Discutiamo come l’analisi precedente per il gas di Fermi libero si possa estendere a un sistema di elettroni interagenti in approssi- mazione Hartree-Fock, in potenziale periodico. Questa `e la migliore approssimazione a elettroni indipendenti per un sistema di elettro- ni in un reticolo cristallino. Vedremo che, come nel gas di Fer- mi libero, non c’`e superconduttivit `a; la discussione `e resa appena pi `u complicata dalla periodicit `a discreta del sistema, che sostituisce l’omogeneit `a.
7.2 IL GAS DI FERMI IN APPROSSIMAZIONE HAR TREE-FOCK 93
L’approssimazione Hartree-Fock
Discutiamo le propriet `a generali del gas di Fermi interagente, nella approssimazione di Hartree-Fock; si tratta di un argomento stan- dard (per una discussione elementare si veda ad esempio [Ashcroft] [Giuliani]). Richiamiamo molto schematicamente i principi di que- sta approssimazione.
Aggiungiamo a un sistema di elettroni liberi, con hamiltoniana H0,
la repulsione coulombiana: H = H0+ V, V = 1 2 Z Z d3xd3y ψ†(x)ψ(x) e2 |x − y|ψ †(y)ψ(y) .
Euristicamente, approssimiamo l’interazione elettrone-elettrone con l’interazione fra un singolo elettrone e ilcampo mediogenerato dal-
la distribuzione di carica di tutti gli altri. Le funzioni d’onda degli elettroni saranno le soluzioni di una equazione di Schroedinger per un singolo elettrone, nel potenziale efficace VHF [Ashcroft]. Natu-
ralmente, la forma delle funzioni d’onda definisce la distribuzione di carica e quindi la forma di VHF: le funzioni d’onda e VHF devono essere determinati in modo autoconsistente.
Possiamo senza difficolt `a aggiungere ad H un potenziale periodico, di singola particella (il potenziale del reticolo cristallino); per ragioni di simmetria, anche il campo medio degli elettroni sar `a periodico, esattamente come il potenziale del reticolo [Ashcroft].
Le funzioni d’onda di singola particella hanno energia ε ben defi- nita. Il sistema `e invariante per traslazioni discrete: gli autostati sono caratterizzati da un quasi-impulso k e un indice di banda n1
[Ashcroft]. `E ben definito il concetto di energia di Fermi εF; possia-
mo costruire la superficie di Fermi come la superficie nello spazio degli impulsi k definita dall’equazione ε(k, n) = εF (non necessaria- mente una sfera). Il formalismo di particelle e buche del paragrafo 7.1 pu `o essere introdotto senza alcuna modificazione sostanziale [Giuliani].
Kubo in sistemi periodici
Finora abbiamo discusso la formula di Kubo 6.1 in sistemi omoge- nei. Nel paragrafo successivo vogliamo trattare un sistema periodi- co, quindi dobbiamo premettere alcune precisazioni.
94 ESEMPI
La formula di Kubo per sistemi generici si scrive (6.1):
hjαg.i.(x)i(1)= Z
d3x0Gαβ(x, x0) Aβ(x0) .
In sistemi omogenei, G `e funzione della sola differenza x − x0, dun-
que possiamo passare in trasformata di Fourier e definire G(q), che compare nella discussione dell’effetto Meissner (paragrafo 3.1). In sistemi periodici, sia
G(q, q0) = Z
d3xd3x0G(x, x0)eiqxe−iq0x0 ;
questa quantit `a `e invariante per x 7→ x + a, x0 7→ x0+ a, per qualsiasi
vettore a del reticolo cristallino. Questo implica che la fase ei(q−q0)a
acquistata da G(q, q0) `e uguale a 1, ovvero q − q0 `e un vettore del
reticolo cristallino reciproco (non necessariamente 0). In generale, se {gn} `e l’insieme dei vettori del reticolo reciproco,
G(q, q0) =X
n
Gn(q)(2π)3δ3(q − q0− gn) .
Sostituiamo questa espressione nella formula di Kubo, scritta in trasformata di Fourier: hjαg.i.(q)i(1)= Z d3q0 (2π)3Gαβ(q, q0) Aβ(q0) =X n Gαβn (q) Aβ(q + gn) .
Per discutere la superconduttivit `a ci interessa il valore di hjαg.i.(q)i(1)
per q → 0, indotto da un campo A lentamente variabile: A(q) `e a sup- porto in un intorno di q = 0. Quindi, il solo termine che contribuisce alla formula di Kubo nel nostro caso `e
hjαg.i.(q)i(1) = Gαβ0 (q) Aβ(q) . (7.1)
Per la discussione della superconduttivit `a in sistemi periodici oc- corre isolare la componente G0(q) di G, e poi discutere il limite q → 0
analogamente ai sistemi omogenei, usando la formula 7.1.
Risposta a un campo magnetico
Discutiamo la risposta di un sistema di elettroni interagenti, in ap- prossimazione di Hartree-Fock, in un potenziale periodico (il reticolo
7.2 IL GAS DI FERMI IN APPROSSIMAZIONE HAR TREE-FOCK 95
cristallino), a un campo magnetico lentamente variabile.
Ricordiamo che il sistema approssimato `e un insieme di elettroni indipendenti; gli autostati della hamiltoniana sono caratterizzati da un’energia ε(k, n), in cui k `e lo pseudo-impulso e n l’indice di banda. Assegnata la densit `a di elettroni, a temperatura 0 questi riempiono le bande partendo dai livelli che hanno energia pi `u bassa, fino all’e- nergia di Fermi εF. Scriviamo la hamiltoniana del sistema in termini di operatori di creazione e distruzione associati ai modi ε(k, n):
H =X
n
Z
d3k
(2π)3ε(k)a†(k, n)a(k, n) .
L’integrale sugli pseudo-impulsi k `e esteso alla prima zona di Bril- louin [Ashcroft]. Sia {ϕnk(x)} l’insieme delle funzioni d’onda asso- ciate ai modi ε(n, k); le ϕ soddisfano
ϕnk(x + a) = ϕnk(x)eika
per ogni vettore a del reticolo cristallino (teorema di Bloch, [Ashcroft]). L’accoppiamento con un campo magnetico esterno A si introduce nel solito modo:
H 7→ H + e
Z
d3x jpart(x) · A(x) + e2/2m
Z
d3x ρpart(x)A2(x) ;
la densit `a e la corrente di particelle sono le stesse definite al para- grafo 7.1.
Ricordiamo un risultato ottenuto nel capitolo 6: la supercondutti- vit `a `e caratterizzata da una cruciale non localit `a del coefficiente di risposta di Kubo, che si manifesta in una singolarit `a di questo coef- ficiente a piccoli impulsi. Questa non localit `a fa si che un campo magnetico a supporto sul bordo di una regione estesa possa produr- re una densit `a di corrente non nulla all’interno della regione (para- grafo 6.3): se il coefficiente di Kubo `e regolare a piccoli impulsi, la sua trasformanta di Fourier `e rapidamente decrescente nello spazio delle coordinate, e il sistema non risponde a un campo magnetico a supporto su un “bordo” asintoticamente lontano. Vedremo che nel caso studiato non ci sono contributi non regolari alla funzione di ri- sposta per k → 0, e sulla base degli argomenti generali che abbiamo richiamato concluderemo che il sistema non `e superconduttore.
96 ESEMPI
Discussione della divergenza a piccoli impulsi
Calcoliamo separatamente i contributi paramagnetico e diamagne- tico di G, la cui espressione `e data dalla formula 6.1, nel limite di piccoli impulsi. Cominciamo col calcolare il contributo parama- gnetico G(I) della funzione di risposta di Kubo, nello spazio delle
coordinate: Z
0
−∞
dt h i[jαpart(x, 0), jβpart(x0, t)]i0 .
Possiamo esplicitare la dipendenza dal tempo dell’operatore j(x0, t) e
integrare in t: il risultato `e
−h0|jαpart(x) P
H − E0j
part
β (x0)|0i − c.c.
introduciamo un set completo di autostati della hamiltonianaP`|`ih`|;
sia 1 δE(`) = h`| 1 H − E0|`i . Calcoliamo l’aspettazione h0|jαpart(x)|`i = X nkn0k0 h0|a∗nkan0k0|`i · 1 2mi[ϕ ∗ nk(x)∂αϕn0k0(x) − ∂αϕ∗nk(x)ϕn0k0(x)] ;
introduciamo gli operatori di creazione per particelle e buche:
ank = f (n, k)αnk + [1 − f (n, k)]βnk∗ f (n, k) = θ(ε(n, k) − εF) ,
tali che
αnk|0i = 0, βnk|0i = 0 .
In particolare, l’aspettazione h0|a∗nkan0k0|`i `e non nulla solo se |`i =
α∗
n0k0βnk∗ |0i, e in questo caso vale
[1 − f (n, k)]f (n0, k0) .
Mettendo insieme queste informazioni possiamo calcolare, con un po’ di algebra, h0|jαpart(x) P H − E0j part β (x0)|0i = X nkn0k0 1 δE(nkn0k0)[1 − f (n, k)]f (n0, k0)
7.2 IL GAS DI FERMI IN APPROSSIMAZIONE HAR TREE-FOCK 97 · 1 2mi[ϕ ∗ nk(x)∂αϕn0k0(x) − ∂αϕ∗nk(x)ϕn0k0(x)] · 1 2mi £ ϕ∗n0k0(x0)∂βϕnk(x0) − ∂βϕ∗n0k0(x0)ϕnk(x0) ¤ .
La legge di conservazione del quasi-impulso, che segue dalla inva- rianza per traslazioni discrete, determina la forma di G(I)(q, q0): in
particolare, valgono le uguaglianze
q = k0− k + g q0= k0− k + g0
con g, g0 vettori del reticolo reciproco. Ricordiamo che, nella no-
stra applicazione della formula di Kubo, q `e l’impulso della corrente
hjg.i.i(1) e q0 `e l’impulso di A: ci interessa il limite q → 0, e A(q0) `e a
supporto in un intorno di 0. Quinidi, dalle uguaglianze di cui sopra
q0 = q + g − g0 ,
`e compatibile con q, q0 ∼ 0 solo se g0 = g. In questo caso le ugua-
glianze diventano
q0 = q k0 = k + q + g , con g vettore qualsiasi del reticolo reciproco.
L’espressione di G che abbiamo costruito contiene delle potenzia- li singolarit `a a piccoli q solo nel termine 1/δE. Consideriamo la quantit `a
[1 − f (n0, k + q + g)]f (n, k) δE(n, k, n0, k + q + g) .
L’energia ε(n, k) `e definita solo per k apparenenti alla prima zona di Brillouin: nell’espressione di sopra, sia k che k0 appartengono
alla prima zona. Osserviamo che ε(k + g) = ε(k), dunque possiamo eliminare g dall’espressione di sopra. Il numeratore `e non nullo solo se il modo [k, n] `e una particella e il modo [k + q, n0] `e una buca.
Il denominatore 1/δE(n, k, n0, k + q) `e singolare a piccoli q solo se
la particella e la buca hanno energia circa uguale e opposta; in particolare, a q = 0 dev’essere
ε(n, k) = |ε(n0, k + 0)| .
Il numeratore vale
[1 − f (n0, k + q)]f (n, k) = [1 − f (n0, k + 0)]f (n, k)
98 ESEMPI
il primo addendo `e nullo se ε(n, k) = |ε(n0, k+0)|, dunque il numerato-
re `e sempre almeno lineare in q nella regione in cui il denominatore `e singolare. In questa regione, il denominatore vale
ε(n0, k + q) − ε(n, k) ' q · ∇ε(n0, k) ,
a meno di ordini superiori in q, e si semplifica sempre con il nu- meratore, cancellando la divergenza a piccoli impulsi. L’espressione della parte paramagnetica di G che abbiamo costruito `e complessi- vamenteregolarea piccoli impulsi.
Il termine diamagnetico `e manifestamente locale (∼ hρ(x)iδ3(x − x0)
nello spazio delle coordinate) e dunque regolare a piccoli impulsi.
Discussione del termine G0(q)
Per essere consistenti con la costruzione del paragrafo precedente, dobbiamo isolare il termine G0 all’interno del coefficiente di risposta di Kubo. Vediamo come si fa per il termine paramagnetico della risposta, che `e quello pi `u complicato. Espandiamo G(I)(x, x0) in onde
piane: se
ϕnk(x) =
X
s
c(s)nkei(k+gs)x ;
possiamo sostituire questa espressione in 1 2mi[ϕ ∗ nk(x)∂αϕn0k0(x) − ∂αϕ∗nk(x)ϕn0k0(x)] = 1 2mi X ss0 (c(s)nk)∗c(sn00k)0ei(k 0−k+g s0−gs)x(k + k 0+ g s+ gs0)α 2m .
possiamo usare questa relazione per calcolare
h0|jαpart(x) P H − E0j part β (x0)|0i = X nkn0k0 X ss0 X tt0 1 δE(nkn0k0)[1 − f (n, k)]f (n 0, k0) ·(cnk(s))∗c(sn00k)0(c(t)n0k0)∗c(t 0) nk (k + k0+ gs+ gs0)α 2m (k + k0− g t− gt0)β 2m · ei(k0−k+gs0−gs)xe−i(k0−k−gt0+gt)x0 .
Questa quantit `a `e proporzionale alla parte paramagnetica del coef- ficiente di risposta:
G(I)αβ(x, x0) = −h0|jαpart(x) P
H − E0j
part
7.2 IL GAS DI FERMI IN APPROSSIMAZIONE HAR TREE-FOCK 99
Passando in trasformata di Fourier, i fattori di fase
ei(k0−k+gs0−gs)xe−i(k0−k−gt0+gt)x0
diventano delle funzioni δ di Dirac:
(2π)3δ3(k0− k + gs0− gs− q)(2π)3δ3(k0− k − gt0+ gt− q0) = (2π)3δ3(k0− k + gs0− gs− q)(2π)3δ3(q − q0− gs0+ gs− gt0+ gt) , da cui G(I)αβ(q, q0) = − X nkn0k0 X ss0tt0 X g δ(g + gs0− gs+ gt0 − gt) 1 δE(nkn0k0)[1 − f (n, k)]f (n0, k0)(c (s) nk)∗c (s0) n0k0(c(t)n0k0)∗c(t 0) nk (k + k0+ g s+ gs0)α 2m (k + k0− g t− gt0)β 2m (2π) 3δ3(k0− k + g s0− gs− q) ·(2π)3δ3(q − q0− g) − [β ↔ α, q0 ↔ q] ≡X n [Gαβ(I)]n(q)(2π)3δ3(q − q0− gn) ;
aggiungnendo il contributo della parte diamagnetica, possiamo fa- cilmente ricostruire le espressioni per i Gn. Osserviamo che la di-
scussione della divergenza a piccoli impulsi di queste quantit `a `e perfettamente analoga a quella che abbiamo svolto per G, e dunque non `e necessario ripetere la nostra analisi. La regolarit `a a piccoli impulsi di G0 implica che, per gli argomenti generali che abbiamo discusso, il sistema in questione non `e superconduttore.
Capitolo 8
Kubo e il modello BCS
Il BCS `e un modello microscopico di straordinario successo nello spiegare molte delle caratteristiche distintive della supercondutti- vit `a a basse temperature. Discutiamo la collocazione del modello BCS all’interno dell’analisi Kubo della superconduttivit `a e il ruolo giocato in questa analisi dal gap.
8.1 Il modello BCS
Presentiamo molto schematicamente il modello BCS. Molti super- conduttori sono sistemi di elettroni che, al di sotto di una certa temperatura critica Tc, formano una specie di condensato di coppie
di Cooper, che sono stati legati di due elettroni. La hamiltoniana efficace BCS si limita essenzialmente a schematizzare questo parti- colare canale di condensazione [Fetter] [Mahan] [Strocchi q].
Le coppie di Cooper sono stati della forma
ψ−s∗ (−p)ψs∗(p)|0i ,
ψ∗
s(p) crea un elettrone di impulso p e spin s. A causa della forma-
zione di coppie di Cooper, il numero di particelle del sistema non `e conservato: nella hamiltoniana dovremo includere il potenziale chimico µ del sistema. Seguiamo la derivazione della hamiltoniana BCS proposta in [Strocchi q]. Possiamo convenientemente restrin- gere lo spazio di Hilbert ai soli stati in cui i livelli |k, si, | − k, −si sono entrambi occupati o non occupati (quasi-spin formalism). Per
102 KUBO E IL MODELLO BCS
maggiore chiarezza, mettiamo il sistema in volume finito V e discu- tiamo dopo il limite termodinamico. La hamiltoniana deve include- re un potenziale efficace (attrattivo) tra gli elettroni che induca la formazione delle coppie di Cooper:
HV = X p µ p2 2m− µ ¶ ψ∗(p)ψ(p) + g 4V X p,q U (p, q)ψ∗(q)ψ∗(−q)ψ(−p)ψ(p) .
Per brevit `a, scriviamo soltanto gli impulsi p nelle formule, trala- sciando le variabili di spin s. La funzione U `e reale, U (k, p) =
−U (−k, p). Questa hamiltoniana descrive l’attrazione efficace, in-
dotta dai fononi, fra gli elettroni del sistema, al primo ordine nella costante di accoppiamento g. Le equazioni del moto corrispondenti sono: i∂ ∂tψ(p, t) = p2 2mψ(p, t) + g 2V X q U (p, q)ψ(−q, t)ψ(q, t)ψ∗(−p, t) . Definiamo ∆V(p) = 2V1 X q U (p, q)ψ(−q)ψ(q) ;
non `e difficile verificare che ∆V(x) commuta, nel limite V → ∞, con ψ(x) e ψ∗(x) [Strocchi q]. Nel limite termodinamico V → ∞,
∆ ≡ limV →∞∆V `e proporzionale all’identit `a I in ogni rappresenta-
zione irriducibile dell’algebra delle osservabili (lemma di Shur); le equazioni del moto diventano
i∂
∂tψ(p, t) = p2
2mψ(p, t) + g∆(p)ψ
∗(−p, t) ,
ove ∆ `e una funzione assegnata che dipende dalla particolare rap- presentazione irriducibile dell’algebra delle osservabili in cui lavo- riamo. Queste equazioni del moto sono le stesse che otterremmo dalla hamiltoniana quadratica
Hef f = Z d3p (2π)3 µ p2 2m− µ ¶ ψ∗(p)ψ(p) +g/2 Z d3p (2π)3 (∆(p)ψ∗(p)ψ∗(−p) + ∆(p)∗ψ(−p)ψ(p)) + cost .
8.1 IL MODELLO BCS 103
Hef f `e l’hamiltoniana BCS. Questa hamiltoniana si diagonalizza fa- cilmente con una trasformazione di Bogoliubov, cio`e una trasfor- mazione canonica della forma
ψ(p) = u(p)Ψ(p) + v(p)Ψ∗(−p) .
Ψ `e un campo fermionico, come ψ; se assumiamo ∆ reale, pos- siamo scegliere anche i coefficienti della trasformazione u, v reali [Strocchi q] [Fetter]. Per un’opportuna scelta di u, v, la hamiltoniana nelle nuove variabili `e
Hef f = Z d3p (2π)3 E(p)Ψ∗(p)Ψ(p) + cost , in cui E(p) = sµ p2 2m− µ ¶2 + g2∆2(p) .
Non scriviamo la forma esplicita degli u e v che realizza la trasfor- mazione: nel seguito, useremo solo il fatto che u(p) `e una funzione pari e v(p) `e una funzione dispari (vedi [Strocchi q]).
La funzione ∆ soddisfa una equazione integrale omogenea: la cosid- detta gap equation. Sotto opportune ipotesi semplificatrici questa equazione pu `o essere risolta: ammette la soluzione banale ∆ = 0, che corrisponde al gas di Fermi libero, ma anche alcune soluzioni non banali. Se ∆ 6= 0 lo spettro del sistema presenta un caratteri- stico gap di energia. Fra l’altro, la soluzione non banale per ∆ ha una singolarit `a essenziale in g = 0, che indica il carattere altamente non perturbativo del gap e la causa della soppressione gerarchica della scala di energia di quest’ultimo rispetto alle normali scale di energia dei sistemi di elettroni (vedi [Strocchi q]).
Il modello BCS `e una particolare approssimazione di Hartree-Fock per un sistema di elettroni interagenti; la novit `a essenziale rispetto alla “normale” approssimazione Hartree-Fock `e la scelta dello stato di prova, tale che l’aspettazione
hψψi
`e diversa da 0. Abbiamo evitato di discutere le approssimazioni e i limiti che sono coinvolti nella costruzione del BCS, che sono ampiamente dibattuti in letteratura. Ci limitiamo a fare una piccola osservazione, che ci sar `a utile nel seguito: nel modello BCS non vale l’equazione di continuit `a per la corrente di particelle. Questo fatto fa
104 KUBO E IL MODELLO BCS
si che il sistema di elettroni descritto dall’hamiltoniana efficace BCS si collochi in una posizione piuttosto anomala rispetto ai sistemi di elettroni discussi al capitolo 6.