Interdipendenza delle valutazioni

Chiamato anche a valori privati affiliati, il modello con valutazioni interdipendenti, è intermedio ai modelli IPV e CV, ed è il terzo sotto caso del modello generale. È contraddistinto dagli altri due per la strategia ottima che può essere influenzata dai giudizi altrui, ci riferiamo, come nel modello generale, all’ipotesi di affiliazione delle variabili casuali.

L’affiliazione viene esplicitata nelle assunzioni A7 e A4 relativamente alla forma che la funzione di valutazione assume. L’ipotesi di affiliazione può essere ad esempio spiegata quando un partecipante valuta l’oggetto come prezioso, pertanto ritiene più probabile che gli avversari diano al bene un valore alto piuttosto che basso. Le valutazioni dipendono dalle informazioni private del bene che i partecipanti posseggono e dalle informazioni disponibili all’esterno, ci riferiamo al banditore o nelle aste orali dagli avversari. I partecipanti modificheranno la loro valutazione privata del bene nel momento in cui entrano in possesso delle informazioni prima sconosciute, ovvero quelle esterne. Questo modello è molto utilizzano nelle aste di opere d’arte, poiché ogni partecipante

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stabilisce un valore all’oggetto anche sulla base delle valutazioni effettuate dagli altri acquirenti.

Consideriamo due tipi di correlazione del modello: 1. Correlazione tra le valutazioni:

la valutazione del bidder i, ∀𝑖 ∈ 𝑁 è funzione delle caratteristiche private degli avversari {𝑋_𝑗}

𝑗≠𝑖, individuate in un vettore(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛).

Tale formulazione indica l’influenzabilità, infatti, se si potesse conoscere i giudizi degli avversari tutti adeguerebbero la valutazione agli alti.

2. Correlazione tra le credenze:

la valutazione 𝑉_𝑖 è indipendente dai segnali degli avversari {𝑋_𝑗}

𝑗≠𝑖,

mentre i segnali 𝑋_𝑖, ∀𝑖 ∈ 𝑁 sono le variabili casuali affiliate. Quindi la funzione di densità congiunta conosciuta da tutti lega i segnali dei diversi bidders dando la possibilità di individuare qual è la tipologia d’asta per questo modello che genera un profitto atteso maggiore per il venditore, ci riferiamo al Revenue Ranking Theorem (RTT).

Le condizioni necessarie per la valenza del RTT sono dunque l’ipotesi di affiliazione tra i segnali dei partecipanti, ovvero credenze interdipendenti, che permette la caduta del RET, e l’indipendenza delle valutazioni.

Il modello a valori privati interdipendenti, presenta quindi due tipi di correlazione una delle quali ha importanti peculiarità rispetto al modello generale. Ci riferiamo all’ultimo caso suddetto in cui, le valutazioni dei bidders nonostante siano tra loro affiliate risultano indipendenti dagli eventi esogeni comuni, ogni valutazione sarà quindi privata.

Nel proseguo ci riferiremo al modello tenendo conto della correlazione delle credenze chiamandolo LBB, linkage beetween beliefs. L’indipendenza delle valutazioni risulta irrilevante allo scopo.

Assunzioni del modello generale, con modifiche qui discusse: A1 esiste un unico bene in vendita

A2 il venditore neutrale al rischio massimizza il profitto atteso dall’asta.

Il profitto atteso è dato dalla differenza tra prezzo atteso di aggiudicazione e la valutazione personale del bene, Vᵥ.

E(πᵥ) = E(P) - Vᵥ

A3 Il numero dei partecipanti all’asta è dato dall’insieme N = {1,…,n} con n≥2 fisso e noto a tutti.

i) I bidders sono neutrali al rischio

ii) Massimizzano il profitto atteso dall’asta

∀𝑖 ∈ 𝑁, E(πᵢ) = {𝐸[𝑉𝑖 − 𝑃] 𝑠𝑒 𝑖 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒

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Dove Vᵢ indica il valore dell’oggetto per il bidder i.

Il profitto atteso per il maggior offerente sarà quindi dato da: 𝐸[𝜋ᵢ] = 𝐸[(𝑉𝑖 − 𝑃)|𝑏ᵢ > max 𝑏_𝐽,∀𝑗 ≠ 𝑖; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁] Con bᵢ l’offerta del bidder i.

iii) La funzione di valutazione del bidder i dipende da:

o Stime personali di valore o segnali, che variano in base alle caratteristiche degli agenti, rappresentate nel vettore n- dimensionale 𝑋 = {𝑋₁, … , 𝑋_𝑛}. In questo caso le stime degli avversari sono ignote. Il vettore con i segnali ignoti al bidder i è dato da:{𝑋_𝑗}

𝑗≠𝑖 = {𝑋1, … , 𝑋𝑖−1, 𝑋1+𝑖, … , 𝑋𝑛}. Dove 𝑛 − 1 indica

gli avversari.

𝑉ᵢ = 𝑢ᵢ(𝑋) [1.1]

La valutazione personale dipende quindi sia da sé stesso che dagli avversari. Le valutazioni risultano quindi collegate da un rapporto di reciproca interdipendenza

A4 Dalla [1.1] si ricava

∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑉ᵢ = 𝑢[𝑋ᵢ, 𝑋_−𝑖] [1.2]

dove la funzione u gode delle stesse proprietà della funzione di utilità con

𝑢 ∈ 𝑅𝑛+𝑚 _{, non negativa, continua e non decrescente in ogni argomento.}

Si assume inoltre:

∀𝑖 ∈ 𝑁 𝐸[𝑉ᵢ] < ∞

La funzione di valutazione gode dalla [1.2] della proprietà della simmetria rispetto alle sue variabili per cui che ogni valore attributo al bene dipende in modo simmetrico dai segnali di valore osservati dagli avversari. Le variabili esogene non influenzano la funzione, 𝑆 = 0 , come per il modello IPV, gli eventi esogeni non influenzano le valutazioni dei partecipanti.

A5 Ogni soggetto considera la realizzazione di una variabile casuale continua

con dimensione 𝑛

(𝑥₁, … , 𝑥_𝑛)

A cui si riferisce la funzione di densità congiunta, nota e comune a tutti i partecipanti:

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La valutazione attesa del bene condizionata dal segnale che ciascun partecipante osserva può essere quindi definita come:

𝐸[𝑉_𝑖|𝑋_𝑖 = 𝑥_𝑖, 𝑌_𝑖 = 𝑦_𝑖] ≡ 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖)

A6 La funzione di densità di probabilità è simmetrica rispetto ai suoi n

argomenti

A7 Le variabili casuali del modello (𝑋₁, … , 𝑋_𝑛) sono affiliate, ovvero la loro funzione di densità di probabilità, 𝑓(𝑆_𝑚; 𝑋_𝑛), soddisfa la disuguaglianza di Fortuin, Kastelin e Ginibre.

La funzione di valutazione 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) per l’ipotesi di affiliazione, le proprietà di u e per P7, è non decrescente rispetto ai suoi argomenti.

Facciamo un esempio: in un’asta per la vendita di un quadro che i partecipanti ritengono essere originale e dipinto da un celebre artista, effettueranno offerte di valore elevato, rispetto ad un quadro di un’artista non altrettanto famoso. Per cui un partecipante quando offre un valore elevato, rispetto ai suoi avversari, vorrà dire che questi ultimi avranno effettuato a loro volta offerte alte.

Da tener presente, quindi, che con l’ipotesi di affiliazione, viene a crearsi per i partecipanti all’asta una sorta di vincolo, nonché un valor comune che lega i bidders all’oggetto, detto in altro modo: consideriamo due partecipanti ad una procedura d’asta:

o l partecipante n°1 riceve il segnale composto dal valor comune più il segnale personale: ℎ₁+ 𝑆 = 𝑥₁

o Il partecipante n°2: ℎ₂+ 𝑆 = 𝑥₂

Quindi X è il valore comune che rende i due segnali affiliati.

supponiamo due segnali i quali vengono entrambi influenzati dal valor comune e da un valore personale che ne fa risultare la valutazione, come richiede il modello.

o l partecipante n°1 riceve il segnale composto dal: valor comune più il

segnale personale: ℎ₁+ 𝑆 = 𝑥₁ = 50 + 20 = 70

o Il partecipante n°2: ℎ2+ 𝑆 = 𝑥2 = 50 + 30 = 80

L’oggetto ha come valore comune dato dalla media dei segnali 𝑣 = 1/2(𝑥₁+

𝑥₂) per entrambi, da cui risulta appunto che 𝑥₁e 𝑥₂ sono affiliati. Dunque l’offerta ottima corrisponde al valore del bene per il soggetto, individuato attraverso la media dei segnali ricevuti e tenendo conto della rispettiva probabilità di vittoria, vedremo come varia nelle varie forme d’asta. Nelle strategie ottime delle quattro forme d’asta, ci sono alcune proprietà:

• I valori affiliati permettono che le informazioni vengano diffuse in misura migliore nell’asta inglese, rispetto alle altre.

• L’asta inglese è un’estensione dell’asta al secondo prezzo, poiché ha in più le informazioni rivelate durante l’abbandono degli avversari.

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• Nell’asta al primo prezzo, il prezzo offerto è tendenzialmente minore rispetto a quella al secondo prezzo.

Queste proprietà ci fanno capire che l’informazione può essere utilizzata anche dal banditore al termine dell’asta e, come abbiamo detto prima, la differenza tra le quattro forme d’asta rende invalido il RET a favore del RRT.

Individueremo la strategia migliore per massimizzare il profitto atteso tenendo conto che le valutazioni si modificano all’aumentare delle informazioni

possedute. Infatti, la diffusione delle informazioni non rende più valido il risultato estratto dal modello IPV, cioè il Teorema di Equivalenza dei Ricavi, ma si avrà una classifica del profitto atteso nelle forme d’asta.

Analizziamo ora, nello specifico, le strategie ottime delle quattro forme d’asta tuttavia considerando che l’unico aspetto che varia è la funzione di valutazione 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) poiché mancano le variabili esogene in S, che influenzavano

identicamente tutti i partecipanti e non creavano asimmetrie.

a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo

Nell’asta al secondo prezzo, l’offerta efficiente è pari alla valutazione attesa del bene individuata attravdrso il segnale ricevutoprevede che la valutazione attesa del bene, dato il segnale ricevuto, e, dato che il partecipante con la seconda offerta maggiore ha un segnale identico per l’ipotesi di affiliazione, sia data da:

𝑏 = 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖)

𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) contiene la variabile che non può essere osservata dal partecipante ma piuttosto come un’informazione rivelata dal banditore. Da tenere presente quindi, che, ogni partecipante ha uno stesso valor comune del bene per l’ipotesi di affiliazione dei segnali.

L’offerta ottima, come dal modello generale:

𝑏∗_{(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉}

1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦],

costituisce un punto di equilibrio simmetrico dell’asta in busta chiusa al secondo prezzo. Dove 𝐸[𝑉_𝑖|𝑋_𝑖 = 𝑥, 𝑌_𝑖 = 𝑦]è la valutazione attesa condizionata del bene per il bidder i, dati i segnali x, y. L’equilibrio simmetrico di Nash individuato prevede che nessun partecipante abbia incentivo a cambiare strategia anche conoscendo il segnale opposto più elevato e la relativa offerta, in quanto non ci sarebbe guadagno in termini di payoff. Si tratta di equilibrio ex post, poiché i partecipanti non cambiano mai la loro strategia conosciute le offerte degli avversari.

L’equilibrio simmetrico ex post è caratterizzato da due elementi importanti: per ogni partecipante l’equilibrio ex post dovrebbe dipendere unicamente dal proprio tipo, si potrebbe effettuare l’offerta solo possedendo questa

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informazione. Tuttavia in questo caso dell’asta al secondo prezzo non c’è incentivo a raccogliere tutte le informazioni poiché la strategia ottima dipende dal segnale affiliato, ci sarà, vedremo, incentivo nell’asta al primo prezzo in cui le informazioni relative alle altre offerte possono essere utilizzate per formulare la propria. Inoltre ogni strategia da cui risulta l’equilibrio simmetrico sarà la miglior risposta anche quando si conoscono tutti i tipi e le offerte in gioco nella procedura.

Inoltre 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) è una strategia di tipo crescente e strettamente crescente nel primo argomento per le assunzioni A3, A4, A7 e la proprietà P7.

Supponiamo dei partecipanti che mettono in atto una strategia di equilibrio simmetrico, eccetto il bidder i, 𝑗 ≠ 𝑖. Il profitto atteso del bidder i con segnale 𝑥_𝑖 e offerta 𝑏 è dato da:

𝐸(𝜋) = ∫ (𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑏(𝑦)𝑔(𝑦|𝑥)𝑑𝑦) 𝑏−1 0 = ∫ (𝑣(𝑥, 𝑦) − 𝑣(𝑦, 𝑦)𝑔(𝑦|𝑥)𝑑𝑦) 𝑏−1 0

Dove 𝑔(𝑦|𝑥) è la funzione di densità di 𝑌₁ che massimizza

𝑋_𝑖 condizionato dal segnale 𝑋₁ = 𝑥_𝑖, e 𝑖 ≠ 1. Poiché la funzione di valutazione 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) è crescente nel primo argomento il problema del bidder i è

massimizzare il suo profitto: per ogni 𝑥_𝑖 > 𝑦_𝑖 allora 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) − 𝑣(𝑦𝑖, 𝑦𝑖) > 0 tale

che 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) > 𝑣(𝑦_𝑖, 𝑦_𝑖) per cui il giocatore massimizza il suo profitto. Se invece 𝑥_𝑖 < 𝑦_𝑖 allora 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) − 𝑣(𝑦_𝑖, 𝑦_𝑖) > 0 tale che 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑦_𝑖) < 𝑣(𝑦_𝑖, 𝑦_𝑖) per cui si massimizza l’oggetto e il profitto risulterà negativo. Allora la strategia ottima, considerando che i segnali sono tra loro affiliati, 𝑥_𝑖 = 𝑦_𝑖, prevede un’offerta per cui gli avversari scelgano di seguire la strategia tenendo in considerazione il segnale 𝑥_𝑖 per effettuare l’offerta, e dall’altro lato che il bidder i, effettui un’offerta tenendo conto del segnale affiliato. Allora se 𝑏−1 = 𝑥₁, il profitto atteso avrà valore massimo dimostrando che esiste l’equilibrio bayesiano simmetrico.

Possiamo riscrivere l’equilibrio ottimo in cui l’offerta i sarà pari al valore atteso del bene condizionato dal proprio segnale, e il secondo segnale più alto avrà il suo medesimo valore. Infatti un valore 𝑌₁ = 𝑥_𝑖 è il valore massimo del segnale 𝑌₁ compatibile con la vincita de bidder1:

𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) = 𝐸[𝑉_𝑖|𝑋₁ = 𝑥_𝑖, 𝑌₁ = 𝑥_𝑖]

Considerando quindi, un partecipante con segnale 𝑥_𝑖 se esso presume che

l’avversario abbia un segnale a lui affiliato allora affinché siano tra loro in pareggio il valore che dovrebbe offrire sarà proprio dato da 𝑏 = 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) . Facciamo un esempio numerico. Durante una procedura d’asta, si ha la stima del dipinto messo in vendita a 2.000 euro, si ha stesso segnale per i partecipanti. Ipotizziamo tre partecipanti:

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𝑉_n°1 = 2.000 e 𝑏n°1 = 2.200

o Il partecipante n°2 effettuerà un’offerta minore rispetto alla sua valutazione coincidente con il segnale affiliato ricevuto.

𝑉_n°1 = 2.000 e 𝑏_n°2 = 1.900

o Il partecipante n°3 presenta un’offerta pari alla sua valutazione individuata dal segnale affiliato ricevuto

𝑉_n°1 = 2.000 e 𝑏n°3 = 2.000

Il partecipante n°1 sarà il vincitore dell’asta a cui verrà assegnato il bene, pagandolo effettivamente quanto la seconda offerta pari a 2.000. Ha effettivamente acquisto il bene al valore che viene stimato ai fini di una semplicità dell’esempio, tuttavia se la seconda offerta più alta fosse stata maggiore alla valutazione del bene, pari al segnale ricevuto, allora si sarebbe presentato il caso della maledizione del vincitore.

L’offerta efficiente tuttavia, è nell’esempio considerato, quella del partecipante n°3 in quanto avendo valutazione pari a 2.000 ed offrendo ugualmente il valore pari alla valutazione, si sarebbe aggiudicato il dipinto al secondo prezzo

maggiore, ipotizzando ad esempio un quarto partecipante con offerta pari a 1.900, guadagnandone in surplus in termini di differenza tra valutazione del bene, maggiore, e prezzo pagato, alla seconda offerta più alta.

Come più volte abbiamo potuto vedere quindi, effettivamente non sempre l’offerta efficiente permette di vincere.

Si potrebbe presentare qui il caso come per il modello IPV della strategia dominante in quanto permette un surplus maggiore, rispetto a qualsiasi altra strategia, tuttavia così non è, infatti, l’equilibrio identificato sopra è individuato. a differenza del caso IPV, da una strategia di offerta crescente nel primo termine

𝑥_𝑖. Supponiamo che l’offerta segua una strategia crescente simmetrica di

equilibrio. Scrivendo il profitto atteso secondo b e 𝑥_𝑖 come prima e ottimizzando per b, la condizione di primo ordine immediatamente rende la strategia di

offerta uguale a 𝑏 = 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖)

b) Asta in busta chiusa al primo prezzo e asta

Olandese

Consideriamo sempre i segnali affiliati con densità simmetrica, e identifichiamo come sempre: 𝑓_{𝑌1(𝑠|𝑠)} la densità e con 𝐹_{𝑌1(𝑠|𝑠)} la corrispondente funzione

cumulativa.

L’offerta ottima, per il bidder i, nelle due aste è data da:

𝑏_𝐹𝑃 = 𝑏_𝑂 = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑𝐿(𝛼|𝑥₁)

𝑥1 𝑎

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Dove 𝐿(𝛼|𝑥₁) = 𝑒𝑥𝑝 (− ∫ 𝑓𝑌1(𝑠|𝑠)

𝐹_{𝑌1(𝑠|𝑠)} 𝑥1

𝛼 𝑑𝑠) ovvero una funzione di distribuzione non

decrescente con supporto [0, 𝑥₁].

La funzione 𝑏 è crescente poiché 𝑣(𝛼, 𝛼)è crescente, date le assunzioni A3, A4, e la proprietà P7; la distribuzione di probabilità definita su(𝑎, 𝑥) , 𝐿(𝛼|𝑥₁) cresce stocasticamente in x.

L’offerta ottima può essere riscritta come:

𝑏 = 𝑣(𝑥₁, 𝑥₁) − ∫ 𝐿(𝛼|𝑥1) 𝑥1

𝑎

𝑑𝑡(𝑥₁)

Ed indica che la strategia ottima richiede ai partecipanti di formulare un’offerta inferiore alla valutazione attesa dell’oggetto

Il secondo termine misura la sottovalutazione dell’offerta rispetto al valore condizionato del bene. Questo elemento funge come bilanciamento tra

incremento del profitto che risulta dalla riduzione del prezzo di aggiudicazione e la minore probabilità di vittoria, che risulta dalla riduzione dell’offerta.

Nessun partecipante sarà disposto ad offrire zero e quindi 𝑏_𝐹𝑃 = 0, ma non ci

sarà neanche nessuno disposto ad offrire più del valore massimo 𝑏_𝐹𝑃 = 𝑥1.

Per verificare che la strategia è ottima per il bidder i mostriamo che l’offerta è crescente e risolve la condizione di primo ordine.

Possiamo verificare che la strategia suddetta soddisfa la seguente equazione differenziale:

𝑏_𝐹𝑃′ = 𝑏_𝑂′ = [𝑣(𝛼, 𝛼) − 𝑏(𝛼)]𝑓𝑌1(𝑠|𝑠) 𝐹_{𝑌1(𝑠|𝑠)}

Allora poiché 𝑣(𝛼, 𝛼) è strettamente crescente nel primo argomento la soluzione dell’equazione differenziale deve soddisfare: 𝑣(𝛼, 𝛼) > 𝑏 così che 𝑏_𝐹𝑃′ = 𝑏_𝑂′ > 0 e la funzione di offerta è crescente.

Tutti i partecipanti che usano la strategia suddetta, in quanto crescente, metteranno in atto la miglior risposta ad ogni strategia avversaria, anche con scopo la massimizzazione dell’oggetto.

L’offerta che soddisfa la condizione di primo ordine quando 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) = 𝑏 non è la miglior risposta in quanto il payoff che ne risulta è nullo:

0 = −𝐹_{𝑌1(𝑠|𝑠)}+ ( 𝑣(𝛼, 𝛼) − 𝑏(𝛼))𝑓_{𝑌1(𝑠|𝑠)}/𝑏′

Al contrario quando 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) > 𝑏, l’offerta è ottima e il ricavo atteso massimo. Ogni offerta diversa da 𝑣(𝑥_𝑖, 𝑥_𝑖) > 𝑏 comporta un ricavo atteso minore, ed ogni offerta maggiore o minore del range della funzione di offerta, quindi [a, 𝑥_𝑖] dove in mancanza del prezzo di riserva 𝑎 = 0, produce un ricavo atteso rispetto alla strategia d’offerta con profitto nullo massimo. Evidenziando ciò è, certo che la

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miglior risposta strategica in un’asta al primo prezzo con valori affiliati, congruamente al modello generale, prevede un’offerta minore rispetto alla valutazione del bene con segnali affiliati, ed interna al range.

quando il venditore rivela l’informazione, il profitto atteso per ogni partecipante è maggiore, e ne aumenta la probabilità di vittoria.

Quando il banditore durante una procedura d’asta di questo tipo rivela le informazioni relativamente all’oggetto, il valore delle offerte aumenta e di conseguenza il ricavo per il venditore è maggiore rispetto al caso in cui egli non abbia riportato nulla. Questo è un elemento che, come abbiamo visto, è

indifferente nell’asta al secondo prezzo, in cui la presenza di un’informazione aggiuntiva non comporta una variazione di strategia ai partecipanti.

c) L’asta inglese

L’offerta d’equilibrio richiede, in questa tipologia d’asta, di rimanere nella procedura finché il prezzo non sia pari a:

𝑏_𝐼 = 𝑣(𝑥₁, 𝑥₁, 𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛−1)

E quindi l’offerta deve essere data dal segnale personale ricevuto e dalle informazioni pervenute dai partecipanti che abbandonano.

Indica il prezzo per cui il bidder i uscirà dalla procedura se il numero degli

offerenti che sono ancora attivi nello stadio kdell’asta orale, con proprio segnale 𝑥₁, e il prezzo a cui gli altri n-k partecipante avrebbero abbandonato fosse

𝑝_𝑘+1 ≥ 𝑝_𝑘+2 ≥ 𝑝_𝑛.

Consideriamo un’asta inglese in cui ci siano N partecipanti disposti ad offrire un valore pari alla valutazione personale del bene. All’avanzare degli stadi k, ogni partecipante modifica l’offerta non solo in base alla valutazione del bene ma anche al prezzo di abbandono degli avversari. Allo stadio k in cui il primo partecipante abbandona l’asta, gli altri partecipanti faranno variare la propria offerta tenendo presente il segnale personale, e il prezzo di uscita

dell’avversario, così via finché nessuno più sarà disposto a rialzare. Dunque se all’inizio, 𝑘 = 1, l’offerta dipendeva da 𝑏_𝐼 = 𝑣(𝑥_𝐼) negli stadi successivi, 𝑘 = 1, si aggiunge il segnale ricevuto dagli avversari 𝑏_𝐼 = 𝑣(𝑥₁, 𝑦₁, … , 𝑦_𝑛−1).

Consideriamo ad esempio un partecipante all’asta con segnale 𝑥₁ per cui il bene

vale 2.000, egli valuta ad uno stadio k se deve o meno accettare il prezzo di uscita e ragiona cosi: si chiede cosa potrebbe accadere se dovesse vincere il bene al prezzo p. l’unico modo affinché egli vinca è che tutti gli altri partecipanti nello stadio k al prezzo p abbandonino. In questo caso il partecipante in

questione può dedurre che il segnale degli avversari debba essere uguale a y così che la loro strategia sia 𝑏_𝑗≠1 = 𝑣(𝑦, 𝑥₁, … , 𝑥_𝑛−1) = 𝑝, in quanto sarebbe

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stato conveniente continuare a partecipare solo se il valore del bene fosse ritenuto maggiore al prezzo nello stadio k. Dunque egli conclude che dovrà continuare fintantoché il prezzo sia pari al valore dell’oggetto nel caso in cui egli avesse vinto al prezzo di pareggio. Inoltre, poiché l’offerta dipende

dall’osservazione dei prezzi durante la procedura possiamo concludere dicendo che al fine della vincita il bidder i deve effettuare un’offerta 𝑥₁ > 𝑦, al contrario nel caso in cui egli non vincesse 𝑥₁ < 𝑦. In quest’ultimo caso, 𝑥1 < 𝑦 potrebbe

anche capitare che il soggetto vincente offra più di quanto valga per lui l’oggetto in vendita, ciò non rende l’offerta efficiente. L’offerta non dipende dalla

funzione di distribuzione, ma dalla strategia d’equilibrio in funzione della densità, f. L’equilibrio è infatti raggiunto solo nel caso in cui i segnali siano distribuiti in accordo ad altre funzioni di densità (g, dove 𝑔 ≠ 𝑓).

Nell’asta inglese la strategia qui seguita conduce, alla fine del gioco, ad un equilibrio ex post di Nash-Bayens, dovuta a informazione completa, poiché i segnali dei giocatori sono da tutti in via crescente per k conosciuti.

Durante questo tipo di asta poiché i segnali diventano pubblici di fase in fase, ogni soggetto che ad una certa fase k decide di abbandonare il gioco non ha motivo di rimpiangere l’uscita o la vincita per l’ultimo rimanente in quanto è sempre stato informato sull’oggetto. Al contrario succede invece, ad esempio nell’asta al secondo prezzo in cui i partecipanti offrono un valore che

potrebbero rimpiangere alla fine del gioco, ecco perché non si tratta

effettivamente di equilibrio ex-post. L’equilibrio è raggiunto nell’asta inglese alla fine del gioco, mentre nell’asta al secondo prezzo ex ante.

Pensiamo alla vendita del pesce fresco al mercato, si ha la stima del valore del pesce, ovvero il prezzo a cui quella tipologia è venduto, ma anche in base alla quantità e alla freschezza, che sia alle 8 la mattina o passata la giornata.

Se ad esempio resta l’ultimo branzino in vendita inizia l’asta dal valore minimo definito dal venditore, i partecipanti giocano al rialzo e ognuno di loro osserva i segnali degli avversari, ad esempio può essere un buon suggerimento per un nuovo praticante del mercato del pesce se gran parte dei partecipanti al valore di 17 euro al kg abbandonano la vendita.

Revenue Ranking Theorem

A differenza del modello a valori indipendenti, in cui per soggetti neutrali al rischio valeva l’equivalenza del ricavo nelle quattro forme d’asta, qui, invece, per l’ipotesi di affiliazione, il ricavo atteso non è equivalente tra le forme d’asta. Questa non equivalenza è chiamata nel modello a valori interdipendenti

Revenue Ranking Theorem, e si riferisce al solo caso di correlazione tra le credenze dei partecipanti.

Date le assunzioni del modello CPV, il ricavo atteso per il venditore nelle quattro

Nel documento LA TEORIA DELLE ASTE (pagine 65-86)