8.2 I test del codice
8.2.3 Influenza delle condizioni al contorno di tipo idraulico
In questo test si è voluta studiare e mettere in evidenza l’influenza delle condizioni di dre- naggio all’anodo e al catodo sulla distribuzione della pressione neutra all’interno del dominio di studio. Il dominio di calcolo rettangolare (240cm x 90 cm) utilizzato per questo test è stato discretizzato attraverso una mesh triangolare strutturata (Figura 8.5) in 350 nodi e 432 ele- menti. I test che vengono presentati sono due; nel primo caso viene permesso il drenaggio sia dal catodo che dall’anodo, mentre nel secondo viene permesso il drenaggio sono dal catodo.
Queste due condizioni di flusso sono state ottenute imponendo delle adeguate condizioni al contorno di tipo idraulico, mentre rimangono invariati nei due casi sia i parametri utilizzati (riassunti in Tabella 8.1) sia le condizioni al contorno del campo elettrico.
Il tempo di simulazione totale è stato impostato pari a 72 giorni con un passo di calcolo pari a 360 secondi.
8.2 I test del codice 0 1 2 3 4 x [cm] 0 5 10 15 Variabile α (a) Variabileα 0 1 2 3 4 x [cm] 0 5 10 15 Variabile β (b) Variabileβ 0 1 2 3 4 x [cm] 0 5 10 15 Variabile H (c) Variabile H
Figura 8.4: Confronto tra le variabili disaccoppiate e i risultati numerici
l’equazione del flusso saturo.
z
x
240 cm 90 cm
8. Implementazione del codice numerico
Tabella 8.1: Parametri fisici utilizzati nel modello.
Parametro Valore Permeabilità idraulicaKh 1 · 10−5 [cm · s−1] Permeabilità elettrosmoticaKe 1 · 10−4 [cm2· s · V−1] Resistività elettricaρ 1 · 10−1 [Ohm · cm−1] Modulo edometrico(mv· γw) 1 · 10−6 [cm−1] Capacità elettricaCp 1 · 102 [F arad · cm3] Impermeabile Impermeabile Nodo di Dirichlet
(a) Condizioni idrauliche
Catodo Anodo
(b) Condizioni elettriche
Figura 8.6: Condizioni al contorno per il flusso idraulico (a) e per il flusso
elettrosmotico (b) nel caso di Anodo e Catodo aperti.
Catodo e Anodo aperti
In questo primo test viene permesso il drenaggio sia dall’anodo che dal catodo.
Le condizioni al contorno imposte nel modello sono di due tipi: flusso idraulico e flusso elettrocinetico. Per quanto riguarda le condizioni al contorno di tipo idraulico (Figura 8.6-a):
• H = 90cmper x=0 e per x=240;
mentre per quanto riguarda le condizioni al contorno del flusso elettrocinetico (Figura 8.6-b):
• Φ= 240 V perx = 0;
• Φ= 0 perx = 240.
Catodo aperto e Anodo chiuso
Nel secondo test viene permesso il drenaggio solo dal catodo, mentre viene posto una condizioni di impermeabilità all’anodo.
8.2 I test del codice
Impermeabile
Impermeabile
Nodo di Dirichlet
Impermeabile
(a) Condizioni idrauliche
Catodo Anodo
(b) Condizioni elettriche
Figura 8.7: Condizioni al contorno per il flusso idraulico (a) e per il flusso
elettrosmotico (b) nel caso in cui solo il catodo è aperto.
Anche in questo caso vengono imposte le condizioni al contorno sia per il flusso idraulico che per il flusso elettrocinetico.
Le condizioni al contorno di tipo elettrico (Figura 8.7-b) vengono mantenute uguali al caso precedente (vedi 8.2.3), ovvero:
• Φ= 240 perx = 0;
• Φ= 0 perx = 240.
mentre per quanto riguarda le condizioni al contorno ti tipo idraulico, viene imposta l’imper- meabilità dell’anodo, che risulta in tal modo chiuso, e si permette al flusso di fuoriuscire dal dominio solo attraverso il contorno del catodo (Figura 8.7-a):
• H = 90cmper x=0;
I risultati del test sull’influenza delle condizioni idrauliche
I risultati, pur riguardando un dominio bidimensionale, vengono rappresentati in grafici bi- dimensionali lungo sezioni longitudinali del dominio di calcolo, visto che il caso di studio è simmetrico lungo l’asse delle x.
I risultati della simulazione vengono proposti come grafici dell’andamento della pressione e del potenziale elettrico in funzione della distanza dal catodo (x=0).
Viene inoltre proposto la distribuzione del campo di velocità all’interno del dominio di studio in entrambi i casi proposti.
Tali risultati possono essere paragonati ai risultati analitici reperibili in letteratura [??]. Il caso di studio è stato impostato per mettere in evidenza solo gli effetti dell’applicazione dell’elettrosmosi, infatti, in assenza di potenziale elettrico applicato la pressione sull’intero dominio risulta uguale alla pressione idrostatica applicata sia nel contorno sia come condi- zione iniziale, pari a 9 kPa. Quindi l’aumento della pressione dell’acqua all’interno del mezzo poroso è da associare unicamente all’applicazione del campo elettrico.
Dall’esame della Figura 8.8 si può osservare il differente comportamento del sistema fisico all’applicazione di un potenziale elettrico.
8. Implementazione del codice numerico
0 40 80 120 160 200 240 Distanza dal catodo [cm]
0 50 100 150 200 250 300
Pressione neutra [kPa]
tempo = 0.1 ore tempo = 1 ora tempo = 3 ore tempo = 9 ore tempo = 36 ore tempo = 6 giorni tempo = 24 giorni tempo = 72 giorni
(a) Anodo e Catodo aperti
0 40 80 120 160 200 240 Distanza dal catodo [cm]
-300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50
Pressione neutra [kPa]
tempo = 0.1 ore tempo = 1 ora tempo = 3 ore tempo = 9 ore tempo = 36 ore tempo = 6 giorni tempo = 24 giorni tempo = 72 giorni
(b) Catodo aperto e Anodo chiuso
Figura 8.8: Andamento delle pressioni in funzione della distanza dal catodo.
0 40 80 120 160 200 240 Distanza dal catodo [cm]
-50 0 50 100 150 200 Potenziale elettrico [V] tempo = 0.1 ore tempo = 1 ora tempo = 3 ore tempo = 9 ore tempo = 36 ore tempo = 6 giorni tempo = 24 giorni tempo = 72 giorni
(a) Anodo e Catodo aperti
0 40 80 120 160 200 240 Distanza dal catodo [cm]
-40 0 40 80 120 160 200 240 Potenziale elettrico [V] tempo = 0.1 ore tempo = 1 ora tempo = 3 ore tempo = 9 ore tempo = 36 ore tempo = 6 giorni tempo = 24 giorni tempo = 72 giorni
(b) Catodo aperto e Anodo chiuso
Figura 8.9: Distribuzione del potenziale elettrico in funzione della distanza dal
catodo. 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 22.5 45 67.5 90 x [cm] y [cm]
(a) Anodo e Catodo aperti
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 0 22.5 45 67.5 90 x [cm] y [cm]
(b) Catodo aperto e Anodo chiuso
8.2 I test del codice
Si può notare come nel caso in cui il sistema sia completamente aperto (sia all’anodo che al catodo) (Figura 8.8-a), il flusso elettrosmotico all’interno del mezzo poroso induce una sovrappressione iniziale in corrispondenza dell’anodo. Tale sovrappressione si dissipa al passare del tempo di applicazione del potenziale, fino a raggiungere valori prossimi allo zero al raggiungimento dello stato stazionario. Si può inoltre notare che il potenziale elettrico vedi (Figura 8.9-b), inizialmente nullo, aumenta in tutto il dominio fino a stabilizzarsi con un andamento lineare, minimo al catodo e massimo all’anodo.
Nel secondo caso di studio, cioè nel caso in cui viene permessa la filtrazione soltanto attraverso il catodo mentre l’anodo rimane chiuso, si può notare (Figura 8.8-b) come l’ap- plicazione del campo elettrico induca nel mezzo poroso una sovrappressione negativa in corrispondenza dell’anodo. Tale sovrappressione aumenta proporzionalemente al tempo, fino a stabilizzarsi in una distribuzione lineare decrescente.
La distribuzione del potenziale elettrico (vedi Figura 8.9-b) mostra invece un comporta- mento simile al caso in cui sia l’anodo che il catodo siano aperti.
Il diverso comportamento nei riguardi della distribuzione delle pressioni all’interno del mezzo poroso, giustifica la distribuzione delle velocità all’interno del dominio di calcolo. Tali velocità sono dirette, come ci si aspetta, dall’anodo verso il catodo, e sono costanti su tutto il dominio nel caso in cui sia il catodo che l’anodo siano aperti. Non sono invece costanti nel caso in cui solo il catodo sia aperto. Si può infatti notare come in questo ultimo caso le velocità siano prossime allo zero in prossimità dell’anodo.
Per poter effettuare un ragionamento più completo sull’andamento delle velocità nel tem- po è necessario richiamare la formula del flusso totale (Darcy generalizzato) (Equazione 8.6). Essa mette infatti in evidenza come il flusso elettrosmotico totale sia dato dalla som- ma di due termini, il primo direttamente proporzionare al gradiente di potenziale idraulico, mentre il secondo direttamente proporzionale al gradiente del potenziale elettrico.
v= −Kh· ∇H − Ke· ∇Φ (8.6)
dove si è indicato conH il potenziale idraulico, conΦ il potenziale elettrico, con Kh la
conducibilità idraulica e infine conKela permeabilità elettrosmotica.
Dall’esame degli andamenti temporali dei due contributi alla velocità totale, mostrati in Figura 8.11 si può notare che:
• in entrambi i casi la velocità totale raggiunge uno stato stazionario;
• il contributo alla velocità totale del flusso elettrosmotico è costante nei due casi, questo significa che il flusso elettrosmotico è indipendente dalle condizioni al contorno di tipo idraulico;
• l’anodo chiuso induce una sovrappressione negativa al fluido nei mezzi porosi;
8. Implementazione del codice numerico 0 500 1000 1500 Tempo [ore] -1.2e-05 -1e-05 -8e-06 -6e-06 -4e-06 -2e-06 0 Flusso elettrosmotico [cm/s] Idraulico Elettrico Totale
(a) Anodo e Catodo aperti
0 500 1000 1500 Tempo [ore] -4e-06 -2e-06 0 2e-06 4e-06 Flusso elettrosmotico [cm/s] Idraulico Elettrico Totale
(b) Catodo aperto e Anodo chiuso
Figura 8.11: Andamento della velocità elettrosmotica al catodo (x=0 del
dominio di calcolo). 0 50 100 150 200 Distanza dall’anodo [cm] 0 50 100 150 200 250 300
Pressione neutra [kPa]
Kh>Ke kh=ke Kh<Ke
(a) Inizio del processo
0 50 100 150 200 Distanza dall’anodo [cm] 0 50 100 150 200 250 300
Pressione neutra [kPa]
Kh>Ke Kh=Ke Kh<Ke
(b) Stato stazionario
Figura 8.12: Influenza del rapporto tra la permeabilità elettrosmotica e la
permeabilità idraulica.