅ ¹¹ _{7,137 10}_⋅ ⁴ _{1,9 10}_⋅ ²⁷

Saturno _{1, 429 10}_⋅ ¹² _{6, 037 10}_⋅ ⁴ _{5, 681 10}_⋅ ²⁶

Urano _{2,875 10}_⋅ ¹² _{2,56 10}_⋅ ⁴ _{8, 678 10}_⋅ ²⁵

Nettuno _{4,504 10}⋅ ¹² 2, 27 10⋅ ⁴ 1, 026 10⋅ ²⁶

Plutone _{5, 91 10}_⋅ ¹² _{1,1 10}_⋅ ³ _{1,3 10}_⋅ ²⁶

33. Determinare quante volte il raggio della Terra è più grande di quello di Mercurio. [≈ 2,6]

34. Determinare quante volte il raggio di Saturno è più grande di quello di Plutone. [≈ 54,9]

35. Determinare quante volte il raggio di Venere è più piccolo di quello di Nettuno. [≈ 3,7]

36. Determinare quante volte il pianeta Giove è più pesante di Venere. [≈ 389]

37. Determinare quante volte il pianeta Urano è più leggero di Giove. [≈ 22]

38. Determinare dopo quanti minuti la luce del sole raggiunge Mercurio. [≈ 3^m13^s] 39. Determinare dopo quante ore la luce del sole raggiunge il pianeta Saturno. [≈ 1^h19^m23^s] 40. Determinare dopo quante ore la luce del sole raggiunge il pianeta Plutone. [≈5^h28^m20^s] 41. L'elettrone ha una massa di circa 9,11 10⋅ ⁻³¹ Kg. Determinare un valore approssimato della massa del

protone sapendo che è circa 1800 volte quella dell'elettrone. [≈ 1,639 ⋅ 10^–27Kg]

42. Quanti Km è lungo l’anno luce (la distanza che la luce percorre in un anno)? [≈ 9,46 ⋅ 10¹² Km]

(16)

13

Quesiti assegnati in gare nazionali e internazionali

Ciascun simbolo si riferisce a una gara matematica.

A = Abacus, rivista on line AHSME = Annual High School Mathematics Examination B = Giochi della Bocconi OMI = Olimpiadi della Matematica

Lavoriamo insieme

Consideriamo il seguente quesito assegnato all' AHSME 1975: determinare la somma delle cifre del numero (10⁴⁰⁸ + 1)².

Sviluppiamo il quadrato: (10⁴⁰⁸ + 1)² = 10⁸¹⁶ + 2 ⋅ 10⁴⁰⁸ + 1. Adesso chiediamoci che tipo di numero è il risultato. 10⁸¹⁶ è formato da 1 e 816 zeri, allo stesso modo 2 ⋅ 10⁴⁰⁸ è formato da 2 seguito da 408 zeri. Quan- do sommiamo questi due numeri avremo ancora un numero con 817 cifre, che sono 1 (la prima), 2 (quella di posto 409 dalla fine) e poi tutti zeri. Sommando a questo numero 1 otterremo

407 407

10....0 2 0....01, la somma delle sue cifre è chiaramente 1 + 2 + 1 = 4.

1. (AHSME 1976) Sia il numero:

1 3 2 1

7 7 7

2 2 ... 2

n

P

+

= ⋅ ⋅ ⋅ , in cui tutte le frazioni hanno denominatore uguale a 7 e numeratori i numeri dispari in successione. Qual è il più piccolo numero n per cui P è maggiore di 1000? [8]

2. (AHSME1995) Un campo rettangolare è largo 300 piedi e lungo 400 piedi. Mediamente si trovano tre formiche per ogni pollice quadrato [12 pollici = 1 piede]. Fra i seguenti numeri quale approssima me- glio il numero di formiche in tutto il campo? [(C)]

(A) 5 × 10⁵ (B) 5 × 10⁶ (C) 5 × 10⁷ (D) 5 × 10⁸ (E) 5 × 10⁹

3. (B1999) La Signora e il Signor Settimi hanno 7 figli nati tutti, stranamente, il 7 luglio. Ogni anno, per il loro compleanno la signora Settimi offre ad ogni figlio una torta con tante candeline quanti sono i suoi anni. Giovanni Settimi, il più giovane, si ricorda che 5 anni fa le candeline erano, in totale, la me- tà di quelle di quest´anno. Quante candeline saranno accese quest´anno? [10]

4. (B2000) In un dado "normale", la somma dei punti su due facce opposte è sempre uguale a 7. Enrico ha messo su un tavolo tre dadi "normali", uno sopra l´altro a formare una torre. Sulla faccia superiore del dado in cima alla torre c´è un 4. Quanto vale la somma dei punti nelle cinque facce nascoste (com- prese tra due dadi o il tavolo)? [17]

5. (B2003) Leone è velocissimo nei calcoli e chiede a Paolo: ”Qual è l’ultima cifra di 2003²⁰⁰³?” Aiuta Paolo. [7]

Questions in English

Nota: Gli anglosassoni usano il punto decimale come la nostra virgola.

6. (AHSME 1999) What is the sum of the digits of the decimal form of the product 2¹⁹⁹⁹ ⋅ 5²⁰⁰¹? [7]

7. (HSMC 1999) List the numbers 2¹⁰⁰ ; 3⁷⁵ and 5⁵⁰ in order from smallest to largest. [2¹⁰⁰< 5⁵⁰< 375]

8. (HSMC 2005) If P = 3²⁰⁰⁰ + 3⁻²⁰⁰⁰ and if Q = 3²⁰⁰⁰ − 3⁻²⁰⁰⁰ , what is P² −Q²? [4]

Uso della calcolatrice per il calcolo di una potenza

L’utilizzo almeno di una calcolatrice scientifica è ormai indispensabile. Vogliamo vedere quindi come usare una calcolatrice tascabile o un software matematico come potrebbe essere Derive o uno simile.

Per quanto riguarda l’elevamento a potenza in genere i tasti hanno due simboli o . Nel primo caso per immettere 2³ si digiteranno in sequenza i tasti . Nel secondo caso invece

. si deve fare particolare attenzione a immettere le potenze negative, infatti in genere le calcola- trici hanno due simboli per il meno, uno che è quello che si usa per la sottrazione e l’altro, di solito indicato con , che invece è il cosiddetto cambio segno, cioè il simbolo per indicare i numeri negativi. Quindi potrebbe succedere che immettendo la calcolatrice emetta un messaggio di errore, invece il modo corretto è . Analogamente possono esservi errori segnalati o, peg- gio, non segnalati che danno risultato sbagliato, immettendo potenze frazionarie. Per esempio 2^¾, immesso

(17)

14

come potrebbe essere inteso come 2³/4 e fornire il risultato errato 2, invece del risultato corretto di circa 0,4849. Per evitare problemi quindi conviene usare le parentesi, cioè immettere

.

Inoltre ogni calcolatrice utilizza la notazione cosiddetta scientifica per indicare i numeri “grandi”, cioè numeri che superano il numero di cifre che una calcolatrice riesce a visualizzare, di solito 8. Così il risultato di 2²⁰ sarà 1048576, invece quello di 2³⁰ che è di 10 cifre probabilmente sarà scritto 1.0737418E9, che vuol dire circa 1.0737418 × 10⁹.

Per immettere le potenze di 10 si usa il tasto , mentre per le potenze del numero il tasto

L’angolo di Microsoft Mathematics

Per la potenza si usa il tasto ^, che però viene visualizzato, in immissione, come mostrato in figura

Il tasto ^ può immettersi dalla tastiera del proprio PC, oppure cliccando sul tasto presente nella calcolatrice del software . Il software è abbastanza potente e scrive tutte le cifre, fornendo contemporaneamente anche l'approssimazione in notazione esponenziale.

L’angolo di Derive

Nei software matematici di tipo CAS (Computer Algebra System), il cui esempio più diffuso nelle scuole superiori è Derive, l’elevamento a potenza si ottiene con . Di seguito vediamo una schermata in cui si ve- de che Derive calcola espressioni esatte con molte cifre, nell’esempio sono ben 458, uno in più dell’esponente della stessa espressione scritta in notazione scientifica.

Attività

Usando la tua calcolatrice scientifica o un software tipo CAS, semplifica le seguenti espressioni.

3 ⋅ 10⁵ + 2 ⋅ 10⁴– 5¹⁷ [≈ –7,62 ⋅ 10¹¹] 2 ⋅ 7⁵ – 4 ⋅ 10^4/3+ 3⁷ [≈ 35714,82]

3 7 4

5

3 2

π + ⁻ −3 [≈ 97,07]

2 4

3 5 3/ 4

4 3 π

  ⋅ +

   [≈ 242,59]

2 / 5

2 / 3 1/ 3

2 3

10 5 3

2 3⁻ 7⁻

+ ⋅

⋅ −

[≈ 41,89]