Spazi di Baire

1. Definizione ed esempi di spazi di Baire

Sia X uno spazio topologico. Ricordiamo che un sottoinsieme D di X si dice denso in X se la sua chiusura ¯D `e uguale a X, ovvero se ogni aperto non vuoto di X contiene punti di D.

Viceversa, chiamiamo raro o da nessuna parte denso un sottoinsieme A di X la cui chiusura non abbia punti interni, tale cio`e che risulti

(1.1) int( ¯A) = ∅.

Definizione 1.1. Uno spazio topologico X si dice di Baire se l’interse-zione di una sua qualsiasi famiglia numerabile di aperti densi `e ancora un sottoinsieme denso.

Osservazione 1.2. Un’intersezione finita di aperti densi `e ancora un aperto denso. Se infatti A0, . . . , Ansono aperti densi di X ed U `e un qualsiasi aperto non vuoto di X, allora A₀∩U 6= ∅ perch´e A₀`e denso in X. Sia m il pi`u grande intero non negativo e minore o uguale ad n per cui Um= U ∩Tm

j=0Aj 6= ∅. Um `e aperto perch´e intersezione finita di aperti. Quindi, se fosse m < n, avremmo U<sub>m</sub>∩ A<sub>m+1</sub> 6= ∅ perch´e A<sub>m+1</sub> `e denso in X. Ma questo ci darebbe una contraddizione perch´e Um∩ A_m+1= U ∩Tm+1

j=0 Aj = Um+1 6= ∅ contraddirebbe la nostra scelta di m.

Per caratterizzare e studiare gli spazi di Baire `e utile introdurre il con-cetto di categoria topologica.

Definizione 1.3. Un sottoinsieme A di X si dice di prima categoria se `e unione numerabile di insiemi rari.

Un sottoinsieme di X che non sia di prima si dice di seconda categoria. Osservazione 1.4. Un’unione numerabile d’insiemi di prima categoria `e di prima categoria.

Lemma 1.5. Sia X uno spazio topologico. Sono equivalenti: (1) X `e di Baire.

(2) Se {F_n| n ∈ N} `e una famiglia numerabile di chiusi e F =S∞ n=0F<sub>n</sub> `

e tale che int F 6= ∅, allora esiste ν ∈ N tale che int Fν 6= ∅. (3) Gli insiemi di prima categoria hanno parte interna vuota. (4) Ogni aperto non vuoto di X `e di seconda categoria.

(5) Il complementare in ogni aperto non vuoto di X di un sottoinsieme di prima categoria di X `e di seconda categoria.

34 2. SPAZI DI BAIRE

Dimostrazione. (1) ⇒ (2). Supponiamo che X sia uno spazio di Baire e sia {F_n} una qualsiasi successione di chiusi ciascuno con parte interna vuota. Allora An= {Fn `e per ogni n un aperto denso di X. Quindi:

D = ∞ \ n=0 An= { ∞ [ n=0 Fn `

e denso in X. Se U fosse un aperto non vuoto contenuto inS∞

n=0F_n, sarebbe D ∩ U = ∅, ma questo non `e possibile perch´e D `e denso in X.

(2) ⇒ (3). Se A `e un insieme di prima categoria, allora A = S∞ n=0An, per una successione di insiemi {A_n} con int( ¯A_n) = ∅. Per la (2) abbiamo int S∞

n=0_A¯_n
= ∅, e quindi a maggior ragione int(A) = ∅.

(3) ⇒ (4). Per la (3) nessun aperto non vuoto pu`o essere di prima categoria.

(4) ⇒ (5). E ovvia, perch´<sup>`</sup> e l’unione di due insiemi di prima categoria `e di prima categoria.

(5) ⇒ (1). Supponiamo valga (5). Sia {An} una successione di aperti densi di X. Vogliamo dimostrare che D = T∞

n=0A_n `e denso in X. Per n, l’insieme F<sub>n</sub> = {An `e un chiuso con parte interna vuota. Quindi F = S∞

n=0F_n`e di prima categoria in X e {F = D. Quindi, per la (5), per ogni aperto non vuoto U di X il complemento U ∩ {F di F in U `e di seconda categoria e in particolare non vuoto. Poich´e U ∩ {F = U ∩ D, otteniamo la

tesi. 

Da (4) segue subito che:

Corollario 1.6. Ogni sottospazio aperto di uno spazio di Baire `e uno spazio di Baire.

Teorema 1.7. Ogni spazio di Hausdorff localmente compatto `e di Baire. Dimostrazione. Sia X = (X, τX) uno spazio di Hausdorff localmente compatto. Sia {A_n} una famiglia numerabile di aperti densi di X e sia D = T∞

n=0An. Per l’Osservazione 1.2, possiamo supporre che An+1 ⊂ A_n per ogni n ≥ 0.

Vogliamo dimostrare che per ogni aperto non vuoto U di X interseca D. A questo scopo, costruiamo induttivamente una successione {B_n} di aperti non vuoti tali che

(∗)      ¯ Bn `e compatto ∀n ∈ N, ¯ Bn⊂ U ∀n ∈ N, ¯ B_n+1 ⊂ B_n∩ A_n+1 ∀n ∈ N.

Infatti, poich´e X `e localmente compatto, un punto x<sub>0</sub> di U ∩ A<sub>0</sub> 6= ∅ ha un intorno aperto non vuoto B0 con chiusura compatta contenuta in U ∩ A0. Supponiamo di aver costruito B<sub>0</sub>, ..., B<sub>m</sub>in modo che le (∗) siano soddisfatte per n < m. Allora B<sub>m</sub>∩ A<sub>m+1</sub>`e un aperto non vuoto, e baster`a scegliere un

2. ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E SEMICONTINUE 35

intorno aperto Bm+1di un suo punto xm+1con chiusura compatta contenuta in B_m∩ A_m+1, perch´e le (∗) siano soddisfatte per ogni n ≤ m.

La famiglia { ¯Bn} `e una famiglia di sottoinsiemi chiusi del compatto ¯B0

che gode della propriet`a dell’intersezione finita. Quindi ∅ 6= T∞

n=0_B¯_{n ⊂}

D ∩ U e la tesi `e dimostrata. 

Teorema 1.8. Ogni spazio metrico completo `e uno spazio di Baire.

Dimostrazione. Sia (X, d) uno spazio metrico completo e sia {An} una successione di aperti densi di X. Per l’Osservazione 1.2, possiamo supporre che An+1 ⊂ A_n per ogni n ≥ 0. Fissiamo un aperto non vuoto U di X. Costruiamo per ricorrenza una successione {B_n} di palle aperte di X tali che (∗)      ¯ B_n⊂ U ∀n ∈ N, B_n= B(x_n, r_n) con x_n∈ X e 0 < r_n< 2⁻ⁿ ∀n ∈ N ¯ Bn+1⊂ B_n∩ A_n+1 ∀n ∈ N.

A questo scopo osserviamo che A₀∩U `e un aperto non vuoto e quindi, fissati x0 ∈ A₀∩ U e 0 < r0 < min{1, d(x0, {(A0∩ U ))}

e posto B0 = B(x0, r0) abbiamo ¯B0⊂ A₀∩ U. Supponiamo di aver costruito, per n ≥ 0, le palle B₀, . . . , B_min modo che valgano le (∗) per n < m. Fissato un punto xm+1 di Bm∩ A_m+1 ⊂ U , possiamo trovare 0 < r_m+1 < 2^−(m+1) tale che, posto B_m+1 = B(x_m+1, r_m+1) risulti ¯B_m+1 ⊂ A_m+1∩ B_m. Allora le (∗) sono verificare per n ≤ m.

Ottenuta cos`ı una successione che verifica le (∗), la successione {xn} dei centri delle palle B<sub>n</sub> `e una successione di Cauchy. Il suo limite x∞

appartiene a ¯Bn per ogni n ∈ N e quindi ad An∩ U per ogni n. Dunque

x∞∈ D ∩ U 6= ∅. 

2. Alcuni teoremi sulle funzioni reali continue e semicontinue Dimostriamo in questo paragrafo alcuni teoremi sulle funzioni reali. 2.1. Punti di continuit`a di un limite puntuale di funzioni con-tinue.

Teorema 2.1 (Baire). Sia X = (X, τ_X) uno spazio topologico e sia {f_n} una successione di funzioni continue a valori reali definite su X. Supponiamo che per ogni x ∈ X esista il limite della successione {f_n(x)} ⊂ R. Allora l’insieme dei punti x ∈ X in cui la funzione

f : X 3 x → lim

n→∞fn(x) ∈ R non `e continua `e di prima categoria in X.

Dimostrazione. Per ogni intero positivo n ed ogni numero reale  > 0 poniamo

36 2. SPAZI DI BAIRE Poniamo G() = ∞ [ n=0 int Pn(). Dimostriamo che Y = ∞ \ n=0 G(2⁻ⁿ) `

e il sottoinsieme dei punti di X in cui f `e continua. Supponiamo infatti che f sia continua in x0 ∈ X. Fissato  > 0, possiamo trovare un indice ν ∈ N tale che

|f_n(x₀) − f (x₀)| ≤ /3 ∀n ≥ ν.

Poich´e sia f che f_ν sono continue in x₀, esiste un intorno aperto U di x₀ in X tale che

|f (x) − f (x₀)| < /3 e |f_ν(x) − f_ν(x₀)| < /3 ∀x ∈ U. Allora

|f_ν(x)−f (x)| ≤ |fν(x)−fν(x0)|+|fν(x0)−f (x0)|+|f (x0)−f (x)| <  ∀x ∈ U. Ci`o dimostra che A ⊂ P<sub>ν</sub>() e quindi x<sub>0</sub> ∈ int P<sub>n</sub>() ⊂ G(). Poich´e  > 0 `e arbitrario, ne segue che x0 ∈ Y .

Sia viceversa x₀ ∈ Y . Fissiamo  > 0. Poich´e x₀ ∈ G(/3), avremo x0 ∈ int P_n(/3) per qualche indice n ∈ N. Esister`a dunque un intorno aperto U di x₀ in cui

|f_n(x) − f (x)| ≤ /3 ∀x ∈ U.

Poich´e f_n`e continua in x₀, possiamo trovare un intorno aperto U⁰ di x₀, che possiamo supporre contenuto in U , in cui risulti

|f_n(x) − f_n(x₀)| < /3. Avremo allora:

|f (x)−f (x₀)| ≤ |f (x)−fn(x)|+|fn(x)−fn(x0)|+|fn(x0)−f (x0)| <  ∀x ∈ U⁰ e ci`o dimostra la continuit`a di f in x₀.

Poniamo ora, per ogni intero non negativo n e ogni numero reale  > 0: F_n() = {x ∈ X | |f_n(x) − f_m(x)| ≤  ∀m ≥ n}.

Per la continuit`a delle fn, questi insiemi sono chiusi. Inoltre, per la conver-genza puntuale della successione {f_n}, abbiamo

X = ∞ [ n=0 F_n(). Inoltre risulta F_n() ⊂ P_n(), quindi int F_n() ⊂ int P_n(),

2. ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E SEMICONTINUE 37 e dunque L() = ∞ [ n=0 int Fn() ⊂ G().

Ma per il complementare di L() abbiamo allora

{L() =

∞

[

n=0

(Fn() ∩ {[int(Fn))],

unione numerabile di chiusi con parte interna vuota. Quindi {L() `e di prima categoria e lo `e anche, a maggior ragione, {G(). Quindi l’insieme

{Y =

∞

[

n=0

{G(2⁻ⁿ),

dei punti in cui f `e discontinua, `e di prima categoria.  2.2. Funzioni semicontinue. Ricordiamo che una funzione reale f , definita su uno spazio topologico X, `e semicontinua inferiormente se, per ogni numero reale c, l’insieme

{x ∈ X | f (x) ≤ c} `

e chiuso in X.

Teorema 2.2. Sia X uno spazio di Baire ed f : X → R una funzione semicontinua inferiormente. Allora ogni aperto non vuoto U di X contiene un aperto non vuoto V su cui f `e limitata superiormente.

Dimostrazione. Ogni aperto U di X `e uno spazio di Baire. Poniamo, per ogni intero non negativo n:

Fn= {x ∈ U | fn(x) ≤ n}.

Tali insiemi sono chiusi in U perch´e f `e semicontinua inferiormente e

∞

[

n=0

Fn= U

perch´e la f `e a valori reali. Possiamo quindi trovare ν ∈ N tale che V =

int F_n6= ∅. 

Lemma 2.3. Sia (X, d) uno spazio metrico compatto ed f : X → R una fun-zione semicontinua inferiormente. Possiamo allora trovare una successione non decrescente {f_n} di funzioni continue su X a valori reali tale che

f (x) = lim

n→∞f_n(x) = sup

n∈N

f_n(x) ∀x ∈ X.

Dimostrazione. Sia a = minXf (x) ∈ R. Per ogni intero non negativo n siano x_n,1, ..., x_n,`n punti di X tali che

X =

`n

[

j=1

38 2. SPAZI DI BAIRE

Per ogni j = 1, ..., `n poniamo

µ_n,j = min{f (x) | d(x, x_n,j) ≤ 2⁻ⁿ}.

Per il lemma di Urysohn possiamo trovare funzioni continue wn,j : X → R tali che      a ≤ wn,j(x) ≤ µn,j ∀x ∈ X w_n,j(x) = µ_n,j ∀x ∈ ¯B(x_n,j, 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾) wn,j(x) = a ∀x /∈ B(x_n,j, 2⁻ⁿ). Poniamo g_n(x) = max{w_n,1(x), ..., w<sub>n,`n</sub>(x)} ∀x ∈ X. Allora g<sub>n</sub>: X 3 x → g<sub>n</sub>(x) ∈ R `

e continua per ogni n ∈ N e

gn≤ f su X. Poniamo

fn(x) = max{g0(x), g1(x), ..., gn(x)} ∀x ∈ X. Allora

f_n: X 3 x → f_n(x) ∈ R sono continue per ogni n ∈ N e

fn≤ f su X.

La successione {f_n} `e una successione non decrescente di funzioni continue. Dico che

f (x) = lim

n,→∞f_n(x) = sup

n∈N

f_n(x) ∀x ∈ X.

Infatti, per ogni x ∈ X ed ogni n ∈ N sia xn,jntale che x ∈ B(xn,jn, 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾). Possiamo allora trovare xn con d(xn, xn,jn) ≤ 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ tale che µn,jn = f (x_n) = w_n,jn(x_n). Allora f_n(x_n) = f (x_n) e f_n(x) ≥ f (x_n) perch´e f (x) ≥ wn,jn(x) = µn,jn. La successione {xn} converge a x e dunque abbiamo, poich´e f `e semicontinua inferiormente,

sup

n

fn(x) ≥ lim

n f (xn) ≥ f (x).

Poich´e d’altra parte sup_nfn(x) ≤ f (x), vale l’uguaglianza e il lemma `e

dimostrato. 

Teorema 2.4. Sia X = (X, τX) uno spazio metrizzabile localmente compat-to. Se f : X → R `e semicontinua inferiormente, allora l’insieme dei punti in cui la f non `e continua `e di prima categoria.

2. ALCUNI TEOREMI SULLE FUNZIONI REALI CONTINUE E SEMICONTINUE 39

2.3. Esistenza di funzioni reali continue su R non derivabili in nessun punto.

Teorema 2.5. Esiste una funzione continua f : R → R che non `e derivabile in nessun punto di R.

Dimostrazione. —Sia I l’intervallo [0, 1] della retta reale. Indichiamo con C0(I) l’insieme di tutte le funzioni continue φ : I → R, che si annullano in 0 e 1, con la topologia indotta dalla distanza

d(φ, ψ) = sup

I

|φ(x) − ψ(x)| ∀φ, ψ ∈ C₀(X).

Con questa distanza, C0(X) `e uno spazio metrico completo e quindi di Baire. Per ogni intero positivo n sia

Fn=  g ∈ C0(I)    

∃x ∈ I tale che ^{|g(x) − g(y)|}

|x − y| ^{≤ n ∀y ∈ I \ {x}} 

.

Dico che Fn`e un chiuso. Sia infatti g ∈ C0(I) una funzione continua a valori reali definita su I tale che esista una successione {g_ν}_ν∈N in F_n tale che d(gν, g) → 0 per ν → ∞. Per ogni ν ∈ N indichiamo con xν ∈ I un punto per cui valga

|g_ν(y) − g_ν(x_ν)|

|y − x_ν| ^{≤ n ∀y ∈ I \ {xν}.}

Poich´e I `e compatto, passando a una sottosuccessione possiamo supporre che xν → x∞ ∈ I per ν → ∞. Se y ∈ I \ {x∞}, allora x_ν 6= y per ν sufficientemente grande e otteniamo quindi

|g(y) − g(x_∞)|

|y − x_∞| ^{= lim}ν→∞

|g_ν(y) − gν(xν)| |y − x_ν| ^{≤ n.} Dimostriamo ora che per ogni intero positivo n il chiuso F_n `e raro.

Se cos`ı non fosse, potremmo trovare, per un intero positivo n, una g ∈ Fn

tale che per qualche  > 0 ogni h ∈ C(I) con d(h, g) <  appartenga ad F_n. Mostriamo in primo luogo che le funzioni lineari a tratti sono dense in C0(I).

Sia g ∈ C₀(I). Allora

I × I 3 (x, y) → g(x) − g(y) ∈ R `

e una funzione continua e quindi esiste un intorno aperto U di {(x, x) | x ∈ I} in I × I tale che |g(x) − g(y)| <  per ogni (x, y) ∈ U . La topologia prodotto in I × I `e definita dalla distanza euclidea di R<sup>2</sup> e quindi, se 2δ > 0 `e la distanza da {(x, x) | x ∈ I} al complementare di U , avremo |g(x) − g(y)| <  se |x − y| < δ.

Consideriamo una partizione

0 = x0 < x1< .... < xN = 1 dell’intervallo I tale che

40 2. SPAZI DI BAIRE

e definiamo la funzione lineare a tratti:

ψ(x) = g(xj−1) + (g(xj) − g(xj−1)) ^{x − xj−1} xj− x_j−1 se x_j−1≤ x ≤ x_j, j = 1, ..., N. Abbiamo: |g(x) − ψ(x)| ≤ ^{xj− x} xj− x_j−1^{|g(x) − g(xj−1)| +} x − x_j−1 xj− x_j−1^{|g(x) − g(xj)| < } per x_j−1≤ x ≤ x_j, j = 1, ..., N, e quindi ψ ∈ B(g, ) = {f ∈ C₀(I) | d(f, g) < }.

Quindi, se fosse int(F_n) 6= ∅, esso conterrebbe una funzione lineare a tratti ψ, e quindi una palla aperta B(ψ, r), con r > 0. Poich´e le funzioni lineari a tratti sono Lipschitziane, esiste una costante L > 0 tale che

|ψ(x) − ψ(y)|

|x − y| ^{≤ L ∀x 6= y ∈ I.}

Consideriamo, per un intero positivo M > 0 fissato, la funzione lineare a tratti φM(x) =      rM (x − j/M ) ⇔ j/M ≤ x ≤ (2j + 1)/(2M ) rM ((j + 1)/M x) ⇔ (2j + 1)/(2M ) ≤ x ≤ j + 1/M j = 0, 1, ..., M − 1. Abbiamo |φ_M(x)| ≤ r/2 ∀x ∈ I e inoltre per ogni x ∈ I abbiamo

sup y∈I y6=x |φ_M(y) − φM(x)| |y − x| ^{= rM} Chiaramente h_M = ψ + φ_M ∈ B(ψ, r), ma h_M ∈ F/ _nse rM − L > n. Questo dimostra che gli Fn sono rari. Quindi

∞

[

n=1

F_n= F

`

e di prima categoria e dunque F 6= C0(I) perch´e questo `e uno spazio di Baire. Una qualsiasi funzione k ∈ C<sub>0</sub>(I) \ F non `e derivabile in alcun punto di I. Si ottiene una funzione f : R → R non derivabile in nessun punto di R estendendo la k per periodicit`a:

f (x) = k(x − q) ⇔ q ∈ Z e q ≤ x ≤ q + 1.

3. ALCUNE APPLICAZIONI AGLI SPAZI NORMATI 41

3. Alcune applicazioni agli spazi normati

Sia V uno spazio vettoriale reale. Una norma su V `e un’applicazione V 3 v → kvk ∈ R

che gode delle propriet`a:

(i) k0k = 0 e kvk > 0 ⇐⇒ 0 6= v ∈ V ; (ii) kλvk = |λ| kvk ∀λ ∈ R ∀v ∈ V ; (iii) kv + wk ≤ kvk + kwk ∀v, w ∈ V.

Consideriamo sullo spazio normato V la struttura di spazio metrico definita dalla distanza:

V × V 3 (v, w) → d(v, w) = kv − wk ∈ R .

Definizione 3.1. Uno spazio normato che sia completo rispetto alla distan-za definita dalla norma si dice uno spazio di Banach.

Due norme k · k e ||| · ||| sullo stesso spazio vettoriale V si dicono equivalenti se vi `e una costante positiva c tale che

c⁻¹kvk ≤ |||v||| ≤ ckvk ∀v ∈ V.

Norme equivalenti definiscono distanze che inducono la stessa topologia sullo spazio vettoriale V . Abbiamo:

Teorema 3.2. Sia V uno spazio vettoriale reale. Due norme su V rispetto alle quali V sia uno spazio di Banach sono equivalenti fra loro.

Dimostrazione. Siano k · k1 e k · k2 due norme sullo spazio vettoriale V rispetto alle quali V sia uno spazio di Banach. Definiamo una nuova norma k · k su V ponendo

kvk = kvk₁ + kvk₂ ∀v ∈ V .

Osserviamo che V `e uno spazio di Banach con la norma k · k. Indichere-mo con d₁, d₂ e d le distanze associate alle norme k · k₁, k · k₂ e k · k, rispettivamente.

Indichiamo con X lo spazio metrico completo che si ottiene considerando su V la distanza relativa alla norma k · k₁. Poniamo, per ogni numero reale positivo r: F_r = {v ∈ V | kvk ≤ r}. Poich´e _∞ [ n=1 F_n= V,

per il teorema di Baire possiamo trovare un intero positivo ν tale che ¯F_ν contenga punti interni di X (la chiusura si intende rispetto alla topologia associata alla norma k · k1. Poich´e le omotetie e le traslazioni sono omeo-morfismi di V, ne segue che ¯F₁ contiene un intorno aperto dell’origine in X:

¯

42 2. SPAZI DI BAIRE

per qualche  > 0. Avremo allora

¯

Fr⊃ {v ∈ V | kvk₁ < r} ∀r > 0. Fissiamo un qualsiasi vettore v ∈ V con kvk1 < 1.

Costruiamo per ricorrenza una successione {v_n}_n∈N tale che        kv_nk ≤ ² −n  ^{∀n ≥ 0} kv −Pn j=0v_jk₁< 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ ∀n ≥ 0.

Poich´e ¯F_1/ ⊃ {w ∈ V | kwk₁ < 1}, possiamo trovare v0 ∈ F_1/ tale che kv − v₀k₁< 1/2 .

Supponiamo di aver costruito v0, v1, ..., vn. Poich´e

kv −

n

X

j=0

v_jk₁ < 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ e F^¯₂−(n+1)/ ⊃ {w ∈ V | kwk₁ < 2⁻⁽ⁿ⁺¹⁾} ,

possiamo trovare v_n+1∈ F₂−(n+1)/ tale che

kv − n+1 X j=0 v_jk₁ < 2⁻⁽ⁿ⁺²⁾. Abbiamo allora v = ∞ X j=0 vj in (X, d1) e ∞ X j=0 kv_jk ≤ (1/) ∞ X j=0 2^−j = 2/.

Da questa relazione ricaviamo che la serie P∞

j=0vj converge a un elemento ˜

v di V nella metrica definita dalla norma k · k. Abbiamo inoltre k˜vk ≤ ² ^. Poich´e k˜v − n X j=1 v_jk₁ ≤ k˜v − n X j=1 v_jk ,

segue per l’unicit`a del limite in (X, d) che v = ˜v. Otteniamo quindi

kvk₁< 1 =⇒ kvk ≤ ² ^. Per l’omogeneit`a della norma abbiamo allora:

kvk ≤ ²

3. ALCUNE APPLICAZIONI AGLI SPAZI NORMATI 43

da cui si ricava:

kvk₂ ≤ ²

^{kvk1 ∀v ∈ V .}

In modo analogo si dimostra che esiste una costante positiva c tale che kvk₁ ≤ c kvk₂ ∀v ∈ V

e quindi le due norme sono equivalenti. 

Teorema 3.3. Tutte le norme su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita sono equivalenti.

Dimostrazione. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. Possiamo supporre sia V = Rⁿ. Indichiamo con |v| = (Pn

j=1v_j²)^1/2la norma Euclidea. Sar`a sufficiente mostrare che una qualsiasi norma k · k su R<sup>n</sup> `e equivalente alla norma Euclidea.

Se v = (v1, ..., vn) ∈ Rⁿ, abbiamo kvk ≤ |v₁| ke₁k + ... + |v_n| ke_nk ≤   v u u t n X j=1 ke_jk2  · |v|.

Da questa disuguaglianza segue che

Rⁿ3 v → kvk ∈ R `

e un’applicazione continua per le topologie Euclidee usuali. Poich´e Sⁿ⁻¹= {v ∈ Rⁿ| |v| = 1}

`

e un compatto di Rⁿ, la funzione

Sⁿ⁻¹3 v → kvk ∈ R

ammette su Sn−1un minimo positivo µ. Quindi, se v ∈ Rne v 6= 0, abbiamo k(v/|v|)k ≥ µ.

Da questa si ricava

|v| ≤ (1/µ)kvk ∀v ∈ Rⁿ.

La dimostrazione `e completa. 

Corollario 3.4. Sia V uno spazio vettoriale reale normato e sia f : Rⁿ → V un’applicazione lineare iniettiva. Allora f `e una immersione topologica. Ogni sottospazio vettoriale di dimensione finita di uno spazio vettoriale reale normato `e chiuso.

Dimostrazione. Per dimostrare che un’applicazione lineare iniettiva f : Rⁿ → V `e una immersione topologica, basta osservare che, indicando con | · | la norma Euclidea di Rn e con k · k la norma su V , le norme

x → kf (x)k e x → |x| sono equivalenti su Rⁿ.

In particolare, se W `e un sottospazio di dimensione finita di V , esso `e uno spazio metrico completo per la restrizione a W della distanza indotta dalla

44 2. SPAZI DI BAIRE

norma di V . Chiaramente, un sottospazio completo di uno spazio metrico `e

chiuso. 

Teorema 3.5. Sia V uno spazio vettoriale reale normato, su cui conside-riamo la topologia definita dalla distanza indotta dalla norma. Condizione necessaria e sufficiente affinch´e V sia localmente compatto `e che V abbia dimensione finita.

Dimostrazione. Sia V uno spazio vettoriale reale con una norma k · k. Se V ha dimensione finita, allora `e localmente compatto per il Teorema 3.3. Supponiamo ora che V sia localmente compatto e dimostriamo che ha dimensione finita. Osserviamo innanzi tutto che tutte le palle chiuse {v ∈ V | kvk ≤ r}, per r reale positivo, sono compatte. In particolare, possiamo trovare vettori e1, ..., en con kejk ≤ 1 per j = 1, ..., n tali che

{v ∈ V | kvk ≤ 1} ⊂

n

[

j=1

{v ∈ V | kv − e_jk < 1/2}.

Sia W il sottospazio vettoriale di V generato da e₁, ..., e_n.

Se W = V , allora V ha dimensione finita e la tesi `e dimostrata. Sup-poniamo sia W 6= V . Per il corollario del teorema precedente, W `e un sottospazio completo di V e quindi `e chiuso. Fissiamo un punto w ∈ {W . Allora d(w, W ) = δ > 0. Possiamo quindi trovare un vettore v ∈ W tale che

δ ≤ kv − wk ≤ (3/2)δ.

Allora k2(v − w)/(3δ)k ≤ 1 e possiamo trovare ej tale che k2(v − w)/(3δ)e_jk < 1/2,

ma questa ci d`a una contraddizione perch´e z = v − (3δ/2) e_j ∈ W e

kw − zk < (3/4)δ < δ.

CAPITOLO 3

Nel documento Lezioni di Geometria 4 2008-2009 (II Semestre) Mauro Nacinovich (pagine 33-45)