In questa sezione richiamiamo brevemente alcuni concetti fondamentali e risultati noti della teoria dei reticoli di Banach e degli operatori positivi. Tale teoria sar`a utilizzata nella sezione successiva per stabilire una disuguaglianza fra gli opera- tori SL+hJ i e hSL+Ji, che vale quando lo spazio di Banach X ha la struttura supplementare di reticolo.
Definizione 4.7 Uno spazio vettoriale X su R su cui `e definita una relazione d’ordine ≤ `e detto spazio vettoriale ordinato se
a) per ogni coppia x, y ∈X tale che x ≤ y si ha x + z ≤ y + z, per ogni z ∈ X; b) per ogni coppia x, y ∈X tale che x ≤ y si ha λx ≤ λy, per ogni λ ∈ R+. In uno spazio vettoriale ordinato X l’insieme
X+:= {x ∈X | x ≥ 0} (4.2.1)
`
e detto cono positivo ed `e un sottoinsieme convesso diX (nella (4.2.1), 0 `e l’elemento nullo di X).
Definizione 4.8 Uno spazio vettoriale ordinato X, con la relazione d’ordine ≤ `e detto reticolo vettoriale se per ogni x, y ∈X esistono gli elementi x∨y := sup{x, y} e x ∧ y := inf{x, y}.
Dato un elemento x di un un reticolo vettoriale X, si possono definire gli elementi x+ := x ∨ 0, x− := (−x) ∨ 0, |x| := x++ x−, (4.2.2) per cui si ha che x = x+− x− per ogni x ∈ X, e che x = x+ = |x| se e solo se x ∈X+.
Definizione 4.9 Un reticolo vettoriale X che sia anche uno spazio di Banach (reale) con la norma k · k `e detto reticolo di Banach se
|x| ≤ |y| ⇒ kxk ≤ kyk. (4.2.3)
Teorema 4.10 In un reticolo di Banach
a) le trasformazioni x 7→ x+, x 7→ x−, x 7→ |x|, (x, y) 7→ x ∨ y, (x, y) 7→ x ∧ y, sono continue;
b) il cono positivo `e chiuso; c) kxk = k |x| k, per ogni x ∈X.
Dimostrazione. Per i punti a) e b) si veda [53], cap. II, proposizione 5.2. Per il punto c), osserviamo che la (4.2.3) implica kxk = kyk se |x| = |y|, il che, per
y := |x|, ci d`a kxk = k |x| k.
L’esempio per noi fondamentale di reticolo di Banach `e il seguente. Sia X un reticolo di Banach separabile, con la relazione d’ordine ≤, e siaM := (Σ, E, ζ) uno spazio di misura finita. Allora lo spazio Lp(M; X), con p ∈ [1, +∞), `e a sua volta un reticolo di Banach rispetto alla relazione d’ordine (indicata ancora con ≤):
f ≤ g ⇔ f (s) ≤ g(s) per quasi ogni s ∈ Σ. (4.2.4) Ad esempio, in teoria del trasportoX `e uno spazio di funzioni L1 a valori reali (si veda la sezione 5.1) e quindi `e un reticolo di Banach indotto, tramite la (4.2.4) dall’ordinamento naturale di R. In tale spazio gli elementi del cono positivo sono quelli per cui vale l’interpretazione fisica come distribuzioni di particelle.
Veniamo adesso a un risultato che stabilisce la propriet`a di “positivit`a” dell’in- tegrale di Bochner.
Teorema 4.11 Sia X un reticolo di Banach separabile, (Ω, F, µ) uno spazio di mi- sura finita e f : Ω →X una funzione Bochner-integrabile e positiva quasi ovunque (ovvero tale che f (ω) ∈X+ per quasi ogni ω ∈ Ω). Allora
Z Ω
f (ω) dµω ∈X+.
Dimostrazione. Per il teorema 2.51 esiste una successione {ϕn} di funzioni semplici tale che kϕn(ω)−f (ω)k tende decrescendo a zero per quasi ogni ω ∈ Ω. Per la continuit`a della trasformazione x 7→ |x| si ha allora che |ϕn(ω)| tende a |f (ω)| = f (ω) per quasi ogni ω ∈ Ω. Inoltre k|ϕn(ω)|k = kϕn(ω)k ≤ kf (ω)k + kϕn(ω) − f (ω)k. Poich´e kϕn(ω) − f (ω)k decresce con n si ha quindi k|ϕn(ω)|k ≤ kf (ω)k + kϕ1(ω) − f (ω)k per ogni n e per quasi ogni ω ∈ Ω. Per il teorema della convergenza dominata (teorema 2.55), la successione degli integrali delle funzioni |ϕn| tende
all’integrale della f . Ma, fissato n, se Pm
k=0χFk(ω)xk `e una rappresentazione di
ϕn tale che gli insiemi Fk sono disgiunti, si ha che |ϕn(ω)| = n X k=0 χFk(ω)|xk| ∈X +.
Perci`o la successione degli integrali delle |ϕn| `e contenuta in X+ e dalla chiusura
diX+ segue la tesi.
Nelle definizioni di spazio vettoriale ordinato, reticolo vettoriale e reticolo di Banach, abbiamo richiesto per X la struttura di spazio vettoriale reale. Anche se questa struttura `e la pi`u naturale per elaborare la teoria dei reticoli di Banach tuttavia, come sottolineato nella sezione 2.1, l’esigenza di usare spazi di Banach complessi si presenta in modo altrettanto naturale quando si fa uso della teoria dei problemi di evoluzione. Non c’`e per`o difficolt`a ad estendere le definizioni al- la complessificazione XC di uno spazio vettoriale reale X. In particolare, si pu`o dimostrare per ogni z := x + i y ∈XC esiste
|z| := sup 0≤θ<2π
|x cos θ + y sin θ| ∈X+, (4.2.5)
e tale definizione ci permette di definire anche z+, z−∈X+, e, per ogni z
1, z2 ∈XC, anche z1∨ z2, z1∧ z2 ∈X. Con queste definizioni tutte le propriet`a formali del caso reale si conservano. Se, inoltre, XC `e la complessificazione dello spazio di Banach X, dotato della norma (2.1.8), si ha che anche in X vale la propriet`a (4.2.3) (per le dimostrazioni e per ulteriori dettagli rimandiamo a [53], cap. II, sez. 11 ).
Introduciamo ora il concetto fondamentale di operatore positivo.
Definizione 4.12 Sia X un reticolo di Banach. Un operatore lineare L in X `e detto positivo se
Lx ∈X+ per ogni x ∈D(L) ∩ X+. (4.2.6) Se L `e un operatore positivo, scriveremo L ≥ 0. Se l’operatore −L `e positivo, allora diremo che L `e negativo e scriveremo L ≤ 0. Diremo poi che L ha segno definito se `e positivo oppure negativo.
Per gli operatori positivi vale il seguente importante risultato.
Teorema 4.13 Se B `e un operatore positivo con D(B) = X, allora B ∈ [X] e kBk = sup{kBxk | x ∈X+, kxk = 1}. (4.2.7)
Dimostrazione. Si veda [53], cap. II, teorema 5.3.
SeX `e un reticolo di Banach, allora [X] ammette la relazione d’ordine
cio`e si dice che B2 `e maggiore di B1 se B2− B1 `e positivo. Tale relazione d’ordine rende [X] uno spazio vettoriale ordinato, il cui cono positivo [X]+`e l’insieme degli operatori limitati positivi. Tuttavia, in generale, [X] non avr`a la struttura di reti- colo di Banach. Per poter affermare ci`o occorrono ulteriori ipotesi su X (si veda [53], cap. IV, teorema 1.5). Osserviamo che la (4.2.8) significa che B2x − B1x ∈X+ per ogni x ∈X+.
Possiamo estendere la relazione d’ordine appena definita anche agli operatori lineari ponendo
L1≤ L2⇔ (L2− L1)x ≥ 0, x ∈D(L1) ∩D(L2) ∩X+, (4.2.9) il che ci sar`a utile soprattutto per snellire le notazioni.
In molte applicazioni della teoria dei semigruppi gli elementi dello spazio di Banach X rappresentano possibili stati di un sistema fisico. Quando lo stato `e la distribuzione di una grandezza positiva, come temperatura, densit`a di particelle o di individui di una popolazione, eccetera, solo gli elementi diX+hanno significato fisico diretto. Pertanto, se l’evoluzione del sistema `e modellizzata da un problema di evoluzione in X, le soluzioni che interessano sono quelle che, partendo da un dato iniziale inX+, rimangono inX+ in tutti gli istanti successivi. Questo significa il semigruppo di operatori che determina la dinamica deve essere un semigruppo di operatori positivi, [38].
Definizione 4.14 SiaX un reticolo di Banach. Un semigruppo continuo in senso forte S : R+→ [X] si dice positivo se S(t) ∈ [X]+ per ogni t ∈ R+.
I due lemmi seguenti saranno utilizzati nella sezione successiva.
Lemma 4.15 Sia X un reticolo di Banach e sia L ∈ G(M, β, X). Allora il semi- gruppo SL `e positivo se e solo se per ogni λ ∈ R con λ > β, l’operatore risolvente R(λ, L) ∈ [X] `e positivo.
Dimostrazione. Se, per ogni λ ∈ R con λ > β, R(λ, L) ∈ [X]+, dal teorema 2.27 e dal fatto che X+`e chiuso, segue cheSL(t) ∈ [X]+ per ogni t ∈ R+.
Viceversa, supponiamo cheSLsia positivo. Poich´e vale la (2.3.12), dal teorema 4.11 (che si estende facilmente al caso dell’integrale su [0, +∞) come limite di integrali
su intervalli finiti) segue che R(λ, L) ∈ [X]+.
Lemma 4.16 Siano G e H due operatori lineari in un reticolo di Banach X con lo stesso dominio D, e sia B ∈ [X] tale che Bx ∈ D per ogni x ∈ D. Supponiamo che G e H siano invertibili con G−1, H−1 ∈ [X]+. Allora, HB ≥ BG implica BG−1≥ H−1B.
Dimostrazione. Sia x ∈X+ e sia y ∈ D tale che x = Gy (per cui y = G−1x ∈ X+∩D). Allora (BG−1− H−1B)x = (BG−1− H−1B)Gy = By − H−1BGy. Poich´e
By ∈ D per ipotesi, possiamo scrivere By − H−1BGy = H−1(HB − BG)y. Ma H−1(HB − BG)y ≥ 0 perch´e, sempre per ipotesi, H−1 ≥ 0, e (HB − GB)y ≥ 0. Pertanto si `e dimostrato che (BG−1 − H−1B)x ≥ 0 per ogni x ∈ X+, ovvero
BG−1 ≥ H−1B.