R) e Superior Frontal (L) e Isthmus Cingulate(R).
Figura 5.6: Confronto dei valori di centralit`a tra soggetti sani ed amputati all’in- terno dei moduli della rete di connettivit`a funzionale dei soggetti sani. La stella indica le aree dove sono state riscontrate differenze significative.
I risultati sulla misure di segregazione e di centralit`a, sia di confronto tra i due emisferi che in relazione ai soggetti di controllo, suggeriscono che i soggetti amputati presentano una connettivit`a funzionale modificata pri- mariamente a livello delle aree sensitivo-motorie, e che questa alterazione si ripercuota a livello funzionale su tutta la rete cerebrale, secondo modelli di plasticit`a cerebrale da valutare su un numero pi `u ampio di pazienti.
5.2
Integrazione
Le analisi dirette delle alterazioni di connettivit`a, funzionale e strutturale, hanno fornito risultati diversi, mostrando una connettivit`a strutturale pre- servata e invece notevoli differenze a livello di connettivit`a funzionale tra soggetti sani e amputati. ´E stato allora pensato di analizzare la connettivit`a funzionale all’interno dei moduli strutturali fornendo in questo modo, a livello di gruppo, delle possibili misure di integrazione.
L’idea nasce dall’osservazione che i moduli delle reti strutturali per i sog- getti amputati e per quelli sani sono sovrapponibili. Pertanto l’analisi dei
62 Applicazione del metodo di analisi su un modello di patologia valori di centralit`a, a partire dai dati funzionali ma effettuata su moduli strutturali, pu `o dare informazioni sul diverso ruolo che assumono i nodi all’interno degli stessi moduli. Ovvero il confronto di tali misure di inte- grazione tra i due gruppi di soggetti pu `o permettere di rivelare differenze del ruolo funzionale assunto da ciascun’area in reti che strutturalmente ri- mangono inalterate dalla patologia.
A partire quindi dai moduli strutturali, le misure di centralit`a con i dati funzionali portano ad osservare le seguenti differenze (Fig.5.7):
• Modulo 1: Posterior Cingulate (L), Postcentral (L).
• Modulo 2: Lateral Occipital (L), Pars Orbitalis (L) e Insula (L). • Modulo 3: Middle Temporal (R).
• Modulo 4: Caudal Middle Frontal (R), Pars Orbitalis (R), Trasverse Temporal (R).
Figura 5.7: Confronto dei valori di centralit`a funzionale tra soggetti sani ed amputati all’interno dei moduli della rete di connettivit`a strutturale.
Questo risultato `e complementare a quello discusso nel paragrafo prece- dente in quanto tramite queste misure di integrazione `e possibile osservare all’interno di moduli strutturali immutati una alterazione della connettivit`a funzionale in termini di centralit`a dei nodi. In particolare si osserva una diminuzione statisticamente significativa della centralit`a del Postcentral di
5.2 Integrazione 63 sinistra nei soggetti amputati rispetto ai controlli (z = −0.58 e z = 0, 07 rispettivamente), ad indicare che l’area deputata al movimento della mano destra perde il suo ruolo di centralit`a all’interno di un modulo strutturale comunque inalterato.
Conclusioni
In questo lavoro di tesi le reti cerebrali, strutturali e funzionali, sono state rappresentate e studiate in termini di reti complesse. In particolare `e sta- to implementato un metodo di analisi valutato, dapprima, su un gruppo di soggetti sani e, successivamente, su un modello di patologia: soggetti destrimani che hanno subito l’amputazione dell’arto superiore destro. In tale patologia, l’anatomia cerebrale `e preservata ma sono attese alterazioni ultrastrutturali legate alla funzione.
La costruzione delle reti si `e basata su tecniche di MRI. Per la rete di con- nettivit`a strutturale, le connessioni di struttura anatomica sono state deter- minate utilizzando la tecnica a pesatura in diffusione (DWI) e la tecnica di ricostruzione della Constrained Spherical Deconvolution (CSD). L’analisi ha riguardato il preprocessing delle immagini ed il calcolo degli invarianti di diffusione fino alla estrazione della trattografia.
Lo studio della connettivit`a funzionale, invece, `e stato basato sull’acqui- sizione e l’analisi di dati di Resting State Functional Magnetic Resonance Imaging (RS-fMRI). Come per il caso strutturale, la pipeline dell’analisi dei dati fMRI ha riguardato tutta la fase di preprocessing e la costruzione della rete di connettivit`a funzionale.
Le reti cerebrali sono state ottenute sia a livello di singolo soggetto, che per i due gruppi di soggetti menzionati. Per l’analisi di gruppo sono state valutate due diverse tecniche ed `e stata poi scelta quella che `e risultata pi `u riproducibile anche nel caso di un gruppo ristretto di soggetti.
Tramite l’applicazione della teoria dei grafi sulle reti cerebrali dei due gruppi, sono state effettuate misure di segregazione che hanno individuato strutture modulari (moduli) all’interno delle reti e misure di centralit`a che hanno permesso di capire quali fossero i nodi con maggiore importanza all’interno dei moduli stessi.
I moduli delle reti di connettivit`a strutturale e funzionale presentano del- le diversit`a che rispecchiano i diversi aspetti della connettivit`a cerebrale. Questa loro caratteristica rende difficile prevedere il comportamento di una delle due connettivit`a a partire dalle informazioni sull’altra.
Servendosi dei valori di centralit`a, l’analisi delle connessioni strutturali e funzionali dei soggetti sani ha permesso di identificare la sostanziale sim-
65 metria dei due emisferi, unitamente all’osservazione di differenze relative a particolari regioni cerebrali che risultano lateralizzate nei soggetti adulti. In aggiunta, per la rete di connettivit`a strutturale sono stati ricavati i con- nector hubs che hanno il compito di favorire l’interazione inter-modulare. Lo studio dei soggetti amputati ha evidenziato che, a livello strutturale, non sussistono differenze con i soggetti sani mentre, dal punto di vista funzio- nale, l’analisi evidenzia che i soggetti amputati presentano una connettivit`a funzionale modificata primariamente a livello delle aree sensitivo-motorie e che questa alterazione si ripercuote a livello funzionale su tutta la rete cerebrale. Sfruttando il fatto che la connettivit`a strutturale rimane inalte- rata nei soggetti amputati, `e stata poi analizzata la connettivit`a funzionale all’interno dei moduli strutturali, fornendo in questo modo misure di inte- grazione a livello di gruppo. ´E stato, quindi, possibile osservare all’interno di moduli strutturali una alterazione della connettivit`a funzionale in termi- ni di centralit`a dei nodi.
Quelli ottenuti sono risultati preliminari di applicazione del metodo svi- luppato e implementato nella tesi a un particolare modello di patologia, limitati dal numero di soggetti studiati. Tali risultati sono incoraggianti sulla sensibilit`a del metodo nell’osservare differenze di connettivit`a cere- brale e, quindi, sulla possibile applicabilit`a dello stesso a diversi model- li di patologia in cui siano attese alterazioni anche in presenza di danni strutturali.
Appendice A
Principi fisici ed Imaging in
Risonanza
La Risonanza Magnetica Nucleare (RMN) `e un fenomeno fisico scoper- to,indipendentemente, nel 1945, da Bloch [46] e Purcell [47], ai quali, nel 1952, fu assegnato il premio Nobel per la Fisica. Essi studiarono, con nuclei magnetici come1H e31P, il moto di precessione degli spin nucleari immer- si in un campo magnetico.
In questa appendice verranno dapprima introdotti i principi fisici e le carat- teristiche della Risonanza Magnetica Nucleare. Nell’ultima parte, invece, si analizzer`a come si forma l’immagine in Risonanza (MRI, Magnetic Re- sonance Imaging). Un’analisi pi `u approfondita dell’argomento si trova sul testo di Haacke [48].
Nucleo in un campo magnetico statico
Per aiutare nella comprensione della risonanza magnetica, gli argomenti saranno trattati dal punto di vista classico.
Consideriamo un un nucleo con spin~S proporzionale al momento magne- tico~µ
~µ =γ~S (A.1)
con γ fattore giromagnetico definito come:
γ =g q
2m (A.2)
dove g `e il fattore di Land`e mentre q ed m sono rispettivamente la carica e la massa del nucleo.
Supponiamo di porre il nucleo all’interno di un campo magnetico statico
~
B0 = B0ˆz, questo eserciter`a un momento torcente sul nucleo del tipo N~ =
67
~µ× ~B0 che tender`a ad allineare il sistema lungo la direzione del campo esterno. Un momento torcente non nullo implica una variazione dello spin
d~S
dt = ~µ× ~B0 (A.3)
Data la proporzionalit`a tra~S e~µespressa dalla (A.1), l’equazione del moto
per il nucleo `e:
d~µ
dt =γ~µ× ~B0 (A.4)
Moltiplicando scalarmente la precedente equazione una volta per~µ e una
per B~0, si ottiene rispettivamente: d dt (~µ) 2 = 0 (A.5) d dt ~µ· ~B0 =0 (A.6)
da cui si osserva che~µ evolve con modulo costante mantenendo un angolo
fisso con B~0.
Per ricavare la velocit`a angolare di precessione di~µ attorno a B~0, si consi- deri, facendo riferimento alla Fig. (A.1), la relazione:
|d~µ| = µsin θ d~φ
(A.7)
Inoltre, dalla (A.4) deriva che
|d~µ| = γµB0sin θdt (A.8)
Confrontando, quindi, la (A.7) e la (A.8), si ricava la relazione per la velocit`a angolare di precessione, che prende il nome di frequenza di Larmor
ω0 = d~φ dt =γB0 (A.9)
che esprime la dipendenza di ω0in termini del campo magnetico applicato e dalle caratteristiche del nucleo (γ).
In forma vettoriale la (A.9) si riscrive come ω~0 = −ω0ˆz = −γB0ˆz, dove il segno meno sta ad indicare che la rotazione `e oraria.
Interazione con il campo a radiofrequenza
Assumiamo ora di aggiungere al campo staticoB~0un campo B~1(t)polariz- zato circolarmente sul piano xy perpendicolare a B~0:
~
68 Principi fisici ed Imaging in Risonanza
Figura A.1: Moto di precessione del momento magnetico attorno alla direzione del campo magnetico staticoB~0.
L’equazione del moto per il nucleo diventa: d~µ dt =γ~µ× h ~ B0+ ~B1(t) i . (A.11)
Per ottenere un’espressione di precessione simile alla (A.4), si passa ora ad un sistema rotante(x0, y0, z0)con velocit`a angolare ω rispetto alla direzione del campo statico B0 (Fig.A.2).
Figura A.2: CampoB~1(t)e sistema di coordinate statico e rotante
Definendo con~µ0 il momento magnetico nel nuovo sistema di riferimento,
l’equazione del moto diventa: d~µ0
dt = d~µ
69 la quale, utilizzando la (A.11), si trasforma in:
d~µ0 dt = ~µ× ∆ω ˆz−ω1ˆx0 (A.13) dove∆ω =ω−ω0e ω1 =γB1. La (A.13) pu `o essere riscritta come:
d~µ0 dt =γ~µ× ~Be f f (A.14) dove ~Be f f = ω γ −B0 ˆz+B1xˆ0 = 1 γ ∆ω ˆz−ω1ˆx0 (A.15) L’equazione (A.14) suggerisce che, nel sistema di riferimento rotante, `e possibile descrivere il moto del nucleo come una precessione attorno al campo magnetico efficace~Be f f (Fig.A.3).
Figura A.3: Moto di precessione del momento magnetico attorno alla direzione del campo magnetico statico~Be f f
Quando la frequenza di rotazione ω `e uguale alla frequenza di Larmor ω0 si parla di condizione di risonanza e la (A.14) diventa:
d~µ0
dt = ~µ×ω1ˆx
0
(A.16) con~Be f f diretto totalmente lungo l’asse ˆx0.
In risonanza magnetica il campo B1, a differenza del campo B0 che `e co- stante, viene applicato per un tempo finito τ. Questo comporta che, nella condizione di risonanza, il momento magnetico compie una rotazione at- torno ad ˆx0 di un angolo pari a ∆θ =ω1τ che prende il nome di flip angle.
70 Principi fisici ed Imaging in Risonanza I campi magnetici B0 utilizzati sono dell’ordine del Tesla, per cui, per ri- spettare la condizione di risonanza, il campo B1 deve oscillare con una fre- quenza che si trova nella banda delle radiofrequenze (Tab. A.1). Quindi, per indicare il campo magnetico oscillante utilizzato in risonanza magnetica, si parla di impulso RF.
Tabella A.1: Valori di γ per diversi nuclei. Con campi dell’ordine del Tesla, il prodotto tra γ e B0 restituisce un valore della frequenza di Larmor nella banda
delle radiofrequenze.
Magnetizzazione
Consideriamo ora un sistema composto da molti spin. Si definisce Magne- tizzazione la quantit`a: ~ M = 1 V N
∑
i ~µi (A.17)che corrisponde alla somma di tutti i momenti magnetici per unit`a di volume. Derivando rispetto al tempo la (A.17), si ottiene:
dM~
dt =γM~ × ~Bext (A.18)
Nella trattazione classica della Risonanza Magnetica (RM) si usa scomporre la magnetizzazione nelle sue componenti longitudinali M~ k e trasverse M~ ⊥:
~
Mk =Mzˆz (A.19)
~
M⊥ =Mxˆx+Myˆy (A.20)
Rilassamento longitudinale
Si consideri la magnetizzazione nella sua condizione di equilibrio: all’equi- librio un sistema di spin avr`a la magnetizzazione diretta lungo la direzione
71 del campo magnetico statico (M0). Si supponga che la magnetizzazione sia perturbata, dalla sua condizione di partenza, da un impulso a Radiofre- quenza. Una volta che l’azione della perturbazione si esaurisce, il sistema tender`a a ritornare alla sua condizione di equilibrio. Il processo tramite il quale si ha questo rilassamento `e legato al fatto che il sistema di spin, a causa della perturbazione, acquisisce energia. Considerando che ogni si- stema tende a ritornare al suo stato di minima energia, il sistema di spin ceder`a energia all’ambiente in cui `e immerso e torner`a alla sua condizione di equilibrio (interazione spin-reticolo).
Definendo con Mz(0)il valore della magnetizzazione dopo lo spegnimento della perturbazione, questo processo viene descritto dall’equazione:
dMz dt =
Mz−M0 T1
(A.21) dove T1 `e il parametro caratteristico del mezzo in cui `e immerso il sistema e prende il nome di tempo di rilassamento longitudinale spin-reticolo. Risolvendo la (A.21) si trova: Mz(t) = Mz(0)e − t T1 +M0 1−e−T1t (A.22) In FiguraA.4 viene mostrato l’andamento della magnetizzazione longitu- dinale. Dalla Figura si pu `o ipotizzare che dopo un tempo maggiore a 3T1 la magnetizzazione longitudinale ritorna al suo valore di equilibrio M0.
72 Principi fisici ed Imaging in Risonanza
Rilassamento trasversale
Supponiamo che la magnetizzazione, sotto l’effetto di un impulso con flip angle π/2, sia portata dall’asse z sul piano xy (FID, Free Induction Decay). In aggiunta al fenomeno del rilassamento longitudinale, bisogna tener conto del fatto che ogni spin sente un campo locale appena diverso da quello degli altri poich´e al campo esterno si aggiungono i campi prodotti dagli spin vicini. Questo comporta che, una volta spenta la perturbazione, gli spin, inizialmente diretti tutti nello stesso verso, inizieranno a sfasarsi tra loro (Fig.A.5). Questo fenomeno prende il nome di interazione spin-spin che viene descritto tramite il suo tempo caratteristico T2(rilassamento spin-spin).
Figura A.5: Le figure in alto ed in basso mostrano, rispettivamente, il comporta- mento dei momenti magnetici e della magnetizzazione subito prima e subito dopo l’applicazione di un impulso π/2. Il sistema di riferimento in cui viene descritto il fenomeno `e quello del laboratorio.
A causa dello sfasamento, il decadimento della componente trasversale della magnetizzazione risulta pi `u veloce del recupero della componente longitudinale. In particolare, il comportamento di M~k `e descritto da:
∂M~k ∂t =γ ~ Mk× ~Bext− ~ Mk T2 (A.23) che, nel sistema di riferimento rotante, diventa:
∂M~k ∂t = − ~ Mk T2 (A.24)
73 con soluzione: ~ Mk = ~Mk(0)e − t T2 (A.25)
Per cui si osserva che la componente trasversa della magnetizzazione ritor- na al suo valore iniziale secondo un decadimento esponenziale (Fig. A.6). Se si considerano anche le disomogeneit`a del campo esterno, si osserva che anch’esse contribuiscono a velocizzare il decadimento della componente trasversale della magnetizzazione. Detta T20 la costante di tempo di rilassa- mento trasversale dovuta a tale disomogeneit`a, viene definito un tempo di rilassamento T2∗ come: 1 T2∗ = 1 T2 + 1 T20 (A.26)
Figura A.6: Rilassamento trasversale della magnetizzazione.
Equazione fenomenologica di Bloch
L’equazioni fenomenologiche di Bloch furuno introdotte da F. Bloch nel 1946 [49] per descrivere l’esperimento di Risonanza Magnetica ed in parti- colare il rilassamento nel tempo del vettore magnetizzazioneM in presenza~ di un campo magnetico esterno~Bext. Nel caso di campo magnetico statico B0ˆz, la sua espressione `e:
dM~ dt =γM~ × ~Bext+ (Mz−M0) ˆz T1 − M~ ⊥ T2 (A.27)
74 Principi fisici ed Imaging in Risonanza che, nelle tre componenti ortogonali, diventa:
dMz dt = Mz−M0 T1 dMx dt =ω0My− Mx T2 dMy dt = −ω0Mx− My T2 (A.28)
dalla cui risoluzione si ottiene: Mz(t) = Mz(0)e− t T1 +M0 1−e−T1t Mx(t) = e − t T2 Mx(0)cos(ω0t) +My(0)sin(ω0t) My(t) = e− t T2 My(0)cos(ω0t) −Mx(0)sin(ω0t) (A.29)
Si nota, quindi, che le componenti trasversali hanno un andamento sinu- soidale smorzato da un esponenziale decrescente. Lo stato di equilibrio si ha per t →∞:
Mx(∞) = My(∞) =0 Mz(∞) = M0
(A.30) La componente trasversa, inoltre, pu `o essere riscritta nella forma comples- sa: M+(t) = Mx(t) +iMy(t) M+(t) = |M+(t)|eiφ(t) =M⊥(t)eiφ(t) (A.31) dove: M⊥(t) = e − t T2M⊥(0) φ(t) = −ω0t+φ(0) (A.32) Per perturbare la magnetizzazione dalla sua condizione di equilibrio, `e necessario aggiungere un impulso a Radiofrequenza, B1~(t), al campo ma- gnetico statico (~Bext = ~B0+B1~(t)). L’equazione di Bloch, nel sistema di riferimento rotante, diventa:
dM0z dt = −ω1M 0 y+ Mz0 −M0 T1 dMx dt =∆ωM 0 y− M0x T2 dMy0 dt = −∆ωM 0 x+ω1M0z− My0 T2 (A.33)
75 la cui soluzione `e descritta da:
Mz0 = M0 1+ (∆ωT2)2 1+ (∆ωT2)2+γ2B12T1T2 M0x = M0γB1∆ωT 2 2 1+ (∆ωT2)2+γ2B12T1T2 M0y = M0γB1T2 1+ (∆ωT2)2+γ2B12T1T2 (A.34)
Ricezione del segnale RM
Il segnale misurato in risonanza magnetica nasce dalla rivelazione di una forza elettromotrice indotta all’interno di una bobina ricevente. Essa si ge- nera per effetto della variazione di flusso di campo magnetico, attraverso la bobina, dovuta alla rotazione della magnetizzazione del campione. Per ricavare la forza elettromotrice, si fa uso del principio di reciprocit`a il quale afferma che: il flusso del campo magnetico che attraversa la bobina durante la fase di ricezione a seguito di una certa magnetizzazione rotante `e uguale all’integrale del campo generato dalla stessa bobina per unit`a di corrente attraverso il volume occupato dalla suddetta magnetizzazione. Si supponga di avere un campione, immerso all’interno di un campo ma- gnetico statico diretto lungo z, a cui viene applicato un impulso a Radio- frequenza che lo perturba facendo ruotare la magnetizzazione M nel piano~ xy. Grazie ad una bobina orientata nel piano xy si `e in grado di rilevare il segnale generato dal rilassamento diM. La bobina che si utilizza in questo~ tipo di esperimento pu `o essere la stessa che ha generato l’impulso.
Dalla legge di Faraday, la forza elettromotrice, indotta sulla bobina dalla variazione del flusso del campo magnetico, `e data da:
f.e.m = − d
dtφB (A.35)
dove φB `e il flusso che pu `o essere riscritto in termini del potenziale vettore A tramite il Teorema di Stokes:
φB = Z coil ~B·d~S=Z coil ~ ∇ × ~A·d~S = I ~ A·dl (A.36)
Sostituendo in (A.36) l’espressione per il potenziale vettore A generato in~ ~r da una magnetizzazione M posta in~ ~r0, data da:
~ A(~r) = µ0 4π Z d3r0∇~ 0× ~M(~r0) |~r− ~r0| (A.37)
76 Principi fisici ed Imaging in Risonanza con µ0 permeabilit`a magnetica, si trova:
φB = I µ0 4π Z sampled 3r0∇~0× ~M(~r0) |~r− ~r0| ! ·dl = Z d3r0M~ (~r0) × ~∇0 µ0 4π I dl |~r− ~r0| ! (A.38)
dove il termine tra parenesi `e il potenziale vettore generato dalla bobina nel punto~r0 quando questa `e percorsa da una corrente I unitaria:
~
A(~r0) = µ0
4π
I Idl
|~r− ~r0| (A.39)
Definendo con~Br il campo magnetico per unit`a di corrente prodotto dalla bobina nel punto~r0:
~ Br = ~ B0r I = ~ ∇0× ~A(~r0) I = µ0 4π I ∇~0×dl |~r− ~r0| (A.40) la (A.38) diventa: φB = Z sample ~ M(~r, t) · ~Br d3r (A.41)
e quindi, dalla (A.35), la forza elettromotrice `e: f.e.m= − d dt Z sample ~ M(~r, t) · ~Br d3r (A.42)
Il segnale risultante `e proporzionale alla f.e.m ed in particolare alla magne- tizzazione trasversa:
s(t) ∝
Z
d3rM⊥(~r, 0)eiφ(~r,0) (A.43)
Sostituendo la M⊥, ottenuta tramite l’equazione di Bloch, nella (A.43),
`e possibile conoscere la dipendenza del segnale dai parametri fisici del sistema ed in particolare dalla densit`a di spin contenuta in M0.
Imaging e gradienti di campo magnetico
Lo scopo dell’imaging `e quello di differenziare spazialmente le informazio- ni ottenibili con un esperimento di RM, ovvero informazioni sulla distri- buzione spaziale dei protoni e delle propriet`a dei tessuti secondo i tempi di rilassamento. Poich´e nuclei identici precedono in maniera diversa se
77 sentono un campo magnetico diverso, la distribuzione spaziale locale degli spin pu `o essere determinata dalle frequenze contenute nel segnale RM. L’i- dea di base `e utilizzare dei campi magnetici, che variano linearmente nello spazio, in aggiunta al campo statico omogeneo. Questi campi prendono il nome di gradienti di campo magnetico e possono essere rappresentati da
(~G(~r)). Si applica un gradiente per ciascuna delle tre dimensioni spaziali ˆx, ˆy e ˆz. Ognuno dei gradienti ha un’ampiezza dell’ordine dei 50 mT m−1 molto inferiore rispetto a B~0. Inoltre, i gradienti variano linearmente lungo la rispettiva direzione di applicazione:
~B(~r) = ~B0+~r· ~G(~r) (A.44)
In questo modo, la frequenza di precessione dipende linearmente dal cam- po magnetico:
ω(~r) = ω0+γ~r· ~G(~r) (A.45)
Se il gradiente rimane acceso per un tempo τ, gli spin acquistano una differenza di fase dipendente dalla posizione:
∆φ(~r) = γ~r· ~G(~r)τ (A.46)
La localizzazione delle sorgenti di segnale avviene attraverso tre diversi step:
• Selezione della Fetta (Slice Selection);
• Codifica in Frequenza (Frequency Encoding); • Codifica in Fase (Phase Encoding).
Slice Selection
Il primo passo da compiere, quando si vuole creare un’immagine bidimen- sionale di un campione, `e quello di selezionarne una fetta (slice). La sele- zione avviene attraverso l’utilizzo di un gradiente di campo (slice gradient) diretto lungo la direzione del campo magnetico statico che, utilizzando le stesse notazioni del capitolo precedente, coincide con l’asse positivo z (Fig.A.7). La combinazione tra il campo statico ed il gradiente genera un campo magnetico dipendente da z:
~B(z) = B0+Gzz (A.47)
La selezione di nuclei situati su un piano ad un’altezza z∗, viene fatta attra- verso un impulso a Radiofrequenza con una frequenza di eccitazione che corrisponder`a a:
78 Principi fisici ed Imaging in Risonanza
Figura A.7: Selezione di una fetta con il campo magnetico statico e direzione testa-piedi del paziente diretti lungo l’asse z.
L’impulso a Radiofrequenza ha una banda in frequenza finita che pu `o esse- re pi `u o meno larga. Questo significa che il piano selezionato non `e esatta- mente bidimensionale, ma si tratta piuttosto di una fetta con uno spessore finito dipendente dalla larghezza di banda:
∆ωRF =γGz∆z (A.49)
Per variare la posizione della fetta selezionata e il suo spessore, si varia Gz o ωRF. La fetta `e tanto pi `u sottile quanto maggiore `e la pendenza di G. Di conseguenza, maggiore sar`a G pi `u stretta sar`a la banda RF.
La variazione di Gz, per `o, `e limitata da fattori strumentali che comportano un limite intrinseco alla larghezza della banda RF e quindi alla risoluzione spaziale lungo z. Una soluzione alla scarsa definizione del profilo della fetta consiste nell’utilizzare una funzione sinc(t) = sin(t)/t, limitata nel tempo, per modellare l’impulso a Radiofrequenza. Lo spettro in frequenza della sinc ha la forma di un onda quadra (rect) che garantisce una eccita- zione uniforme per tutti i nuclei all’interno della fetta selezionata.
Assumendo che il campo magnetico statico abbia la stessa direzione testa- piedi del paziente sotto esame, si hanno diversi piani dell’immagine a se- conda della direzione del gradiente di selezione della fetta. Se la direzione del gradiente `e testa-piedi si parla di piano assiale, se `e destra-sinistra si parla di piano sagittale, se `e fronte-retro si parla di piano coronale.
79
Frequency Encoding
Dopo aver selezionato la fetta, creando una magnetizzazione trasversa coe-