Ogni gruppo di Lie G con un numero finito di componenti connesse `e omeomorfo al prodotto topologico K × Rkdi un gruppo di Lie compatto K e di uno spazio Euclideo Rk. Il gruppo G contiene un sottogruppo compatto massimale omeomorfo a K, e tutti i sottogruppi compatti massimali di G sono tra loro omeomorfi. Tale decomposizione si dice la decomposizione di Cartan di G.
In questo capitolo definiamo i gruppi lineari della lista di Cartan, che si dicono anche i gruppi classici, e descriviamo per ciascuno di essi la relativa decomposizione di Cartan.
Mostreremo che, per una presentazione opportuna del gruppo lineare G ⊂ GL(n, C), un sottogruppo compatto massimale K sar`a l’intersezione G ∩ U(n) di G con il gruppo delle matrici unitarie.
1. Decomposizione di Cartan per una classe di gruppi pseudoalgebrici
Definizione 1.1. Un sottogruppo G di GL(n, C) si dice pseudoalgebrico se pu`o essere definito mediante un sistema di equazioni:
(∗) f1(g, g∗) = ... = fN(g, g∗) = 0
dove f1, ..., fN sono polinomi a coefficienti reali delle parti reali e immagi-narie dei coefficienti di g ∈ GL(n, C). I sottogruppi pseudoalgebrici sono ovviamente chiusi.
I gruppi classici della lista di Cartan che introdurremo nel paragrafo seguente sono tutti pseudoalgebrici.
Il seguente teorema ci d`a un metodo per calcolare la loro decomposizione di Cartan come il prodotto del sottogruppo compatto G ∩ U(n) e di uno spazio euclideo Rk.
Teorema 1.2. Sia G un sottogruppo pseudoalgebrico connesso di GL(n, C) che goda della propriet`a:
g ∈ G =⇒ g∗ ∈ G , e sia g l’algebra di Lie di G. Allora l’applicazione
(G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n)) 3 (u, B) → u exp(B) ∈ G `
e un omeomorfismo.
114 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
Dimostrazione. Per il Teorema 1.1 del Capitolo 6, ogni elemento g ∈ G ⊂ GL(n, C) si scrive in modo unico come
g = u ◦ p con u ∈ U(n), p ∈ P+(n). Poich´e per ipotesi anche
g∗ = p ◦ u∗ = p ◦ u−1 ∈ G, il gruppo G contiene l’elemento
g∗g = p2.
Per il Lemma 1.2 del Capitolo 6 vi `e un unico elemento B ∈ p(n) tale che
p = exp(B).
Sia a ∈ U(n) tale che a ◦ B ◦ a∗ sia in forma diagonale:
Ad(a)(B) = a ◦ B ◦ a∗= θ1 0 0 . . . 0 0 θ2 0 . . . 0 0 0 θ3 . . . 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 . . . θn
con θj ∈ R per j = 1, ..., n. Il gruppo ad(a)(G) `e ancora un sottogruppo pseudoalgebrico di GL(n, C) e quindi le matrici diagonali reali di ad(a)(G) formano un sottogruppo pseudoalgebrico Q di GL(n, C). Possiamo perci`o trovare un insieme finito di polinomi f1, ..., fN ∈ R[x1, ..., xn] tali che la matrice diagonale reale
ξ1 0 . . . 0 0 ξ2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . ξn ∈ GL(n, R) appartenga a Q se e soltanto se fj(ξ1, ξ2, ..., ξn) = 0 per j = 1, ..., N. Poich´e p±2, p±4, . . . , p±2k, . . . appartengono a G, abbiamo
fj(e2kθ1, e2kθ2, ..., e2kθn) = 0 ∀k ∈ Z, ∀j = 1, ..., N. Per concludere la dimostrazione utilizziamo il seguente
Lemma 1.3. Sia f : R → R una funzione esponenziale-polinomiale della forma: f (t) = N X j=1 cjebjt t ∈ R
con cj, bj ∈ R e bi 6= bj se i 6= j. Se f si annulla per ogni t ∈ Z \ {0}, allora f si annulla per ogni t ∈ R.
1. DECOMPOSIZIONE DI CARTAN PER UNA CLASSE DI GRUPPI PSEUDOALGEBRICI115
Dimostrazione. Poniamo exp(bj) = ξj. Consideriamo la matrice
M (ξ1, ..., ξN) = ξ1 ξ2 ξ3 . . . ξN ξ2 1 ξ2 2 ξ2 3 . . . ξ2 N ξ31 ξ23 ξ33 . . . ξN3 .. . ... ... . .. ... ξ1N ξ2N ξ3N . . . ξNN . Dico che det M (ξ1, ..., ξN) = ξ1...ξn Y 1≤i<j≤N (ξj− ξi).
Per dimostrare questa formula osserviamo che
det M (ξ1, ..., ξN) = ξ1· ... · ξN· det V (ξ1, ..., ξN) dove V (ξ1, ..., ξN) `e la matrice di Vandermonde di ordine N :
V (ξ1, ...ξN) = 1 1 1 ... 1 ξ1 ξ2 ξ3 ... ξN ξ2 1 ξ2 2 ξ2 3 ... ξ2 N .. . ... ... ... ... ξN −11 ξN −12 ξ3N −1 ... ξN −1N . Abbiamo (†) det V (ξ1, ..., ξN) = Y 1≤i<j≤N (ξj− ξi).
Per verificare la (†), ragioniamo per ricorrenza su N . La formula del determi-nante di Vandermonde `e facilmente verificata nel caso N = 2. Supponiamo quindi N > 2 e la formula vera per determinanti di Vandermonde di or-dine N − 1. Sottraendo alla j + 1-esima riga ξ1 volte la j − esima, per j = 1, ..., N − 1, otteniamo: detV (ξ1,...,ξN)=det 1 1 1 ... 1 0 ξ2−ξ1 ξ3−ξ1 ... ξN−ξ1 0 ξ2(ξ2−ξ1) ξ3(ξ3−ξ1) ... ξN(ξN−ξ1) 0 ξ22(ξ2−ξ1) ξ32(ξ3−ξ1) ... ξN2(ξN−ξ1) .. . ... ... ... ... 0 ξN −22 (ξ2−ξ1) ξ3N −2(ξ3−ξ1) ... ξN −2N (ξN−ξ1)
Raccogliendo il fattore (ξj − ξ1) nella j-esima colonna, per j = 2, ..., N , si ottiene
detV (ξ1, ..., ξN) = (ξ2− ξ1) · ... · (ξN − ξ1) · detV (ξ2, ..., ξN). La formula segue allora dall’ipotesi di ricorrenza.
In particolare, M (ξ1, ..., ξN) `e una matrice invertibile e la relazione (c1, ..., cN)M (ξ1, ..., ξN) = 0,
che equivale all’annullarsi di f (t) per t = 1, . . . , N , implica che tutti i coefficienti c1, . . . , cN, e quindi f (t), sono uguali a 0.
116 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
Concludiamo ora la dimostrazione del teorema. Per il lemma appena dimostrato,
fj(etθ1, ..., etθn) = 0 ∀t ∈ R, j = 1, ..., N. Quindi exp(2t(aBa∗)) ∈ Q per ogni t ∈ R e ci`o mostra che
B ∈ g ∩ p(n).
Allora p ∈ G e perci`o u = g ◦ p−1∈ G ∩ U(n). L’applicazione (G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n)) 3 (u, B) → u exp(B) ∈ G `
e quindi continua e surgettiva e ha inversa:
G 3 g → (g ◦ (g∗g)−1/2, (g∗g)1/2) ∈ (G ∩ U(n)) × (g ∩ p(n))
continua, onde `e un omeomorfismo.
Nella ricerca della decomposizione di Cartan di un gruppo classico G ⊂ GL(n, C) della lista di Cartan, con algebra di Lie g, seguiremo quindi il seguente procedimento:
(1) Verificheremo che esso contenga l’aggiunto di ogni suo elemento; (2) Calcoleremo g ∩ p(n);
(3) Studieremo il sottogruppo compatto G ∩ U(n).
Osserviamo ancora che l’algebra di Lie di G ∩ U(n) `e g ∩ u(n) e che l’appli-cazione esponenziale
g∩ u(n) 3 X → exp(X) ∈ G ∩ U(n)
ha come immagine la componente connessa dell’identit`a in G ∩ U(n). Ab-biamo infatti
Teorema 1.4 (Cartan-Weyl-Hopf). Sia G un sottogruppo compatto e con-nesso di GL(n, C), con algebra di Lie g. Allora
g3 X → exp(X) ∈ G `
e surgettiva.
Non diamo qui la dimostrazione di questo teorema1, la cui validit`a ab-biamo gi`a verificato per ciascuno dei gruppi classici compatti e connessi: SO(n), U(n), SU(n) e Sp(n).
1Possiamo introdurre su G una metrica Riemanniana invariante per le traslazioni a destra e a sinistra; allora le geodetiche per l’origine sono tutti e soli i sottogruppi a un parametro di G. La tesi segue allora dal fatto che l’identit`a e di G si pu`o congiungere a un qualsiasi punto g ∈ G mediante una geodetica γ : [0, 1] 3 t → exp(tX) ∈ G di lunghezza minima per cui γ(0) = e e γ(1) = g.
2. I GRUPPI CLASSICI NON COMPATTI 117
2. I gruppi classici non compatti
Nel Capitolo 7 abbiamo esaminato i gruppi classici compatti della lista di Cartan. Completiamo ora la lista di Cartan con l’elenco dei gruppi classici non compatti. Per ciascuno di essi descriveremo anche la rispettiva algebra di Lie.
U(p, q) (gruppo unitario di segnatura (p, q)) `e il gruppo delle matrici com-plesse a ∈ GL(p + q, C) che soddisfano a K a∗ = K per una ma-trice Hermitiana simmetrica K con segnatura (p, q). Ad esempio, possiamo scegliere K =
Ip
−Iq
. La sua algebra di Lie `e u(p, q) = {X ∈ gl(p + q, C) | X∗K + K X = 0 } .
SU(p, q) (gruppo speciale unitario di segnatura (p, q)) `e il gruppo delle matri-ci complesse a ∈ U(p, q) con determinante 1: SU(p, q) = U(p, q) ∩ SL(p + q, C). L’algebra di Lie corrispondente `e
su(p, q) = {X ∈ u(p, q) | trac(X) = 0} = u(p, q) ∩ sl(p + q, C) .
SU∗(2n), che si indica anche con SL(n, H), (gruppo lineare quaternionico) `e il gruppo delle matrici a ∈ SL(2n, C) tali che
a J = J ¯a
dove ¯a `e la matrice i cui coefficienti sono i coniugati dei coefficienti di a e J `e una matrice reale antisimmetrica di rango 2n. Ad esempio possiamo fissare J = In
−In . La sua algebra di Lie, che si indica a volte anche con sl(n, H), `e:
su∗(2n) =X ∈ sl(2n, C)
X J = J ¯X .
SO(n, C) (gruppo ortogonale complesso) `e il gruppo delle matrici a di SL(n, C) che lasciano invariata una matrice complessa simmetrica non dege-nere Q:
SO(n, C) = {a ∈ SL(n, C) |ta Q a = Q} . La sua algebra di Lie `e:
so(n, C) = {X ∈ sl(n, C) |tX Q + Q X = 0 }.
SO(p, q) (gruppo ortogonale di segnatura (p, q)) `e il gruppo delle matrici reali a ∈ SL(p+q, R) tali cheta K a = K per una matrice (p+q)×(p+q) reale e simmetrica K, di segnatura (p, q). La corrispondente algebra di Lie `e:
o(p, q) = {X ∈ sl(p + q, R) | tX K + K X = 0 }.
SO∗(2n) (gruppo complesso ortogonale simplettico) `e il gruppo delle matrici a ∈ SL(2n, C) tali che
118 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
ove J `e una matrice antihermitiana di rango 2n e K `e una matrice simmetrica di rango 2n con J K = KJ . Possiamo ad esempio fissare K = I2n e J = In
−In . L’algebra di Lie corrispondente `e: so∗(2n) = {X ∈ sl(2n, C) | X∗J + J X = 0 , tXK + KX = 0 } .
Sp(n, C) (gruppo simplettico complesso) `e il gruppo delle matrici a ∈ GL(2n, C) tali che taJ a = J per una matrice antisimmetrica J ∈ M(2n, C) di rango 2n. La corrispondente algebra di Lie `e:
sp(n, C) = {X ∈ gl(2n, C) | tXJ + J X = 0 } .
Sp(n, R) (gruppo simplettico) `e il gruppo delle matrici a ∈ GL(2n, R) tali che taJ a = J per una matrice antisimmetrica J ∈ M(2n, R) di rango 2n. La corrispondente algebra di Lie `e:
sp(n, R) = {X ∈ gl(2n, R) | tXJ + J X = 0 } .
Sp(p, q) (gruppo unitario simplettico di segnatura (p, q)) `e il gruppo delle matrici a ∈ Sp(n, C) (con p + q = n) tali che a∗Ka = K per una matrice Hermitiana simmetrica K di segnatura (2p, 2q) che commuta con J . Se J = In
−In , possiamo fissare ad esempio K = Ip −Iq Ip −Iq ! .
La corrispondente algebra di Lie `e:
sp(p, q) = {X ∈ sp(n, C) | X∗K + KX = 0 } . Osserviamo che Sp(n) = Sp(n, 0) = Sp(0, n) = Sp(n, C) ∩ U(2n).
3. I gruppi U(p, q) e SU(p, q) Fissiamo K = Ip,q=
Ip
−Iq
e poniamo n = p + q.
Lemma 3.1. Se g ∈ U(p, q), allora g∗ ∈ U(p, q). Se g ∈ SU(p, q), allora g∗ ∈ SU(p, q).
Dimostrazione. Per la definizione del gruppo U(p, q) , abbiamo g∗Ip,q= Ip,qg−1.
Da questa otteniamo, passando alle inverse:
gIp,q = (g∗)∗Ip,q = Ip,q(g∗)−1
e quindi g∗ ∈ U(p, q). Inoltre, se det(g) = 1, anche det(g∗) = det(g) = 1. Lemma 3.2. U(p, q) ∩ U(n) ∼= U(p) ./ U(q).
3. I GRUPPI U(p, q) E SU(p, q) 119
Dimostrazione. Scriviamo un elemento g ∈ U(p, q)∩U(n) nella forma g =a c
d b
con matrici a di tipo p × p, b di tipo q × q, c di tipo p × q, d di tipo q × p. Poich´e g ∈ U(p, q), abbiamo
a∗a − d∗d = Ip, a∗c = d∗b, b∗b − c∗c = Iq. Essendo g ∈ U(n), abbiamo anche:
a∗a + d∗d = Ip, a∗c + d∗b = 0, b∗b + c∗c = Iq. Da queste uguaglianze ricaviamo
c = 0, d = 0
da cui segue la tesi.
Corollario 3.3. SU(p, q)∩U(n) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(p)× SU(q) × S1.
Dimostrazione. Se σ ∈ C, per ogni intero positivo h indichiamo con Dh(σ) la matrice diagonale h × h: Dh(σ) = σ 1 ... 1 ! . L’applicazione SU(p)×SU(q)×S1 3 (a, b, σ) −→Dp(σ) a 0 0 Dq(σ−1) b ∈ SU(p, q)∩U(n) `
e continua e bigettiva e dunque un omeomorfismo perch´e i due spazi sono
compatti di Hausdorff.
Teorema 3.4. Il gruppo SU(p, q) `e omeomorfo al prodotto topologico: SU(p, q) ' SU(p) × SU(q) × S1× Cpq.
Il gruppo U(p, q) `e omeomorfo al prodotto topologico SU(p, q) × S1: U(p, q) ' SU(p) × SU(q) × S1× S1× Cpq.
I due gruppi sono pertanto connessi per archi, ma non compatti se pq 6= 0. Dimostrazione. Calcoliamo l’intersezione u(p, q) ∩ p(n). Scriviamo X ∈ u(p, q) ∩ p(n) nella forma X =
X11X12 X∗ 12X22 con X11∈ p(p), X22∈ p(q) e X12matrice complessa di tipo p × q. Allora:
0 = X∗Ip,q+ Ip,qX = X Ip,q+ Ip,qX = 2X11 0 0 2X22 . Quindi u(p, q) ∩ p(n) = su(p, q) ∩ p(n) = n 0 X12 X∗ 12 0 X12∈ M(p × q, C)o. La tesi `e perci`o conseguenza dei lemmi precedenti e del Teorema 1.2.
120 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI 4. I gruppi Sp(n, C) e SU∗(2n) Lemma 4.1. Se g ∈ Sp(n, C), allora g∗ ∈ Sp(n, C). Dimostrazione. Abbiamo tgJ g = J, e dunque J g = tg−1J, da cui, passando alle inverse:
g−1J = J tg. Passando ai coniugati, otteniamo:
¯
g−1J = J g∗, da cui
tg∗J g∗= J,
che ci d`a g∗ ∈ Sp(n, C).
Teorema 4.2. Il gruppo Sp(n, C) `e omeomorfo a Sp(n) × Rn(2n+1). Dimostrazione. Sia g ∈ Sp(n, C). Possiamo decomporre g in modo unico nella forma:
g = ab con a ∈ Sp(n, C) ∩ U(2n) e b ∈ Sp(n, C) ∩ P+(2n). La b si pu`o rappresentare in modo unico come esponenziale di una matrice B ∈ sp(n, C) ∩ p(2n). Scriviamo B nella forma
B = B11B12 B∗ 12B22
con Bhk matrici complesse n × n, B11e B22 Hermitiane. Da tBJ + J B = 0 otteniamo allora le uguaglianze:
B11= tB22 B12= tB12. La matrice B `e dunque della forma
(∗) B =
B11 B12
B∗12− ¯B11
con B11 Hermitiana e B12 simmetrica. Lo spazio vettoriale reale sp(n, C) ∩ p(2n) `e quindi lo spazio delle matrici Hermitiane della forma (∗). Esso ha quindi dimensione reale n2 + n(n + 1) = n(2n + 1). La tesi segue dall’omeomorfismo del Teorema 1.2
Sp(n) × (sp(n) ∩ p(2n)) 3 (a, B) −→ a exp(B) ∈ Sp(n, C).
Teorema 4.3. Il gruppo SU∗(2n) `e omeomorfo a Sp(n) × R2n2−n−1.
5. I GRUPPI SO(n, C) E SO∗(2n) 121
Dimostrazione. Ricordiamo che g ∈ SU∗(2n) se g ∈ SL(2n, C) e Jg = ¯
gJ. Poich´e tJ = −J , per trasposizione otteniamo g∗J = tgJ = Jt¯g = J g∗, e quindi, se g ∈ SU∗(2n), anche g∗∈ SU∗(2n).
Se g ∈ SU∗(2n) ∩ U(2n) abbiamo
tgJ g =tg ¯gJ = g∗g J = J
e dunque g ∈ Sp(n). Viceversa, Sp(n) ⊂ SU∗(2n), perch´e, se g∗g = e e
tgJ g = J , abbiamo anche g∗J ¯g = J perch´e J `e reale, e quindi gJ = g(g∗J ¯g) = J ¯g.
Qundi SU∗(2n) ∩ U(2n) = Sp(n).
Per il Teorema 1.2 gli elementi g di SU∗(2n) si decompongono nella forma
g = ab con a ∈ SU∗(2n) ∩ U(2n)e b ∈ SU∗(2n) ∩ p(2n) .
La b `e l’esponenziale di una matrice Hermitiana B in su∗(2n). Lo spazio su∗(2n) ∩ p(2n) `e lo spazio vettoriale reale delle matrici della forma:
B =B11B12
B∗ 12B¯11
con B11 matrice n × n Hermitiana con traccia nulla e B12 matrice n × n complessa antisimmetrica: tB12 = −B12. Esso ha quindi dimensione reale (n2− 1) + n(n − 1) = 2n2− n − 1. La tesi segue dal Teorema 1.2, che ci d`a un omeomorfismo:
Sp(n) × (su∗(2n) ∩ p(2n)) 3 (a, B) −→ a exp(B) ∈ SU∗(2n).
5. I gruppi SO(n, C) e SO∗(2n)
Teorema 5.1. Il gruppo SO(n, C) `e omeomorfo a SO(n) × R(n2−n)/2. Dimostrazione. Un elemento g di SO(n, C) sono caratterizzati da:
det(g) = 1, tg g = e, cio`e tg = g−1. Abbiamo allora, coniugando, g∗ = ¯g−1 =tg∗−1
. Quindi g∗ ∈ SO(n, C) se g ∈ SO(n, C).
Un elemento g di SO(n, C) ∩ U(n) soddisfa
tg = g−1= g∗ e dunque `e una matrice a coefficienti reali. Quindi
SO(n, C) ∩ U(n) = SO(n).
Lo spazio vettoriale so(n, C) ∩ p(n) consiste delle matrici Hermitiane B con
tB + B = 0. Gli elementi di (so(n, C) ∩ p(n)) sono quindi le matrici antisim-metriche puramente immaginarie, e formano pertanto uno spazio vettoriale reale di dimensione n(n−1)/2. Per il Teorema 1.2 abbiamo un omeomorfismo
122 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
Teorema 5.2. Il gruppo SO∗(2n) `e omeomorfo a U(n) × Rn2−n.
Dimostrazione. Siano K = I = InIn e J = In
−In. Sia g ∈ SO∗(2n). Allora SO∗(2n) = SO(2n) ∩ SU∗(2n). Poich´e abbiamo gi`a veri-ficato che sia SO(2n) che SU∗(2n) sono invarianti per aggiunzione, anche SO∗(2n) `e invariante per aggiunzione.
Utilizziamo quindi il Teorema 1.2.
Verifichiamo in primo luogo che il gruppo K = SO∗(2n) ∩ U(2n) `e isomorfo, come gruppo topologico, a U(n). Se infatti g ∈ K, valgono le equazioni:
tgg = I, g∗J g = J, g∗g = I, det(g) = 1.
La prima e la terza di queste equazioni ci dicono che g `e una matrice reale di SO(2n). La seconda ci dice allora che g commuta con J e dunque `e C-lineare per la struttura complessa su R2n definita da J . Si verifica facilmente che, se definiamo l’isomorfismo R-lineare σ : R2n −→ Cnmediante
σ(ek) = ek per 1 ≤ k ≤ n e σ(J ek) = σ(ek+n) = iek
l’applicazione
SO∗(2n) ∩ U(2n) 3 g −→ σ ◦ g ◦ σ−1 ∈ U(n) `
e un isomorfismo di gruppi topologici.
Calcoliamo ora l’intersezione so∗(2n) ∩ p(2n). Le matrici B che appar-tengono a tale intersezione sono quelle della forma:
B = B1,1 B1,2
− ¯B1,2 B¯1,1
con B1,1, B1,2∈ io(n).
Dunque so∗(2n) ∩ p(2n) `e uno spazio vettoriale reale di dimensione n(n − 1). Per il Teorema 1.2 l’applicazione:
U(n) × (so∗(2n) ∩ p(2n)) 3 (u, B) → u exp(B) ∈ SO∗(2n) `
e un omeomorfismo.
6. I gruppi Sp(p, q; C) Teorema 6.1. Abbiamo l’omeomorfismo
Sp(p, q) ∼= Sp(p) × Sp(q) × R4pq.
Dimostrazione. Ricordiamo che il gruppo Sp(p, q; C) `e caratterizzato dalle equazioni: tgJ g = J e g∗ Ip,q Ip,q g = Ip,q Ip,q .
Quindi Sp(p, q) = Sp(p+q, C)∩U(2p, 2q), ove U(2p, 2q) `e definito in questo caso come il gruppo delle matrici g per cui g∗Kg = K, per la matrice
K = Ip,q
Ip,q
.
7. I GRUPPI SO(p, q) 123
Poich´e K = K∗ = K−1, otteniamo
g ∈ U(2p, 2q) ⇔ Kg∗K = g−1 ⇔= Kg∗∗K = [g∗]−1⇔ g∗∈ U(2p, 2q). Quindi, poich´e sia Sp(p + q, C) che U(2p, 2q) = {g ∈ GL(2n, C) | g∗Kg = K} sono invarianti rispetto all’aggiunzione, anche Sp(p, q; C) `e invariante rispetto all’aggiunzione.
Utilizziamo allora il Teorema 1.2. `E Sp(p, q; C) ∩ U(2n) ⊂ Sp(n) ⊂ GL(n, H). Scriviamo ˜g per la matrice a coefficienti quaternioni corrispon-dente a g. Troviamo allora: se g ∈ Sp(p, q; C), allora
˜ g∗g = I˜ ˜ g∗Ip,qg = Ip,q. Si ottiene quindi ˜ g =g1 g2 con g1∈ Sp(p), g2 ∈ Sp(q).
Il Teorema 1.2 ci d`a quindi un omeomorfismo
Sp(p) × Sp(q) × (sp(p, q; C) ∩ p(2p + 2q)) −−−−→ Sp(p, q; C)
definito da: (g1, g2, B) −−−−→ g1 g2
exp(B)
L’intersezione sp(p, q; C) ∩ p(2n) `e lo spazio vettoriale reale di dimensione 4pq delle matrici Hermitiane della forma:
B = 0 B12 0 B14 B∗ 12 0 tB14 0 0 B¯14 0 − ¯B12 B14∗ 0 −tB12 0
con B12 e B14 matrici complesse di tipo p × q.
7. I gruppi SO(p, q)
Teorema 7.1. Siano p, q due interi positivi con p + q = n. Allora il gruppo SO(p, q) `e omeomorfo a {−1, 1} × SO(p) × SO(q) × Rpq.
Dimostrazione. Ragioniamo come nella dimostrazione dei teoremi pre-cedenti. Si verifica facilmente che
SO(p, q) = {g ∈ SL(n, R) | tgKg = K} con K =Ip −Iq
contiene l’aggiunta di ogni suo elemento. E quindi un gruppo pseudoal-` gebrico cui possiamo applicare il Teorema Ricaviamo in primo luogo che SO(p, q) ∩ U(n) `e formato dalle matrici:
g =g1 0 0 g2
con g1∈ O(p), g2∈ O(q) e det(g1) · det(g2) = 1. Quindi abbiamo l’omeomorfismo:
124 8. LA LISTA DI CARTAN DEI GRUPPI CLASSICI
D’altra parte SO(p, q)∩P+(n) `e l’immagine iniettiva mediante l’applicazione esponenziale delle matrici
B =
0 B12
tB12 0
ove B12 `e una matrice reale p × q. Concludiamo utilizzando il Teorema