4.2 Punti infinitamente vicini
4.2.1 Successione di punti infinitamente vicini e valutazioni di Krull
di Krull
Mostriamo ora come associare ad una valutazione di Krull (centrata) su C[[x, y]] una successione di punti infinitamente vicini (all’origine), che denoteremo con Π[ν]. Definizione 4.17. Consideriamo una valutazione di Krull (centrata) ν su R = C[[x, y]]. Il centro di ν in C2 `e, praticamente per definizione, l’origine, che chiamo p0 = 0. Ora consideriamo ˜π0 : X0 → (C2, p0) lo scoppiamento di p0, e solleviamo ν
ad una valutazione in X0. Consideriamo allora il centro di ν in X0. Ricordando il
Teorema 1.52, ci sono due possibilit`a:
(i) o ν ha come centro la componente irriducibile E0, e in questo caso la co-
struzione termina, e Π(ν) = (p0) (`e il caso della valutazione di molteplicit`a
νm);
(ii) o ν ha come centro un punto p ∈ E0, e in questo caso definiamo p1 := p, e
continuiamo il procedimento.
Abbiamo mostrato dunque il passo base di una ricorsione per costruire una successione di punti infinitamente vicini associata ad una valutazione di Krull.
Il passo ricorsivo `e analogo: supponiamo di aver definito p1, . . . pn. Conside-
riamo allora lo scoppiamento di pn ottenendo ˜πn : Xn → Xn−1. Sempre per il
Teorema 1.52, ci sono due possibilit`a:
(i) o ν ha come centro la componente irriducibile En = ˜πn−1(pn), e in questo caso
(ii) o ν ha come centro un punto p ∈ En, e in questo caso definiamo pn+1 := p, e
continuiamo il procedimento.
Otteniamo cos`ı una successione (finita o infinita) Π[ν] = (pj)nj=0, 0 ≤ n ≤ ∞,
detta la successione di punti infinitamente vicini associata alla valutazione ν.
Il procedimento appena visto pu`o essere invertito:
Definizione 4.18. Sia p = (pj)nj=0 una successione di punti infinitamente vicini
(all’origine). Manteniamo la solita notazione, e indichiamo con πj = ˜π0◦ . . . ◦ ˜πj
la modificazione πj : Xj → (C2, 0) fatta dai primi j + 1 scoppiamenti.
Definiamo un anello di valutazione Rp. Se n < ∞, consideriamo Rp = {φ ∈
K | πn∗φ ∈ OXn,En}, con OXn,En l’anello delle funzioni regolari in En. Se n = ∞,
allora dichiariamo φ ∈ Rp se e solo se esiste j ≥ 1 tale che πj∗φ sia regolare in
pj+1; analogamente, se con pk indico la successione troncata al termine pk, allora
Rp =SkRpk, che `e un’unione crescente di anelli.
Abbiamo gi`a visto che Rp `e un anello nel caso di n < ∞, e segue quindi anche
per n = ∞.
Si verifica poi che `e anche un anello di valutazione: se φ ha termine noto (ovvero `e un’unit`a di R = C[x, y]), allora `e regolare in 0, e quindi appartiene ad ogni Rp.
Altrimenti o φ o φ−1 mi danno una curva per l’origine, che pu`o essere resa liscia a meno di una modificazione finita.
Allora definiamo la valutazione di Krull associata alla successione di pun- ti infinitamente vicini p, che denotiamo con val[p], come la valutazione di Krull associata all’anello di valutazione Rp, tramite l’Osservazione 1.33.
Proposizione 4.19. La mappa p 7→ val[p] `e una bigezione tra le successioni di punti infinitamente vicini e VK le valutazioni di Krull centrate, con inversa ν 7→
Π[ν].
Dimostrazione. Vedi [FJ1, pag. 23]
Definizione 4.20. Sia C una curva irriducibile, e νC la valutazione della curva
C. ad essa `e associata la successione di punti infinitamente vicini Π[νC], che chia-
meremo successione di punti infinitamente vicini associata a C, e a volte denoteremo con Π[C].
Osservazione 4.21. La successione di punti infinitamente vicini associata ad una curva irriducibile C pu`o essere costruita ricorsivamente come segue: p0 = 0 `e l’ori-
gine, mentre pj+1 `e l’intersezione tra Ej il divisore eccezionale dello scoppiamento
in pj e ˜Cj la trasformata propria di C rispetto alla modificazione associata ai punti
Corollario 4.22. Per ogni valutazione di Krull ν, sono equivalenti:
(i) esiste una modificazione π e una componente eccezionale E tale che ν = νE;
(ii) ν `e divisoriale;
(iii) la successione Π[ν] di punti infinitamente vicini associata a ν `e finita. Dimostrazione. Chiaramente dalla costruzione, segue che (iii) implica (i). D’altra parte ogni valutazione che soddisfa (i) deve essere divisoriale nel senso delle SKP: infatti il gruppo dei valori `e isomorfo a Z come insieme ordinato, e quindi rk(ν) = ratrk(ν) = 1, ovvero `e divisoriale o infinitamente singolare, ma non pu`o essere infinitamente singolare (ad esempio il gruppo dei valori `e finitamente generato su Z); quindi (i) implica (ii). Mostriamo allora che (ii) implica (iii), concludendo la dimostrazione.
Sia per assurdo allora ν divisoriale e Π[ν] infinita. Consideriamo una generica φ ∈ Rν \ mν. Allora per costruzione πj∗φ `e regolare in pj+1 per j abbastanza
grande. Siccome φ 6∈ mν, allora `e invertibile in Rν, e a meno di aumentare j
possiamo supporre che anche π∗jφ−1 sia regolare in pj+1. Questo implica che πj∗φ
non si annulla in pj, e quindi φ ∼ φ(0) in kν := Rν/mν. Il campo dei residui di
ν `e perci`o isomorfo a C, e quindi trdeg(ν) = 0, il che `e assurdo (per il Teorema 2.44).
4.2.2
Classificazione
Per i risultati di questa sottosezione rimandiamo al [FJ1, Section 6.2].
Definizione 4.23. Sia p = (pj)nj=0, con 0 ≤ n ≤ ∞, una successione di punti
infinitamente vicini. Allora p si dice di tipo: 0. se n < ∞;
1. se n = ∞ e p contiene infiniti punti liberi e infiniti punti satellitari;
2. se n = ∞, contiene solo un numero finito di punti liberi, infiniti punti satellitari, e non `e del tipo 3;
3. se n = ∞, contiene solo un numero finito di punti liberi, e esiste un (unico) j0 ≥ 1 tale che se j > j0, allora pj+1 `e il punto satellitare definito dall’in-
tersezione tra Ej e la trasformata propria di Ej0 (rispetto alla composizione
degli scoppiamenti dei pi con j0 ≤ i ≤ j).
Definizione 4.24. Fissiamo una successione di punti infinitamente vicini p = (pj)nj=0 del tipo 0 (ovvero n < ∞). sia πn ∈ B la composizione di scoppiamenti
di p0, . . . pn, e definiamo γ(p) ∈ Γ∗ come la componente eccezionale in Γ∗πn relativa
allo scoppiamento di pn.
Proposizione 4.25. La mappa p 7→ γ(p) `e una bigezione tra le successioni di
punti infinitamente vicini di tipo 0 e gli elementi di Γ∗.
Proposizione 4.26. Sia p = (pj)∞j=0 una successione di punti infinitamente vicini
di lunghezza infinita, non del tipo 3. Definiamo il troncamento alla lunghezza n come pn= (pj)nj=0, per n < ∞. Allora la successione γ(pn) converge debolmente in
Γ ad un elemento γ(p). Inoltre:
(i) γ(p) `e una fine in Γ se e solo se p `e di tipo 1 o 4; (ii) γ(p) `e un punto regolare in Γ se e solo se p `e di tipo 2.
La mappa p 7→ γ(p) d`a una bigezione tra le successioni di punti infinitamente vicini non del tipo 3 e Γ.
Proposizione 4.27. Sia p = (pj)∞j=0 una successione di punti infinitamente vicini
del tipo 3. Con le notazioni analoghe a quelle della Proposizione 4.26, la successione
γ(pn) ∈ Γ∗ converge debolmente ad un elemento γ(p) ∈ Γ∗. Per n abbastanza
grande, si ha [γ(p), γ(pn+1)] ⊂ [γ(p), γ(pn)]: in particolare per n abbastanza grande i γ(pn) definiscono lo stesso vettore tangente in γ(p), che scriviamo come −→v (p).
La mappa p 7→ −→v (p) da una bigezione tra le successioni di punti infinitamen- te singolari del tipo 3 e i vettori tangenti dei punti di Γ∗ (ovvero dei punti di diramazione di Γ).
Proposizione 4.28. La successione p = Π[C] di punti infinitamente vicini asso- ciata ad una curva irriducibile C `e di tipo 4. Viceversa, ogni successione di punti infinitamente vicini di tipo 4 `e associata ad un’unica curva irriducibile C.