Nella Figura 3.4 viene riportato il carter lato test article. Anche in questo i com- ponenti sono interconnessi attraverso ange bullonate. Si può notare inoltre la pre- senza del sistema di messa in coppia. Essa viene applicata attraverso dei martinetti idraulici collegati con il carter tramite due snodi sferici.
Oltre al sistema di messa in coppia è presente anche una ralla la quale permette al sistema carter lato slave, ruotando in maniera eccentrica rispetto all'asse di rotazione del banco, di applicare il parallel oset.
Figura 3.3: Carter lato slave article del banco GTFTR
Capitolo 4
Modello torsionale a parametri
concentrati
Per poter validare il modello FEM dal punto di vista della dinamica torsionale è stato sviluppato un modello analitico per studiare tale fenomeno.
Lo scopo del modello è quello di ottenere le prime pulsazioni proprie (torsionali) del banco, con le relative forme modali e confrontare questi risultati con quelli otte- nuti con il modello agli elementi niti. Nel modello analitico è stata scelta la strada di adottare il minor numero possibile di gradi di libertà per avere un modello facil- mente gestibile, ma adeguatamente rappresentativo. Questo per avere un modello facilmente gestibile e analizzare l'in uenza che la variazione di questi parametri ha sulla risposta dinamica del banco.
Per per realizzare il suddetto modello sono state fatte le seguenti ipotesi: Assenza di smorzamento;
Ruote dentate: Mesh stiness in nita, smorzamento nullo e backlash assente; Rigidezza torsionale degli accoppiamenti secondari in nita (spline rigide e
essibili);
Disaccoppiamento vibrazioni esso-torsionali (rigidezza radiale dei cuscinetti in nita);
I rotismi sono considerati in nitamente rigidi con inerzia di massa dei loro componenti trascurabile, ipotesi che si traduce nel considerare il solo accop- piamento cinematico del riduttore.
Lo smorzamento è stato considerato trascurabile in quanto per la valutazione delle pulsazioni naturali del sistema ne risultano poco in uenzate.
Considerando il sistema rappresentato in gura 4.1 in cui è presente una massa, uno smorzatore e una molla, è possibile capire l'eetto che lo smorzamento ha sulle frequenze naturali del sistema.
Figura 4.1: Sistema massa molla smorzatore L'equazione dinamica del sistema rappresentato in gura è:
m¨x + c ˙x + kx = 0 (4.1)
Considerando il caso con smorzamento nullo (c = 0), dall'equazione dinamica (4.1) del sistema è possibile calcolare la sua pulsazione propria la cui espressione è di seguito riportata:
ωn=
r k
m (4.2)
Dove k rappresenta la rigidezza della molla, mentre m la massa del corpo ad essa collegata.
L'espressione della pulsazione naturale del sistema non smorzato è rappresenta- bile come:
ωs = ωn(1 − ζ2) (4.3)
Dove ζ rappresenta lo smorzamento relativo de nito nel seguente modo: ζ = c
ccr
Dove ccr rappresenta lo smorzamento relativo:
ccr = 2
√
km (4.5)
Per la maggior parte dei sistemi meccanici la ζ è piuttosto piccola (ζ < 0.1). Per avere un ordine di grandezza dell'eetto che lo smorzamento ha sul valore delle pulsazioni proprie, viene di seguito preso il caso con ζ = 1. La pulsazione propria del sistema smorzato risulta quindi essere:
ωs= ωn0.995 (4.6)
Questo dimostra come i due valori (ωs e ωn) dieriscano di una quantità tale da
rendere lo smorzamento trascurabile.
Il materiale è stato supposto omogeneo , isotropico, elastico e lineare con le seguenti proprietà:
E = 206GP a (modulo di Young); ρ = 7850 kg/m3
ν = 0.29
Per ogni componente è stata calcolata la propria rigidezza torsionale attraverso formule analitiche quando il componente poteva essere considerato trave, ovvero sfruttando un software agli elementi niti (ANSYS) nel caso in cui questa assunzione non poteva venir fatta. Nello speci co sono state utilizzate formule analitiche per i seguenti componenti: quill shaft, Inter shaft e exible shaft test article side; per i restanti corpi sono stati utilizzati modelli FEM. Il valore di rigidezza torsionale è stato ottenuto vincolando il componente in maniera tale da potergli applicare una rotazione della sezione di estremità, diretta secondo l'asse longitudinale del corpo, e calcolare la reazione vincolare nella sezione vincolata. Questo valore, diviso per la rotazione data alla sezione rappresenta la rigidezza torsionale del componente. I valori di inerzia sono stati ricavati dal modello cad del banco, mentre quella del motore (parte rotorica) e delle ruote dentate del moltiplicatore di velocità sono state prese da catalogo così come le rigidezze dei giunti a lamelle.
Partendo dall'immagine precedente è stato possibile ricavare uno schema concet- tuale del banco mostrato nella gura seguente:
Figura 4.2: Cross section del banco GTFTR
Figura 4.3: Schema concettuale modello a parametri concentrati e numerazione componenti
Nella tabella seguente vengono riportati i componenti, i relativi codici con le rispettive inerzie e rigidezze.
inseriretabellaparametriconcentrati
4.1 Schema a parametri concentrati: coordinate la-
grangiane
Per calcolare le frequenze proprie torsionali del sistema ed i relativi modi propri di vibrare sono state utilizzate le equazioni di Lagrange, di seguito riportate:
d dt( ∂L(q, ˙q) ∂ ˙q ) − ∂L(q, ˙q) ∂q = 0 (4.7)
Dove L(q, ˙q) rappresenta appunto il Lagrangiano del sistema la cui espressione è ottenuta dalla dierenza tra l'energia cinetica del sistema T ( ˙q) e della sua energia potenziale U(q). L'espressione del Lagrangiano è la seguente:
L(q, ˙q) = T ( ˙q) − U (q) (4.8)
Per l'identi cazione delle coordinate lagrangiane viene riportato lo schema del modello a parametri concentrati (Figura 4.4) e la tabella 4.1 in cui vengono riportati i componenti a cui esse si riferiscono:
Figura 4.4: Schema concettuale modello a parametri concentrati e numerazione componenti
COMPONENTE COORDINATE LAGRANGIANE
Motore elettrico q1
Primo giunto a lamelle (SX) q2
Primo giunto a lamelle (DX) q3
Corona moltiplicatore q4
Secondo giunto a lamelle (SX) q5
Secondo giunto a lamelle (DX) q6
SGB Solare q7 SGB Portasatellite q8 SGB Albero di uscita q9 Albero di connessione q10 PGB Albero di uscita q11 PGB Solare q12 PGB Portasatellite q13 SGB Supporto statico q14 PGB Supporto statico q15
Le rigidezze Keq1 e Keq2 rappresentano la serie delle rigidezze degli alberi della
linea veloce.
Per quanto riguarda i componenti che hanno una inerzia non trascurabile è stata utilizzata questa schematizzazione: Figura 4.5
(a) Componente generico (b) Modellazione componente
Figura 4.5: Schematizzazione corpo con inerzia
Nella gura 4.5(a)a si vede il componente caratterizzato da un inerzia torsionale I e una rigidezza torsionale kt calcolata ruotando la sezione B rispetto alla sezione
A.
L'inerzia è stata concentrata nella sezione di mezzeria del componente e collegata al telaio con due molle avente rigidezza pari al due volta kt (k1 = 2kt), uguali per
ragioni di simmetria. Per avere un livello di schematizzazione più accurato è possibile modellare il componente nel seguente modo, ovvero aumentare il numero di gradi di libertà:
Figura 4.6: Schema concettuale modello a parametri concentrati e numerazione componenti
in cui k:
n: numero di gradi di libertà (numero di inerzie concentrate) k1 = ki = kn= (n + 1)kt
I1 = Ii = In= In
Seguendo questa logica i componenti output shaft, rig input shaft e i due carter sono stati schematizzati utilizzando un solo grado di libertà; nello speci co:
keq4: rappresenta il doppio della rigidezza torsionale del componente output
shaft;
keq3: rappresenta la serie del doppio delle rigidezze torsionali dell'output shaft
e del ring input shaft.
keq5: rappresenta il doppio della rigidezza torsionale del componente carter
lato slave;
keq6: rappresenta il doppio della rigidezza torsionale del componente carter
lato test article;
mentre le inerzie equivaenti che vanno da 1 a 5 sono le inerzie calcolate dal CAD dei componenti sopra citati.
Nel sistema, oltre alle coordinate Lagrangiane, indipendenti, sono presenti anche delle coordinate che dipenderanno da esse. Queste riguardano il moltiplicatore e il rotismo.
Prendendo ad esempio il moltiplicatore e scegliendo come coordinata lagrangiana la rotazione della corona è possibile ottenere la rotazione del pignone dalla seguente relazione:
q20 = −τM LTq4 (4.9)
dove si è indicato con τM LT il rapporto di trasmissione del moltiplicatore.
Per quanto riguarda il rotismo epicicloidale, sono state scelte come coordinate lagrangiane le rotazioni del solare e del portasatellite. Il sistema risulterà quindi completamente de nite, dal punto di vista cinematico, dalle seguenti relazioni:
q16= (1 + τ1)q8− τ1q7 (4.10)
q18= (1 + τ1)q13− τ1q12 (4.11)
Questa relazione de nisce la rotazione dei satelliti in cui si è indicato con τ1 il
rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario tra la ruota solare e la ruota satellite.
q19 = τ2(q13− q12) + q13 (4.13)
Questa relazione invece de nisce la rotazione della ruota corona in cui è stato indicato con τ2 il rapporto di trasmissione del rotismo reso ordinario tra la ruota
corona e la ruota solare.