La norma EN-13005 [18] afferma che la misura non `e tale se non viene for- nita con un errore atto a garantirne la ripetibilit`a e la gestione degli errori. Teoricamente ad ogni misura, con distribuzione gaussiana, dovrebbe essere assegnato un intervallo che va da −∞ a +∞ per comprendere tutti i possibili valori che la misura pu`o assumere, in questo modo per`o non otteniamo una misura.
misura `e una variabile aleatoria, cio`e non la si pu`o predire in maniera asso- luta, ma unicamente definire con un certo livello di confidenza. Per definire le variabili aleatorie si usano le distribuzioni di probabilit`a come ad esempio quella di Gauss, di parametri µ e σ. Misurando uno stesso parametro, in generale, si ottengono valori diversi, e quindi si introduce l’incertezza per permettere di confrontare queste misure.
L’operazione di misura `e concettualmente simile all’estrarre un campione di n valori, quelli che si ottengono ripetendo n volte la misura, dall’universo rappresentato da tutti i valori che la misura pu`o assumere. Per conoscere la popolazione `e necessario sapere la media µ e la deviazione standard σ; con un’analisi campionaria `e possibile determinare un intervallo in cui con una certa probabilit`a `e contenuta la media dell’universo [20].
Se due diverse misure individuano due intervalli all’interno dei quali con una certa probabilit`a `e contenuta la media dell’universo e i due intervalli han- no un punto in comune allora entrambe possono essere state ottenute dalla stessa popolazione ovvero sono misure dello stesso parametro. Si ha cos`ı la possibilit`a di associare alla misura un certo livello di confidenza, cio`e la pro- babilit`a che la misura sia compatibile con qualsiasi altra misura dello stesso parametro.
I livelli di confidenza riportati dalla norma sono i seguenti: Livello di confidenza del 68% k = 1
Livello di confidenza del 95% k = 2 Livello di confidenza del 99% k = 3
Ci sono due modalit`a di valutazione di incertezze, di tipo A e tipo B, per valutare il primo tipo di incertezza si ripete n volte una misura, si calcola la media e si esegue poi una stima dello scarto tipo. Si sono prese cio`e n misure da un insieme di infinite misure e si `e stimata la media e lo scarto tipo di tale popolazione. uxi = v u u t 1 n(n − 1) n X i=1 (xi,k− xi) 2 (6.1) L’incertezza di tipo B non segue un’analisi campionaria, ma determina lo scarto tipo in modo diverso, basandosi su conoscenze a priori.
In molti strumenti di misura viene dichiarato nel certificato di taratura, il valore di incertezza da associare alla lettura, in un determinato campo di valori.
Alcune volte ci si basa sull’esperienza di chi ha utilizzato precedentemente lo strumento. Questa `e una via assolutamente razionale ed accettabile, an- che se meno controllabile. Nel caso di incertezza di tipo B `e necessario fare delle prove, per verificare che le nuove misure siano in accordo con il com- portamento atteso (tipicamente una decina di misure), `e necessario inoltre
sempre sovrastimare e mai sottostimare l’incertezza al fine di dare un criterio cautelativo. In conclusione tutte le incertezze elementari che vengono usate in una valutazione di incertezza devono essere preliminarmente convertite in incertezza tipo. La varianza `e cos`ı definita dall’equazione 6.2.
σ2 =
Z
p(x)(x − xmedio)2dx (6.2)
Considerando ad esempio una distribuzione rettangolare dove l’ipotesi `e quella che la probabilit`a sia uniforme in un dato intervallo dato dal limi- te di risoluzione dello strumento o da valori di accuratezza forniti con la documentazione a corredo dello stesso.
Figura 6.1. Distribuzione rettangolare
Dall’equazione 6.2 e dalla distribuzione rettangolare rappresentata in fi- gura 6.1 si trova lo scarto tipo ad essa associata, giungendo alla scrittura di 6.3.
uxi =
a √
3 (6.3)
La normativa non definisce una preferenza nella determinazione dell’in- certezza con quella di tipo A o con quella di tipo B, ma le considera allo stesso livello.
6.2.1 Incertezza combinata
Una misura `e spesso derivata dalla misurazione di altri parametri, infatti il legame tra la grandezza di uscita Y e le grandezze Xi che lo influenzano `e in
generale esprimibile tramite un modello matematico come quello riportato nell’equazione 6.4
Y = f (X1, X2, Xi, ..., Xn) + δ (6.4) δ `e un valore non noto a priori, esso pu`o essere introdotto per tener conto del limite intrinseco di incompletezza del modello matematico nella rappre- sentazione del processo di misura o quando vi sia una accertata evidenza sperimentale della sua importanza.
Per piccole variazioni delle variabili indipendenti nell’intorno di determi- nati punti operativi una serie di Taylor pu`o dare una buona approssimazione della variazione della variabile in uscita y in funzione di quelle in ingresso xi.
∆y = ∂f ∂x1 ∆x1+ ∂f ∂x2 ∆x2+ ∂f ∂xn ∆xn (6.5)
Le derivate parziali possono essere pensate come delle sensibilit`a di y rispetto alle variazioni delle singole xi; conseguentemente se i ∆x vengono considerati come le incertezze uxi, allora dati i valori misurati xi `e possibile
trovare l’incertezza di uscita uc(y).
Le stime in ingresso, a seconda del tipo di grandezza xi sono ottenute nei seguenti modi:
1 distribuzione di probabilit`a, a cui `e associata un’incertezza di tipo A, in questo caso viene calcolata la media (eq.6.6) e l’incertezza (eq.6.1) 2 valore di una singola misura a cui `e associata un’incertezza di tipo B 3 valore derivante dall’esperienza
4 valore tabulato Xi = 1 n n X k=1 xi,k (6.6) 6.2.2 Correlazione
Due grandezze si dicono tra loro correlate quando non sono tra loro statisti- camente indipendenti, ovvero si ha in qualche modo una mutua dipendenza, in tal caso, `e necessario tenere accuratamente conto nel caso della incertezza combinata.
Risulta necessario quindi calcolare la covarianza o in alternativa il coefficiente di correlazione. Tali coefficienti saranno usati poi per il calcolo dell’incertezza combinata, tra le grandezze xj e xi che si presume possano essere correlate.
Nel caso in cui invece non si abbiano a disposizione dati sperimentali diret- ti, `e possibile effettuare una stima del coefficiente di correlazione, perch´e ad esempio una variazione δiassociata a xi produce una variazione δj associata a xj conseguentemente tale coefficiente `e tanto pi`u prossimo all’unit`a, quando la correlazione `e massima. Si ha:
r(xi, xj) =
u(xi)δi u(xj)δj
(6.7) L’incertezza composta `e calcolabile attraverso l’equazione 6.8
uc(y) = v u u t N X i=1 ∂f ∂xi 2 u2(x i) + 2 N −1 X i=1 N X i=1 ∂f ∂xi ∂f ∂xj u(xi, xj) (6.8) u(xi) e u(xj) rappresentano le incertezze tipo associata alle stime delle gran- dezze in ingresso Xi e Xj, le derivate parziali sono i relativi coefficienti di sensibilit`a, spesso indicati anche con ci mentre u(xi, xj) rappresenta la cova- rianza. E’ possibile scrivere la stessa equazione utilizzando il coefficiente di correlazione come si pu`o vedere nell’equazione 6.9 [17].
uc(y) = v u u t N X i=1 c2 iu2(xi) + 2 N −1 X i=1 N X i=1 cicju(xi)u(xj)r(xi, xj) (6.9) r(xi, xj) `e il coefficiente di correlazione definito dall’equazione 6.10, che pu`o variare tra -1 e 1 come mostra l’equazione 6.11
r(xi, xj) =
u(xi, xj) u(xi)u(xj)
(6.10)
−1 ≤ r(xi, xj) ≤ 1 (6.11)
L’incertezza estesa si ricava moltiplicando l’incertezza combinata per un opportuno fattore di copertura.