4.2 Punti infinitamente vicini
4.3.1 Peso di Farey e parametro di Farey
Definizione 4.29. Associamo ad ogni elemento E ∈ Γ∗ un vettore (a(E), b(E)) ∈
(N∗)2, che chiameremo peso di Farey di E.
Definiremo (a, b) su ogni Γ∗π, con π ∈ B, ricorsivamente sulla cardinalit`a di Γ∗π, per poi notare che questa relazione passa anche al limite diretto Γ∗.
Iniziamo dal passo base; se π0 `e il singolo scoppiamento dell’origine, in modo
Altrimenti, supponiamo di avere definito (a, b) su Γ∗π, e consideriamo ˜π = π◦πp, con
πp lo scoppiamento di un punto p ∈ π−1(0). Allora la modificazione `e di tipo 1 o 2
(risp. se p `e libero o satellitare). In entrambi i casi, se E ∈ iππ˜ (Γ∗π) (ovvero se non `e
il vertice che sto aggiungendo), allora definisco (a, b) come il valore gi`a definito per E come elemento di Γ∗π. Nel caso che E sia il vertice che sto aggiungendo passando da Γ∗π a Γ∗π˜:
se p `e libero, allora esiste un’unica componente eccezionale F ∈ Γ∗π tale che p ∈ F , e definisco (a(E), b(E)) := (a(F ) + 1, b(F ));
se p `e satellitare, allora esistono esattamente due componenti eccezionali F1, F2 ∈
Γ∗π tali che {p} = F1∩F2, e definiamo (a(E), b(E)) := (a(F1)+a(F2), b(F1)+b(F2)).
Osservazione 4.30. Che il peso di Farey sia ben definito su Γ∗ segue direttamente dalla definizione: se E1 ∼ E2, ovvero se coincidono quando viste nel grafo associato
al join delle due modificazioni alle quali appartengono, allora l`ı devono assumere lo stesso valore. Ma il peso di Farey rimane invariato per inclusioni dei grafi (per definizione).
Definizione 4.31. Sia E ∈ Γ∗ di peso di Farey (a(E), b(E)). Allora definiamo il parametro di Farey di E come A(E) := a(E)/b(E).
Proposizione 4.32. Il parametro di Farey A `e una parametrizzazione per il Q-
albero Γ∗.
Dimostrazione. Per mostrare che A `e strettamente crescente su Γ∗, basta mostrar-
lo su Γ∗π per ogni π ∈ B. Questa verifica segue direttamente procedendo per
induzione sul numero di modificazioni elementari. Per mostrare invece che A `e effettivamente una parametrizzazione, basta riprendere la dimostrazione della Pro- posizione 4.11, in particolare del fatto che un intervallo in Γ∗ `e numerabile. In quel caso, procedendo per induzione sulle modificazioni l`ı costruite, si ottiene la tesi.
Corollario 4.33. Il parametro di Farey A si estende ad una parametrizzazione del grafo duale universale Γ.
Dimostrazione. Segue dalla Proposizione 4.32, e dalla Proposizione 3.29.
4.3.2
Molteplicit`a
Possiamo usare il peso di Farey per definire un concetto di molteplicit`a nel grafo duale universale.
Definizione 4.34. Sia E ∈ Γ◦. Si definisce la molteplicit`a di E come m(E) := min{b(F ) | F ∈ Γ∗, F ≥ E},
dove (a(F ), b(F )) indica il peso di Farey di F . Per definizione m(E) `e una funzione crescente a valori in N. Si pu`o quindi estendere la m(E) anche per E ∈ Γ \ Γ◦ una fine (prendendo il limite di m(F ) per F che cresce fino ad E); in questo caso bisogna ammettere anche il valore ∞, ottenendo cos`ı una funzione a valori in N \ {0}.
Lemma 4.35. Sia E ∈ Γ∗, e supponiamo che F sia ottenuto da E tramite lo
scoppiamento di un punto libero p ∈ E. Allora m(F ) = b(F ) = b(E). Inoltre la molteplicit`a `e costante (uguale a b(E)) su tutto il segmento (E, F ] (in Γ).
Dimostrazione. Sia (a, b) il peso di Farey di E. F `e ottenuto da uno scoppiamento del primo tipo, e quindi per definizione il suo peso di Farey `e (a+1, b). In particolare b(F ) = b(E). Dimostriamo ora che m(F ) = b(F ); m(F ) ≤ b(F ) per definizione,
quindi resta da provare la disuguaglianza opposta. Consideriamo G ≥ F : in
particolare la successione di punti infinitamente vicini associata a G prolunga quella di F , iniziando con un punto libero (se fosse satellitare, avremmo che F ∧ G < F ). Ne segue che b(G) ≥ b(F ) (le due componenti dei pesi di Farey non fanno che aumentare aggiungendo scoppiamenti), questo per ogni G ≥ F , quindi ne segue che m(F ) ≥ b(F ), e dunque la tesi.
Inoltre, se G ∈ (E, F ], allora come prima la successione di punti infinitamente vicini associata a G prolunga quella di E, iniziando con un punto libero, e m(G) ≥ b(E). Ma la molteplicit`a `e crescente, e su F assume il valore m(F ) = b(F ) = b(E), e dunque su tutto il segmento (E, F ] `e costante, uguale a b(E).
Essendo la molteplicit`a crescente e a valori in N, anche in Γ◦, come nell’albero delle valutazioni, abbiamo un concetto di successione approssimante (estendibi- le a tutto Γ, a patto di prendere successioni infinite). Vediamo cosa succede in particolare per un elemento E ∈ Γ∗.
Proposizione 4.36. Sia E ∈ Γ∗. Allora esistono degli unici E0, . . . , Eg crescenti
in Γ∗, tali che
1 = m(E0) < m(E1) . . . < m(Eg) < m(E),
e tale che la molteplicit`a sia costante in (Ei, Ei+1] per ogni i = 0, . . . , g.
Dimostrazione. Come abbiamo gi`a detto, segue direttamente dal fatto che la mol- teplicit`a `e una funzione crescente a valori in N∗.
Definizione 4.37. Definiamo la successione approssimante di una componente eccezionale E ∈ Γ∗ come (Ei)gi=0 vista nella Proposizione 4.36.
Osservazione 4.38. Grazie al Lemma 4.35, possiamo rendere pi`u esplicita la co- struzione della successione approssimante di una componente eccezionale. Conside- riamo allora E, una componente eccezionale associata ad una successione di punti infinitamente vicini p = (pj)nj=0. Chiamiamo con (Fj)nj=0 le componenti eccezionali
associate agli scoppiamenti dei punti pj (in particolare E = Fn). Se pj `e libero (e
j ≥ 1), allora per il Lemma 4.35 sappiamo che la molteplicit`a `e costante su tutto il segmento (Fj−1, Fj], con m(Fj) = b(Fj) = b(Fj−1). Induttivamente quindi se hai
una serie di punti liberi, la molteplicit`a rimane invariata. D’altra parte se hai un punto satellitare, allora Fj−2 < Fj < Fj−1, e quindi m(Fj) = m(Fj−1), e ancora
non ho un salto. Per`o b(Fj) = b(Fj−1) + b(Fj−1) > b(Fj−1): non appena si incontra
un altro punto pk libero, allora m(Fk) = b(Fk) = b(Fk−1) > b(Fj−1) = m(Fj−1), e
in questo caso c’`e un salto. Ricapitolando: c’`e un salto ogni volta che si passa da un punto satellitare ad un punto libero.
Inoltre tramite questa costruzione, si pu`o vedere (per induzione vedendo cosa succede al peso di Farey) che non solo le molteplicit`a della successione approssi- mante sono crescenti, ma si dividono l’un l’altra, come nel caso della successione approssimante e della molteplicit`a nel caso dell’albero delle valutazioni.
Corollario 4.39. Un elemento in Γ ha molteplicit`a infinita se e solo se `e associato ad una successione di punti infinitamente vicini di tipo 1.
Dimostrazione. Segue direttamente dall’Osservazione 4.38: l’unico modo per far s`ı che la molteplicit`a cresca `e che la successione di punti infinitamente vicini sia infinita, e che abbia infiniti passaggi tra punti liberi e punti satellitari, ovvero infiniti punti liberi e infiniti punti satellitari, ovvero che sia del tipo 1.
Come nel caso dell’albero delle valutazioni, possiamo estendere la moltepli- cit`a anche ai vettori tangenti, da cui ricavare una molteplicit`a generica di una componente eccezionale.
Definizione 4.40. Sia E ∈ Γ∗, e −→v ∈ TEΓ∗. Definiamo la molteplicit`a di −→v , che
denotiamo con m(−→v ), nel seguente modo: se −→v `e rappresentato da E0 la radice di
Γ∗, allora m(−→v ) := m(E); altrimenti,
m(−→v ) = min{m(F ) | F rappresenta −→v }.
Proposizione 4.41. Sia E ∈ Γ∗. Allora m(−→v ) = b(E) per tutti i vettori tangenti −
→v ∈ T
EΓ∗, tranne (al pi`u) 2, per cui m(−→v ) = m(E).
Dimostrazione. Supponiamo dapprima E = E0 la radice di Γ∗. Se F `e un altra
componente eccezionale, `e ottenuta da una successione di punti eccezionali parten- do da un punto p1 ∈ E0 libero, e dunque per il Lemma 4.35 m(F ) = b(E0) = 1 =
Supponiamo allora che E > E0, e ancora una volta consideriamo una generica
componente eccezionale F . Se F E, allora rappresenta lo stesso vettore di E0,
e per definizione m[E0] = m(E). Supponiamo allora che F ≥ E. Allora la suc-
cessione di punti infinitamente vicini associata ad F `e un prolungamento di quella di E, che parte con uno scoppiamento di un punto p ∈ E. In E ci sono o 1 o 2 punti satellitari. Se siamo nel primo caso, allora E `e stata ottenuta dallo scoppia- mento di un punto libero, e per l’Osservazione 4.38 e il Lemma 4.35 otteniamo che m(F ) = b(F ) = b(E) = m(E), e dunque tutti i vettori tangenti in E hanno la stes- sa molteplicit`a m(−→v ) = m(E) = b(E). Se siamo nel secondo caso, allora E `e stata ottenuta dallo scoppiamento di un punto satellitare, diciamo in una componente eccezionale G. Allora ci sono due vettori, quelli rappresentati dagli scoppiamen- ti dei due punti satellitari, che hanno, grazie all’Osservazione 4.38, molteplicit`a m(−→v ) = m(E), mentre tutti gli altri vettori ottenuti dallo scoppiamento dei punti liberi di E hanno una molteplicit`a m(−→v ) = m(F ) = b(F ) = b(E) > m(E) (sempre grazie all’Osservazione 4.38).
Definizione 4.42. In analogia al caso dell’albero delle valutazioni, chiamiamo b(E) la molteplicit`a generica della componente eccezionale E ∈ Γ∗.
Abbiamo visto come ad una curva irriducibile C sia possibile associare una fine di Γ. Scriviamo con mΓ(C) la molteplicit`a di C vista come elemento di Γ (vedremo
che in realt`a coincide con m(C)). Allora:
Corollario 4.43. Sia C `e una curva irriducibile, π ∈ B, e ˜C la trasformata
propria di C tramite π. Se ˜C interseca π−1(0) in un punto libero p ∈ E, allora mΓ(C) ≥ b(E), con l’uguaglianza se e solo se ˜C `e liscia e trasversa a E in p.
Dimostrazione. Sia (qj)∞j=0 la successione di punti infinitamente vicini associata a
˜
C (cio`e quella associata a C, a partire da q0 = p), e sia Fj il divisore eccezionale
ottenuto scoppiando qj. Allora mΓ(C) = lim b(Fj). Per il Lemma 4.35 abbiamo che
b(Fj) ≥ b(E), con l’uguaglianza se e solo se tutti i punti (qj) sono liberi. Dunque
mΓ(C) ≥ b(E), con l’uguaglianza se e solo se tutti i punti (qj) sono liberi. Ma
quest’ultima condizione coincide con l’avere ˜C liscia e trasversa ad E in p. Corollario 4.44. Per ogni E ∈ Γ◦ si ha m(E) = min{mΓ(C) | C > E}.
Dimostrazione. Che valga il ≤ deriva direttamente dalla definizione e dal Corollario 4.43. Per provare la disuguaglianza opposta, basta mostrare che ogni E ∈ Γ∗ sia dominata da una curva C tale che mΓ(C) = b(E). Per far ci`o, consideriamo π ∈ B
tale che E ∈ Γ∗π, e sia C0 una curva liscia e trasversa a E0 in p. Allora per il