Il modello CA-FE nel caso tridimensionale

Alla fine degli anni novanta fu presentato da Rappaz e altri un modello in tre dimensioni per la predizione delle strutture dendritiche sempre basato sull’algoritmo CA, questa volta tridimensionale, e sull’unione con il calcolo con FE in due modi diversi [14] [15]. Un primo è chiamato collegamento debole e la temperatura di ogni cella è semplicemente interpolata dalla temperatura ottenuta dai nodi del FE usando un unico cammino di solidificazione in scala macroscopica.

Il secondo è chiamato collegamento completo e anche il campo di entalpia è interpolato dai nodi del FE alle celle del CA ed è calcolata anche la frazione di solido in crescita per ogni cella mushy. A dispetto della nuova visione introdotta dal modello CAFE 2-D nella simulazione della solidificazione delle strutture dei grani, il modello 3-D è stato sviluppato per predire quantitativamente le strutture reali che si ottengono in fonderia. Il modello bidimensionale non poteva riprodurre né la complessità delle strutture dei grani viste sulla sezione trasversale, né l’evoluzione del conformazione cristallografica associata al meccanismo di selezione dei grani colonnari. Come il precedente modello bidimensionale il CAFE 3-D può essere applicato ad ogni campo arbitrario di temperatura e ha dimostrato buon accordo con i dati sperimentali. Il modello tridimensionale richiede sempre la suddivisione del dominio di simulazione in cui ha luogo la solidificazione in una rete regolare di celle cubiche. Ad ogni cella ν viene attribuito un indice di stato Iν,

all’inizio del calcolo quando la cella è liquida, l’indice ha valore nullo. Si può simulare il cambiamento di fase attraverso la definizione di appropriate regole per cambiare il valore dell’indice di stato. Queste regole possono essere di tipo deterministico o di tipo probabilistico; in ogni caso esse dovrebbero rispecchiare i fenomeni fisici coinvolti nella solidificazione delle dendriti nelle leghe metalliche. L’unico aspetto stocastico presente nel modello CAFE è correlato alla nucleazione perché sia la posizione sia l’orientazione cristallografica di un nuovo nucleo sono dipendenti di variabili ausiliarie.

2.3.5.1 Algoritmo di nucleazione

Come per il precedente modello, l’algoritmo di nucleazione usato nel CA tridimensionale è basato su una nucleazione istantanea, ovvero non viene considerato il tempo di incubazione necessario all’attivazione dei nuclei-embrioni [14]. Tale modello si basa su due osservazioni: per prima cosa, per piccoli sottoraffreddamenti riscontrati di solito nelle tecniche di colata, la nucleazione

eterogenea avviene all’improvviso non appena viene raggiunto il grado di sottoraffreddamento critico. La seconda osservazione riguarda alcune famiglie di siti di nucleazione, tutte caratterizzate da diversi valori di sottoraffreddamento critico, ma che coesistono nel fuso. Per classificare tutte queste famiglie di siti il modello ricorre ad una distribuzione gaussiana dei siti di nucleazione come già visto nel modello bidimensionale. La densità dei siti di nucleazione dn, aumenta in funzione di un aumento del sottoraffreddamento d(ΔT). La distribuzione dei siti, dn/d(ΔT), è descritta dal sottoraffreddamento principale ΔTN, la sua deviazione

standard ΔTσ e il suo integrale nmax. Quest’ ultimo valore corrisponde alla massima

densità di grani che si può raggiungere se tutte le famiglie dei siti di nucleazione siano stati attivati durante il processo di raffreddamento. Si fa presente che questi parametri vanno fissati a seconda della lega metallica. All’inizio i siti di nucleazione sono distribuiti tra le celle che definiscono la griglia del CA. Per questo motivo il numero dei siti di nucleazione Nnuclν, da distribuire tra le celle di

un dato volume V, è dato semplicemente da (nmaxV), e le celle sono sempre scelte

casualmente nel volume V. Per ogni cella di nucleazione ν scelta in questo modo, è anche attribuito casualmente (secondo la legge gaussiana dn/d(ΔT)) un grado di sottoraffreddamento di nucleazione, , dove TL è la temperatura di liquido e Tnuclν è la temperatura di nucleazione critica. A differenza del modello

CAFE bidimensionale per il quale le celle sono definite all’inizio del calcolo, l’algoritmo tridimensionale usa una disposizione dinamica delle celle. Inoltre la configurazione delle celle di nucleazione è ripetuta ogni volta e delle nuove celle liquide sono posizionate dinamicamente durante il calcolo del Cellular Automata. Se nessun sito è posizionato in una cella, all’interno di questa non può avvenire la nucleazione; al contrario, se la temperatura di una cella di nucleazione ν, Tν, si

abbassa al di sotto della temperatura critica del suo sito di nucleazione “associato”, Tnuclν, il valore dell’indice di stato della cella, Iν, si trasforma in un valore intero

diverso da zero identico all’indice del calcolatore dei grani. Un’orientazione cristallografica, allora, è scelto casualmente tra le classi di orientazione predefinite.

nucl L

nucl _{T T}

T_ν = − _ν Δ

Queste classi di orientazione sono inizializzate all’inizio del calcolo da una selezione random dei tre angoli di Eulero, producendo una distribuzione uniforme delle direzioni <100> in un’unita sferica. Bisogna sottolineare che durante la selezione random di Nnuclν, alcune celle possono essere scelte due o più volte; in tal

caso solo il minor grado di sottoraffreddamento di nucleazione rimane in accordo con la legge di nucleazione istantanea. La nucleazione ai bordi dello stampo può essere definita in un modo simile attraverso l’uso di tante distribuzioni Gaussiane quante ne sono necessarie; le celle sono posizionate in un bordo che è identificato da un indice aggiuntivo di bordo, IRef, pari al riferimento del bordo al quale le celle

appartengono (=0, se le celle appartengono alla massa del liquido). La densità massima di volume dei grani è sostituita dalla densità massima di superficie, e il numero dei siti di nucleazione da distribuire, NnuclS, è calcolato considerando la

superficie del dominio, S, sul quale si applica il valore di riferimento. Un’altra condizione di contorno presente nel modello tridimensionale CAFE, è chiamata condizione del singolo cristallo e permette di far iniziare la formazione della struttura dei grani per un sottoraffreddamento e un’orientazione cristallografica specifici, sia su una superficie di riferimento, sia in una posizione specifica del lingotto. Questa condizione è particolarmente utile quando bisogna studiare la crescita di un unico cristallo.

2.3.5.2 Algoritmo di accrescimento

Come nel modello bidimensionale, anche la versione tridimensionale dell’algoritmo di accrescimento è in grado di riprodurre la direzione preferenziale di crescita <100> di dendriti in materiali fcc (con reticolo cubico a facce centrate) e la loro cinetica di crescita. L’algoritmo è basato sulla crescita di un ottaedro limitato da facce (111) e è applicato ad ogni cella che abbia un indice di stato diverso da zero e che abbia almeno una cella vicina liquida. Per visualizzare il modello si faccia riferimento alla figura 2.15: l’ottaedro di crescita associato alla

cella ν (Iν≠0) sta “catturando” il centro della cella di una delle sue adiacenti μ

(Iμ=0). L’indice di stato della cella μ è quindi sostituito da quello della cella madre

ν (Iμ= Iν), e la crescita di un nuovo ottaedro associato alla cella μ è considerata in

seguito. Non appena una cella è completamente attorniata da una cella mushy, la crescita del suo ottaedro associato non viene più considerata. Le diagonali maggiori dell’ottaedro corrispondono alle orientazioni cristallografiche <100> lungo le quali si sviluppano preferenzialmente il corpo e le ramificazioni delle dendriti dei metalli fcc. La loro estensione è calcolata integrando nel tempo la legge di crescita dell’apice della dendrite. Perciò, all’interno di un intervallo di tempo, Δt, usato per integrare la cinetica della dendrite, l’incremento della lunghezza delle diagonali dell’ottaedro associato ad una cella ν, ΔRν, è dato da:

(

)

R = Δ Δ

Δ _{ν ν} (10)

Fig 2.15: Schema di un algoritmo ottaedrico di crescita.[14]

In questo espressione v(ΔTν) è la velocità dall’apice della dendrite calcolata per il

corrispondente sottoraffreddamento, ΔTν della cella ν. Nel caso di un ottaedro con

le diagonali perfettamente allineate con gli assi (X, Y, Z) della griglia Cellular Automata, l’algoritmo di crescita può essere applicato semplicemente al centro della cella.

Il problema maggiore associato a questo modello tridimensionale, capace di mantenere le direzioni preferenziali delle dendriti, è messo in luce quando si cerca di propagare un grano con orientazione scelta in modo random rispetto agli assi della griglia CA. La forte anisotropia introdotta dalla maglia della cella cubica conduce ad un grano di forma sempre allineata con la griglia CA, poiché la cinetica di crescita non è più opportunamente integrata sul tempo. Per ovviare a questo problema Gandin e Rappaz hanno proposto l’uso di un algoritmo di crescita con ottaedro decentrato.

Fig 2.16: esempio di simulazione tridimensionale di solidificazione effettuato con il CAFE Model [14].

2.4 PROCAST: IL MODELLO PER IL CALCOLO DELLO STRESS