Il grafo duale universale

Come abbiamo visto, possiamo vedere ogni albero simpliciale (con radice) Γπ

come un N-albero non metrico (con radice) (confronta l’Osservazione 3.27), che denotiamo con (Γπ, ≤π).

Se poi π1D π2, ovvero π1 = π2◦ ˜π, per una certa composizione di scoppiamenti

di punti (in π−1₂ (0)), allora il grafo duale Γπ1 si ottiene dal grafo Γπ2 tramite una

sequenza di modificazioni elementari (di primo o secondo tipo). Questo ci da una iniezione naturale iπ1π2 : Γ

∗ π2 → Γ

∗

π1; inoltre se π1Dπ2Dπ3, allora iπ1π2◦iπ2π3 = iπ1π3.

Mostriamo che queste iniezioni preservano l’ordine. Per induzione basta mo- strarlo quando π1 = π2 ◦ πp, con πp un singolo scoppiamento di un punto p ∈

π₂−1.

Come abbiamo visto, possiamo avere due tipi di modificazioni elementari: di un punto libero e di un punto satellitare. Se siamo nel primo caso, allora Ep il

Se siamo nel secondo caso, allora Ep il nuovo punto aggiunto `e nell’arco che

congiunge E1 e E2, le due componenti eccezionali che si intersecano in p. In

particolare ci sono esattamente due vettori tangenti in Ep: quello rappresentato da

E1 e quello rappresentato da E2. Negli aperti da loro individuati iπ1π2 `e l’identit`a,

e quindi preserva l’ordine, mentre F1 ≤ E1 < E2 ≤ F2 in Γπ2 se e solo se F1 ≤

E1 < Ep < E2 ≤ F2 in Γπ1; dunque iπ1π2 preserva l’ordine su tutto Γπ2, e la tesi `e

dimostrata.

Definizione 4.7. Sia B un poset, e (Cb, ≤b)b∈B una famiglia di poset indicizzati

su B. Se per ogni b1 ≤ b2 esistono dei morfismi ib2b1 : Cb1 → Cb2 che mantengono

l’ordine, e tali che se b1 ≤ b2 ≤ b3 allora ib3b2 ◦ ib2b1 = ib3b1, e ibb = idb per ogni

b ∈ B, allora la famiglia (Cb, ≤b) `e detta sistema diretto.

Abbiamo quindi visto che (Γπ, ≤π)π∈B `e un sistema diretto, con B un insieme

diretto. Possiamo dunque considerare il suo limite diretto (o iniettivo).

Definizione 4.8. Chiameremo grafo duale universale il limite diretto delle (Γπ, ≤π), al variare di π ∈ B: (Γ∗, ≤) = lim −→ (Γ ∗ π, ≤π). In questo caso Γ∗ = F π∈BΓ ∗

π/ ∼, dove E1 ∈ Γπ1 e E2 ∈ Γπ2 sono equivalenti,

E1 ∼ E2, se e solo se iππ1(E1) = iππ2(E2), dove π = π1∨ π2 `e il join di π1 e π2.

Mantenendo sempre queste notazioni, l’ordine parziale ≤ `e definito da [E1] ≤

[E2] se e solo se iππ1(E1) ≤π iππ2(E2).

Osservazione 4.9. Si verifica facilmente che la relazione d’equivalenza definita prima `e effettivamente tale: `e evidentemente riflessiva e simmetrica, mentre la transitivit`a segue dal fatto che se π1E π2E π3 allora iπ3π2 ◦ iπ2π1 = iπ3π1.

In sostanza con Γ∗ stiamo considerando tutte le possibili componenti eccezio- nali di una qualsiasi modificazione, identificando quelle che individuano la stessa modificazione.

Osservazione 4.10. `E molto utile notare che se ho un numero finito di elementi {[Ei]} in Γ∗, allora esiste un π ∈ B tale che posso prendere dei rappresenta-

ti Fi ∈ Γ∗π (basta prendere dei rappresentanti qualsiasi nei grafi duali di alcune

modificazioni πi, e considerare poi π =

W

iπi il loro join).

Proposizione 4.11. Il grafo duale universale (Γ∗, ≤) `_{e un Q-albero non metri-} co con radice [E0] il singolo scoppiamento dell’origine (o meglio la sua classe

Dimostrazione. Mostriamo che per Γ∗ valgono le (T1), (T2) e la (T3), o equivalen- temente la (T4), della definizione di Q-albero non metrico con radice. Per quanto riguarda la (T1), questa `e banale: E0 `e l’unico elemento minimale per ogni Γ∗π, e

quindi [E0] lo `e per Γ∗.

Passiamo a (T2). Per ogni E ∈ Γ∗, consideriamo l’insieme SE := {F ∈ Γ∗| F ≤

E}, e dimostriamo che `<sub>e isomorfo ad un intervallo in Q. Grazie al Lemma 3.28,</sub> questo equivale a dimostrare che SE `e totalmente ordinato, numerabile e senza

salti. `E totalmente ordinato perch´e lo `e SE ∩ Γ∗π per ogni π ∈ B. Mostriamo che

non ci possono essere salti: supponiamo per assurdo che esistano E1 < E2 ≤ E

in Γ∗ tali che non esista nessuna F ∈ Γ∗ tale che E1 < F < E2. Allora E1 ed

E2 sono vertici adiacenti in un qualche Γ∗π; possiamo dunque scoppiare il punto

di intersezione di E1 ed E2 (che `e quindi satellitare), ed il vertice F aggiunto con

questa operazione sarebbe tale che E1 < F < E2, il che `e assurdo.

Rimane da dimostrare che SE `e numerabile. Sia allora π ∈ B la minima

modificazione tale che E ∈ Γ∗_π. Vogliamo mostrare che ogni F ∈ SE pu`o essere

ottenuta tramite un numero finito di scoppiamenti di punti satellitari, a partire da SE ∩ Γ∗π. In particolare definiamo una successione di modificazioni crescenti

π = π0E π1E π2E . . . ricorsivamente, descrivendo i loro grafi duali associati. Una

volta definito πn, consideriamo πn+1 = πn ◦ ˜πn, dove ˜πn `e la composizione degli

scoppiamenti di tutti i punti satellitari di SE ∩ Γ∗πn. Allora ogni Γπn `e finito, e

SE =

S

n SE∩ Γ ∗

πn
`e dunque numerabile.

Abbiamo dunque dimostrato (T2); mostriamo ora (T4). Consideriamo allora un sottoinsieme S ⊂ Γ∗ totalmente ordinato e illimitato; dobbiamo mostrare che esiste una successione crescente in S senza maggiorante in Γ∗. Partiamo da un E1 ∈ S,

e consideriamo il minimo π1 ∈ B tale che E1 ∈ Γ∗1 := Γ ∗

π1. Possiamo supporre (a

meno di sostituire E1), che E1 = max Γ∗1∩ S (che `e totalmente ordinato, e quindi

ammette massimo). Siccome S `e illimitato, esiste un E2 > E1; l’aver chiesto E1 =

max Γ∗₁∩ S implica che la modificazione minimale π2 ∈ B tale che E2 ∈ Γ∗2 := Γ ∗ π2 `e

ottenuta da π1 tramite una composizione finita di scoppiamenti, il primo dei quali

deve essere di un punto libero (in particolare π2D π1). Ricorsivamente si costruisce

una successione (En)∞n=1 in S, con la propriet`a che la modificazione minima πn per

ottenere n ha almeno n scoppiamenti di punti liberi. Se per assurdo ci fosse un elemento E ∈ Γ∗ che maggiori questa successione, la modificazione minima π ∈ B tale che E ∈ Γ∗_π dovrebbe essere composta da un numero infinito di scoppiamenti di punti liberi: assurdo.

Dunque Γ∗ `_{e un Q-albero non metrico con radice E}0.

Come abbiamo visto nella Proposizione 3.29, possiamo associare in maniera canonica ad un Q-albero (non metrico con radice), un R-albero (non metrico con

radice), in modo tale che i punti aggiunti per completare Q ad R siano tutti punti regolari.

Definizione 4.12. Denotiamo con Γ◦ il completamento di Γ∗ dato dalla Proposi- zione 3.29, e con Γ il suo completamento (nel senso di un albero non metrico con

radice), Γ = Γ◦_{. Chiameremo Γ il grafo duale universale (con abuso di nomen-}

clatura, cercheremo di distinguere chiamando Γ∗ l’insieme dei punti di diramazione del grafo duale universale).

Spesso ometteremo le classi d’equivalenza sia del completamento, sia della defi- nizione di Γ∗, per non appesantire la notazione. Inoltre indicheremo con Γ∗ la sua immersione in Γ, dimenticandoci della mappa d’immersione.

Proposizione 4.13. Il grafo duale universale Γ `e un albero non metrico (con radice E0) completo, i cui punti di diramazione sono esattamente quelli di Γ∗, mentre i

punti regolari sono tutti e soli i punti di Γ◦\ Γ∗_{, e le terminazioni sono tutti e soli}

i punti di Γ \ Γ◦.

Dimostrazione. Segue direttamente dalla Proposizione 4.11 e dalla Proposizione 3.29.