65 Si assuma di aver determinato, dalla classificazione degli impulsi in uscita di un rivelatore (i.e. protoni di rinculo) attraverso un analizzatore multicanale, uno spettro delle intensità degli impulsi rivelati z0, con una
matrice di incertezza associata Sz0 (eq. 5). Sz0 tipicamente è una matrice diagonale, cioè presenta solo i
valori della varianza (autocorrelazione) di z0, determinante nella maggior parte dei casi con un modello
statistico poissoniano. Si assuma inoltre di avere a disposizione una matrice di pre-informazione R0 rispetto
alla matrice di risposta, o che alcuni parametri p0, (relativi alla matrice di risposta) siano noti, insieme alle
matrice di incertezze associate SR0 e Sp0. Se inoltre, la fluenza di particelle Φ0, è stata precedentemente
calcolata o misurata con un altro metodo di misura indipendente, per esempio attraverso codici di trasporto, con una matrice di incertezza SΦ0, alloral’espressione generale di χ2 sarà:
9&= 3
− 30:3 +$3 − 3 + − 0:+$ − + < − <0:< +$< − < ( 19 )
L’eq. (8) deve essere minimizzata sotto il vincolo z = R(p) Φ rispetto a z, R (o p) e Φ. L’eq. (8) è l’espressione generale per una procedura di aggiustamento, dove i parametri o la fluenza sono già noti fino a un certo livello e una nuova misura z0 è utilizzata solamente per aggiustare il risultato. L’eq.(8) può essere
considerata un tipico esempio di procedimento ai minimi quadrati, dove le componenti di fluenza devono essere determinate per un problema sovra-determinato. I vari algoritmi utilizzati per trovare il minimo dell'equazione (8) fanno una distinzione riguardo al modello degli ultimi due termini. Ci sono solo alcuni codici, tipicamente utilizzati in dosimetria del re(8)re, dove può essere presa in considerazione l'informazione a priori riguardante la matrice di risposta (i.e. MINCHI).In altri casi il secondo termine dell'equazione (8) non è considerato. Se non si ha a diposizione informazione a priori sulla fluenza, l'ultimo termine dell'equazione (8) può essere rimpiazzato da una condizione di smoothing o condizione di forma al fine di ottenere un sistema non singolare di equazioni normali (vedi eq 6).
Con il vincolo z = R Φ, la minimizzazione dell'equazione (8) porta a equazioni normali non lineari. Poiché si assume che i valori ottenuti con la procedura di aggiustamento non saranno troppo lontani dall'informazione a priori, è possibile sostituire a questo vincolo da un'approssimazione di Taylor nel intorno di R0 e Φ0,
portando a un'espressione lineare del tipo
3 − −→ 3 − 3$− 3$ − $ − 3 − $ ( 20 )
dove z1 = R0 Φ0, e zar e zΦ sono derivate di z in R0 e Φ0 con zΦ = R0 e zR = Φ0 .Con l’equazione (9) si può
operare l'aggiustamento ai minimi quadrati. La soluzione per i vettori della fluenza e la somma di incertezza associata è:
= + : 3!+$3 − ( 21 )
con le matrici di peso:
! = :3 + 3: 3+ 3: 3 ( 22 )
Dalle equazioni (10) e (11) è evidente che l'introduzione dell'informazione a priori nel formalismo dei minimi quadrati porta ad altre equazioni normali, dove è richiesta un'inversione della matrice V di dimensioni mm, anziché della matrice B (NxN) dell’eq.(7). A causa del segno meno nell’equazione dell'incertezza, l'incertezza si riduce dopo l'aggiustamento. Dall’equazione (10) è anche evidente che le soluzioni e le loro matrici di incertezza dipendono fortemente dalle informazioni a priori Φ0 e dalla matrice l'incertezza a priori
SΦ0. Si può osservare che sono ammessi valori di fluenza negativi. In pratica lo spettro a priori spesso però
non è noto nella scala assoluta, in questo caso il codice deve determinare un fattore di scala per cui moltiplicare la fluenza. Dall’eq. (8) si può concludere che l'informazione a priori sia sulla matrice R0 di
risposta che sulla fluenza Φ0, sono considerate allo stesso modo, tutte le quantità misurate sono quindi
incluse nella procedura di aggiustamento.
Ci sarebbe un’altra strategia di aggiustamento, che ha trovato impiego in un codice descritto più avanti (Fruit), che considera la funzione di risposta come un parametro e impiega le procedure di aggiustamento, mantenendo questo parametro costante, per poi calcolare la propagazione dell'incertezza successivamente. In questo caso, il secondo termine dell'equazione (8) non è necessario. La soluzione di questo modello è simile all'equazione (10), ma il termine con SR0 scompare nell'espressione della matrice W. Dalla
66 := : − : 3!$+$3: + : 3!$+$3>:> 3>!$+$3: ( 23 )
Questo modello è differente da quello utilizzato per l'aggiustamento i minimi quadrati e non è stato impiegato nei software standard. Offre comunque vantaggi nel caso in cui le funzioni di risposta siano note con piccole incertezze.
Devono essere fatte alcune osservazioni sulla costruzione delle matrici SΦ0 e SR0, ricavate
indipendentemente tramite codici di calco, utilizzati per ricavare Φ0 ed R0. In molti casi è possibile avere
un'idea, anche grossolana, della pendenza dello spettro di particelle. Nel moderatore di un reattore, per esempio, ci si aspetta uno spettro di fissione moderato, espresso con la somma di spettri parametrizzati, con un numero di parametri K (per esempio il parametro di temperatura dello spettro di Maxwell o la pendenza di uno spettro si tipo 1/E). Se i sotto-spettri e le incertezze dei loro parametri sono utilizzati per costruire la matrice SΦ0, è chiaro che la matrice ha un rango deficitario r≈k. Se si verifica questa condizione, allora SΦ0-1
non esiste, comunque, un vettore soluzione Φ può essere comunque ricavato dall’ equazione (10). Si può dimostrare che i possibili spettri soluzione appartengono a sotto spazi ritretti, le cui basi sono i k≈r auto vettori di SΦ0. Questo, in linea di principio, significa che lo spettro soluzione è una sovrapposizione dei K.
Sotto-spettri definiti a priori, questo pone vincoli molto forti sull'aspetto dello spettro soluzione, dipendente dalla scelta specifica della matrice a di covarianza.
Nei casi pratici, quindi, la matrice di incertezza SR0 dovrebbe essere ricavata nel modo simile a quello
impiegato nei file di incertezza ENDF e si raccomanda che il formato utilizzato dovrebbe anche essere usato per esempio per stabilire la matrice di incertezza delle funzione di risposta delle sfere di Bonner, o di altri metodi “few channel”, con M<N.
Oltre alle dosimetria del reattore dove l'uso di una matrice SR0 coerente con i file ENDF è considerato lo
stato dell'arte, solo pochi tentativi sono stati fatti in passato per includere le incertezze delle matricidi risposta nel processo deconvoluzione per altri problemi.
Il pacchetto HEPRO fornisce la possibilità di includere le incertezze legate alle energie di calibrazione e parametri di risoluzione delle funzione di risposta nei problemi di deconvoluzione multichannel.
Il metodo dei minimi quadrati è utilizzato in molti codici (LEPICORN Maerker, 1986; DIFBAS Tichy, 1993) ed è l'algoritmo di deconvoluzione raccomandato quando si ha una buona informazione priori e sono disponibili misure consistenti. Lo svantaggio è che se non si possono escludere valori di fluenza negativi. Un metodo che considerasse i valori di fluenza negativi è stato per la prima volta implementato nel codice SAND-II, antesignano di GRAVEL. In questo caso, attraverso una procedura di interazione, non è il gruppo di elementi di fluenza Φv ad essere determinato, ma il suo logaritmo ln(Φv), minimizzando un'espressione simile
all'equazione (5), in cui è presente il logaritmo di zoi, anziché zoi.
Sviluppi più recenti nell'analisi dei dati hanno portato a migliori modi di deconvoluzione, quando sono disponibili misure consistenti ed una buona informazione a priori.
Nel codice GRAVEL la soluzione è determinata da un particolare metodo del gradiente (Matzke, 1994): le iterazioni iniziano con uno spettro di tentativo Φv(1) .
Sono calcolati ad ogni passo i pesi:
?@A
= B
CDD EF
CE conA
= ∑ H
@
exp LMΦ
@A @Ad ogni passo di interazione la soluzione corrente (k+1) è ottenuta dalla precedente (k) attraverso:
,7NOP$− ,7NO= QNO∑ ,73- − ,73ORN
O & ( 24 ) Dove
S
TU= V∑
WCX Y ZC[\
+A67 Si può osservare che manipolando l’eq (13) si ottengono equazioni utilizzate in altri codici, diversi da GRAVEL e dal suo predecessore SAND-II, come SPUNIT, ma anche il precedente BUNKI.
Nel codice GRAVEL, all’inizio dell’iterazione, come già osservato, è necessario uno spettro di partenza di tentativo. Una soluzione esiste sempre, ma lo spettro soluzione dipende dallo spettro di ingresso iniziale in modo che non è molto trasparente, così non è semplice valutare la propagazione dell’incertezza. È stato comunque dimostrato (Matzke, 1994) trovato che la matrice B dell'eq (7) controlla le varie soluzioni. Quando B non è singolare esistere una soluzione unica, mentre se B è mal condizionata esisterà un insieme di soluzioni, a seconda del rango di B. Per l'analisi dell'incertezza, è stato imposto uno spettro iniziale scelto a caso, con una media finale su tutte le soluzioni. Questo metodo ha consentito di stimare l’incertezza per lo spettro soluzione, incluse le correlazioni. Questa incertezza rappresenta la varietà delle soluzioni e non può tener conto della normale propagazione delle matrici di incertezza Sz0 e SR0.