Se la DMU opera in un tratto caratterizzato da DRS Se la DMU opera in un tratto caratterizzato da CRS
4.3 Gli indici di produttività di Malmquist 1 La formulazione degli indici di Malmquist
Le misure di efficienza ottenute dal modello DEA possono essere viste come la stima, in un determinato periodo t, della funzione di distanza delle DMU dalla frontiera tecnologica, con 0 < ≤ 1 dove più piccolo è il valore della funzione, maggiore è la distanza dalla frontiera, in modo che se = 1, la DMU appartiene ad essa. Definito questo, con la DEA si può calcolare l’indice di produttività di Malmquist (MPI) che permette, considerati più istanti temporali, di misurare il cambiamento della produttivà visto come rapporto tra funzioni di distanza. L’indice di Malmquist è stato introdotto in via teorica da Caves et al. (1982) in onore dell’economista Sten Malmquist il quale, in un lavoro del 1953 sull’analisi di consumo, costruì un indice quantitativo definito dal rapporto tra funzioni di distanza per comparare due o più panieri di consumo (si veda Grifell- Tatjé e Lovell, 1999). Caves et al. (1982) adattarono l’idea di Malmquist nel contesto dell’analisi sulla produzione per introdurre un indice basato sul rapporto tra distanze, con lo scopo di comparare la produttività di due imprese nello stesso periodo o, in alternativa, la produttività della stessa impresa in due peiodi distinti. Supponiamo che in ciascun periodo t =1…T la tecnologia trasforma il vettore degli input ∊
+ nel vettore degli output ∊
129 Il concetto di rendimento di scala si può applicare solo se la DMU è nella frontiera efficiente poiché solo in questo stato un trade-off tra gli input e gli output è richiesto per migliorare l’uno o l’altro di questi elementi. Per questo, per il rendimento di scala delle DMU consideriamo la sua proiezione sulla frontiera efficiente (si veda Banker et al. 2004)
145
= ∊
dove la tecnologia è l’insieme delle possibili combinazioni input-output. L’insieme degli output associato alla tecnologia può essere rappresentato dalla seguente funzione che associa ad ogni input un livello di output ( ) = ∊
Seguendo Shepard (1970), la funzione di distanza di output è definita come la funzione che associa ad ogni combinazione di output la massima espansione proporzionale degli stessi output, misurata dallo scalare δ, mantenendo la tecnologia produttiva invariata:
= inf { 0: ( ) ∊ ( )}
Se ∊ , allora ≤ 1; se =1, il vettore non può aumentare,
dunque appartiene alla frontiera di produzione, o isoquanti di output, dove ∊
Isoq ( ) = { ∊ ( ), λ ( ), λ >1}. Inoltre la funzione è omogenea di grado 1 in y, dunque = , λ>0
Analogamente, l’insieme degli input associato alla tecnologia è definito dalla seguente funzione:
( ) = ∊
La funzione di distanza di input associa ad ogni combinazione di input la minima contrazione proporzionale degli stessi, rappresentato dallo scalare γ, a tecnologia produttiva invariata
sup{ γ ≥1: ( ∊ ( )}
Se ( ∊ , allora ≥ 1; se =1, il vettore non può essere ridotto ed appartiene all’insieme isoquanto, dunque rappresenta una combinazione efficiente di input: ∊ Isoq ( ) = { ∊ ( ), λ ( ), λ <1}; inoltre la funzione è omogenea di grado 1 in x.
Se consideriamo il periodo t+1, si può similarmente definire la funzione di distanza
146
( ). Le funzioni di distanza fin’ora considerate sono misure dirette che
prendono in considerazioni i vettori degli input e degli output di un periodo valutati rispetto alla frontiera determinata nel medesimo periodo. Nel caso delle funzioni di distanza di output, esse confrontano la produzione effettiva con quella che si poteva ottenere con il suo miglior uso, a parità di fattori nello stesso periodo. Per il calcolo degli indici di produttività di Malmquist è necessario introdurre le funzioni di distanza incrociate (cross-time distance functions). Sempre facendo riferimento alla funzione di distanza di output, abbiamo queste due funzioni
= inf { 0: ( ) ∊ ( )} = inf { 0: ( ) ∊ ( )}
Dove la prima misura la massima espansione proporzionale degli output del periodo
t+1 affinchè siano compatibili con la tecnologia del periodo t, quindi confronta il
prodotto ottenuto nel periodo t+1 con quello che si sarebbe potuto ottenere se la tecnologia fosse quella del periodo t; viceversa la seconda confronta gli output ottenuti nel periodo t con la tecnologia del periodo t+1. Poiché la produzione di un periodo può non essere realizzabile con la tecnologia di un altro periodo, le funzioni di distanza incrociate possono essere minori, maggiori o uguali a 1. In un contesto semplificato come quello rappresentato nella figura 4.5, con una tecnologia un input- un output con rendimenti di scala costanti sappiamo che:
=
=
= =
147
Fig. 4.5: Indici di produttività di Malmquist e funzione di distanza di output. Elaborazione da Färe et al.,(1994b) 0
Considerando il periodo t come benchmark, Caves et al (1982) definiscono l’indice di Malmquist come il seguente rapporto tra distanze130:
(10)
Questo indice misura la variazione di produttività della DMU tra il periodo t ed il periodo t+1 dalla prospettiva della tecnologia , confrontando la performance
dell’unità nei due periodi con la medesima frontiera tecnologica. In maniera del tutto analoga si può utilizzare come benchmark il periodo t+1 per ottenere il seguente indice:
(11)
Dal momento che la scelta della tecnologia di riferimento è del tutto arbitraria e che i due indici (16) e (17) non sono necessariamente uguali131, in genere si considera la
130
Il pedice “i” e “o” sulla funzione di distanza è stato omesso per semplicità, infatti la formulazione dell’indice è uguale sia nell’approccio input che in quello output
( a b c d ( e = f X Y
148
INDICE APPROCCIO
loro media geometrica. Si ottiene così la formulazione tradizionale dell’Indice di Malmquist (si veda Färe et al., 1994):
(12)
L’indice così ottenuto misura la produttività tra il periodo t ed il periodo t+1 indipendentemente dal periodo base cosiderato. È intuibile, dai valori delle funzioni di distanza, il significato che assume il valore dell’indice rispetto all’approccio input o output oriented, come riportato nella tabella 4.1.
Nel lavoro di Caves et al (198), l’indice di Malmquist fu introdotto solo in via teorica e calcolato indirettamente: infatti fu dimostrato che, ponendo una serie di restrizioni (le imprese devono essere pienamente efficienti ed avere un comportamento profit
maximisers o cost minimizer, la tecnologia e la funzione di distanza devono essere
rappresentate da funzioni translogaritmiche e sono inoltre richieste informazioni sui
131
se la tecnologia è un input-un output (si veda Johnes, 2006) altrimenti solo se la
tecnologia è neutrale à la Hick, ovvero quando il progresso tecnico non modifica il saggio marginale di sostituzione tecnica (nell’approccio input-oriented) o il saggio marginale di trasformazione tecnica (nell’approccio output-oriented). Geometricamente significa che la funzione di produzione in t+1 può essere ottenuta attraverso una traslazione parallela della funzione di produzione in t (si veda Pastor
et al., 2011) INPUT-ORIENTED DECRESCITA PRODUTTIVA STAGNAZIONE CRESCITA PRODUTTIVA OUTPUT-ORIENTED CRESCITA PRODUTTIVA STAGNAZIONE DECRESCITA PRODUTTIVA
149
prezzi e sulle quantità degli input e degli output) la formulazione (12)132 è equivalente ad una altro indice di produttività, l’indice di Tornqvist. Färe et al. (1994) rilasciarono gran parte di questi assunti e dimostrarono che l’indice di Malmquist poteva essere empiricamente implementato. Imponendo una tecnologia a rendimenti di scala costanti133 questi autori proposero di calcolare le funzioni di distanza sfruttando il fatto che sono reciproci delle misura di efficienza di Farrell. Infatti
= inf { 0: ( ) ∊ ( )} = ∊
sup{ γ ≥1: ( ∊ ( )} = ∊
Dove e indicano rispettivamente la funzione di distanza di output e di input; β e θ sono le misure di efficienza proposte da Farrell rispettivamente nell’approccio output-oriented e input-oriented. Ad esempio, con riferimento alla Fig. 4.5, se = , β = . Le misura di efficienza di Farrell vengono calcolate tramite la metodologia DEA, dunque anche le funzioni di distanza possono essere calcolate tramite la risoluzione dei problemi di programmazione lineare. Questo ha importanti conseguenze poiché la DEA fornisce la frontiera tecnologica senza imporre condizioni troppo stringenti: i dati sui prezzi non sono necessari, non sono imposti assunti comportamentali e, soprattutto, ammettendo l’inefficienza delle DMU, è possibile scomporre il cambiamento della produttività considerando le due componenti principali:la variazione dell’efficienza d il progresso tecnologico. Di fatto, i problemi di programmazione lineare da risolvere sono quattro per ogni DMU: in un approccio output-oriented, e
equivalgono al valore ottimo ottenuto risolvendo il
problema di programmazione lineare (9.1-9.7), inserendo rispettivamente i valori input ed output del periodo t e del periodo t+1. Gli altri due sono134:
132
Avendo imposto la piena efficienza delle DMU, la media geometrica è:
133 Si possono imporre rendimenti di scala costanti stabilendo che la funzione di distanza di output sia anche omogenea di grado -1 in x ela funzione di distanza in input omogenea di grado -1 in y (si veda Balk, 2001)
134
150 (13.1) s.t 0 (13.2) 0 (13.3) 0 j = ( 1,2…n ) (13.4)
libera
(13.5)4.3.2 La scomposizione degli indici di Malmquist
Seguendo Fare et al. (1994) con una serie di passaggi algebrici, l’indice (12) può essere scritto in questa maniera135:
M = ∙
=
EC∙TC (15)Dove il rapporto fuori dalle parentesi (EC) indica la variazione dell’efficienza (efficiency change) della DMU tra il periodo t ed il periodo t+1, L’espressione, infatti, è il rapporto tra la misura di efficienza nei due periodi considerati ed indica di
135 sufficiente moltiplicare l’Indice (18) per
= 1 (14.1) s.t 0 (14.2) 0 (14.3) 0 j = ( 1,2…n ) (14.4)
libera
(14.5)151
quanto si avvicina (o si allontana) la DMU dalla frontiera efficiente nei periodi considerati (il cosidetto effetto catching up). Questa componente della produttività è legata alla variazione delle condizioni manageriali interne, facendo riferimento al miglioramente nell’uso delle risorse da parte della DMU. In un approccio output- oriented, se questo rapporto è > 1 (<1 nell’approccio input-oriented), ciò significa che la DMU è più efficiente nel periodo t+1 rispetto a quanto lo era nel periodo t perché si è avvicinata alla frontiera efficiente, l’opposto se il rapporto è <1 (>1 nell’approccio input oriented). Se il rapporto è = 1, l’efficienza nei due periodi non cambia.136
L’espressione dentro la parentesi (TC) indica il progresso tecnico (technical change) definito dallo spostamento della frontiera efficiente tra t e t+1 e valutato in due punti differenti. Esso è infatti la media geometrica di due indici di progresso tecnico: il primo considera la combinazione input/output nel periodo t+1 ed è dato dal rapporto tra la distanza rispetto alla frontiera e la distanza rispetto alla frontiera ; analogamente il secondo, considerando la combinazione input-output nel periodo t. Questa componente cattura l’effetto di progresso/regresso tecnicologico medio del settore. In un approccio output-oriented, se l’espressione è > 1 (<1 nell’approccio input-oriented), ciò significa tra t e t+1 c’è stato un progresso tecnico, l’opposto se il rapporto è <1 (>1 nell’approccio input oriented). Se il rapporto è = 1, ciò significa che la frontiera in t ed in t+1 è la stessa.
Queste due componenti della produttività possono muoversi in direzioni opposte: per esempio, riferendoci alla fig. 4.5, supponiamo che la produttività sia stagnante (M=1) e quindi che coincida con ; in questo caso la variazione di
efficienza della DMU è diminuita (EC<1) poiché nel periodo t+1 essa si allontana dalla frontiera efficiente determinata in quel periodo, tuttavia questo è causato dal progresso tecnico che ha spostato la frontiera (TC>1). I due effetti si controbilanciano e il loro prodotto sarà uguale a 1.
La variazione dell’efficienza fa riferimento a una frontiera caratterizzata da ritorni di scala costanti. Rilasciando questa imposizione ed ammettendo una tecnologia con ritorni di scala variabili, la variazione dell’efficienza (EC) può essere ulteriormente scomposto: ricordiamo la relazione = S ∙ , si può dire che:
136
152
dove k = t, t+1 e il pedice indica i ritorni
di scala. Con una serie di passaggi algebrici risulta che:
Inoltre, potendo scrivere l’equazione e sostituendo questa
espressione a EC nella (21) si ottiene la seguente scomposizione della variazione dell’efficienza tecnica (si veda Färe et al, 1994):
EC =
=
(16)=
∙=
PEC∙SCDove il primo rapporto viene definito come pura variazione dell’ efficienza tecnica (PEC), il cui significato è simile alla variazione dell’efficienza (EC), ma la distanza è riferita ad una tecnologia a rendimenti di scala variabili. Il secondo rapporto (SC) misura la variazione nell’efficienza di scala (scale change) ed è il rapporto tra l’efficienza di scala nel periodo t ed il periodo t+1 . In un’ ottica output-oriented, se questo rapporto è >1 (<1 nell’approccio input oriented), ovvero se l’efficienza di scala (S) in t+1 è minore (maggiore nell’approccio input oriented) rispettto all’efficienza di scala (S) in t, significa che c’è stato un aumento della produttività dovuto alla variazione della scala con cui l’unità opera, quindi la DMU nel periodo t+1 si è avvicinata ad un punto dove la scala garantisce la massima produttività (punto MPSS=most productive scale size).
153 a b c d Y
La figura 4.6 mostra le frontiere CRS e VRS nei periodo t e t+1: considerando la posizione della DMU A nei due periodi, possiamo dire che, in un’ ottica output oriented, c’è un aumento nell’efficienza di scala se < ; al contrario se > c’è una diminuzione dell’efficienza di scala.
Riassumendo, l’Indice di produttività di Malmquist (M) stima la variazione della produttività tra due periodi, scomponendo tale variazione come segue:
(17)
Dove EC indica la variazione di efficienza tecnica, SC la variazione dell’efficienza di scala e TC il progresso tecnico del settore.
0 X
154
4.4 La Data Envelopment analysis e gli Indici di Malmquist per comparare gruppi