La generalizzazione dell’integrale di Lebesgue al caso di funzioni a valori in uno spazio di Banach separabile prende il nome di integrale di Bochner. In questa breve esposizione diamo per acquisita la nozione di integrabilit`a e di integrale secondo Lebesgue per funzioni definite su uno spazio di misura generale e a valori in Rn (si veda ad esempio [49])
Sia X uno spazio di Banach separabile e (Ω, F, µ) uno spazio di misura. Per semplicit`a, poich´e siamo interessati a misure di probabilit`a, supporremo che µ sia finita. Vogliamo allora definire l’integrale di variabili aleatorie (definizione 2.44) da Ω inX.
Prima di tutto si definisce l’integrale di funzioni semplici. Se A `e un insieme qualsiasi e B ⊂ A, denotiamo con χB: A → {0, 1} la funzione indicatrice di B:
χB(a) :=
1, se a ∈ B,
0, se a /∈ B, a ∈ A. (2.6.1)
Una funzione semplice `e per definizione una variabile aleatoria ϕ : Ω →X la cui immagine consiste in un numero finito di punti. Poich´e inX ogni punto `e un chiuso, e quindi un boreliano, le funzioni semplici sono tutte e sole le funzioni del tipo
ϕ(ω) := n X k=0
χFk(ω)xk, ω ∈ Ω, (2.6.2)
dove, per k = 0, 1, . . . , n, gli xk sono elementi di X e gli Fk sono sottoinsiemi misurabili di Ω, cio`e elementi di F. Definiamo integrale della funzione semplice ϕ che ha l’espressione (2.6.2) l’elemento diX
Z Ω ϕ(ω) dµω := n X k=0 µ(Fk) xk. (2.6.3) `
E di immediata verifica il fatto che la definizione appena data non dipende dalla particolare espressione della funzione semplice ϕ. Inoltre si ha
Z Ω ϕ(ω) dµω ≤ Z Ω kϕ(ω)k dµω (2.6.4)
Passiamo quindi alla definizione dell’integrale di Bochner per tutte le altre variabili aleatorie, non necessariamente funzioni semplici. Il seguente teorema ci fornisce una caratterizzazione delle variabili aleatorie a valori in spazi di Banach separabili che, insieme al lemma seguente, `e la base per la definizione.
Teorema 2.51 Sia X uno spazio di Banach separabile con norma k · k e (Ω, F, µ) uno spazio di misura finita. Una funzione f : Ω → X `e una variabile aleatoria se e solo se esiste una successione {ϕn} di funzioni semplici tale che la successione {kf (ω) − ϕn(ω)k} tende, decrescendo, a zero per quasi ogni ω ∈ Ω
Dimostrazione. Si veda [25], cap. II, teorema 2 e [24], cap. 1, lemma 1.1. Lemma 2.52 Se X `e uno spazio di Banach separabile, (Ω, F) `e uno spazio misu- rabile, e f : Ω →X `e una variabile aleatoria, allora la funzione kf(·)k : Ω → R `e una variabile aleatoria.
Dimostrazione. Si veda [24], cap. 1, lemma 1.5.
Definizione 2.53 La variabile aleatoria f : Ω →X si dice Bochner-integrabile se Z
Ω
kf (ω)k dµω< +∞, (2.6.5)
dove l’integrale che compare nella 2.6.5 `e l’integrale di Lebesgue.
Se f `e una variabile aleatoria, per il teorema 2.51 esiste una successione di fun- zioni semplici {ϕn} con kf (ω) − ϕn(ω)k decrescente a zero quasi ovunque. Se f `e Bochner-integrabile, dall’eq. (2.6.4) si ha allora che
Z Ω ϕm(ω) dµω− Z Ω ϕn(ω) dµω ≤ Z Ω kϕm(ω) − ϕn(ω)k dµω ≤ Z Ω kf (ω) − ϕm(ω)k dµω+ Z Ω kf (ω) − ϕn(ω)k dµω
tende a 0 (per il teorema di Beppo Levi), quando m, n → ∞. Dunque la successione {R
Ωϕn(ω) dµω} `e una successione di Cauchy in X. Poich`e X `e completo esiste il limite in X di tale successione.
Definizione 2.54 Definiamo integrale di Bochner della funzione Bochner-inte- grabile f il limite in X degli integrali delle funzioni semplici che approssimano f Z Ω f (ω) dµω:= lim n→∞ Z Ω ϕn(ω) dµω (2.6.6)
Si dimostra che la definizione `e ben data, cio`e non dipende dalla successione di funzioni semplici che approssima f e che inoltre
Z Ω f (ω) dµω ≤ Z Ω kf (ω)k dµω. (2.6.7)
Se f `e Bochner-integrabile ed E ∈ F si definisce l’integrale di Bochner di f su E
come Z E f (ω) dµω := Z Ω χE(ω) f (ω) dµω (2.6.8) (la funzione χEf `e misurabile, si veda il lemma 3.31).
Nella sezione 2.3 abbiamo introdotto l’integrale di Riemann per funzioni f : [a, b] →X, dove [a, b] `e un intervallo della retta reale (`e uno spazio di misura finita con la struttura standard di Lebesgue) eX `e uno spazio di Banach qualunque. Se X `e separabile si ha, come nel caso a dimensione finita, che l’integrale di Riemann (se esiste) coincide con quello di Bochner.
L’integrale di Bochner ha quasi tutte le buone propriet`a dell’integrale di Lebe- sgue (linearit`a, additivit`a, assoluta continuit`a, teorema di Fubini, eccetera). Tutta- via, questa affermazione non va presa troppo alla lettera. Infatti certe importanti propriet`a dell’integrale di Lebesgue non si trasferiscono all’integrale di Bochner; ad esempio, per quest’ultimo non vale il teorema di Radon-Nikodym (si veda l’esempio riportato in [25]).
Fra i teoremi pi`u importanti che, invece, dall’integrale di Lebesgue si estendono all’integrale di Bochner c’`e il teorema di convergenza dominata
Teorema 2.55 Sia (Ω, F, µ) uno spazio di misura finita e X uno spazio di Banach separabile. Se {fn} `e una successione di funzioni fn : Ω →X Bochner-integrabili tali che
a) fn(ω) tende quasi ovunque a una funzione f (ω),
b) esiste g : Ω → R+ Lebesgue-integrabile tale che kfn(ω)k ≤ g per quasi ogni ω ∈ Ω,
allora f `e una variabile aleatoria Bochner-integrabile e lim n→∞ Z Ω fn(ω) dµω = Z Ω f (ω) dµω (2.6.9)
Dimostrazione. Si veda [27], corollario III.6.16.
Il seguente risultato, dovuto a Hille, mette in luce il buon comportamento degli operatori chiusi rispetto all’integrale di Bochner.
Teorema 2.56 Sia L un operatore lineare chiuso in X e sia f : Ω → X una variabile aleatoria Bochner-integrabile tale che f (ω) ∈D(L) per quasi ogni ω ∈ Ω.
Allora la funzione Lf (·) : Ω →X `e una variabile aleatoria e se questa `e Bochner- integrabile risulta che R
Ωf (ω) dµω ∈D(L), con L Z Ω f (ω) dµω= Z Ω Lf (ω) dµω. (2.6.10)
Dimostrazione. Si veda [27], teorema III.6.20.
La costruzione degli spazi Lp si generalizza alle funzioni Bochner-integrabili. Sia (Ω, F, µ) uno spazio di misura finita eX uno spazio di Banach separabile con norma k · k. Fissato p ∈ [1, +∞), per ogni variabile aleatoria f : Ω →X poniamo
kf kp := Z Ω kf (ω)kpdµω 1/p . (2.6.11)
Per le variabili aleatorie f tali che kf kp ≤ +∞ valgono disuguaglianze di tipo H¨older e Minkowsky ([27], teorema III.3.2 e lemma III.3.3). In particolare, le va- riabili aleatorie con kf kp < +∞ formano uno spazio vettoriale rispetto alle naturali operazioni di somma e prodotto per scalare.
Definizione 2.57 Posto M := (Ω, F, µ), indichiamo con Lp(M; X) lo spazio vet- toriale delle variabili aleatorie f : Ω → X con kfkp < +∞, quozientato rispetto alla relazione di equivalenza
f ∼ g ⇔ f (ω) = g(ω) quasi ovunque. (2.6.12) Con tale definizione, k · kp `e una norma per Lp(M; X).
Teorema 2.58 Lo spazio vettoriale Lp(M; X) `e uno spazio di Banach rispetto alla norma k · kp.
Dimostrazione. Si veda [27], teorema III.6.6.
Nei due teoremi seguenti enunciamo alcune propriet`a degli spazi Lpgeneralizzati che utilizzeremo nel corso della tesi.
Teorema 2.59 a) Se 1 ≤ p ≤ q < +∞, allora Lp(M; X) ⊂ Lq(M; X).
b) Se la σ-algebra F `e separabile, allora Lp(M; X) `e uno spazio di Banach separabile.
c) Se {fn} `e una successione di funzioni in Lp(M; X), convergente in Lp(M; X) a una funzione f , allora esiste una sottosuccessione {fnk} tale che fnk(ω)
converge a f (ω) quasi ovunque.
Dimostrazione. a) Segue dal corrispondente teorema per l’integrale di Lebe- sgue; b) si veda [27], lemmi III.8.3 e III.8.4; c) si veda [27], teorema III.3.6 e
Teorema 2.60 Sia X uno spazio di Banach separabile e siano (Σ, E, η) e M := (Ω, F, µ) due spazi di misura finita. Sia poi g : Σ → Lp(M; X), per un certo p ∈ [1, +∞), una variabile aleatoria Bochner-integrabile su Σ. Allora esiste una funzione g : Σ × Ω →X tale che
a) g `e una variabile aleatoria , cio`e `e (E × F)/BX-misurabile; b) g(s, ω) = g(s)(ω) per quasi ogni (s, ω) ∈ Σ × Ω;
c) g(·, ω) : Σ →X `e Bochner-integrabile per quasi ogni ω ∈ Ω; d) Z Ω g(s, ω) dηs= hZ Ω g(s) dηs i
(ω) per quasi ogni ω ∈ Ω.
Dimostrazione. Si veda [27], teorema III.11.17.
Per concludere introduciamo qualche notazione sintetica. L’integrale di Bochner (o di Lebesgue)R
Ωf (ω) dµω sar`a indicato anche con R
Ωf dµ. Se poiM = (Ω, F, µ), useremo anche le notazioni Lp(Ω, µ;X), Lp(Ω;X) e simili per indicare lo spazio Lp(M; X), quando la struttura di spazio di misura per Ω `e sottointesa. Ometteremo di regola anche l’indicazione di X, scrivendo ad esempio Lp(Ω, µ) o Lp(Ω), quando X = R o X = C.