Discutiamo un poco pi `u diffusamente il ruolo della rottura di sim- metria in superconduttivit `a. Vedremo infatti che questo modo di in-
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tendere la superconduttivit `a `e pi `u vicino all’analisi Kubo di quanto possa sembrare in un primo momento: nel paragrafo 6.6 facciamo vedere che, per sistemi di particelle relativistici, la supercondut- tivit `a, nel senso di Kubo, `e equivalente alla presenza nello spettro della sola materia di un modo di Goldstone, cio`e un’eccitazione (sta- bile) a massa nulla. Come argomentato al paragrafo 1.4, spesso la presenza di questi modi pu`o essere ricondotta alla rottura sponta- nea di qualche simmetria, via teorema di Goldstone. Inoltre, nella discussione di sistemi non relativistici, il coefficiente di Kubo gioca un ruolo analogo a quello di una “massa efficace” del fotone (equa- zione 4.1). Nei superconduttori sembra agire qualche meccanismo di generazione di massa, che entra nella discussione Kubo attra- verso il coefficiente G, e che Weinberg introduce all’inizio della sua analisi con la rottura spontanea di gauge, in analogia al meccani- smo di Higgs.
Per i motivi discussi sopra, l’analisi Kubo della superconduttivit `a porta naturalmente a chiedersi se questa sia generata dalla rottu- ra spontanea di qualche simmetria. La discussione degli effetti di bordo e delle correlazioni a lungo raggio in superconduttivit `a, al pa- ragrafo 6.3, motiva ulteriormente l’interesse per questa domanda (per una discussione sulle relazioni fra effetti di bordo e rottura di simmetria si veda ad esempio [Strocchi b]). Nel seguito del paragra- fo confrontiamo sommariamente due proposte distinte per spiegare la superconduttivit `a in termini di rottura di simmetria:
• l’analisi di S. Weinberg, che propone la rottura spontanea del- la simmetria di gauge locale U (1) del campo elettromagnetico [Weinberg II];
• l’analisi di M. Greiter, che propone la rottura spontanea della simmetria globale U (1) di rotazioni di fase [Gr05].
Vediamo le caratteristiche comuni ai due modelli. In entrambi i casi, la rottura spontanea motiva la scelta di discutere il sistema in termini di un campo reale ϕ, il “modo di Goldstone”, che non `e altro che la fase del campo ψ che descrive gli elettroni del sistema:
ψ(x) = ρ(x)eiϕ(x) .
La lagrangiana effettiva del sistema `e fatta dipendere dal campo ϕ, le sue derivate ∂µϕ e dal 4-potenziale Aµ del campo elettromagne-
4.2 IL PROBLEMA DELLA SIMMETRIA DI GAUGE LOCALE 47
possibile di questa lagrangiana efficace [Weinberg II] [Gr05]:
L = L(ϕ, ∂µϕ − Aµ) + Le.m.0 .
La lagrangiana efficace di un superconduttore, pur non essendo nota nel dettaglio, dipende certamente da Aµ e dalle derivate di ϕ solo nella combinazione
∂µϕ − Aµ .
Ora, in assenza di campo elettromagnetico (Aµ = 0) ci aspettiamo
che la fase degli elettroni sia costante, ovvero ∂µϕ = 0: la simme-
tria di gauge, che per i campi di materia `e una rotazione di fase, `e spontaneamente rotta. L’azione `e stazionaria nel punto ∂µϕ = 0; ma
allora, in presenza di campo elettromagnetico, l’azione `e necessaria- mente stazionaria lungo la soluzione
∂µϕ − Aµ= 0 .
Questo comporta che all’interno di un superconduttore, dove gli effetti di bordo non sono importanti, il campo elettromagnetico `e una pura gauge, ovvero si ha effetto Meissner. Dall’effetto Meissner seguono una quantit `a di altri fenomeni caratteristici dei supercon- duttori, come le correnti persistenti e la quantizzazione del flusso magnetico [Fetter]. L’effetto Josephson nasce invece dal fatto che lo stato fondamentale di un superconduttore, se il sistema si trova in una fase pura, `e caratterizzato da un certo valore della fase dei campi di materia, a seguito della rottura spontanea della simmetria di fase, locale o globale che sia. Fra due superconduttori a contatto si sviluppano fenomeni di interferenza, dovuti alla differenza di fase fra i due: l’effetto Josephson `e interpretato come un effetto di que- sta interferenza [Weinberg II].
Come possiamo notare dalla nostra presentazione sommaria, le no- tevoli analogie formali fra la rottura di una fase locale e di una fase globale fanno si che la discussione della fenomenologia sia essen- zialmente la stessa per entrambi gli approcci. La differenza essen- ziale fra i due sta nell’interpretazione della “generazione di massa” del campo A: mentre Weinberg suggerisce che si tratta di un mec- canismo analogo a quello di Higgs, che agisce nella (sua) teoria delle interazioni elettrodeboli, Greiter rifiuta di considerare il campo mas- sivo A come un bosone di gauge, ma preferisce interpretarlo come un modo collettivo di Goldstone che acquista massa similmente a
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come accade per le oscillazioni di plasma [MS86]. Le principali obie- zioni all’analisi di Weinberg che troviamo in [Gr05] sono sull’oppor- tunit `a stessa di rompere una simmetria di gauge locale: infatti, la rottura spontanea di una simmetria locale `e un concetto delicato, la cui interpretazione fisica `e molto meno diretta rispetto alle pi `u fami- liari rotture di simmetrie globali (si veda in proposito [Strocchi g]). Un aspetto suggestivo della discussione [Gr05] `e il parallelismo sta- bilito fra la superconduttivit `a dei sistemi di particelle cariche e la superfluidit `a dei sistemi di particelle neutre, uno spunto interes- sante che manca in [Weinberg II].
In conclusione, la discussione della superconduttivit `a in termini di rottura di simmetria, anche prescindendo da quale sia esattamente la simmetria rotta, permette di cogliere molti aspetti essenziali di questo fenomeno. L’analisi del paragrafo 6.6 sembra motivare ulte- riormente questa interpretazione, e nell’ambito dell’analisi generale che proponiamo potrebbe addirittura essere possibile arrivare a una conclusione generale sulla necessit `a della rottura di simmetria per la superconduttivit `a. Per inciso, vedremo come il gap dello spettro di materia abbia poco a che fare con questa discussione.
Parte III
Capitolo 5
Derivazione della formula
di Kubo
In questo capitolo discutiamo la formula di Kubo e il criterio di superconduttivit `a che se segue, attraverso quella che chiameremo “analisi di Kubo” o “analisi Kubo”. La formula di Kubo permette di calcolare, in regime di risposta lineare, la corrente che attraversa un mezzo in funzione di A, il potenziale vettore del campo elettro- magnetico all’interno del mezzo. L’effetto Meissner `e la chiave per collegare il coefficiente di Kubo G e la superconduttivit `a: in parti- colare G = 0 (G > 0) corrisponde ad assenza (presenza) di effetto Meissner, ovvero di superconduttivit `a. La quantit `a G dipende solo dalle propriet `a del sistema di materia in assenza di campo elettro- magnetico.
Il criterio proposto `e assolutamente generale, e prescinde dal parti- colare tipo di meccanismo microscopico all’origine della supercon- duttivit `a.