Gruppi lineari compatti

In questo capitolo studiamo la struttura topologica di alcuni gruppi lineari compatti.

Indicheremo con In, o per semplicit`a con I, la matrice unitaria n × n e con J<sub>n</sub>, o per semplicit`a con J , la matrice antisimmetrica (2n) × (2n):

Jn= ^In

−I_n
.

Ricordiamo la definizione dei seguenti gruppi compatti: U(n) = {u ∈ GL(n, C) | u^∗u = I_n} (gruppo unitario)

SU(n) = {u ∈ U(n) | det(u) = 1 } (gruppo speciale unitario) O(n) = {a ∈ GL(n, R) |^tu u = I_n}

= U(n) ∩ GL(n, R) (gruppo ortogonale)

SO(n) = {a ∈ O(n) | det(u) = 1 } (gruppo speciale ortogonale)

Sp(n) = {g ∈ U(2n) |^tg J g = J } ^{(gruppo quaternonico unitario} o gruppo simplettico compatto) 1. Propriet`a topologiche di U(n)

Lemma 1.1. Ogni matrice di U(n) `e diagonalizzabile in una base ortonor-male di Cⁿ. I suoi autovalori hanno tutti modulo uguale a 1.

Dimostrazione. Sia u ∈ U(n). Poich´e il campo C `e algebricamente chiuso, u ha almeno un autovalore λ1 ∈ C, con autovettore 1, che possiamo normalizzare in modo che risulti |₁| = 1.

Se v ∈ Cⁿ e v ∈ ^⊥₁, allora

(u(v)|₁) = λ⁻¹(u(v)|u(₁)) = λ⁻¹(v|₁) = 0.

Quindi u(^⊥₁) = ^⊥₁ e la restrizione di u all’iperpiano ^⊥₁ `e ancora un’ap-plicazione unitaria su uno spazio vettoriale complesso di dimensione n − 1. L’esistenza di una base ortonormale di autovettori di u segue allora per ricorrenza.

Infine, se λ `e un autovalore di u ∈ U(n) e v 6= 0 un autovettore di u relativo all’autovalore λ, allora

|v|² = (v|v) = (u(v)|u(v)) = (λv|λv) = |λ|²|v|²

implica che |λ| = 1. 

98 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

Teorema 1.2. Il gruppo U(n) `e un sottogruppo chiuso, compatto e connesso per archi di GL(n, C). La sua algebra di Lie u(n) `e

(∗) u(n) = {X ∈ gl(n, C) | X + X^∗ = 0}

ed ha dimensione reale n². L’applicazione esponenziale u(n) 3 X → exp(X) ∈ U(n) `

e surgettiva.

Dimostrazione. L’applicazione φ : GL(n, C) 3 a → a^∗a ∈ GL(n, C) `

e continua e quindi U (n) = φ⁻¹(e) `e un chiuso, contenuto nel compatto {a ∈ GL(n, C) | kak = 1} e quindi compatto.

Per ogni X ∈ gl(n, C), risulta (exp(X))^∗= exp(X^∗).

Infatti, `e (P (X))<sup>∗</sup> = P (X<sup>∗</sup>) per ogni polinomio P a coefficienti reali e quindi, poich´e la X → X<sup>∗</sup> `e continua abbiamo:

(exp(X))^∗ = lim ν→∞ ν X h=0 Xⁿ n! !∗ = lim ν→∞ ν X h=0 Xⁿ n! !∗ = lim ν→∞ ν X h=0 (X^∗)ⁿ n! ^{= exp(X} ∗).

L’algebra di Lie u(n) di U(n) `e caratterizzata da

u(n) = {X ∈ gl(n, C) | (exp(tX))^∗exp(tX) = e, ∀t ∈ R}.

Se X ∈ u(n), differenziando l’identit`a exp(tX^∗) exp(tX) = e in t = 0 otteniamo

X^∗+ X = 0.

Supponiamo viceversa che sia X + X^∗ = 0. Consideriamo l’applicazione differenziabile α : R 3 t → exp(tX^∗) exp(tX) ∈ GL(n, C). Differenziando otteniamo: α⁰(t) = exp(tX^∗)(X^∗+ X) exp(tX) = 0 ∀t ∈ R e quindi α(t) = costante = α(0) = e dimostra che X ∈ u(n).

Dimostriamo ora che l’applicazione exp : u(n) → U(n) `e surgettiva. Fis-siamo u ∈ U(n). Per il Lemma 1.1 posFis-siamo trovare una base ortonormale di Cⁿ, e quindi una matrice a ∈ U(n), tale che

u⁰ = aua⁻¹ = aua^∗ =      eiθ1 _{0 0 ... 0 0} 0 eiθ2 _{0 ... 0 0} 0 0 e^iθ3 ... 0 0 .. . .._. .._. ... ... .._. 0 0 0 ... e^iθn−1 0 0 0 0 ... 0 eiθn      .

2. IL GRUPPO SPECIALE UNITARIO 99 Allora, posto A =     iθ1 0 0 ... 0 0 0 iθ2 0 ... 0 0 0 0 iθ3 ... 0 0 .. . .._. .._. ... ... ... 0 0 0 ... iθn−1 0 0 0 0 ... 0 iθn    

abbiamo A ∈ u(n) e exp(A) = u⁰. Allora, poich´e a^∗ = a⁻¹∈ U(n), abbiamo: a^∗Aa ∈ u(n) e exp(a^∗Aa) = a^∗exp(A)a = a^∗u⁰a = u.

Essendo immagine dello spazio vettoriale u(n) mediante l’applicazione

con-tinua exp, il gruppo U(n) `e connesso per archi. 

2. Il gruppo speciale unitario L’applicazione

U(n) 3 u → det(u) ∈ S¹ ⊂ C `

e un omomorfismo continuo del gruppo unitario nel gruppo moltiplicativo S¹ dei numeri complessi di modulo 1. Il suo nucleo

SU(n) = {u ∈ U(n) | det(u) = 1} `

e un sottogruppo chiuso normale di U(n), che si dice gruppo unitario speciale di ordine n.

Teorema 2.1. L’algebra di Lie di SU(n) `e la sottoalgebra di Lie su(n) di u(n), di dimensione n2− 1, formata dalle matrici di u(n) che hanno traccia nulla:

su(n) = {X ∈ u(n) | trac(X) = 0}. L’applicazione

su(n) 3 X → exp(X) ∈ SU(n) `

e surgettiva. Il gruppo SU(n) `e compatto e connesso per archi. Dimostrazione. La prima affermazione segue dalla

det(exp(X)) = e^trac(X).

Infatti, se X ∈ su(n), da exp(tX) ∈ SU(n) per ogni numero reale t, segue che:

(

X + X^∗= 0

trac(tX) = t · trac(X) = 2kπi ∀t ∈ R, con k = k(t) ∈ Z. La seconda relazione implica che trac(X) = 0.

Sia ora u ∈ SU(n). Allora possiamo trovare a ∈ U(n) tale che

aua⁻¹ = aua^∗=      eiθ1 _{0 0 ... 0 0} 0 eiθ2 _{0 ... 0 0} 0 0 e^iθ3 ... 0 0 .. . .._. .._. ... ... .._. 0 0 0 ... e^iθn−1 0 0 0 0 ... 0 eiθn      .

100 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

La condizione det(u) = 1 d`a allora

exp(i(θ₁+ ... + θ_n)) = 1 e quindi exp(iθn) = exp(−i(θ1+ ... + θn−1)). Posto U =      iθ1 0 0 ... 0 0 0 iθ2 0 ... 0 0 0 0 iθ3 ... 0 0 .. . .._. .._. ... ... .._. 0 0 0 ... iθn−1 0 0 0 0 ... 0 −i(θ1+...+θn−1)     

abbiamo U ∈ su(n) e quindi a^∗U a = a^∗U (a^∗)⁻¹ ∈ su(n) perch´e a^∗ = a⁻¹ ∈ U(n) e la traccia `e invariante rispetto al coniugio. Abbiamo quindi

exp(a^∗U a) = a^∗exp(U )a = u.

L’applicazione u(n) 3 X → trac(X) ∈ R `e un funzionale lineare non identi-camente nullo su u(n) e quindi su(n) ha dimensione n<sup>2</sup>− 1. Il gruppo SU(n) `

e compatto perch´e `e un sottogruppo chiuso di U(n) e connesso per archi per-ch´e `e immagine continua, mediante l’applicazione esponenziale, della propria

algebra di Lie su(n). 

Teorema 2.2. Per ogni n ≥ 2 il gruppo U(n) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(n) × S¹.

Dimostrazione. Indichiamo con Dn(λ) la matrice n × n:

Dn(λ) = λ 1 ... 1 ! .

Definiamo allora l’omeomorfismo cercato mediante: SU(n) × S¹ 3 (g, λ) → D_n(λ) g ∈ U(n) ; il suo inverso `e dato da:

U(n) 3 g → (D_n(1/detg) g, detg) ∈ SU(n) × S¹.



3. Il gruppo speciale lineare complesso

Ricordiamo che il gruppo speciale lineare complesso SL(n, C), `e il sot-togruppo normale di GL(n, C) delle matrici di determinante 1. Esso `e un sottogruppo chiuso di GL(n, C).

Teorema 3.1. L’algebra di Lie sl(n, C) di SL(n, C) `e la sottoalgebra di Lie di gl(n, C), di dimensione complessa n²− 1, e quindi dimensione reale 2(n²− 1), formata dalle matrici complesse a traccia nulla:

4. I GRUPPI O(n) ED SO(n) 101

Il gruppo SL(n, C) `e connesso per archi. Siano

p₀(n) = {X ∈ p(n) | trac(X) = 0}, SP+(n) = {p ∈ P+(n) | det(p) = 1}. Allora exp(p₀(n)) = SP₊(n). L’applicazione (∗) SU(n) × SP₊(n) 3 (u, p) → u ◦ p ∈ SL(n, C) `

e un omeomorfismo tra SL(n, C) ed SU(n) × SP+(n). Il gruppo topologico SU(n) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(n) × Rⁿ²⁻¹.

Dimostrazione. Le prime affermazioni si deducono facilmente dal Teo-rema 1.1 del Capitolo 6 (decomposizione di Cartan in GL(n, C)) e da con-siderazioni analoghe a quelle svolte nella dimostrazione del teorema prece-dente. Infatti, ogni a ∈ SL(n, C) si pu`o scrivere in modo unico come il prodotto

a = u ◦ p

di un elemento u ∈ U(n) e di un elemento p ∈ P+(n). Poich´e det(a) = det(u) · det(p) = 1

e il determinante di p `e un numero reale positivo, mentre il determinante di u `e un numero complesso di modulo 1, otteniamo che

det(u) = det(p) = 1.

Quindi la (∗) `e un omeomorfismo. L’ultima affermazione segue dal fatto che p<sub>0</sub>(n) `e un iperpiano dello spazio vettoriale reale p(n) ed exp definisce un

omeomorfismo di p₀(n) su SP₊(n). 

4. I gruppi O(n) ed SO(n)

Il gruppo O(n) (gruppo ortogonale di ordine n) `e il gruppo delle isometrie lineari e SO(n) (gruppo speciale ortogonale o gruppo delle rotazioni di ordine n) quello delle isometrie lineari di determinante 1 dello spazio Euclideo R<sup>n</sup>. Osserviamo che SO(n) `e un sottogruppo normale di indice 2 di O(n). Poich´e GL(n, R) `e un sottogruppo chiuso di GL(n, C), anche O(n) e SO(n) sono sottogruppi chiusi di GL(n, C).

Teorema 4.1. I due gruppi O(n) e SO(n) hanno la stessa algebra di Lie, di dimensione reale n(n − 1)/2,

o(n) = {X ∈ gl(n, R) | X +^tX = 0}.

Dimostrazione. Sia X un elemento dell’algebra di Lie o(n) di O(n). Poich´e exp(tX) ∈ GL(n, R) per ogni t ∈ R, abbiamo X ∈ gl(n, R). Risulta allora

102 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

e quindi

exp(tX) ∈ SO(n) ∀t ∈ R

dimostra che O(n) e SO(n) hanno la stessa algebra di Lie. Abbiamo poi I =^t(exp(tX)) exp(tX) = exp(t ·^tX) exp(tX) ∀t ∈ R.

Derivando rispetto a t otteniamo la relazione

exp(t ·^tX) ^tX + X
exp(tX) = 0 ∀t ∈ R.

Da questa si ricava che condizione necessaria e sufficiente affinch´e X ∈ o(n) `

e che sia^tX + X = 0. 

Teorema 4.2. L’applicazione

o(n) 3 X → exp(X) ∈ SO(n) `

e surgettiva.

Dimostrazione. Data una rotazione a ∈ SO(n), possiamo decomporre Rⁿ in somma diretta di sottospazi a-invarianti, due a due ortogonali,

Rⁿ= V1⊕ V₂⊕ ... ⊕ V_m

tale che ogni sottospazio Vj abbia dimensione minore o uguale a 2 e la restri-zione di a a V_j sia l’identit`a se V<sub>j</sub> ha dimensione 1. Su ciascuno dei sottospazi V<sub>j</sub>di dimensione 2 la a definisce una rotazione dello spazio Euclideo R<sup>2</sup>. Sar`a quindi sufficiente dimostrare che

o(2) 3 X → SO(2) `

e surgettiva. Un elemento di o(2) `e una matrice della forma A(θ) = _−θ^{0 θ}₀
. Poich´e A(θ)^2h=^{(−1)hθ2h 0} 0 (−1)^hθ^2h  e A(θ)^2h+1 =^₋₍₋₁₎⁰_h ^{(−1)hθ2h+1} θ2h+1 0  otteniamo

exp(A(θ)) = _{− sin θ cos θ}^{cos θ sin θ}
.

Ci`o dimostra che exp : o(2) → SO(2) `e surgettiva. La dimostrazione `e

completa. 

Teorema 4.3. SO(n) `e un gruppo compatto e connesso per archi. Il gruppo O(n) `e unione di due componenti connesse, ciascuna omeomorfa a SO(n). Dimostrazione. I gruppi SO(n) e O(n) sono compatti perch´e sotto-gruppi chiusi del gruppo compatto U(n):

SO(n) = SU(n) ∩ GL(n, R), O(n) = U(n) ∩ GL(n, R).

Inoltre SO(n) `e connesso per archi perch´e immagine mediante l’esponenziale dello spazio vettoriale o(n).

5. L’OMOMORFISMO CANONICO SU(2) → SO(3) 103

In quanto immagine dell’algebra di Lie di o(n) mediante l’applicazione esponenziale, SO(n) `e la componente connessa dell’identit`a in O(n). La moltiplicazione a sinistra per la matrice

       −1 1 . ._. 1 1       

`e un omeomorfismo di SO(n) sul suo complementare {SO(n) in O(n). Quindi O(n) ha esattamente due componenti connesse, omeomorfe a SO(n).  Osservazione 4.4. Il gruppo SO(1) `e il gruppo banale {I}. L’applicazione

SO(2) 3 a → a1 0  ∈ S¹ =x y  ∈ R²| x²+ y²= 1 

definisce un omeomorfismo di SO(2) su S¹.

5. L’omomorfismo canonico SU(2) → SO(3)

Le algebre di Lie o(3) e su(2) sono algebre di Lie reali di dimensione reale 3. Abbiamo o(3) =      0 x y −x 0 −z −y z 0         x, y, z ∈ R    e su(2) =  ix y + iz −y + iz −ix  | x, y, z ∈ R  . Poniamo A₁=    0 1 0 −1 0 0 0 0 0   , A₁=    0 0 1 0 0 0 −1 0 0   , A₁ =    0 0 0 0 0 −1 0 1 0   , B1 = ¹ 2  i 0 0 −i  , B2 = ¹ 2  0 1 −1 0  , B3 = ¹ 2 0 i i 0  .

Allora A1, A2, A3 formano una base di o(3) e B1, B2, B3 una base di su(2) e il prodotto di Lie delle due algebre `e descritto nelle due basi dalle tabelle:

(

[Aj, A_h] = A_k

[B_j, B_h] = B_k ^{⇔ (j, h, k) `e una permutazione positiva di {1, 2, 3}.} Le due algebre sono quindi isomorfe e isomorfe all’algebra di Lie definita su R³ dal prodotto vettore.

Indichiamo con

104 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

l’isomorfismo di algebre di Lie che fa corrispondere ad Aj ∈ o(3) l’elemento B_j ∈ su(2).

Per descrivere una rappresentazione di SU(2) nel gruppo delle rotazioni di R³, introduciamo l’isomorfismo R-lineare:

λ : R³ 3   x y z  →  ix y + iz −y + iz −ix  ∈ su(2). Abbiamo SU(2) =  α β − ¯β α¯      (α, β) ∈ S³  ' S³⊂ C².

Facciamo operare SU(2) su su(2) mediante la rappresentazione aggiunta: SU(2) × su(2) 3 (u, X) → Ad(u)X = uXu⁻¹∈ su(2).

L’isomorfismo λ ci permette di definire una rappresentazione lineare ρ : SU(2) → GL(3, R)

mediante

ρ(u)v = λ⁻¹(ad(u)λ(v)) ∀v ∈ R³. Lemma 5.1. Per ogni u ∈ SU(2), `e ρ(u) ∈ SO(3).

Dimostrazione. Osserviamo che

|v|2 = detλ(v) ∀v ∈ R3. Abbiamo perci`o

|ρ(u)v|² = det(uλ(v)u⁻¹) = detλ(v) = |v|² ∀v ∈ R³.

 Teorema 5.2. L’applicazione

ρ : SU(2) → SO(3) `

e un omomorfismo di gruppi surgettivo. Il suo nucleo `e il sottogruppo nor-male

{±I₂} ⊂ SU(2). Dimostrazione. Siano a, b ∈ SU(2). Allora

ρ(a) ◦ ρ(b)v =ρ(a)(λ⁻¹Ad(b)λ(v))

=λ⁻¹◦ Ad(a) ◦ λ ◦ λ⁻¹Ad(b)λ(v) =λ⁻¹◦ Ad(a) ◦ Ad(b)λ(v)

=λ⁻¹◦ Ad(ab)λ(v) =ρ(ab)v ∀v ∈ R³.

Ci`o dimostra che ρ `e un omomorfismo. Calcoliamone il nucleo. Esso `e formato dalle trasformazioni u ∈ SU(2) tali che

5. L’OMOMORFISMO CANONICO SU(2) → SO(3) 105

cio`e

[u, X] = uX − Xu = 0 ∀X ∈ su(2).

Scrivendo queste identit`a con X = Bj, per j = 1, 2, 3, si ottiene, per u =

 α β

−β α

 , che

β = 0, α = ±1.

Per completare la dimostrazione, basta osservare che la trasformazione ρ : SU(2) → SO(3) pu`o essere definita dal diagramma commutativo:

su(2) −−−−→ SU(2)^exp

s x     yρ o(3) −−−−→ exp SO(3).

Da questo diagramma otteniamo immediatamente che ρ `e surgettiva in quanto

ρ ◦ exp |_su(2)◦ s⁻¹= exp |_o(3) `

e surgettiva. 

Teorema 5.3. Il gruppo topologico SO(3) `e omeomorfo allo spazio proiet-tivo RP³.

Dimostrazione. Il quoziente iniettivo della rappresentazione ρ : SU(2) → SO(3) d`a un omeomorfismo

SU(2)/_{±I2}→ SO(3).

Il quoziente SU(2)/_{±I2} `e omeomorfo al quoziente di S³ ⊂ C2 rispetto alla mappa antipodale

S³ 3 ξ → −ξ ∈ S³

e quindi allo spazio proiettivo RP³. 

Osservazione 5.4. L’omomorfismo canonico SU(2) → SO(3) ha un im-portante significato fisico: il fattore 1/2 che compare nell’isomorfismo s tra l’algebra di Lie delle matrici 3 × 3 antisimmetriche e l’algebra di Lie su(2) delle matrici antihermitiane 2 × 2 a traccia nulla si pu`o interpretare come lo spin dell’elettrone.

5.1. Angoli di Eulero. Per ricavare la surgettivit`a dell’applicazio-ne ρ : SU(2) → SO(3) possiamo utilizzare la rappresentaziodell’applicazio-ne di SO(3) mediante gli angoli di Eulero. Consideriamo gli omomorfismi

τ, σ : S¹ → SO(3) definiti da τ (e^iφ) =   1 0 0 0 cos φ − sin φ 0 sin φ cos φ  , σ(e^iθ) =   cos θ 0 − sin θ 0 1 0 sin θ 0 cos θ  

106 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

Lemma 5.5. L’applicazione

α : S¹× S¹× S¹ 3 (e^iθ1, e^iθ2, e^iθ3) → τ (e^iθ1) ◦ σ(e^iθ2) ◦ τ (e^iθ3) ∈ SO(3) `

e surgettiva.

Dimostrazione. Sia e1, e₂, e₃ la base canonica di R³. Un’applicazione a ∈ SO(3) `e completamente determinata dall’immagine dei vettori e1, e2. Poniamo _j = a(e_j) per j = 1, 2. Poich´e |₁| = 1, abbiamo per opportuni φ, ψ ∈ R: ₁ =   cos ψ sin φ sin ψ cos φ sin ψ  

(coordinate sferiche in R³). Una base ortogonale di ^⊥₁ `e data dai vettori

v1 =   0 cos φ − sin φ  , v2 =   − sin ψ sin φ cos ψ cos φ cos ψ  .

Quindi 2 = v1cos θ + v2sin θ per un opportuno θ ∈ R. Chiaramente

a = α(e^−iφ, e^iψ, e^iθ).

 Osservazione 5.6. In generale gli angoli di Eulero si riferiscono a una scelta di φ, ψ, θ con 0 ≤ ψ < π e 0 ≤ φ, θ < 2π. Definiamo ora ˆ τ , ˆσ : S¹ → SU(2) mediante ˆ τ (e^iφ) =eiφ/2 0 0 e^−iφ/2 

, σ(eˆ ^iθ) =cos(θ/2) − sin(θ/2) sin(θ/2) cos(θ/2)

 .

Sia

ˆ

α : S¹× S¹× S¹ 3 (e^iθ1, e^iθ2, e^iθ3) → ˆτ (e^iθ1) ◦ ˆσ(e^iθ2) ◦ ˆτ (e^iθ3) ∈ SU(2). Otteniamo allora il diagramma commutativo

S¹× S1× S1 S¹× S1× S1 ˆ α   y   yα SU(2) −−−−→ ρ SO(3).

6. IL GRUPPO QUATERNONICO UNITARIO Sp(n) 107

6. Il gruppo quaternonico unitario Sp(n)

Abbiamo definito il gruppo Sp(n) come il gruppo di tutte le matrici complesse unitarie a di ordine 2n che soddisfano

ta J a = J, ove J = ^In

−In
.

Il gruppo Sp(n) si pu`o identificare al gruppo delle matrici n×n a coefficienti quaternioni¹ che preservano il prodotto scalare canonico di Hⁿ.

Ricordiamo che il corpo (non commutativo) H dei quaternioni di Ha-milton si pu`o rappresentare come l’anello associativo delle matrici 2 × 2 a coefficienti complessi della forma q = _{− ¯}^{z w}_{w ¯z}
con z, w ∈ C. Un numero complesso z si rappresenta con la matrice z =



z 0 0 ¯z



. Indichiamo con j la matrice _{−1 0}^{0 1}
. Possiamo allora scrivere il quaternione q mediante:

q = z + wj = z + j ¯w.

Osserviamo ancora che, con questa rappresentazione matriciale, ¯q = q^∗. Il prodotto di due quaternioni si pu`o esprimere mediante:

(z1+w1j)·(z2+w2j) = (z1z2−w₁w¯2)+(z1w2+w1¯z2)j ∀z₁, z2, w1, w2∈ C. Questa formula si ricava immediatamente da:

jz = ¯zj , ∀z ∈ C e j² = −1.

Per semplicit`a di notazione, utilizzeremo nel seguito la stessa lettera (evi-tando di utilizzare il grassetto) per indicare sia il numero complesso che la matrice corrispondente. Il coniugato di un quaternione (che nella rappre-sentazione matriciale coincide con l’aggiunta) `e dato da:

z + wj = ¯z − wj. Indichiamo con σ l’isomorfismo:

σ : C²ⁿ 3 (z^h, w^h)_1≤h≤n−→ (z^h + j w^h)_1≤h≤n ∈ Hⁿ e con

ς : C²ⁿ 3 (z^h, w^h) → (¯z^h, ¯w^h) ∈ C²ⁿ

il coniugio. Allora, indicando con (·j) la moltiplicazione a destra di un vettore di Hⁿ per il quaternione j, abbiamo:

σ⁻¹◦ (·j) ◦ σ = −J ◦ ς = ^−In

In
◦ ς .

Consideriamo una matrice B = C + jD = (Chk + jDhk)1≤h,k≤n con coefficienti C_hk + jD_hk ∈ H, Chk, D_hk ∈ C. Se u = v + jw ∈ Hn, con v, w ∈ Cn, abbiamo

Bu = (Cv − ¯Dw) + j(Dv + ¯Cw).

1Si pu`o considereare Hⁿcome uno spazio vettoriale a destra, facendo agire le matrici n × n a coefficienti in H a sinistra sulle n-uple di quaternioni.

108 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI

Ad essa risulta dunque associata la matrice ˜B ∈ M(2n, 2n; C) definita da

˜

B = C D

− ¯D C^¯ 

.

Le matrici di questa forma sono tutte e sole le matrici 2n × 2n complesse A che soddisfano la:

(∗) AJ = J ¯A.

Esse formano una sottoalgebra di Lie reale di gl(2n, C), che si indica con gl(n, H).

Definizione 6.1. Gli elementi invertibili di gl(n, H) formano il gruppo li-neare di ordine n sui quaternioni, che indichiamo con GL(n, H).

Consideriamo ora un elemento g ∈ Sp(n). Esso `e rappresentato da una matrice complessa unitaria (2n) × (2n), che verifica ^tg J g = J . Poich´e

tg = ¯g⁻¹, sostituendo otteniamo (∗).

Abbiamo ottenuto un’inclusione naturale: Sp(n) ,→ GL(n, H).

Possiamo quindi rendere esplicita la caratterizzazione Sp(n) come il gruppo delle trasformazioni H-lineari a destra su Hⁿ, che lasciano invariato il prodotto scalare sui quaternioni:

(∗∗) (u₁|u₂)_H =

n

X

h=1

u^h₁u¯^h₂.

Se scriviamo le componenti u^h_l nella forma v^h_l + jw_l^h con v_l^h, w^h_l ∈ C per l = 1, 2, troviamo per il prodotto scalare sui quaternioni l’espressione:

(u₁|u₂)_H= n X h=1 v^h₁v¯₂^h+ ¯w^h₁w^h₂ + j n X h=1 w^h₁v¯₂^h− ¯v^h₁w^h₂ = (^¯v1 w1)^∗I_2n(^¯v2 w2) + t(^v¯1 w1)J (^v¯2 w2) j ,

da cui segue che Sp(n, C) consiste esattamente delle matrici di GL(n, H) che preservano il prodotto (∗∗).

Teorema 6.2. Per ogni intero n ≥ 1 il gruppo Sp(n) `e compatto e connesso per archi. La sua algebra di Lie `e

sp(n) = {X ∈ sl(2n, C) |^tXJ + J X = 0 , X^∗+ X = 0 }. L’esponenziale definisce un’applicazione surgettiva

exp : sp(n) → Sp(n) . L’algebra di Lie sp(n) ha dimensione n(2n + 1).

Dimostrazione. Sp(n) `e compatto perch´e `e un sottospazio chiuso di U(2n), che `e compatto.

7. SFERE E GRUPPI COMPATTI 109

La caratterizzazione della sua algebra di Lie sp(n) si ottiene con argo-menti simili a quelli utilizzati in precedenza: si osserva che sp(n) ⊂ u(2n) e che, posto γ(t) = exp(t^tX) J exp(tX), risulta:

γ⁰(t) = exp(t^tX) (J^tX + X J ) exp(tX).

Da questa si ottiene facilmente che la condizione J^tX + X J = 0 `e necessaria e sufficiente affinch´e una X ∈ u(2n) appartenga a sp(n). Moltiplicando a sinistra per J e calcolando la traccia troviamo che trac(X) = 0 (e quindi X ∈ su(2n)) e moltiplicando a destra e a sinistra per J troviamo la condizione equivalentetXJ + J X = 0.

Osserviamo infine che per ogni g ∈ Sp(n) possiamo trovare a ∈ Sp(n) tale che (∗) a g a⁻¹ =       eiθ1 ... eiθn e^−iθ1 ... e^−iθn       .

Sia infatti λ₁ un autovalore di g e sia v₁ un suo autovettore con |v₁| = 1. Abbiamo allora:

a(J ¯v₁) = J ¯a¯v₁ = J (¯λ₁v₁) = ¯λ₁(J ¯v₁) .

Ragionando per ricorrenza, troviamo una base ortonormale di C2n della forma:

v₁, . . . , v_n, J (v₁), . . . , J (v_n) .

I suoi vettori formano le colonne della matrice a ∈ Sp(n) per cui a⁻¹ga ha la forma diagonale (∗). La matrice X = a⁻¹       iθ1 ... iθn −iθ1 ... −iθn       a appartiene a sp(n) ed exp(X) = g.

Ci`o dimostra la surgettivit`a dell’esponenziale e quindi il fatto che Sp(n) `

e connesso per archi. 

7. Sfere e gruppi compatti

Sia K uno dei corpi R, C, H e indichiamo con e1, e2, . . . , en la base canonica di Kⁿ. Possiamo allora identificare O(n − 1) (risp. SO(n − 1), U(n − 1), SU(n − 1), Sp(n − 1)) al sottogruppo di O(n) (risp. SO(n), U(n), SU(n), Sp(n)) delle trasformazioni che lasciano fisso il vettore e_n. Abbiamo allora i seguenti omeomorfismi:

110 7. GRUPPI LINEARI COMPATTI Teorema 7.1. U(1) ' S¹ SU(2) ' S³ Sp(1) ' S³ O(n)/O(n − 1) ' SO(n)/SO(n − 1) ' Sⁿ⁻¹ (n > 1) U(n)/U(n − 1) ' SU(n)/SU(n − 1) ' S²ⁿ⁻¹ (n > 1) Sp(n)/Sp(n − 1) ' S⁴ⁿ⁻¹ (n > 1)

Dimostrazione. In ciascuno dei casi l’omeomorfismo cercato `e il

quo-ziente iniettivo dell’applicazione g → g(en). 

8. Il gruppo SO(4)

Identifichiamo lo spazio Euclideo R⁴ al corpo non commutativo H dei quaternioni di Hamilton. Il prodotto scalare canonico di R⁴ si pu`o esprimere per mezzo del prodotto di quaternioni:

(8.1) (x|y) = Re (x ¯y) = Re (y ¯x) = ¹₂(x ¯y + y ¯x).

L’insieme dei quaternioni di modulo 1 `e la sfera S<sup>3</sup>, su cui la moltiplicazione dei quaternioni definisce quindi una struttura naturale di gruppo topologico. Se v ∈ S<sup>3</sup>, la simmetria ortogonale di vettore v, rispetto al prodotto scalare Euclideo di R<sup>4</sup>, `e la trasformazione:

(8.2) sv(x) = x − 2(x|v)v = x − (x¯v + v ¯x)v ∀x ∈ R⁴.

Lemma 8.1. Sia v ∈ S³. Allora la simmetria ortogonale di vettore v `e descritta dalla formula

(8.3) sv(x) = −v ¯x v ∀x ∈ H.

Dimostrazione. Abbiamo infatti:

−v ¯x v = x ⇐⇒ −v ¯x = x ¯v ⇐⇒ (x|v) = ¹₂(x ¯v + v ¯x) = 0,

e −v ¯v v = −v. Quindi la trasformazione x → −v ¯x v lascia fissi i punti dell’iperpiano ortogonale a v e trasforma v nel suo opposto. Essa coincide

perci`o con la simmetria sv. 

Teorema 8.2. Per ogni v ∈ S³ le applicazioni

(8.4) L_v : H 3 x → v x ∈ H ed Rv : H 3 x → x v ∈ H sono trasformazioni di SO(4). Le

(8.5) S³ 3 v → L_v ∈ SO(4) ed S³3 v → R_v¯∈ SO(4)

sono omomorfismi di gruppi. Le loro immagini L(S³) ed R(S³) sono sotto-gruppi normali di SO(4). L’applicazione

8. IL GRUPPO SO(4) 111

`

e un omomorfismo surgettivo del prodotto diretto di due copie di S³ su SO(4). `E inoltre un omeomorfismo locale di gruppi topologici, con nucleo {(1, 1), (−1, −1)} e quindi `e un rivestimento a due fogli.

Dimostrazione. Poich´e |x y| = |x|·|y| per ogni x, y ∈ H ' R4, ne segue che, per ogni v ∈ S³, le Lv ed Rv sono trasformazioni di SO(4). Inoltre, poich´e H `e un corpo, le L : S<sup>3</sup> → SO(4) ed R : S3 → SO(4) sono iniettive. Si verifica poi facilmente, per l’associativit`a del prodotto dei quaternioni, che L ed R sono omomorfismi di gruppi.

Per dimostrare che (8.6) `e surgettiva, ricordiamo che ogni trasformazione di SO(4) si pu`o ottenere come composizione di quattro simmetrie vettoriali. Quindi, se a ∈ SO(4) ed a = s_v1 ◦ s_v2 ◦ s_v3 ◦ s_v4 con v₁, v₂, v₃, v₄ ∈ S3, abbiamo per il Lemma 8.1:

a(x) = sv1 ◦ s_v2 ◦ s_v3(−v4x v¯ 4) = sv1◦ s_v2(v3v¯4x ¯v4v3) = sv1(−v2v¯3v4xv¯ 4¯v3v2) = v1v¯2v3v¯4x¯v4v3¯v2v1 = w1xw2, con w₁= v₁¯v₂v₃¯v₄ e ¯v₄v₃v¯₂v₁ in S³.

Infine, se v1, v2∈ S3 e v1xv2 = x per ogni x ∈ H, abbiamo (∗) v1xv2 = x ⇐⇒ v1x = x¯v2 ∀x ∈ H.

Ponendo x = 1 troviamo che v₁ = ¯v₂ e quindi la (∗) ci d`a v<sub>1</sub>x = x v<sub>1</sub> per ogni x ∈ H. Quindi v1 `e un punto reale di S³ e perci`o uguale a ±1.

Infine, L(S³) ed R(S³) sono sottogruppi normali di SO(4). Infatti, se v ∈ S3, ed a ∈ SO(4), scriviamo a = L_w1 ◦ R_w2 con w₁, w₂ ∈ S3. Allora a⁻¹= Lw¯1Rw¯2 e dunque

a ◦ Lv◦ a⁻¹(x) = a(Lv( ¯w1x ¯w2)) = a(v ¯w1x ¯w2)

= w1v ¯w1x ¯w2w2= w1v ¯w1x = Lw1v ¯w1(x).

Ci`o dimostra che L(S3) `e normale. In modo analogo si verifica che anche

R(S³) `e normale. 

Il sottogruppo di SO(4) delle rotazioni che lasciano fissi i punti della retta reale di H `e un sottogruppo isomorfo ad SO(3). Le a ∈ SO(3) saranno perci`o tutte e sole le trasformazioni della forma a = L_v1◦ R_v2 con v₁, v₂∈ S3

e v₁v₂= 1. Quindi v₂ = v₁⁻¹= ¯v₁ ed otteniamo: Proposizione 8.3. L’applicazione

(8.7) S³3 v → L_v◦ R_v¯∈ SO(3) ' {g ∈ SO(4) | g(1_H) = 1_H} `

e un omomorfismo surgettivo di gruppi, con nucleo {±1_H}. `E un omeomor-fismo locale e quindi un rivestimento a due fogli di gruppi topologici.

Osservando che Sp(1) ' S³ `e omeomorfo a SU(2), abbiamo ottenuto un’altra dimostrazione del Teorema 5.2.

CAPITOLO 8

Nel documento Lezioni di Geometria 4 2008-2009 (II Semestre) Mauro Nacinovich (pagine 97-113)