Un sistema elettromagnetico esteso `e un insieme di infinite par- ticelle quantistiche cariche (con densit `a finita), non relativistiche, interagenti attraverso il campo elettromagnetico ed eventualmen- te attraverso qualche altra forma di interazione efficace, introdotta tramite un potenziale. Usiamo il formalismo della teoria dei campi (capitolo 1). D’ora in poi useremo una notazione pi `u snella possibi- le, cercando di privilegiare gli aspetti fisicamente interessanti senza annegare nel formalismo; teniamo per`o presente che, se necessario, le scritture “formali” che adoperiamo possono essere senza diffi- colt `a ricondotte a scritture matematicamente corrette, introducen- do le necessarie regolarizzazioni. Supporremo ovunque di lavorare in unit `a } = c = 1.
Ad ogni specie di particella corrisponde un campo quantistico ϕα:
α `e un indice che distingue le varie specie di particelle. A seconda
dello spin della particella descritta, il campo ϕ possiede una certa struttura di indici spinoriali e di Lorentz, che di solito non espli- citeremo. I campi di materia obbediscono alle regole di commuta- zione canoniche, se sono bosoni, o alle regole di anticommutazione canoniche, se sono fermioni:
[ϕα(x), ϕβ(y)]± = 0 ;
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le parentesi [· · · ]± indicano l’anticommuatore per campi fermionici
(segno +) oppure −i volte il commutatore per campi bosonici (segno
−). Se i campi non sono scalari, bisogna aggiungere le δ di Kronec-
ker relative agli indici spinoriali e di Lorentz dei campi. Non occorre fare distinzione fra campi elementari, come il campo dell’elettrone, e campi di particelle composte, come i nuclei, purch´e questi ultimi si possano trattare come particelle stabili.
Il campo elettromagnetico ricopre un ruolo particolare, dunque per indicarlo usiamo una notazione particolare: sia A il potenziale del campo elettromagnetico. Indichiamo con A il 4-potenziale e con ~A
il potenziale vettore del campo magnetico: spesso, se `e chiaro dal contesto che stiamo parlando del potenziale vettore, ometteremo il segno di vettore ~ per semplicit `a. A `e un campo quantistico, che (nella gauge di Coulomb) soddisfa alle regole di commutazione ca- noniche discusse in 2.1.
Lavoreremo sempre, salvo se diversamente specificato, a tempera- tura T = 0: introdurre una temperatura (piccola) non nulla non altera la sostanza delle conclusioni cui arriveremo, e presenta so- lo una modesta complicazione delle formule dovuta all’introduzione della statistica.
L’algebra A delle variabili canoniche `e quella generata dai campi ϕα e dal campo elettromagnetico A. Di questa algebra esiste una sot- toalgebra di interesse, l’algebra delle osservabili Aobs, generata dai prodotti gauge-invarianti dei campi che costituiscono A. La simme- tria di gauge `e discussa nel paragrafo 2.1.
Osserviamo che pu `o essere comodo lavorare con un’algebra che contenga anche campi non rigorosamente osservabili (non gauge- invarianti) perch´e alcuni fenomeni, come la rottura spontanea della simmetria di fase, non sono visibili altrimenti; nonostante questo, sono comunque fenomeni molto rilevanti per discutere il sistema in considerazione.
L’algebra delle osservabili `e rappresentata come algebra di operatori su un certo spazio di Hilbert, determinato dallo stato fondamentale del sistema Ω (costruzione GNS). Supponiamo che lo stato fonda- mentale sia localmente normale: i sistemi fisici che ci interessano possono avere infinite particelle, ma la densit `a di particelle dev’es- sere ovunque finita. Possiamo vedere lo spazio di Hilbert H degli stati come il prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert di materia e campo elettromagnetico, rispettivamente, almeno limitatamente a
2.2 SISTEMI DI PAR TICELLE CARICHE 25
regioni spaziali finite:
H = Hpart⊗ He.m. .
Gli spazi di Hilbert di materia e di campo elettromagnetico sono sottospazi generati applicando al vuoto1 gli operatori di creazione
dei campi di materia e di campo elettromagnetico, rispettivamente. Questa suddivisione dello spazio degli stati non `e necessariamen- te significativa per sisiemi interagenti; in questo caso le eccitazioni elementari possono non essere esattamente separabili in eccitazio- ni di “materia” e “campo elettromagnetico”, ma sono in generale quasi-particelle o modi collettivi dati da una mescolanza di modi di materia e campo elettromagnetico. La suddivisione dello spazio di Hilbert che abbiamo proposto ci sar `a utile nelle approssimazioni che studieremo nel seguito.
Supponiamo che lo stato fondamentale Ω del sistema esista e sia unico, e sia descritto da un certo raggio in H. Il sistema che con- sideriamo `e supposto invariante per traslazioni (spaziali e tempo- rali), e queste simmetrie sono unitariamente implementate su H; non discutiamo il caso di sistemi invarianti per traslazioni discre- te (cristalli), che dovrebbe presentare solo modeste complicazioni. Sia H l’operatore hamiltoniano che genera l’evoluzione temporale. L’hamiltoniana H si scrive come somma di vari addendi:
H = Hpart+ He.m.+ Hint .
Il termine Hpart= H0+ V (ϕ) contiene l’energia cinetica dei campi di
materia e un potenziale che descrive interazioni fra la materia diver- se da quella elettromagnetica; assumiamo che V dipenda soltanto dai campi di materia, ma non dalle loro derivate. Il termine He.m.
contiene l’energia cinetica del campo elettromagnetico:
He.m. = 1 8π X ij Z d3x ³ ˙ A2i(x) + (∇jAi)2(x) ´ .
Il termine Hintcontiene l’interazione del campo elettromagnetico con la materia: si ottiene come differenza dell’energia cinetica dei cam- pi di materia, in cui le derivate normali sono sostituite con derivate covarianti, e dell’energia cinetica con le sole derivate normali, secon- do la procedura standard dell’accoppiamento minimale. Se l’energia
1per vuoto intendiamo quello stato annichilato dagli operatori di distruzione
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cinetica dei campi di materia (non relativistici) si scrive 1
2m Z
d3x |∇ϕ(x)|2
allora la corrispondente interazione con il campo elettromagnetico `e
Hint= e Z d3x j(x) · A(x) + e 2 2m Z d3x ρ(x)A(x)2 , con j(x) = 1 2mi(∇ϕ ∗(x)ϕ(x) − ϕ∗(x)∇ϕ(x)) ; ρ(x) = ϕ∗(x)ϕ(x) .
L’algebra delle osservabili, lo spazio degli stati e l’operatore hamilto- niano caratterizzano univocamente un sistema esteso di particelle cariche interagenti. Nel seguito studieremo in particolare le pro- priet `a magnetiche di un sistema stazionario: classicamente, una situazione di campo elettrico nullo e campo magnetico indipenden- te dal tempo `e descritta, nella gauge di Coulomb, da un potenziale scalare A0 nullo e un potenziale vettore ~A indipendente dal tempo.