Semigruppi deterministici

Il teorema seguente ci dice che gli operatori limitati suX possono essere riguardati come operatori deterministici limitati su Lp_X, che tale corrispondenza `e isometrica e che `e compatibile con l’operazione di composizione.

Teorema 3.15 Se B ∈ [X] allora B ∈ [Lb p_X]. Inoltre, l’applicazione J : [X] ,→ [Lp

X], J(B) :=Bb (3.4.1)

`

e un’immersione di algebre di Banach.

Dimostrazione. Per provare cheJ(B) `e un elemento di [Lp<sub>X</sub>] dobbiamo dimostra- re che D(B) = Lb p<sub>X</sub>. A questo scopo occorre intanto verificare che la funzione bBu : Ω →X `e misurabile per ogni u ∈ Lp_X. Se D `e un boreliano di X si ha (Bu)b −1(D) = {ω ∈ Ω | ( bBu)(ω) ∈ D} = {ω ∈ Ω | ( bBu)(ω) ∈ D e ( bBu)(ω) 6= B u(ω)} ∪ {ω ∈ Ω | Bu(ω) ∈ D}. Il secondo dei due insiemi dell’unione `e misurabile perch´e ω 7→ u(ω) `

e misurabile e u 7→ Bu `e continua. Il primo `e misurabile perch´e, per la definizione di bB, differisce dal secondo, che `e misurabile, per un insieme di misura nulla e noi supponiamo sempre di lavorare con σ-algebre complete (teorema 2.46).

Si ha inoltre (k bBuk_p)p= Z Ω k( bBu)(ω)kpdPω = Z Ω kB u(ω)kpdPω ≤ kBkp Z Ω ku(ω)kpdPω= kBkp(kuk_p)p,

per cui J(B) ∈ [Lp_X]. Sia {xn} una successione in X tale che kxnk = 1 per ogni n e kBxnk → kBk per n → ∞. Passando ai corrispondenti elementi deterministici di Lp_X si ha kbxnkp = 1 per ogni n (in quanto x 7→ bx `e un’isometria, come gi`a osservato) e anche (k bBx_bnkp) p₌Z Ω k( bBx_bn)(ω)kpdPω= Z Ω kB_bxn(ω)kpdPω = Z Ω kB x_n(ω)kpdPω= kBxnkp → kBkp,

per n → ∞. Perci`o k bBk = kBk e quindiJ `e un’isometria (da cui anche l’iniettivit`a). Infine ( cB1Bc<sub>2</sub>u)(ω) = B<sub>1</sub>( cB<sub>2</sub>u)(ω) = B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>u(ω) = (\B<sub>1</sub>B<sub>2</sub>u)(ω), per ogni u ∈ Lp<sub>X</sub>, ovvero J(B1B2) =J(B1)J(B2), per cuiJ `e un’immersione di algebre.  Osservazione 3.16 Se B ∈ [X], allora B = I ⊗ B. In particolare, se u =b P∞

k=0ψk⊗ xk∈ Lp_X, si ha bBu =P∞k=0ψk⊗ Bxk.

Dimostrazione. Poich´e un operatore limitato `e certamente chiuso, per l’osser- vazione 3.12 sar`a sufficiente dimostrare cheD(I⊗B) = Lp_X. Ma questo `e immediato, in quanto D(I  B) = Lp

CX e quindi, per ogni u ∈ L p

X, esiste una successione {un} contenuta in D(I  B) tale che un→ u. Inoltre, k(I  B)un− (I  B)umk_p≤ kBk ku_n− u_nk_p per cui {(I  B)un} `e una successione di Cauchy in Lp_X e dun- que tende ad un elemento w = (I ⊗ B)u di Lp_X. Pertanto u ∈ D(I ⊗ B) e quindi D(I ⊗ B) = Lp

X.

La seconda affermazione segue direttamente dal teorema 3.13.  La dimostrazione del teorema 3.15 si adatta facilmente al caso in cui B ∈ [X, Y], dove Y `e un secondo spazio di Banach. Posto Lp<sub>Y</sub> := Lp(M; Y), si ha il seguente risultato che ci sar`a utile nella sezione 5.4.

Osservazione 3.17 SianoX e Y due spazi di Banach separabili e B un operatore appartenente a [X, Y]. Se per ogni u ∈ Lp_X definiamo ( bBu)(ω) := Bu(ω), ω ∈ Ω, allora l’applicazione

J : [X, Y] ,→ [Lp

X, LpY], J(B) :=Bb (3.4.2) `

e un’immersione di spazi di Banach.

Teorema 3.18 Se L `e un operatore lineare in X di classe G(M, β, X), allora L `b e un operatore lineare in Lp_X di classe G(M, β, Lp_X) e si ha

Dimostrazione. Dimostriamo che bL ∈ G(M, β, Lp_X) applicando il teorema di Hille-Yosida.

Poich´e L `e, per ipotesi, di classeG(M, β, X), sappiamo dal teorema di Hillle–Yosida che L `e chiuso, densamente definito e, per λ > β si ha R(λ, L) ∈ [X], con

kR(λ, L)nk ≤ M (λ − β)−n, n = 1, 2, . . . , (3.4.4) dove R(λ, L) indica l’operatore risolvente (λ − L)−1. I lemmi 3.8 e 3.14 ci dicono intanto che bL `e chiuso e densamente definito.

Se poi λ > β e u ∈ D(L) le uguaglianze ( \b R(λ, L)(λ − bL)u)(ω) = R(λ, L)[(λ − b

L)u](ω) = R(λ, L)(λ − L)u(ω) = u(ω) valgono quasi certamente. Con passaggi analoghi, per ogni u ∈ Lp_X, si vede che l’uguaglianza [(λ − bL) \R(λ, L)u](ω) = u(ω) vale q. c.. Perci`o ρ( bL) contiene la semiretta reale (β, +∞) e R(λ, bL) =J(R(λ, L)) ∈ [Lp_X] per ogni λ > β.

Inoltre, la disuguaglianza (3.4.4) vale anche per R(λ, bL), come segue direttamente dal fatto che J `e un’isometria.

Si `e cos`ı provato che bL soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Hille-Yosida, con le stesse costanti M e β di L. Dunque bL ∈G(M, β, Lp_X). Dobbiamo ora dimostrare l’eq. (3.4.3).

Fissiamo t ≥ 0 e un elemento u di Lp_X. Posto Vn(t, L) := _n tR( n t, L) n , sappiamo che Vn(t, L) ∈ [X] (per n sufficientemente grande) e inoltre (per quasi ogni ω ∈ Ω) valgono le uguaglianze

lim

n→∞[J(Vn(t, L))](ω) = limn→∞Vn(t, L)u(ω) =SL(t)u(ω) = [J(SL(t))](ω), (teorema 2.27). Fissato  > 0 poi, dall’eq. (3.4.4) si ha

kJ(V_n(t, L))uk ≤ kVn(t, L)k kuk ≤ M  1 −βt n −n kuk ≤ (M eβt+ ) kuk per n sufficientemente grande. Dal teorema della convergenza dominata per l’in- tegrale di Bochner si ha quindi

lim

n→∞J(Vn(t, L))u =J(SL(t))u.

D’altra parte, dalle propriet`a di J, e dall’uguaglianza gi`a dimostrata J(R(λ, L)) = R(λ, bL) per ogni λ > β, segue subito (con notazione ovvia)

J(Vn(t, L)) = Vn(t, bL). Poich´e , infine, sempre dal teorema 2.27 si ha

lim

n→∞Vn(t, bL)u =SLb(t)u,

Osserviamo che il contenuto del teorema 3.18 si pu`o riassumere dicendo che il seguente diagramma `e commutativo per ogni t ≥ 0:

G(M, β, X) −→ˆ G(M, β, Lp_X)   yexpt   yexpt [X] −→J [Lp_X] (3.4.5)

(dove con exp_t abbiamo indicato l’applicazione che a un generatore di semigruppo L associa l’operatore limitato SL(t)).

Corollario 3.19 Nelle ipotesi del teorema 3.18, l’azione del semigruppo generato da bL `e espressa dalla formula

SLb(t) _X∞ k=0 ψk⊗ xk  = ∞ X k=0 ψk⊗SL(t)x_k, t ≥ 0. (3.4.6)

Dimostrazione. L’eq. (3.4.6) `e un’immediata conseguenza del teorema 3.18 e

del’osservazione 3.16. 

Un’altra conseguenza del teorema 3.18 `e la seguente.

Corollario 3.20 Nelle ipotesi del teorema 3.18 si ha che bL = I ⊗ L.

Dimostrazione. Fissiamo λ > β e poniamo per comodit`a di notazione R := R(λ, L). Abbiamo visto nella dimostrazione del teorema 3.18 che bR = R(λ, bL) e che bR ∈ [Lp_X]. Se u ∈ D(L), esiste w ∈ Lb p_X tale che u = bRw. Per il teorema 3.5 possiamo scrivere w =P∞

k=0ψk⊗ yk per opportuni ψke yk. Per l’osservazione 3.16 si ha allora u = bR ∞ X k=0 ψk⊗ yk  = ∞ X k=0 ψk⊗ Ryk.

Posto xk := Ryk, si ha che xk ∈ D(L) e che yk = (λ − L)xk, per ogni k ∈ N0. Allora, per ogni n ∈ N0, bL(Pn_k=0ψk⊗ xk) =

Pn

k=0ψk⊗ Lxk= Pn

k=0ψk⊗ (λxk− yk) e dunque P∞k=0ψk ⊗ Lxk = λu − w ∈ Lp_X, il che prova che bL ⊂ I ⊗ L. Essendo L chiuso, l’osservazione 3.12 ci assicura che vale l’inclusione opposta. Le

due inclusioni provano la tesi. 

Grazie al teorema 3.18 possiamo cominciare a precisare il senso della “immersio- ne” del problema di evoluzione aleatorio (3.1.1) in uno spazio di variabili aleatorie (sez. 3.1), a partire dalla versione non perturbata. Consideriamo il problema di evoluzione aleatorio nel dato spazio di Banach X:

 f_ω0(t) = Lfω(t) + qω(t), t ∈ T fω(0) = ξω,

(3.4.7) con ω ∈ Ω. Posto

e, per ogni t ∈ T,

q(t) : Ω →X, q(t)(ω) := qω(t), ω ∈ Ω (3.4.9) supponiamo che ξ ∈ Lp_Xe q(t) ∈ Lp_Xper ogni t ∈ T. All’eq. (3.4.7) associamo allora un problema di evoluzione nello spazio Lp_X, dove L `e sostituito da bL e dove ξω e qω(t) sono sostituiti da ξ e q(t):

(

f0(t) = bLf (t) + q(t),

f (0) = ξ. (3.4.10)

Come corollario dei teoremi 3.18 e 2.25 abbiamo che (3.4.10) ha soluzione se L genera semigruppo (suX), ξ ∈ D(L) se il termine di sorgenteb

q : T → Lp_X, q 7→ q(t) (3.4.11)

`

e regolare. Possiamo dunque enunciare il seguente

Teorema 3.21 Supponiamo che L ∈G(M, β, X), per opportune costanti β ∈ R e M ≥ 1, e che q : T → Lp_X sia regolare, nel senso della definizione 2.24. Allora, se ξ ∈D(L), l’equazione (3.4.10) ha un’unica soluzione f : T → Lb p_X e vale la seguente formula

f (t)(ω) =SL(t)ξω+ Z t

0

SL(t − s)qω(s) ds, q. c. ω ∈ Ω, (3.4.12) per ogni t ∈ T (dove SL `e il semigruppo su X generato da L).

Dimostrazione. Per il teorema 3.18 si ha che bL ∈ G(M, β, Lp_X) e quindi dal teorema 2.25 segue che 3.4.10 ha un’unica soluzione data, per ogni t ∈ T, dalla formula f (t) :=S b L(t)ξ + Z t 0 SLb(t − s)q(s) ds. (3.4.13) Ora fissiamo t ∈ T. Dal teorema 3.18 , dalla definizione (3.4.8) e dall’ipotesi ξ ∈D(L) segue cheb

SLb(t)ξ =SL(t)ξω q. c. ω ∈ Ω. (3.4.14) Consideriamo poi la funzione g : T → Lp_X, g(s) :=S

b

L(t − s)q(s). Osserviamo che si pu`o applicare il teorema 2.60 con Σ = [0, t], dove (Σ, E, η) `e la struttura standard di spazio di misura data dalla misura di Lebesgue su [0, t], e con M = (Ω, F, P). Allora esiste una funzione g(s, ω), misurabile, Bochner-integrabile rispetto a s per quasi ogni ω ∈ Ω, e tale che

a) g(s, ω) = g(ω) per quasi ogni (s, ω) ∈ [0, t] × Ω, b) Z t 0 g(s, ω) ds = hZ t 0 g(s) ds i (ω) per q. c. ω ∈ Ω.

Ma allora dal teorema 3.18, dall’eq. (3.4.14) e dalle definizioni (3.4.9) e (3.4.11) segue hZ t 0 SLb(t − s)q(s) ds i (ω) = Z t 0 [S b L(t − s)q(s)] (ω) ds = Z t 0 SL(t − s)q(ω) ds = Z t 0 SL(t − s)qω(t) ds. q. c. ω ∈ Ω

Tale uguaglianza, insieme all’(3.4.14), prova la (3.4.12).  La formula (3.4.12) ci dice che la soluzione f di (3.4.10) ha la forma di una famiglia di soluzioni mild del problema (3.4.7) parametrizzate da ω.

Corollario 3.22 Nelle ipotesi del teorema 3.21, e definita per ogni ω ∈ Ω la funzione

fω: T →X, fω(t) := f (t)(ω), t ∈ T, (3.4.15) dove f `e la soluzione stretta di (3.4.10), fω `e quasi certamente soluzione mild di (3.4.7).

Dimostrazione. Per il teorema 2.60, qω `e quasi certamente integrabile in [0, t] per ogni t ∈ T in quanto q lo `e. Dunque fω, per definizione, `e quasi certamente soluzione mild di (3.4.7) (si veda la sezione 2.3).  In generale, tuttavia, non `e vero che per ogni (o quasi ogni) ω ∈ Ω la fω sar`a una soluzione stretta di (3.4.7). Per poter dire ci`o sono necessarie ulteriori ipotesi di regolarit`a su q che ci assicurino che qω soddisfi quasi certamente le condizioni del teorema 2.25 (non `e detto infatti che, se q `e una sorgente regolare in Lp_X, ogni qω sia una sorgente regolare in X).

La stessa strategia deve ora essere applicata all’equazione completa (3.1.1). Allo stesso modo in cui all’operatore lineare L `e stato associato in modo canonico un operatore bL, si dovr`a ora associare all’operatore aleatorio J (ω) un opportuno operatore su Lp_X.